专题06 等腰三角形及其性质与判定 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题06等腰三角形及其性质与判定期中复习讲义 1.认识等腰三角形、等边三角形，掌握相关概念，分清腰、底边、顶角、底角；知道等边三角形是特殊的等腰三角形，能识别图形。 2.掌握等腰三角形两条核心性质定理：等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），会用性质进行角度、线段的计算与推理，规范几何证明书写。 3.掌握等腰三角形判定定理：等角对等边，能区分性质（边→角）和判定（角→边），会利用判定证明一个三角形是等腰三角形。 4.掌握等边三角形的性质与判定：等边三角形三角都相等且都为 60°；判定方式：三边相等、三角相等、有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 5.能结合等腰三角形的性质、判定解决基础计算、证明题；熟练处理等腰三角形中的分类讨论问题：已知边分不清是腰还是底、已知角分不清是顶角还是底角，注意检验三边能否构成三角形。 6.会结合轴对称（等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线所在直线），把等腰三角形和折叠、最短路径模型综合分析。 7.理清易错点：①“三线合一” 只针对等腰三角形底边和顶角；②区分性质定理和判定定理，不要条件结论混用；③分类讨论时忽略三角形三边关系导致出错。 题型 考察方向 难度 题型一 等腰三角形的定义 ★ 题型二 作等腰三角形 ★★ 题型三 等边对等角 ★★ 题型四 等边三角形的性质 ★★ 题型五 三线合一 ★★★ 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★★ 题型七 根据等角对等边证明边相等 ★★★ 题型八 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 等腰三角形的性质和判定 ★★★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02.等腰三角形基本概念 1. 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 2. 等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 3. 对称性 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1 条对称轴：底边上的垂直平分线（底边上的高、底边上中线、顶角平分线所在直线）； （2）等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴，每条边上的垂直平分线都是对称轴。 知识点03:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05：性质与判定逻辑区分 类别 作用 因果关系 使用场景 等边对等角（性质） 证角相等 已知两边相等→推出底角相等 题目给出腰相等，求角度 等角对等边（判定） 证线段相等、判定等腰 已知两角相等→推出对应边相等 题目给出角度相等，证明三角形为等腰 知识点06:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点07:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点08:高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 三线合一误用 在腰上作高、中线、角平分线，强行套用三线合一 该性质只适用于顶角和底边，腰上线段不满足 角度计算漏解 已知内角，未区分顶角、底角，只算一种答案 分两类讨论，且底角必须小于90，结合内角和验证 边长计算漏解 已知边长，未区分腰、底边，直接计算周长 分情况讨论，必须用三角形三边关系检验，舍去无效解 性质与判定混淆 分不清 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的用法 边相等推角相等用性质；角相等推边相等用判定 等边三角形判定失误 看到三角形有60角，直接判定为等边三角形 前提必须是等腰三角形，缺一不可 题型一、等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 2．等腰三角形的面积为，腰长．在底边上有一个动点，则到两腰的距离之和为________． 【答案】 【分析】利用等积法进行求解即可. 【详解】解：设等腰中，，，连接， 设点到的距离为，到的距离为， ∵ ∴ ∵， ∴ 整理得 解得. 3．已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（     ） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质确定a，b，c的值，结合等腰三角形的定义即可获得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，，， ∴，，， ∴此三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 题型二、作等腰三角形 4．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 5．问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 6．已知，下列尺规作图中，点都在边上，能确定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的作法，角平分线的作法，作一个角等于已知角的作法，等腰三角形的作法，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹可得所作直线是的垂直平分线，故，A选项符合题意； B、根据作图痕迹可得是的角平分线，故，B选项不符合题意； C、根据作图痕迹可得，故，C选项不符合题意； D、根据作图痕迹可得，D选项不符合题意． 题型三、等边对等角 7．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两底角的和为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为． 8．如图，，且，，三点共线，若，则________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，设，分别表示出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ A. 不一定等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 没有条件得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型四、等边三角形的性质 10．如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质．先利用等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴. 题型五、三线合一 13．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点， ∴，， ∴． 14．如图，等腰中，，线段是的中线，，点分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三线合一，垂线段最短，三角形三边关系的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 作出点N关于直线的对称点，再根据垂线段最短求解即可得出当与垂直时最小，利用勾股定理求解与三角形面积求解即可． 【详解】解：作出点N关于直线的对称点，连接，， 则，， 当与垂直时，最小， 最小值为此时的的长， 因为，线段是的中线， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 即的最小值为， 故答案为：． 15．如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由得到是解题的关键． 延长交于点E，则可知为等腰三角形，则，可得出．即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 16．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图在中，和的平分线交于点E，过点E作交 于M，交于N，若，则的周长为___________cm. 【答案】7 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，然后根据等角对等边得出，最后表示的周长即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定－等角对等边等知识点，根据以上知识点得出是解本题的关键． 18．在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、∵， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、∵， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、∵，， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 题型七、根据等角对等边证明边相等 19．如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后求出． 【详解】解：∵，平分交于，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 20．如图，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积为 ___________ ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 作于点，交的延长线于点，则，可得，，，由面积关系求得，进而求得；再证明 ，得，即可求得的面积． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， ， ，，， ， ，且， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：6． 21．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵和的平分线分别交于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 题型八、根据等角对等边求边长 22．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 23．如图，的垂直平分线交于点，连接、，点、分别在线段、上，连接，，若，则的长为______． 【答案】18 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据等角对等边求出，进而求出，然后根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分， ∴， 故答案为：18． 24．如图，在 中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 题型九、格点图中画等腰三角形 25．如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，结合等腰三角形的判定与网格特征，进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示： 共有个点； 当为等腰三角形的腰时，则如图所示： 或 共有个点； 综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个， 故选：C． 26．如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点的个数是． 27．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（     ）个 A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 题型十、找出图中的等腰三角形 28．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 29．如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有_______个.    【答案】5 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC． 【详解】分三种情况讨论： ①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，    ②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B， 同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，    ③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D， 同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，    故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解． 30．如图所示，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由作图痕迹可知：平分，，然后结合等腰三角形的判定以及三角形的内角和定理以及外角定理求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知：平分， ∵， ， ， ∴是等腰三角形 以为圆心，为半径画弧交于， ， ∴是等腰三角形 ∴． ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴为等腰三角形， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为等腰三角形， ∴等腰三角形有5个． 题型十一、等腰三角形的性质和判定 31．下列关于的说法中，不正确的是（    ） A．若，，则是等边三角形 B．若，，则是等腰三角形 C．若，，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形分类的判定，关键运用三角形内角和定理求角度和勾股定理验证直角三角形．根据等边三角形判定方法，三角形内角和定理，等角对等边，三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若，，则是等边三角形，故本选项正确，不符合题意； B、若，，则，则，则是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意； C、若，，则，则是直角三角形，故本选项正确，不符合题意； D、设，此时，不能构成三角形，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 32．如图，点关于，的对称点分别为，，连接，分别交，于点，，连接，，，若，，则的周长为________，的形状是________三角形． 【答案】 9 等腰直角 【分析】点关于，的对称点分别为，，则，，，，，，结合图形和已知条件求解即可． 【详解】解：点关于，的对称点分别为，， ，， ； 点关于，的对称点分别为，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形． 33．如图，中，，，点在线段上，，垂足为，与相交于点，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及可得，延长交延长线于点，过作交于点、交于点，利用平行线的性质可得，证明可得；再证明可得，即；最后代入各选项判断即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交延长线于点，过作交于点、交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴,， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴， ∴， ∴， 对于选项A，，不是定值，不符合题意； 对于选项B，，不是定值，不符合题意； 对于选项C，，是定值，符合题意； 对于选项D，，不是定值，不符合题意． 题型十二、等边三角形的判定 34．的三边长分别为、、，且满足，则的形状为（   ） A．三边互不相等的三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 35．如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是_______；连接，，交于，交于，，则的周长为______． 【答案】 等边三角形 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，由轴对称可得，，，，即得，，即得为等边三角形；又由轴对称的性质得，，即可得的周长，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于对称，与关于对称， ∴，，，， ∴，， ∴为等边三角形； ∵与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴的周长， 故答案为：等边三角形；． 36．如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 题型十三、等边三角形的判定和性质 37．已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为的是底边还是腰，其余两边均为，周长可直接计算． 【详解】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为， 它的周长是． 故选：B． 38．如图，等边三角形纸片的周长为6，，是边上的三等分点，分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是________． 【答案】2 【分析】证明为等边三角形即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的周长为6， ∴， ∵E，F是边上的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长． 39．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（     ） A．12 B．11 C．10 D．13 【答案】A 【分析】过点E作，由题意易得，是等边三角形，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解答题 40．已知线段a，b，求作，使，． 【答案】 解：如图，为所作． 【分析】本题考查了作三角形．先作线段，然后分别以B、C两点为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A，再连接、，则满足条件． 【详解】略 41．如图，，是的平分线上的一动点，在射线上．若是等腰三角形，求的度数． 【答案】的度数为或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：平分，， ， 分三种情况（如图）： 当时，； 当时，， ； 当时，． 综上，的度数为或或． 42．如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，点D是的中点， ∴平分． (2)证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行证明即可； （2）根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 43．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 44．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： 是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 45．如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 【答案】(1)，， (2)的大小不发生变化，且 (3) 【分析】（1）点A关于射线的对称点为点D，连接，由轴对称的性质可得，，由是等边三角形可得，进一步即得，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点F使得，连接，由（2）得，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点A关于射线的对称点为点D，连接， ，， 是等边三角形， ， ， （2）不发生变化，如图，设与交于点O， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的大小不发生变化，且； （3）如图，在上取点F使得，连接， 由（2）得，，， 是等边三角形，， ， ， ，即， 又， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题06等腰三角形及其性质与判定期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.认识等腰三角形、等边三角形，掌握相关概念，分清腰、底边、顶角、底角；知 道等边三角形是特殊的等腰三角形，能识别图形。 2,掌握等腰三角形两条核心性质定理：等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平 分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，会用性质进行角度、线段的计算与 推理，规范几何证明书写。 3.掌握等腰三角形判定定理：等角对等边，能区分性质（边→角）和判定（角→ 边)，会利用判定证明一个三角形是等腰三角形。 4.掌握等边三角形的性质与判定：等边三角形三角都相等且都为60°；判定方式： 三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 5能结合等腰三角形的性质、判定解决基础计算、证明题；熟练处理等腰三角形中 的分类讨论问题：已知边分不清是腰还是底、已知角分不清是顶角还是底角，注意 检验三边能否构成三角形。 6.会结合轴对称（等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线所在直线）， 把等腰三角形和折叠、最短路径模型综合分析。 7理清易错点：①“三线合一”只针对等腰三角形底边和顶角；②区分性质定理 和判定定理，不要条件结论混用；③分类讨论时忽略三角形三边关系导致出错。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 等腰三角形的定义 ★★ 题型二 作等腰三角形 ★★ 题型三 等边对等角 题型四 等边三角形的性质 题型五 三线合一 ★★★ 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型七 根据等角对等边证明边相等 ★★★ 题型八 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★★★ 题型十一 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：等腰三角形核心知识速查表 类别 内容 应用要点 定义 两边相等的三角 腰、底边、顶角、底角 形 性质1 等边对等角 由边相等得角相等，用于角度计算 性质2 三线合 顶角平分线、底边中线、底边高线重合，用于证明垂直、 中点、角平分 判定 等角对等边 由角相等得边相等，用于证明等腰三角形 边角关系 大边对大角 比较边角大小 分类讨论 腰与底、顶角与底 注意三角形存在性（两边和大于第三边，内角和180°） 角 试卷第2页（共3页） 知识点02.等腰三角形基本概念 A 顶角 腰 腰 底角 底角 B 底边 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 3.对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴：底边上的垂直平分线 (底边上的高、底边上中线、顶角平分线所在直线)； (2)等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，每条边上的垂直平分线 都是对称轴。 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平 分线都“三线合一” 试卷第3页（共3页） 知识点03：等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 等边对等 等腰三角形的两个底角相等（简在△ABC中，若AB=AC,则 角 称“等边对等角”) ∠B=∠C 在△ABC中，AB=AC,若 等腰三角形顶角的平分线、底边 三线合 AD LBC,则AD平分∠BAC 上的中线、底边上的高互相重合 且BD=DC 等腰三角形是轴对称图形，对称 对称性 轴为顶角平分线（或底边中线、 沿对称轴折叠，两边完全重合 底边高)所在直线 三边相等，三个内角都等于 等边三角形每条边上的中线、 等边三角 60°，具有等腰三角形的所有性高和所对角的平分线都 60° 形性质 质 线合 知识点04：等腰三角形的核心判定（高频考点） 试卷第4页（共3页） 判定方法 内容 几何语言 图示 有两条边相等的三角形 若AB=AC, 则ABC 定义判定 是等腰三角形 为等腰三角形 有两个角相等的三角形 在△ABC中，若 B 等角对等边 是等腰三角形（简称 ∠B=∠C,则AB=AC “等角对等边”) ①三边相等；②三个角 等边三角形判定相等；®有一个角是 满足其一即可判定为 60 60°的等腰三角形 知识点05：性质与判定逻辑区分 类别 作用 因果关系 使用场景 等边对等角 已知两边相等一→推出 证角相等 题目给出腰相等，求角度 (性质) 底角相等 等角对等边 证线段相等、 判已知两角相等→推出题目给出角度相等，证明 (判定) 定等腰 对应边相等 三角形为等腰 试卷第5页（共3页） 知识点06：常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2作底边上的中线： 3作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形， 简化计算与证明。 知识点07：分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验 证取舍。 1.角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角： 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180°，底角必须小于90°，出现矛盾则舍去 该情况。 2.边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍 试卷第6页（共3页） 去。 知识点08：高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 在腰上作高、中线、角平分该性质只适用于顶角和底边，腰 三线合一误用 线，强行套用三线合一 上线段不满足 已知内角，未区分顶角、底分两类讨论，且底角必须小于90° 角度计算漏解 角，只算一种答案 结合内角和验证 已知边长，未区分腰、底 分情况讨论，必须用三角形三边 边长计算漏解 边，直接计算周长 关系检验，舍去无效解 分不清“等边对等角”和边相等推角相等用性质；角相等 性质与判定混淆 “等角对等边” 的用法 推边相等用判定 等边三角形判定看到三角形有60°角，直接 前提必须是等腰三角形，缺一不 失误 判定为等边三角形 可 ☆ 题型精析 ■可=画■额画■==部票 题型一、等腰三角形的定义 1.已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是() 试卷第7页（共3页） A.12 B.15 C.9 D.6 2.等腰三角形的面积为24cm,腰长8cm.在底边上有一个动点P,则P到两腰的距离之 和为 3.已知aABC三边长a,b,G,且满是(a-3犷+b-3+c-5=0,则此三角形一定是 () A.直角三角形 B.底边和腰不相等的等腰三角形 C.三边都不相等的三角形 D.等边三角形 题型二、作等腰三角形 4.如图，已知直线1及直线I外一点P,过点P作直线1的平行线，下面四种作法中错误的 是() P 5.问题：如图1，已知△ABC为钝角三角形，∠B=30°，用尺规作△ABC的高AD B 30° --D B130° C E 图1 图2 作法：如图2，①分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E;②连接 AE;③延长BC交AE于点D.线段AD即为△ABC的高. 判定AD为△ABC高的依据是 试卷第8页（共3页） 6.己知△ABC,下列尺规作图中，点D都在边BC上，能确定BD=CD的是() B. 题型三、等边对等角 7.若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为() A.40° B.50° C.55 D.60 8.如图，△ABC≌△ADE,且D,C,E三点共线，若∠BAD=30°，则∠E= 9.如图，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a ,若AB=AC,则下列说法一定正确的是() A.∠APC-∠BAC=90° B.2∠APC=3∠ABC C.∠APC+∠BAC=180° D.AP+CP=2BP 试卷第9页（共3页） 题型四、等边三角形的性质 10.如图，BD为等边三角形ABC的高，在BC的延长线上取一点E,使CE=CD,连接 DE.若△ABC的周长为12，则BE的长为() D A.9 B.8 C.7 D.6 11.如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC=AE,∠E=132°，则∠B= 12.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=40°，则∠ADB的度数为 () B A.120° B.110° C.102° D.100° 题型五、三线合一 13.如图，屋顶钢架外框△ABC是等腰三角形，AB=AC,D是边BC的中点，若 ∠C=35°，则∠BAD的度数为 B D 14.如图，等腰△ABC中，AC=BC=13,AB=10,线段CD是△ABC的中线，CD=12, 试卷第10页（共3页） 点M,N分别是线段CD,BC上的动点，连接BM,MN,则BM+MN的最小值为 15.如图，己知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,那么△ABC的 面积为() A.6 B7 C.8 D.9 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 16.如图，∠AOB的边OA、OB均为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA 上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，己知∠ADE=∠ODC,OC=10,则光线 CD的长度是() 一E A.8 B.10 C.15 D.20 17.如图在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于 M,交AC于N,若AB+AC=7cm,则△AMN的周长为 cm. 试卷第11页（共3页） M E B 18.在下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是() A∠A:∠B:∠C=1:l:3 B.AB:BC:CA=2:2:3 C.∠B=80°，∠C=80° D.2∠A=∠B+∠C 题型七、根据等角对等边证明边相等 19.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于 E,且AC=7,则DE+BD等于() C B E A.7 B.6 C.5 D.4 20.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD面积为12且CD的长 为6，则△BCD的面积为 D 21,如图，在△ABC中，EDBC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F,若 EB=7,DC=9,ED=11,则FG的长为() A 4 B.5 C.6 D.6.5 试卷第12页（共3页) 题型八、根据等角对等边求边长 22.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C,点D在AC边上，连接BD,AB=I0,CD=2, 则AD的长度等于() A B A.7 B8 C.10 D.6 23.如图，BC的垂直平分线AD交BC于点D,连接AB、AC,点E、F分别在线段AB 、AD上，连接EF,∠EAF=∠EFA,若BE=I10,EF=8,则AC的长为一 E 24.如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别 交AB,AC于点D,E,若BD=4,CE=3,则线段DE的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 题型九、格点图中画等腰三角形 25.如图，在3×3的方格纸中，A,B均为格点，若△ABC为等腰三角形，则满足该条件的 试卷第13页（共3页） 格点C共有() A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 26.如图，在6×6的正方形网格中，A,B两点都是网格的格点，若△ABC是等腰三角 形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是() A B A.7 B.8 C.9 D.10 27.如图，A,B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也 在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有()个 A.7 B.8 C.9 D.1 题型十、找出图中的等腰三角形 28.如图，四边形ABCD沿对角线AC对折后重合，连接BD交AC于点E,若AB‖CD, 则图中等腰三角形的个数为() 试卷第14页（共3页） D E B A.1 B.2 C.3 D.4 29.如图，长方形ABCD中，AB=6,BC-2,直线1是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与 AD,BC交于点E,若直线I上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形则动点P的个 数有」 个 D E 30.如图所示，AB川CD,∠ACD=72°.用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条 件，得出的等腰三角形个数() D A.3 B.4 c.5 D.6 题型十一、等腰三角形的性质和判定 31.下列关于△ABC的说法中，不正确的是() A.若AB=AC,∠A=60°，则△ABC是等边三角形 B.若∠A=80°，∠B=20°，则△ABC是等腰三角形 C.若∠A=38°，∠B=52°，则△ABC是直角三角形 D.若AB:BC:AC=1:3:4,则△ABC是直角三角形 32.如图，点C关于OA,OB的对称点分别为E,F,连接EF,分别交OA,OB于点G ,H,连接OE,OC,OF,若EF=9,∠AOB=45°，则△CGH的周长为 试卷第15页（共3页） △OEF的形状是 三角形. E G 33.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P在线段AB上，BG⊥PG,垂足为G ,PG与BC相交于点，∠BAC=2∠BPG,记BG长为x,PO长为y.当x,y的值发 生变化时，下列代数式的值不变的是() P A.x+y B.x-y C.2x-y D.y-3x 题型十二、等边三角形的判定 34.△ABC的三边长分别为a、D、C,且满足a-b+b-d=0,则A4BC的形状为 () A.三边互不相等的三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 35.如图，已知∠40B=30° 点P在0B内部，与P关于0B对称，B与P关F01 R O P 对称，则、0、三点所构成的三角形的形状是。 一：连接”，乃，交01于N,交 ,则aPMW OB于M,RB=I5. 的周长为 试卷第16页（共3页) 36.如图，直线AB∥CD,EG=FG,∠I=100°，∠2=20°，则△EFG的形状为() A E B >G A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.无法确 定 题型十三、等边三角形的判定和性质 37.已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长 是() A.10 B.15 C.18 D.20 38.如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E,F是边BC上的三等分点，分别过点E ,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 A B E 39.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内两点，AD平分∠BAC, ∠EBC=∠E=60°，若BE=9,FG=3,则BC的长度是() 试卷第17页（共3页） F G A.12 B.11 C.10 D.13 解答题 40.已知线段a,b,求作△ABC,使AB=AC=a,BC=b a Lb 41.如图，∠AOB=80°，C是∠AOB的平分线上的一动点，P在射线OA上.若△OPC是 等腰三角形，求∠OPC的度数. A 42.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F B D (I)求证：AD平分∠BAC: (2)求证：DE=DF. 43.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D 试卷第18页（共3页） (1)若LB=39°，求∠CAD的度数： (2)若点E在边AC上，EF‖AB交AD的延长线于点P,求证：△AEF为等腰三角形. 44.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C.EF是由CD沿 CE方向平移得到的，已知EF过点A,连接BE交CD于点G. G (1)求∠DCE的大小； (2)求证：BE⊥AC, 45,如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP,乙ACP=(0<a<60）,点A关于射线 CP的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE,CD. (I)由对称性可知：AE= ,'∠ACP= 用含&的代数式表示∠CBD= (2在a(0<a<60 )的变化过程中，∠4EC的大小是香发生变化？如果发生变化，请直接 写出∠AEC的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEC的大小： (3)若已知CE=2,AE=3,求BD的长， 试卷第19页（共3页）