第27章 反比例函数 数学活动（教学课件）2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 数学活动 实际问题 绘制散点图，直观分析趋势； 选择函数模型，确定解析式； 检验模型，求解问题. 复习导入 新知讲授 活动1 · 任务导航：四步“画”出双曲线 第一步 补全表格——10 个面积相等的矩形的两边长 第二步 画矩形——共顶点 A、同向摆放这 10 个矩形 第三步 描顶点——取每个矩形中 ∠A 的对角顶点 第四步 连线——把 10 个顶点用平滑曲线连接起来 核心问题 这条曲线是反比例函数的图象吗？为什么？ 新知讲授 活动1 · 第一步：补全表格 一边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 邻边长/cm ？ ？ ？ ？ 2 5/3 10/7 5/4 10/9 1 怎么填 邻边长 = 10 ÷ 一边长。回填：10、5、10/3、5/2。 想一想 填完后横着看一行、竖着看一列，各能发现什么规律？ 1.如图，，两点在双曲线上，分别过， 两点向坐标轴作垂线段，若，则 ___. 8 练一练 2.如图，反比例函数的图象上有一点 ，轴于点，点在轴上，则 的面积为 ( ) A A.1 B.2 C.4 D.8 ∵ ∴ 连结OP, ∵轴于点 ∴轴 ∴ 的面积= 的面积=| k |=1 导入新课 我们知道反比例函数的图象是双曲线，大家知道双曲线是如何生成的吗？ 今天我们通过两个趣味数学活动，动手探索反比例函数的本质与应用. 生活中哪些现象藏着反比例函数的规律？ ※矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ 长 宽 面积不变 长×宽=面积（定值） ※如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？ 新知讲授 活动1 · 第二步：画矩形、取公共角 共顶点 10 个矩形的一个顶点重合，成为公共角 ∠A。 同向贴放 两条邻边分别贴着水平、竖直方向摆正。 描对角顶点 只描与 ∠A 相对的那个顶点，共 10 个。 新知讲授 活动1 · 第三步：标顶点、连曲线 观察记录 10 个顶点沿一条曲线分布，形状像双曲线的一支。 操作提示 用笔尖平滑过渡连线，不要用直尺一段段画。 实践操作 新知探究 探究点1 利用矩形画双曲线 活动1 给定矩形面积为10，设矩形的长为x，宽为y，固定矩形一个顶点在坐标原点，两边与坐标轴重合，完成以下探究： （1）列出变量x、y的关系式； （2）自主取值，完成表格： 一边长/cm 邻边长/cm 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 10 5 1 2 活动任务 A B D C 方法归纳 活动1 · 提炼：k 的几何意义 几何身份 面积一定的矩形，对角顶点的轨迹是双曲线的一支。 函数身份 面积 S 一定时，一边长是其邻边长的反比例函数：xy = S，即 y = S/x。 k 的几何意义 k = S（矩形面积） 思考 · 数形结合 面积改为 5 或 20，曲线怎么变？先猜一猜，再动手验证。 （3）在平面直角坐标系中描出对应点，观察点的分布规律. 新知探究 探究点1 利用矩形画双曲线 活动1 　　如 图 你画对了吗？ 1 A x y 5 10 5 10 1 新知探究 探究点1 利用矩形画双曲线 活动2 探究规律 1 A x y 5 10 5 10 1 （1）这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 从表中数据可以看出，长方形的面积为 10， 设矩形的长为 y ，宽为 x ，由矩形面积公式得：xy=10，即 结论 面积定值的矩形，边长顶点的轨迹是反比例函数图象. ∴矩形的长 y 是宽 x反比例函数 （2）这里的值取值范围是什么？ 两边长取值为正值. 新知讲授 活动2 · 认识简易密度计 器材与参数 圆柱形简易密度计：质量 m = 7.2 g，底面积 S = 1 cm²，能竖直漂浮。 小组任务 依次放入 6 种液体，读出浸入深度 h 并记录，比一比哪种液体中浸得最深。 规范与跨学科 视线与液面平齐读数；可邀请物理教师参与指导，测完检验准确度。 新知讲授 活动2 · 原理：密度计为什么能测密度 漂浮条件 二力平衡 展开浮力 浮力由排开的液体产生 圆柱体积 深度 h 决定排开体积 代入化简 同一支密度计 m/S 是定值 结论 由 ρ·h = 7.2 得 ρ = 7.2/h：液体密度越大，密度计浸入越浅——这就是它能“称出”密度的道理。 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 活 动 利用实验数据探究规律 如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为7.2g，底面积为1cm²，能悬浮在液体中.经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数据： 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 1.以上测量用到什么物理原理？ 分析问题 物理中，物体漂浮时浮力等于重力（F浮=G），同一支密度计重力恒定，在不同液体中漂浮时，排开液体的体积不同。 变量分析： 液体密度ρ越大，浸入深度h越小，二者乘积为定值，成反比例函数关系. 已知密度计横截面积恒定.设液体密度为ρ，密度计浸入液体的深度为h， 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 探究1 简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位： g/cm3 ）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 （1）判断函数关系 简易密度计漂浮，浮力等于重力： ∵，， ∴ ，变形得： ∵是定值，设为k， ∴说明 与 成反比例函数关系。 新知讲授 活动2 · 问题(1)：数据里的规律 液体 汽油 煤油 植物油 水 ρ/(g/cm³) 0.70 0.80 0.90 1.00 h/cm 10.29 9 8 7.2 ρ × h 7.20 7.20 7.20 7.20 液体 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g/cm³) 1.15 ？ h/cm 6.26 5.14 ρ × h 7.20 ？ 算一算 前 5 组的 ρ × h 都约等于 7.2，与原理推出的 ρ·h = m/S = 7.2 一致。 回填空格 猜想对第 6 组也成立：ρ = 7.2 ÷ 5.14 ≈ 1.40，乘积误差来自读数四舍五入。 新知讲授 活动2 · 问题(2)：建立函数模型 函数模型 ( h > 0 ) k = 7.2 的实际意义 等价形式 h = 7.2/ρ（ρ > 0），右图按此画出；k = m/S 是定值，所以 ρ 是 h 的反比例函数。 看图估密度 在图上找 h = 6.5 cm 的点（空心点），横坐标约 1.11 g/cm³。 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 探究1 简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位：g/cm3）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 （2）求函数关系 解：设函数表达式为： 选取表格中水的对应数据、代入解析式： 解得: ， ∴初步确定函数表达式为：。 探究1 简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位： g/cm3 ）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 （3）验证函数关系 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 汽油（）：，与实际数据一致； 煤油（）：，与实际数据一致； 植物油（）：，与实际数据一致； 饱和盐水（）：，与实际数据一致； 蜂蜜（）：，与实际数据一致。 函数值验证 例题讲解 活动2 · 问题(2)：规范作答 问题：简易密度计浸入液体的深度 h（单位：cm）与液体的密度 ρ（单位：g/cm³）之间是否具有函数关系？如果有，请选择合适的函数模型描述这种关系。 解答（判断 → 推导 → 结论） 判断：h 与 ρ 具有函数关系。 推导：漂浮时 ，所以 结论：ρ 是 h 的反比例函数， 得分要点 1. 明确写出“具有函数关系”； 2. 用漂浮条件推出 ρh = 7.2； 3. 写出模型并注明 h > 0。 易错提醒 只写“成反比例”不写推导依据；漏写自变量取值范围。 例题讲解 活动2 · 问题(3)：牛奶的密度 问题：当简易密度计漂浮在牛奶中时，浸入牛奶的深度为 6.99 cm，则牛奶的密度为多少（结果保留小数点后两位）？ 牛奶的密度 1.03 g/cm³ 比水（1.00）略大，与生活常识一致 计算过程 已知 h = 6.99，代入模型： （保留两位小数） 作答：牛奶的密度约为 1.03 g/cm³。 洞察 同一个模型，两种用法：已知 ρ 求 h，已知 h 求 ρ——函数就是这样的“工具”。 探究1 简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位： g/cm3 ）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 （3）验证函数关系 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 描处散点图 依据实验测得的 (ρ, h) 数据组，如 (1.00, 7.2)、(1.20, 6.0)，逐一在坐标系中标注对应点位。 平滑曲线连线 用平滑的曲线连接所有离散点，形成连续的变化趋势，观察曲线，近似双曲线的一支，符合反比例函数 函数图像验证 探究1 简易密度计浸入液体的深度h（单位：cm）与液体的密度ρ(单位： g/cm3 ）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 液 体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 ρ/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.20 9 8 7.2 6.26 5.14 （4）确定函数关系 新知探究 探究点2 用简易密度计测量密度 液体的密度ρ增加，密度计浸入液体的深度h减少，且h•ρ≈7.2 ∴h是ρ的反比例函数，h. 例题讲解 活动2 · 变式与误差讨论 变式练习 若密度计在某液体中浸入深度 h = 8 cm，这种液体的密度是多少？ 解： 对照数据表：0.90 g/cm³ 是植物油（煤油为 0.80）。先算再查表，互相验证。 误差讨论 若深度多测或少测 0.1 cm，算出的密度会偏多少？ h = 7.3： h = 7.1： 0.1 cm 的误差让密度变化约 0.01～0.02——读数时视线要与液面平齐。 方法 h 与 ρ 一一对应：测准深度，才能算准密度。先猜想、再计算、后验证，是数学活动的常用路径。 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 26 课堂总结 两个活动 一条路径 情境与数据 10 个面积相等的矩形；6 种液体的实测深度。 发现规律 一边长 × 邻边长 = 10；ρ × h = 7.2，乘积都是定值。 建立模型 y = 10/x 与 ρ = 7.2/h（h > 0），都是反比例函数。 解释与预测 画出双曲线的一支；由 6.99 cm 算出牛奶密度 1.03 g/cm³。 用函数的眼光看世界。 反比例函数的研究路径——概念、图象与性质、应用——与研究一次函数、二次函数的一般思路一脉相承。 谢谢大家聆听 $