27.3 实际问题与反比例函数（2） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3实际问题与反比例函数2 第二十七章 反比例函数 第一步：目标导入 1.能从实际问题中抽象出数学问题，建立反比例函数模型； 2.会用反比例函数模型，解决跨学科的实际问题； 重点：建立反比例函数模型解决实际问题； 难点：利用反比例函数的增减性,确定实际问题中变量的取值范围. 学习目标 3.提高运用数学知识解决实际问题的能力． 第一步：目标导入 问题情境 t/S 小强从家到学校的这段路程中，行走时间t（秒）与行走速度v（米/秒）之间的函数关系如图所示，写出t与v之间的函数解析式. v/m.s-1 2 480 0 学校 家 问题：如何确定t与v之间的函数关系？ 第二步：预习交流 问题：如何确定t与v之间的函数关系？ 交流讨论 ①看关系：时间t×速度v=路程（定值）. ②看图形：函数图象近似于“双曲线”的一支. 由①和②中的任一种，都可以确定t是v的反比例函数. t 小强从家到学校的这段路程中，行走时间t（单位：秒）与行走速度v（单位：米/秒）之间的函数关系如图所示，写出t与v之间的函数解析式. v 2 480 0 学校 家 一增一减，乘积不变 所以，设出这个反比例函数为 ，代入图象上的点（2，480）待定系数s,得出解析式 第三步：探究释疑 例3 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图27.3-2所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W; (2)写出s关于F的函数解析式; (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围。 典例解析 解:(1)由图27.3-2可知，当力F为10N时， 物体在力F的方向上发生的位移s为50m， 此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 第三步：探究释疑 例3 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图27.3-2所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W; (2)写出s关于F的函数解析式; (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围。 典例解析 两个变量的积是定值，是反比例函数. 解：(2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间 的关系.由(1)可知其解析式为 . 第三步：探究释疑 例3 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图27.3-2所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W; (2)写出s关于F的函数解析式; (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围。 典例解析 解：（3）将s=100代入 可得F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的 作用下的位移小于100m，力F要大于5N. W=500,不变 用位移S的临界值，求出对应F的临界值，再根据S与F是反比关系，确定力F的大小范围. 100 第三步：探究释疑 方法归纳： ①两个变量的积是定值，确定反比例函数模型； ②利用图象上的已知点的值，待定系数k； ③两个变量的一增一减关系，由一个变量的取值范围，确定另一个变量的反向取值. 第三步：探究释疑 例4一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位:km/h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图27.3-3所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围; (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 典例解析 解:(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图27.3-3可知，当t=2时， v=120，于是有 . 当v=60时，解得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4 反向取值：大值对小值，小值对大值. 第三步：探究释疑 例4一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位:km/h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图27.3-3所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围; (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 典例解析 解：(2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分至11时之间到达乙地，则行驶全程所用时间范围是 ， 当t= 时，v=90； 当t=3时，v=80； 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 反向取值：大值对小值，小值对大值. 新知巩固 1.近视眼镜镜片的度数y(单位:度)是关于镜片焦距:x(单位:m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 课堂小结 （1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围； （2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义； （3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题； （2）模型思想： 提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题； （3）转化思想： 将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题. 思想与方法 课堂小结 （1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支； （2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际； （3）由图像范围解题时，混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误； （4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意义. 易错点提醒 课后 1.近视眼镜镜片的度数y(单位:度)是关于镜片焦距x(单位:m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式; (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 解：（1）设度数y与焦距x的函数解析式为 ,根据图象上的已知点解得k=0.25×400=100（度 米） 所以，其解析式为 . （2）把y=500代入 ，得x=0.2. 所以，近视眼镜的镜片为500度时，焦距是0.2米. 2.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节。某用电器内置可变电阻R的范围110~220Ω，电压U为220V.已知功率 ，回答下列问题: (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)这个用电器的功率P的范围是多少? 解：(1)由U2=PR=48400为定值， 功率P与电阻R满足反比例函数关系， 所以， . (2)电阻R的范围110~220Ω， 即 . 所以，当R=110时，P=440； 当R=220时，P=220； 因为 ，用电器的功率P随可变电阻R的增大而减小， 所以，功率P的范围是 . 3.开学了，工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y(毫升)与喷洒消毒液的时间x(分钟)成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系(如图所示).已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升。问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为( ) A.7分钟 B.8分钟 C.9分钟 D.10分钟 C 8 3 12 持续时间:12-3=9(分钟) 4.某棉花种植大户准备用4台同型号的大型棉花采摘机采摘600hm2棉花. (1)采摘完该农场棉花所需时间y(单位:天)与每台棉花采摘机的工作效率x(单位:hm2/天)有怎样的函数关系? (2)4台棉花采摘机全部投入工作，每天最多共可采摘60hm2棉花，预计棉花采摘最快可在几天内完成? 课后作业 第一组： P81 习题27.3 第6、7题 第二组： P78 练习题 第1题 $