精品解析：陕西省榆林市横山县第三中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

陕西省榆林市横山县第三中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程的一个根是，则代数式的值是（ ） A. 5 B. C. 3 D. 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 32个 B. 35个 C. 40个 D. 42个 5. 已知矩形矩形，且矩形与矩形的相似比为，若矩形的周长为4，则矩形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，点为正方形的边的中点，连接，取的中点，连接，若的长为2.5，则正方形的面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 9 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接，过点作，交DE的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 8. 若关于的一元二次方程（为常数，且满足，且有两个相等的实数根，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） 11. 随着科技的发展，某种电子产品的价格呈现下降趋势，已知该电子产品2023年10月份的价格为4000元，2025年10月份的价格为1000元，则该电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为_______． 12. 如图，在中，是的中点，连接，点在上，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则的长为______． 13. 有三张正面分别标有数字的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，记点为，则点在平面直角坐标系中第三象限内的概率是________． 14. 如图，在矩形中，，．点为边上一动点（不与点重合），将绕点顺时针旋转得到．连接．则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 某工厂对一批灯泡的质量进行抽查，随机抽取了个，其中不合格的有个．若这批灯泡共有个，请估计其中合格的有多少个？ 17. 如图，在中，是边上的中点，是边上的高，连接，已知，，求的长． 18. 如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，点在上，连接，．求证：． 20. 为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典诵读大赛”，比赛项目为：“A．唐诗”“B．宋词”“C．论语”“D．道德经”．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）李明参加“单人组”比赛，他从这四个比赛项目中随机抽取一个，恰好抽中“A．唐诗”的概率为__________； （2）刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，根据“同一小组的两名队员的比赛项目不能相同”这一比赛要求，刘伟平先从这四个比赛项目中随机抽取一个，唐红再从剩下的三个比赛项目中随机抽取一个．请用画树状图或列表的方法求出他们都没有抽到“D．道德经”的概率． 21. 请根据以下素材，回答问题． 目的 小高和小张两位同学想利用刚学过的知识来测量某博物馆的高度． 素材 某天，他们带着测量工具来到博物馆前，但由于博物馆周围整体规划的原因，他们无法到达博物馆的底部B（如图），于是小高在地面上的点处放置一个高度为的测角仪（即），测得为，然后，小高从点处沿方向移动至点处（即），并在点处放置一面平面镜，小张在点处刚好可以通过平面镜看到博物馆顶端的像，小高用皮尺测得，小张眼睛到地面的距离为．已知点B、C、F、G在同一直线上，且，，图中所有的点均在同一平面内． 问题 求博物馆的高度．（平面镜大小忽略不计） 22. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使得与的相似比为，并写出点的坐标； （2）根据（1）的条件，则与的面积比为__________． 23. 国潮风尚成为行业共识，文创产品类型日益多样化，线上线下融合发展成为趋势．某博物馆推出一款成本为10元/件的国风冰箱贴，在线上销售一段时间后发现，该款冰箱贴每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系式：．若该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，则这款冰箱贴的销售单价为多少元/件？ 24. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点为边上一点，连接、，过点作于点，连接、，点为的中点，求证：是直角三角形； 【实际应用】 （2）为了优化城市空间利用，提升居民生活品质，促进社区融合，某市现规划将一块矩形用地修建为口袋公园．如图2，在矩形用地中，点为边上一点，连接、，过点作于点，连接交于点，连接，为了进一步满足市民休闲娱乐的需求，计划将规划为儿童娱乐区，将规划为花卉种植区，已知点是的中点，，，请你求出儿童娱乐区与花卉种植区的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省榆林市横山县第三中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程的一个根是，则代数式的值是（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义．由方程的一个根是可得． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 故选：A． 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出． 根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意； C、两个三角形不相似，故符合题意； D、两个图形相似，故不符合题意， 故选：C． 3. 如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 4. 一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 32个 B. 35个 C. 40个 D. 42个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率约为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：随机从中摸出一个球，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.35， 从中摸出一个红球的概率为， 估计袋中红球的个数为（个． 故选：D． 5. 已知矩形矩形，且矩形与矩形的相似比为，若矩形的周长为4，则矩形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据相似图形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】∵矩形矩形，且矩形与矩形的相似比为， ∴周长比也为 ． ∵ 矩形的周长为 4， ∴矩形的周长为 ． 故选B． 6. 如图，点为正方形的边的中点，连接，取的中点，连接，若的长为2.5，则正方形的面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 推出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，由，求得，即可解答． 【详解】解：点为正方形的边的中点， ，，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接，过点作，交DE的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形得，进而可得，再证明得，即可得值． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程（为常数，且满足，且有两个相等的实数根，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、D正确，不符合题意； ∵，故C错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 10. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） 【答案】AB=BE（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可． 【详解】解：添加AB=BE， ∵将沿着方向平移得到， ∴AB=DE，AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB=BE， ∴四边形是菱形， 故答案为：AB=BE（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键． 11. 随着科技的发展，某种电子产品的价格呈现下降趋势，已知该电子产品2023年10月份的价格为4000元，2025年10月份的价格为1000元，则该电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每年下降的百分率为，根据该电子产品2023年10月份的价格为4000元，2025年10月份的价格为1000元，，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每年下降的百分率为， 由题意，初始价格4000元，最终价格1000元，经过2年，得方程： ， 解得（舍去）， 则该电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为， 故答案为：． 12. 如图，在中，是的中点，连接，点在上，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由得，即得，同理得，即得到，解得，再由即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 有三张正面分别标有数字的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，记点为，则点在平面直角坐标系中第三象限内的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，第三象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，然后确定出在第三象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：画树状图图下： ， 一共有种情况，在第三象限的点有， ， ，共个， 所以． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，．点为边上一动点（不与点重合），将绕点顺时针旋转得到．连接．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，先证明，再证明，得到，故当时，最小，则． 【详解】解：在上截取，连接， 由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，如图： ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线，确定动点轨迹是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ， 解得． 16. 某工厂对一批灯泡的质量进行抽查，随机抽取了个，其中不合格的有个．若这批灯泡共有个，请估计其中合格的有多少个？ 【答案】个 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体．用总数乘以合格产品的占比即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（个）， 答：估计其中合格的有个． 17. 如图，在中，是边上的中点，是边上的高，连接，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出，由是边上的中点，可得． 【详解】解：是边上的高， ， 在中，， 是边上的中点， ． 18. 如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 理由：根据作法得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．作，即可求解． 【详解】略 19. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，点在上，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形ABCD为矩形， ， ， 在与中， ， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可证明，根据可证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典诵读大赛”，比赛项目为：“A．唐诗”“B．宋词”“C．论语”“D．道德经”．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）李明参加“单人组”比赛，他从这四个比赛项目中随机抽取一个，恰好抽中“A．唐诗”的概率为__________； （2）刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，根据“同一小组的两名队员的比赛项目不能相同”这一比赛要求，刘伟平先从这四个比赛项目中随机抽取一个，唐红再从剩下的三个比赛项目中随机抽取一个．请用画树状图或列表的方法求出他们都没有抽到“D．道德经”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“A．唐诗”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的结果有6种， ∴刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的概率为． 21. 请根据以下素材，回答问题． 目的 小高和小张两位同学想利用刚学过的知识来测量某博物馆的高度． 素材 某天，他们带着测量工具来到博物馆前，但由于博物馆周围整体规划的原因，他们无法到达博物馆的底部B（如图），于是小高在地面上的点处放置一个高度为的测角仪（即），测得为，然后，小高从点处沿方向移动至点处（即），并在点处放置一面平面镜，小张在点处刚好可以通过平面镜看到博物馆顶端的像，小高用皮尺测得，小张眼睛到地面的距离为．已知点B、C、F、G在同一直线上，且，，图中所有的点均在同一平面内． 问题 求博物馆的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】20m 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，延长DE交AB于点，则，可得四边形为矩形，则，再证明，利用相似三角形的性质列方程即可解答． 【详解】解：如图，延长DE交AB于点，则， 由题意知：，， 四边形为矩形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 该博物馆的高度为． 22. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使得与的相似比为，并写出点的坐标； （2）根据（1）的条件，则与的面积比为__________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了了作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质可知两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与的相似比为， 与的面积比为． 故答案是：． 23. 国潮风尚成为行业共识，文创产品类型日益多样化，线上线下融合发展成为趋势．某博物馆推出一款成本为10元/件的国风冰箱贴，在线上销售一段时间后发现，该款冰箱贴每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系式：．若该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，则这款冰箱贴的销售单价为多少元/件？ 【答案】18元/件或22元/件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．根据该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：这款冰箱贴的销售单价为元/件，则每件可获利元， 由题意得：， 整理得：， 解得． 答：这款冰箱贴的销售单价为18元/件或22元/件． 24. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ， ，， 在和中， ，，， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析计算是解题的关键． （1）根据已知条件证明，利用证明三角形全等即可； （2）利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在Rt中，， ， ，，， ，， 在Rt中，． 25. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明： ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）14 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若为底边，则为腰长，，， ∴， 解得：， 此时原方程化为， ∴，即， 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则中一边为腰， 把代入方程，， ∴， 则原方程化为， ， ∴，， 此时三边为6，6，2能构成三角形， 综上所述：三边为6，6，2， ∴周长为． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点为边上一点，连接、，过点作于点，连接、，点为的中点，求证：是直角三角形； 【实际应用】 （2）为了优化城市空间利用，提升居民生活品质，促进社区融合，某市现规划将一块矩形用地修建为口袋公园．如图2，在矩形用地中，点为边上一点，连接、，过点作于点，连接交于点，连接，为了进一步满足市民休闲娱乐的需求，计划将规划为儿童娱乐区，将规划为花卉种植区，已知点是的中点，，，请你求出儿童娱乐区与花卉种植区的面积之比． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ，点为的中点， ， ， ，点为的中点， ， ， ， ， 即是直角三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出正确的辅助线，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质可得，再证明即可解答； （2）过点作于点，证明求得，再证明，可得，设，则，利用，列方程求得，即可解答． 【详解】（1） 略 （2）解：如图2，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， 同（1）可证：， ， ， ，即， ， ， 同（1）可证：， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，即，解得， 经检验：是原方程的根， ， ， ， ， 儿童娱乐区与花卉种植区的面积之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $