第3节 函数的奇偶性、对称性和周期性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、对称性和周期性三大核心考点，按基础夯实与考点突破的逻辑架构，通过知识梳理、重点汇总、基础测试、典例精讲及变式训练等环节，帮助学生构建从概念辨析到性质应用的完整知识体系，体现复习的系统性和针对性。 讲义注重数学思维与数学语言的培养，如通过定义判断步骤训练逻辑推理，结合具体函数推导对称性结论发展抽象能力。设置基础、课后、拔高分层练习，配合思维点拨即时反馈，能有效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第3节 函数的奇偶性、对称性和周期性 课标要求： 1． 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2． 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论； 3． 了解周期性的概念和几何意义． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 函数的奇偶性 （1） 函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 （2） 函数奇偶性的性质 1 若是偶函数，则； 2 若是奇函数且在定义域内，则； 3 偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数； 4 奇函数的和、差仍为奇函数；奇函数的积、商（分母不为零）为偶函数； 5 奇函数与偶函数的积、商（分母不为零）为奇函数； 6 复合函数的奇偶性：若为偶函数，则为偶函数；若为奇函数，为奇函数，则为奇函数． 2． 函数的对称性 （1） 函数对称性的定义 1 轴对称： ⇔ 的图象关于直线对称； 2 中心对称： ⇔ 的图象关于点对称． （2） 两个函数的对称 1 函数与关于轴对称； 2 函数与关于轴对称； 3 函数与关于对称． （3） 函数对称性的性质 1 ⇔ 关于对称； 2 ⇔ 关于对称； 3 ⇔ 关于对称； 4 ⇔ 关于对称； 5 ⇔ 关于对称． 3． 函数的周期性 （1） 函数周期性的定义 1 周期函数：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期； 2 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期． （2） 函数周期性的性质 1 （）⟹ ； 2 （，）⟹ ； 3 （，）⟹ ． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； （2）偶函数在关于原点对称的区间上的最值相同； （3）是偶函数 ⇔ ⇔ 的图象关于对称； （4）是奇函数 ⇔ ⇔ 的图象关于点对称； （5）若是奇函数且关于对称，则； （6）若是偶函数且关于对称，则． 2．易错提醒 （1）判断奇偶性时忽略定义域关于原点对称的前提条件； （2）奇函数满足的前提是函数在处有定义； （3）由函数的奇偶性和对称性推导周期性时，得到的可能不是最小正周期； （4）周期函数的最小正周期不一定存在． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）若存在，则函数是偶函数．（　　） （2）若为奇函数，则．（　　） （3）若是奇函数，则也是奇函数．（　　） （4）任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和．（　　） （5）若的图象关于对称，则．（　　） （6）若是函数的一个周期，且的定义域为，则（）也是函数的周期．（　　） 2．（多选）下列函数中，是偶函数的有（　　） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 4．函数图象的对称中心为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数是奇函数，且，则_________． 6．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，且，则_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 函数的奇偶性 【考法分析】重点考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，包含具体函数和抽象函数的奇偶性判断． 【典例1】（1）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． （2）（多选）已知为奇函数，为偶函数，且、均为非零函数，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式1】（1）设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　） A． B． C． D． （2）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【思维点拨】判断函数奇偶性的步骤： （1） 求定义域，判断是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则为非奇非偶函数； （2） 计算，比较与之间的关系，则为偶函数，为奇函数． 考点二 函数奇偶性的应用 【考法分析】主要考查利用奇偶性求解析式、求参以及函数奇偶性与单调性结合应用等问题． 【典例2】（1）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_________． （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（　　） A．或 B． C．或 D． （3）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且、在上单调递增，则（　　） A． C． C． D． （4）设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式为_________． （2）若函数是定义在上的偶函数，则（　　） A． B． C． D． （3）已知是定义在上的偶函数，定义在上的函数满足，且、在上单调递减，则（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递减 （4）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）利用奇偶性求函数解析式，一般都是通过转化到已知区间上，代入到已知解析式后得到的表达式，再通过与的关系求出的解析式；特别需要注意的是奇函数如果在处有定义，需要单独讨论的情况； （2）利用函数的奇偶性求函数值或参数值的关键在于借助奇偶性转化到已知区间上的函数，得到关于参数的等式，进而求出参数值； （3）利用奇偶性和单调性比较大小的核心是利用奇函数在原点两边的单调性相同和偶函数在原点两边的单调性相反这一性质进行转化，也可以利用奇偶性把函数值转化到已知区间上，在利用单调性进行比较； （4）利用奇偶性和单调性解函数不等式，需要注意的是偶函数关于轴对称的性质，通过绝对值把自变量转化到同一单调区间上进行求解． 考点三 函数的对称性 【考法分析】考查函数对称性的判断与利用，重点掌握轴对称和中心对称的条件及推导． 【典例3】（1）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的图象关于点对称，则_________． 【变式3】（1）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列各点一定是函数的图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． （2）若为奇函数，则函数的图象关于（　　） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【思维点拨】对称性的相关结论： （1） 函数关于直线对称 ⇔ 或 （2） 函数关于点对称 ⇔ 或 （3） 函数的图象与函数的图象关于直线对称 考点四 函数的周期性 【考法分析】利用函数满足的递推关系推导周期性，进而求函数值或解决相关问题，能够运用函数的奇偶性和对称性求函数的周期． 【典例4】（1）已知是定义在上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为_________． （2）设是定义在上周期为的偶函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． （3）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4】（1）已知是定义在上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为_________． （2）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数，且，则（　　） A． B． C． D． （3）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）求解与函数的周期性有关的问题，应该根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； （2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求解析式等问题转化到已知区间上，进而解决问题． 考点五 函数性质的综合应用 【考法分析】综合考查函数的奇偶性、对称性和周期性之间的相互推导和应用，是高考的热点和难点． 【典例5】（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（　　） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【变式5】（多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，则（　　） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的一个周期为 C． D．函数的图象关于点对称 【思维点拨】（1）奇偶性+对称性⟹ 周期性； （2）求累加和或者大数函数值时一般会用到函数的周期性； （3）解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值，或转换自变量所在区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 课后练习 1、 单选题 1． 若，分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（　　） A． B． C． D． 2． 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（　　） A．函数是奇函数但不是偶函数 B．函数是偶函数但不是奇函数 C．函数既是奇函数又是偶函数 D．函数既不是奇函数也不是偶函数 3． 已知函数为偶函数，且，则的解集为（　　） A． B． C． D． 4． 已知函数的定义域为，为奇函数，，则（　　） A．为奇函数且对称中心为 B．为奇函数且对称中心为 C．为偶函数且对称中心为 D．为偶函数且对称中心为 5． 定义在上的函数，其图象关于点对称，，则下列结论一定正确的是（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．图象关于点对称 D．图象关于直线对称 6． 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 7． 已知定义在上的函数满足是偶函数，，则（　　） A． B． C． D． 8． 已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 2、 多选题 9． 下列对函数的奇偶性判断正确的是（　　） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．是奇函数 10． 已知函数的定义域为，若函数的图象关于点对称，，令，则（　　） A． B． C．的图象关于点对称 D． 11． 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（　　） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 3、 填空题 12． 设函数的定义域为，，．若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_________． 13． 已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则_________． 14． 若函数的定义域为，且为奇函数，，则_________． 4、 解答题 15． 已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式． 16． 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． （1） 求实数，的值； （2） 求函数的解析式； （3） 若，求实数的取值范围． 17． 已知定义在上的函数满足：对任意的，，且当时，． （1） 求，； （2） 证明：是偶函数； （3） 若在上单调递减，求不等式的解集． 18． 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，． （1） 求证：是周期函数； （2） 当时，求的解析式； （3） 求的值． 19． “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有．”若函数的图象关于点对称，且当时，． （1） 求的值； （2） 设函数． 1 求函数的对称中心； 2 若命题“，，使得成立”是真命题，求实数的取值范围． 拔高练习 1． 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（　　） A． B． C． D． 2． 已知函数，的定义域为，，的图象关于直线对称，且，，则（　　） A． B． C． D． 3． 已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（　　） A． B． C． D． 4． 已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（　　） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 5． 已知函数、的定义域为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（　　） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数 6． （多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（　　） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 7． （多选）已知函数的定义域为，且，，，则（　 ） A．为奇函数 B． C． D． 8． （多选）已知定义域均为的函数、满足，，，若，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于轴对称 B．为的一个周期 C． D． 9．（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（　　） A．的图象关于点对称 B．是以为周期的周期函数 C． D． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】存在，不一定是偶函数，如（），存在，但是定义域不是关于原点对称，不是偶函数． （2）× 【解析】为奇函数，不一定有，如是奇函数，但在处无定义． （3）√ 【解析】设，由是奇函数得，所以，所以为奇函数． （4）√ 【解析】对任意一个定义域关于原点对称的函数，设，，则、的图象均关于原点对称，且，，所以为奇函数，为偶函数，而，所以任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和． （5）× 【解析】函数的图象关于对称，但是在处无定义． （6）√ 2．AD 【解析】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，选项A正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，选项B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，选项C错误； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，选项D正确． 3． 【解析】是定义在上的奇函数， ∴． 4．B 【解析】， ∴图象的对称中心是． 5． 【解析】是奇函数， ∴， ∴， 令得． 6． 【解析】函数是周期为的函数， ∴， ∵函数是奇函数，∴． 【典例1】（1）B 【解析】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，选项A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，，为偶函数，当时，，为单调递增函数，选项B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称，，为偶函数，当时，函数单调递减，选项C错误； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称，，为奇函数，选项D错误． （2）ACD 【解析】为奇函数，∴①， 为偶函数，∴②， ∴，∴为奇函数，选项A正确； ，∴， ∴③，∴为奇函数，选项B错误； 由②③得，∴为奇函数，选项C正确； 由①③得，∴为偶函数，选项D正确． 【变式1】（1）D 【解析】，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，选项A错误； ，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，选项B错误； ，定义域为，关于原点对称，，不是奇函数，选项C错误； ，定义域为，关于原点对称，，是奇函数，选项D正确． （2）BCD 【解析】是偶函数，∴， ∴，∴为偶函数，选项D正确； 由得， ∴， ∴是偶函数，选项C正确； 当满足条件，但不是奇函数，选项A错误； ，∴， ∴为奇函数，选项B正确． 【典例2】（1） 【解析】当时，，∴， 函数为偶函数，∴． （2）B 【解析】是定义在上的奇函数，∴， 即，， ∴当时，， ， 由得，， 若，则，解得，（舍去）， 若，，∴，无解， 综上所述，． （3）D 【解析】是定义在上的偶函数，且在上单调递增， ∴在上单调递减，∴， 是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ∴在上单调递增，∴，选项C错误； ，，满足题意， 但，选项A错误； ，选项B错误； 由在上单调递增，则， ∴，选项D正确． （4）D 【解析】函数是定义在上的偶函数， ∴，， 由得， ∴， 又在上单调递减，∴， ∴或，即或， ∴不等式的解集为． 【变式2】（1） 【解析】是定义域为的奇函数，∴， 当时，，∴， ∴， ∴． （2）B 【解析】是定义在上的偶函数， ∴，∴， ∴，又， ∴，即恒成立， ∴，∴，． （3）A 【解析】，∴，∴为奇函数， 函数在上单调递减，∴在上单调递减， ∴当时，，当时，， 偶函数在上单调递减，∴在上单调递增， ∴在上单调递增，选项B错误； 当时，， ∴在上为减函数，选项A正确； ，，满足题意， 在上单调递增，选项C错误； 在上单调递增，选项D错误． （4）A 【解析】当时，，∴， 为奇函数，∴， 对称轴为，∴在上单调递增， ∴在上单调递增， 当时，，单调递增，∴在上单调递增， 由得，解得或． 【典例3】（1）C 【解析】的图象关于直线对称， ∴，令，则， 是奇函数，∴． （2） 【解析】由题意， ∴， ∴，即． 【变式3】（1）A 【解析】、的图象分别关于点、对称， ∴，， ∴， 即，∴的对称中心为． （2）A 【解析】为奇函数，∴，即， ∴， ∴关于点对称． 【典例4】（1） 【解析】，∴， 当时，，∴， ∴． （2）A 【解析】为周期为的偶函数， ∴， ，∴． （3）B 【解析】， 令，则，∴， 即，∴， ∴当时，， 又，∴， ∴，是周期为的周期函数， ∴， 又，∴． 【变式4】（1） 【解析】，∴， 当时，， ∴． （2）B 【解析】是定义在上的奇函数，∴， ∴，， 为偶函数，∴， ∴， ∴， ∴． （3）D 【解析】函数的图象关于直线对称， ∴，即， 又①， ∴， 令，则，， ∴，， 由①得， ∴函数为周期为的周期函数， ∴． 【典例5】ABC 【解析】当时，， ∴， 又和均为偶函数， ∴，， ∴，∴， ∴函数是周期为的周期函数， ∴，选项A正确； 由得， ∴函数的图象关于直线对称，选项B正确； 当时，， ∴， 对称轴为，函数在上单调递增，选项C正确； 由，∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的图象不关于点中心对称，选项D错误． 【变式5】ABD 【解析】为偶函数，∴， ∴，∴的图象关于直线对称，选项A正确； 又是定义在上的奇函数，∴，， ∴，∴， ∴，∴的一个周期为，选项B正确； ，， ∴，， ∴，选项C错误； ，∴， ∴，的图象关于点中心对称，选项D正确． 课后练习 1．B 【解析】、分别为定义在上的奇函数、偶函数， 则为偶函数，否则，设，则为奇函数， 但是，不是偶函数，不符合题意； 对于选项A，，不是偶函数，选项A错误； 对于选项B，，为偶函数，选项B正确； 对于选项C，，为奇函数，选项C错误； 对于选项D，，不是偶函数，选项D错误． 2．B 【解析】令，则， 令，，则， ∴，令，， 则，∴， 又当时，，则不恒为， 函数的定义域为，关于原点对称， ∴是偶函数但不是奇函数． 3．A 【解析】为偶函数，∴， 即， 化简得恒成立，∴， ∴， ，∴，即， ∴在上单调递增，， 在上单调递减，， ∴不等式等价于， 解得． 4．C 【解析】为奇函数，∴， ∴，对称中心为， 令，则，， ∴，∴， 由得， ∴，∴为偶函数， ∴为偶函数且对称中心为． 5．B 【解析】的图象关于点对称， ∴，∴，∴， 当时，，， 当时，，， ∴，为偶函数． 6．B 【解析】的图象关于点对称， ∴，即， ∴等价于， 又函数在定义域上单调递减， ∴，解得． 7．C 【解析】是偶函数，则， ∴，∴， ∴，∴， ∴函数为周期为的周期函数， 令，则，∴， ∴． 8．D 【解析】函数为偶函数，∴， 由得， ∴，∴， ，∴①， 由得， ∴， ∴②， 由①②得：， ∴，． 9．BD 【解析】选项A，要使式子有意义，解得， 所以函数的定义域为，不关于原点对称， 为非奇非偶函数，选项A错误； 选项B，函数的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 当时，，， ∴为奇函数，选项B正确； 选项C，要使式子有意义，，解得或， 函数的定义域为，关于原点对称， ，为偶函数，选项C错误； 选项C，要使式子有意义且，解得或， ∴函数的定义域为，关于原点对称， 此时，，为奇函数，选项D正确． 10．ACD 【解析】①， 令，∴，即，选项A正确； 的图象关于点对称， ∴， 即，∴②， ∴的图象关于点对称，选项C正确； 由①得③，由②得④， 由③-④得，即，选项B错误； ∴，选项D正确． 11．ACD 【解析】为奇函数，∴， 即，∴的图象关于点对称，选项A正确； 令，则，∴， 为偶函数，∴， ∴，∴， ∴，选项B错误； 由得， ∴，∴， ∴，∴是周期为的周期函数，选项C正确； 由得，， ∴，， ∴，选项D正确． 12． 【解析】是奇函数，∴， 即①， 为偶函数，∴，即②， 联立①②得，对称轴为， ∴． 13． 【解析】的图象关于直线对称，∴， 的图象关于点对称，∴①， ∴，∴， ∴函数是周期为的周期函数， 令①中，则，∴， ∴． 14． 【解析】为奇函数，∴， 即，∴， 令，则，∴， 用替换得， 又，∴①， 令，则，∴， 由①得，∴， ∴，∴是周期为的周期函数， ∴． 15．解：是偶函数，∴， 是奇函数，∴， 由①得， ∴②， ①+②得，∴， ①-②得，∴． 16．解：（1）是定义在上的奇函数， ∴，即，∴，∴， 又，∴，∴， 综上所述，，． （2）由（1）知，当时，， 当时，，∴， 函数为奇函数，∴， 综上所述，． （3）当时，， 结合反比例函数的单调性得在上单调递增， 当时，， 结合反比例函数的单调性得在上单调递增， ∴函数在区间上单调递增， ， 函数是奇函数，∴， 函数在区间上单调递增， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 17．（1）解：令，则， ∴， 又当时，，∴， 令，则， 又当时，，∴， 综上所述，，． （2）证明：令，则， 函数的定义域为，关于原点对称，∴是偶函数． （3）解：，在上单调递减，且为偶函数， ∴， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 18．（1）证明：，则， ∴是周期为的周期函数． （2）解：，则， 当时，， ∴． ∴当时，． （3）解：，，，， ∴， ∴． 19．解：（1）的图象关于点对称， ∴，令，则． （2）①， ∴函数的对称中心为． ②，在上单调递增， ∴在上的值域为， 由（1）知， 当时，， ∴， 即， 命题“，，使得成立”是真命题， 即在上的值域是在上的值域的子集， 当时，，对称轴为， 当时，在上单调递增， ∴，， ∴，即，结合得， 当时，在上单调递减， ∴，， ∴，即，结合得， 当时，， ， ∴且， 解得，结合得， ∴要在区间上满足题意，至少满足①， 当时，，对称轴为， 当即时，在上单调递减， ∴，， ∴，解得，结合得， 当即时，在上单调递增， ∴，， ∴，解得，结合得， 当即时，， ， ∴且， 解得，结合得， ∴要在区间上满足题意，②， 结合①②得，实数的取值范围是． 拔高练习 1．D 【解析】为奇函数， ∴， ∴， 用替换得， 由得， 由得， ∴， ∴是周期为的周期函数，∴， ∴． 2．B 【解析】的图象关于直线对称， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴， ∴为周期为的周期函数， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴， ∵， ∴，∴， ∴， ∴． 3．C 【解析】是奇函数且定义域为，∴， ∵①，∴，即， 令①中，则， 又是奇函数，∴， 设，则， 令①中，则， 若，则，与矛盾，∴， 若，则，与矛盾，∴， 若，则，与没有冲突， 若，则，，与矛盾，∴， 综上所述，可能的值为． 4．C 【解析】①， ∴②， ①+②得，∴， ∵在上是单调递增函数，∴不恒为， ，为偶函数， ∴， ∴不是偶函数，选项A错误； 当时，，∴单调递增， ，∴单调递增， 又，∴单调递减， ∴在上是单调递减函数，选项B错误； 在上是单调递增函数，∴， ，， 又，∴，， ∴，∴，选项C正确； ，选项D错误． 5．C 【解析】∵，∴， 又是偶函数，∴①， ∴，∴关于直线对称，选项A错误； ∵，∴， 又，∴， ∴，∴的图象关于对称，选项B错误； ∵，∴②， ①-②得，∴， ∴，即③， ∴函数是以为周期的周期函数，选项C正确； ∴，∴， ∵，∴， 又，∴， ∴， ∴函数是以为周期的周期函数，选项D错误． 6．ACD 【解析】为奇函数，∴， ∴，选项A正确； ∴，即， ∴，∴， ∵为偶函数，∴， ∴，∴①， ∴， ∴是以为周期的周期函数， ∴， 由得， ∴， ∴图象关于对称，选项B错误； ∵为奇函数，则，又， ∴，∴，∴， 由①得， ∴，， ∴，，选项C正确； ∵是以为周期的周期函数，∴， ∴， ∴是以为周期的周期 函数， ∴，选项D正确． 7．ACD 【解析】令，则， ∴，令，则， ，∴不恒为，∴， ∴是奇函数，选项A正确； 令，，则， 即，∴，选项B错误； 是奇函数，∴， 令，，则， ∴，选项C正确； 令，，则，∴， 令，， ∴，解得， ，解得， 令，，则，∴， ，解得， ∴函数是周期函数，且最小正周期为， 又， ∴，选项D正确． 8．ABD 【解析】，∴， ∵，∴， ∴，∴的图象关于轴对称，选项A正确； ∵，∴， ∴①，∴， ∴，∴为的一个周期，选项B正确； ∵，∴， ∴， ∴是以为周期的周期函数， ∵，∴，， ∴， ∴，选项C错误； 由①得：，， ∵，，∴， ∴，∴， ∴，选项D正确． 9．BCD 【解析】是奇函数，∴， ∵，∴①， ②， ①+②得， ∴的图象关于点对称，选项A错误； 为偶函数，∴， 由②得③， ①+③得④， ∴，∴， ∴，∴， 由①得， ∴， ∴是以为周期的周期函数，选项B正确； ，∴， 由④得，∴， 由③得， 由④得，∴， ∴，选项C正确； 由④得， ∴，选项D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $