专题04 等腰三角形的性质定理和判定定理、逆命题和逆定理 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题04等腰三角形的性质定理和判定定理、逆命题和逆定理 期中复习讲义 ✵复习目标 · 掌握等腰三角形、等边三角形的定义，熟练运用性质定理与判定定理进行角度计算、线段证明、边长求解，规范几何推理步骤。 · 理解命题、互逆命题、互逆定理的概念，能够正确写出一个命题的逆命题并判断真假；掌握线段垂直平分线的判定定理，厘清性质与判定的逻辑区别。 · 能综合运用等腰三角形的性质与判定，解决几何证明、格点图形等综合问题，具备期中压轴题型的分析思路。 · 辨析易混概念，规避易错陷阱，规范几何书写，提高答题得分率。 ✵高频题型梳理 题型1.等腰三角形的定义 题型2.逆命题、互逆命题的识别 题型3.互逆定理 题型4.线段垂直平分线的判定 题型5.等边对等角的角度计算与证明 题型6.等腰三角形“三线合一”性质的应用 题型7.等边三角形的性质相关计算 题型8.等角对等边判定等腰三角形 题型9.利用等角对等边证明线段相等 题型10.利用等角对等边求边长 题型11.格点图中等腰三角形的识别 题型12.等腰三角形性质与判定综合 题型13.等边三角形性质与判定综合 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点二、等腰三角形的性质定理 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 拓展：等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三个内角相等，每一个内角都等于 60°。 知识点三、等腰三角形的判定定理 等角对等边：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边相等，这个三角形是等腰三角形。 等边三角形的判定： ① 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ② 有一个内角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点四、逆命题与逆定理 命题由题设（条件）和结论两部分组成。 互逆命题：两个命题的题设、结论互换，互为互逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 互逆定理：若一个定理的逆命题经证明为真，则它也是定理，二者互为互逆定理。 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ✵易错提醒 1.等边对等角、等角对等边，仅限同一个三角形使用。 2.“三线合一” 只针对等腰三角形顶角对应的平分线、中线、高，不可乱用。 3.等腰三角形边角计算注意分类讨论，结果要用三边关系检验。 4.写逆命题只交换题设和结论，原命题为真，逆命题未必为真。 5.分清线段垂直平分线的性质与判定，二者逻辑相反。 ✵典例精讲 题型1.等腰三角形的定义 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C．或 D．或 2．在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 3．已知的三边长分别为 a、b、c． (1)化简∶； (2)若，第三边 c的长为奇数，判断的形状． 题型2.逆命题、互逆命题的识别 1．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 2．命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型3.互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 2．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 题型4.线段垂直平分线的判定 1．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 2．如图，在四边形中，，．若，，则四边形的面积为__________． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)与的数量关系为___________； (2)求的长； (3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型5.等边对等角的角度计算与证明 1．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，在边上，，，交于，则的度数为____________________． 3．如图，在中，是的高，． (1)若是的角平分线，，求的度数． (2)若是的中线，且，求的度数． 题型6.等腰三角形“三线合一”性质的应用 1．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 3．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 题型7.等边三角形的性质相关计算 1．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 3．如图，D，E分别是等边的边上的点，相交于点O，且，求证：． 题型8.等角对等边判定等腰三角形 1．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 2．如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 3．如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 题型9.利用等角对等边证明线段相等 1．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 3．如图，，，求证：是等腰三角形． 题型10.利用等角对等边求边长 1．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 3．如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 题型11.格点图中等腰三角形的识别 1．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． (1)点关于轴的对称点的坐标是_______； (2)若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； (3)若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 题型12.等腰三角形性质与判定综合 1．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（     ） A．12 B．11 C．10 D．13 2．如图，中，、的平分线相交于O，过点O且与平行．的周长为20，的周长为12，则的长为_____． 3．探究等腰三角形全等的条件 (1)下列命题中，是真命题的有 （填序号）； ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等． (2)如图，已知和线段，从以下三个条件中任选一个，用直尺和圆规作一个等腰三角形： ①底角为，腰上的高为； ②底角为，腰上的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法．） (3)证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，与是的高，与是的高，且． 求证：． 【知识补充】如图②，若点D和E分别为的中点，则，． 题型13.等边三角形性质与判定综合 11．如图，在等边三角形中，且，垂直平分，下列结论中错误的是（     ） A．是等腰三角形 B．是等边三角形 C． D． 2．如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 3．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列命题中正确的个数为（     ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③有一个角为的三角形是等边三角形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（     ） ①的面积的面积； ②； ③； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ 二、填空题 4．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交，于点，，若，则_____． 5．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若，当最小时，的度数为________． 6．观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题 7．如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 8．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． (1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定； (2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 9．如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04等腰三角形的性质定理和判定定理、逆命题和逆定理 期中复习讲义 ✵复习目标 掌握等腰三角形、等边三角形的定义，熟练运用性质定理与判定定理进行角度计算、线段证明、边长求解，规范几何推理步骤。 理解命题、互逆命题、互逆定理的概念，能够正确写出一个命题的逆命题并判断真假；掌握线段垂直平分线的判定定理，厘清性质与判定的逻辑区别。 能综合运用等腰三角形的性质与判定，解决几何证明、格点图形等综合问题，具备期中压轴题型的分析思路。 辨析易混概念，规避易错陷阱，规范几何书写，提高答题得分率。 ✵高频题型梳理 题型1.等腰三角形的定义 题型2.逆命题、互逆命题的识别 题型3.互逆定理 题型4.线段垂直平分线的判定 题型5.等边对等角的角度计算与证明 题型6.等腰三角形“三线合一”性质的应用 题型7.等边三角形的性质相关计算 题型8.等角对等边判定等腰三角形 题型9.利用等角对等边证明线段相等 题型10.利用等角对等边求边长 题型11.格点图中等腰三角形的识别 题型12.等腰三角形性质与判定综合 题型13.等边三角形性质与判定综合 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点二、等腰三角形的性质定理 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 拓展：等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三个内角相等，每一个内角都等于 60°。 知识点三、等腰三角形的判定定理 等角对等边：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边相等，这个三角形是等腰三角形。 等边三角形的判定： ① 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ② 有一个内角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点四、逆命题与逆定理 命题由题设（条件）和结论两部分组成。 互逆命题：两个命题的题设、结论互换，互为互逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 互逆定理：若一个定理的逆命题经证明为真，则它也是定理，二者互为互逆定理。 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ✵易错提醒 1.等边对等角、等角对等边，仅限同一个三角形使用。 2.“三线合一” 只针对等腰三角形顶角对应的平分线、中线、高，不可乱用。 3.等腰三角形边角计算注意分类讨论，结果要用三边关系检验。 4.写逆命题只交换题设和结论，原命题为真，逆命题未必为真。 5.分清线段垂直平分线的性质与判定，二者逻辑相反。 ✵典例精讲 题型1.等腰三角形的定义 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分的边为腰、底边两种情况讨论，结合三角形三边关系验证． 【详解】解：当长为的边为腰时， 底边长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴不能构成三角形，此情况舍去. 当长为的边为底边时， 腰长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴能构成三角形，底边长为． 2．在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 【答案】或 【分析】分等腰是锐角三角形和等腰是钝角三角形两种情况分别画出图形，利用垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：若等腰是锐角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 若等腰是钝角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 即的长为或． 3．已知的三边长分别为 a、b、c． (1)化简∶； (2)若，第三边 c的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，即，然后去绝对值，最后合并同类项即可； （2）根据三角形的三边关系可得，则，然后判断的形状即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为 a， b， c， ∴， ∴， ∴ ． （2）解：∵的三边长分别为 a、b、c， ∴，即， ∵第三边 c的长为奇数， ∴， ∴的三边长分别为 2、5、5．即是等腰三角形． 题型2.逆命题、互逆命题的识别 1．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【详解】解：A．逆命题为“若，则”．取，，满足，但，故逆命题为假命题． B．逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，是真命题． C．逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”．两个大小不同的等边三角形对应角可以相等，但不全等，故逆命题为假命题． D．逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”．如和的绝对值相等，但，故逆命题为假命题． 2．命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果，那么， 当，时，分式与无意义，则等式不成立， ∴逆命题是假命题． 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型3.互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】写出各选项命题的逆命题，判断逆命题是否为真命题，即可确定没有逆定理的选项． 【详解】解：选项的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是真命题，有逆定理，不符合题意； 选项的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，有逆定理，不符合题意； 选项的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，没有逆定理，符合题意； 选项的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，是真命题，有逆定理，不符合题意． 2．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 题型4.线段垂直平分线的判定 1．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，．若，，则四边形的面积为__________． 【答案】24 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∵，， ∴四边形的面积为． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)与的数量关系为___________； (2)求的长； (3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：点在边的垂直平分线上，理由如下， 如图，连接、、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与相交于点， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为，结合（1）中结论，得出，即可得出答案； （3）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可得出点在边的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为 ∴， 由（1）可知，， ∴，即． （3） 解：点在边的垂直平分线上，理由略． 题型5.等边对等角的角度计算与证明 1．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，，在边上，，，交于，则的度数为____________________． 【答案】 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ． 3．如图，在中，是的高，． (1)若是的角平分线，，求的度数． (2)若是的中线，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的度数，则可得的度数，进而可得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的度数，再得出，则可得，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵在中，是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型6.等腰三角形“三线合一”性质的应用 1．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，由三线合一定理和三角形的面积公式求出的长，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边的长为4，D为底边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为12， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，最小值为． 2．如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【答案】12 【分析】过点P作于点M，由垂直平分线的性质得，由等腰三角形三线合一，得，由角平分线的性质得，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点P作于点M， ∵垂直平分线段， ∴， ∴，即为角平分线， 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 3．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， (2)证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先证明，进而证明； （2）先证明，再证明，得出，则，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2） 略 题型7.等边三角形的性质相关计算 1．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 2．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 【答案】/110度 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：在直线m上点E的左侧取点D，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，D，E分别是等边的边上的点，相交于点O，且，求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【分析】结合等边三角形的性质证明，即可求证． 【详解】略 题型8.等角对等边判定等腰三角形 1．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 2．如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线＋角平分线得到，，故，故可判断②③，判断不了①． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确， 但是证明不出，只能得到，故①错误， ∴正确的为②③， 故答案为：②③． 3．如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2)的长为6，的度数． 【分析】（1）根据条件，结合平行线性质得，再根据角平分线的性质得，进而得，再根据等角对等边即可得． （2）根据 平分，结合条件，即可求出，再根据平行线性质得，进而求出，再根据等腰三角形性质即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴． 题型9.利用等角对等边证明线段相等 1．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可. 【详解】解：∵平分交于点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 【答案】5 【分析】由角平分线的性质可得，，再由平行线的性质可得，，进而得出，，从而得出，，最后根据即可求出结果． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 题型10.利用等角对等边求边长 1．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】延长交于点，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【答案】8 【分析】在上截取，连接，得出是的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1) 是等边三角形，理由如下： 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由作图方法可知垂直平分，，则可证明，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，是等边三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴． 题型11.格点图中等腰三角形的识别 1．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫作格点），且它们的坐标分别是、． (1)点关于轴的对称点的坐标是_______； (2)若格点在第四象限，为等腰直角三角形，这样的格点有______个； (3)若点的坐标是，将先沿轴向上平移4个单位长度后，再沿轴翻折得到，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 解：如图即为所求作，． 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换、等腰三角形的性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （2）根据题意当为直角边，为直角顶点时，将绕点逆时针旋转，可找到一个点；当为直角边，为直角顶点时，将绕点顺时针旋转，可找到一个点；再以为对角线时，利用网格，画出正方形，可得到两个点，共4个点； （3）根据题意确定出三点的对应点，再连接可得，进而可得点的坐标． 【详解】（1）解：关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵为等腰直角三角形，格点在第四象限， ∴如图，当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为直角边，为直角顶点时，点坐标为， 当为斜边时，点坐标为，， ∴满足题意的格点一共有4个， 故答案为：4； （3） 略 题型12.等腰三角形性质与判定综合 1．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（     ） A．12 B．11 C．10 D．13 【答案】A 【分析】过点E作，由题意易得，是等边三角形，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，中，、的平分线相交于O，过点O且与平行．的周长为20，的周长为12，则的长为_____． 【答案】8 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可得，从而得出，同理可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， ∵的周长为20，的周长为12，即，， ∴． 3．探究等腰三角形全等的条件 (1)下列命题中，是真命题的有 （填序号）； ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等． (2)如图，已知和线段，从以下三个条件中任选一个，用直尺和圆规作一个等腰三角形： ①底角为，腰上的高为； ②底角为，腰上的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法．） (3)证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，与是的高，与是的高，且． 求证：． 【知识补充】如图②，若点D和E分别为的中点，则，． 【答案】(1)③④ (2)① ② ③ (3)证明：取的中点，连接，作于点， 取的中点，连接，作于点， ∵与是等腰三角形，是的高， ，，是的高， ∴，，，， ∴，，，， ∵是的高，是的高， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可判断哪个选项是正确的； （2）①作，在上取点，作并在上截取，作交于点，作交于点，此时，作交于点C，即为所求； ②作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求； ③作，以为圆心，长为半径作弧交的两边于和，在上取点，作交于点，以为圆心，长为半径作弧与以为圆心，长为半径的弧交于点，连接分别交和于点和，再作并交于点，延长交于点C，即为所求； （3）取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点，先后证明，得到，，得到，再利用即可证明． 【详解】（1）解：①两腰分别相等的两个等腰三角形，因为顶角不一定相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等，也就是说两个三角形三个角对应相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形，则利用能判定两个三角形全等，是真命题； ④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，则两个三角形中三个角对应相等，并且底边对应相等，那么可以利用或者来证明两个三角形全等，是真命题． （2）略 （3）略 题型13.等边三角形性质与判定综合 11．如图，在等边三角形中，且，垂直平分，下列结论中错误的是（     ） A．是等腰三角形 B．是等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故选项正确；用“边角边”定理证明，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故选项正确；利用平行线的性质证明，可求出，故选项正确；根据，即可判断，故选项错误． 【详解】解：垂直平分， ，即是等腰三角形，故选项正确； 是等边三角形， ， 又， . 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故选项正确； 垂直平分，， ， ，故选项正确； ， ，故选项错误． 2．如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 【答案】4 【详解】解：∵是等边三角形，边长为 6， ∴，， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的周长． ∴的长是4． 3．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)或或时，是等腰三角形． 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质，可得，且；因为是等边三角形，所以，由此可推出，结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明． （2）由全等三角形性质得，再结合（1）中是等边三角形可得，因此可求出的度数，进而判断的形状． （3）先分别用含的式子表示出、、的度数；再分、、三种情况，根据等腰三角形两底角相等列方程求解的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列命题中正确的个数为（     ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③有一个角为的三角形是等边三角形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确； ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，原命题错误； ③有一个角为的三角形不一定是等边三角形，只有是有一个角为的等腰三角形才是等边三角形，原命题错误； ④全等三角形对应边上的中线相等，正确； 综上，正确的命题共2个． 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，，再结合三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（     ） ①的面积的面积； ②； ③； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ 【答案】C 【分析】根据三角形中线性质判断①，利用同角的余角相等及角平分线定义判断②，通过计算角度证明等腰三角形判断③，根据已知条件无法推导④． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 无法推出，即无法推出，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题 4．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交，于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义和等腰三角形的判定及性质问题，由平行线的性质可得内错角，，再由角平分线的定义可得，，即，，进而可求的长． 【详解】解：， ，， 、分别平分与， ，， ，， 即，， ． 故答案为：． 5．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若，当最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】连接，先证明，得到，从而推出当，，三点共线且时，最小．过点作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，即． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 又， ， ， ， 当，，三点共线且时，最小，即最小． 如图，过点作于点交于点，连接． ， ， ， ， 同理可得，， ， ，即． 当取最小值时，的度数为． 6．观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】②④⑤ 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质、轴对称与中心对称的定义、直角三角形边角关系及四边形面积公式逐一判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，是线段的垂直平分线， ，，，， 对于①：， ，不一定为， ①错误； 对于②：垂直平分， 点与点关于直线对称， 是的中点， 点与点关于点对称， ②正确； 对于③：在直角中，， ， ， ∴不是等边三角形，则， 故 ③错误 对于：④四边形的周长， ，， 周长, , 周长， ， 周长， ④正确 对于⑤：， 四边形的面积， ⑤正确， 综上所述，正确的结论是②④⑤． 三、解答题 7．如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ，， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）根据题意得出，，确定，再由各角之间的等量代换及等角对等边判断即可； （2）根据邻补角得出，确定，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 平分， ， ． 8．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． (1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定； (2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：作交于点F， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）添加条件，可直接由“”证明全等； （2）作交于点F，证明，进而证明是等边三角形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件，可直接由“”判定，理由如下： 在和中， ， ； （2）略 9．如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形； (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (3)的长为3． 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； （2）略 （3）∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $