专题4.1等式与方程（5大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题4.1等式与方程 知识点1 ：等式 　　1. 定义：表示相等关系的式子叫做等式，如、。 　　2. 列等式的步骤： 　　　　（1）分析条件，找出等量关系（如、、等）； 　　　　（2）用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系。 知识点2 ：等式的基本性质 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式 如果，那么 基本性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式 如果，那么；如果且，那么 知识点3 ：方程 　　1. 定义：含有未知数的等式叫做方程，如、。 　　2. 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程，方程是含有未知数的等式。 　　3. 未知数：用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫做未知数。 知识点4 ：方程的解与解方程 名称 定义 区别与联系 方程的解 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值 是一个具体的数 解方程 求方程的解的过程 是一个过程；方程的解通过解方程求得 知识点5 ：列简单方程 　　1. 定义：列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来。 　　2. 一般步骤： 　　　　（1）审：审清题意，找出题中的等量关系； 　　　　（2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； 　　　　（3）列：根据题中等量关系列出方程。 　　3. 确定等量关系的方法：根据题目中的不变量确定相等关系；根据关键词（如“一共有”“比……多”“是……的几倍”）确定相等关系。 【基础必考题型】 【题型1】方程的概念辨析 1.核心知识点 　　判断一个式子是不是方程，辨析等式与方程。 2.解题方法技巧 　　①方程必须同时满足两个条件：是等式、含未知数； 　　②等式不一定是方程，方程一定是等式； ③含“”“”“”的不是等式，不是方程。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、、均含有未知数且为等式，是方程，故A，B，C选项不符合题意； 含有未知数，但不是等式，不是方程，故D选项符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 【变式题1-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【题型2】等式的基本性质的应用 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质进行等式变形。 2.解题方法技巧 　　①性质1：等式两边同加或同减同一个数（或整式）； 　　②性质2：等式两边同乘同一个数，或同除以同一个不为0的数； ③两边同时除以某个数（或式子）时，先判断它是否为0。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. 【变式题2-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【答案】D 【详解】 解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A． B． C． 【答案】AB 【分析】根据天平平衡及倾斜情况得出物体质量间的等量关系，根据等式的性质即可得出答案． 【详解】解：设球、圆锥、正方体的质量分别为、、， 由第一个天平可知，， ∴，故A选项天平平衡正确，符合题意， 由第二个天平可知，， ∴，故B选项天平平衡正确，符合题意， ∵， ∴， ∴C选项天平不平衡不正确，不符合题意． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 【题型3】判断一个数是不是方程的解 1.核心知识点 　　验证一个数是否为方程的解。 2.解题方法技巧 　　①把这个数分别代入方程的左右两边； 　　②若左边=右边，则是方程的解； ③若左边右边，则不是方程的解。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 【变式题3-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 【培优高频题型】 【题型4】利用等式的性质将等式变形为x=c的形式 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质逐步将等式变形为（为常数）的形式。 2.解题方法技巧 　　①观察等式左边需要做什么变形； 　　②在等式两边进行相同的变形； ③可用代入验证变形结果是否正确。 【例题4】.（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 【变式题4-2】.（24-25六年级下·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【答案】 【分析】由移项法则变形即可求解． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同乘得． 【题型5】利用等式的性质比较大小 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质判断两个数（或式子）的大小关系。 2.解题方法技巧 　　①对等式两边进行适当的变形，得到可直接比较的形式； 　　②如由两边同乘6，得，再比较； ③结合字母取值或数的性质判断大小。 【例题5】.（26-27七年级上·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【答案】能     见解析 【分析】根据等式的性质将原式变形得出与的大小关系即可． 【详解】解：能，，理由如下： 等式两边同时加，得， 两边再同时除以，得， 因此． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）； （2）去括号，得． 等式两边都加上 ，得． 等式两边都减去 ，得． 等式两边都除以 ，得． 即． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）略 【变式题5-2】.（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】解：由，移项得，计算得． ∵， ∴，即． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 【详解】解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 【压轴素养题型】 【题型6】由方程的解求参数 1.核心知识点 　　已知方程的解，代入方程求含参字母的值。 2.解题方法技巧 　　①把方程的解代入方程； 　　②使左右两边相等，得到关于参数的方程； 　　③解方程求参数的值。【例题6】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可． 【详解】解：把代入，得，解得． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：将代入，得 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 【题型7】由代数式的值判断方程的解 1.核心知识点 　　通过表格或代数式的值，找出方程的解。 2.解题方法技巧 　　①方程的解即使方程左右两边代数式的值相等的未知数的值； 　　②观察表格中两边代数式值相等的行； ③对应未知数的取值即为方程的解。 【例题7】.（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 0 1 _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ 当_______时，，所以方程的解是_______． 【答案】 1 3 0 【分析】将表格中给定的x取值依次代入对应的代数式，计算出各代数式的结果填入对应空格，再通过对比计算结果找到使与值相等的值，即可得到对应方程的解． 【详解】解：当时，，； 当时，，；此时两个代数式的值相等． 当时，，； 当时，，． 由表可知，当时，，即方程的解为． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 【题型8】列方程解决实际问题 1.核心知识点 　　用方程表示实际问题的等量关系并求值。 2.解题方法技巧 　　①审题设未知数，找等量关系； 　　②列出方程； 　　③利用等式性质或估值求值并检验。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． (1)甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； (2)某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 【答案】(1)甲班有54名学生，乙班有58名学生 (2)600台 【分析】（1）设甲班有名学生，则乙班有名学生，根据“乙班比甲班多4名学生”列方程，然后根据等式的性质解方程即可； （2）设这个商店原来有台彩电，根据“商店卖出全部彩电的后，还剩下150台”列方程，然后根据等式的性质解方程即可. 【详解】（1）解：设甲班有名学生，则乙班有名学生， 根据题意，得， 方程两边加，得， 方程两边除以2，得， 所以， 答：甲班有54名学生，乙班有58名学生； （2）解：设这个商店原来有台彩电， 根据题意，得， 化简，得， 方程两边乘4，得， 答：这个商店原来有600台彩电． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·天津河西·期末）列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 【详解】（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 易错点 　　1、把含“”“”的式子误认为等式或方程。 　　2、等式两边同除以某个数（或式子）时未判断它是否为0。 　　3、误把不是等式的式子当作方程，或把不含未知数的等式当作方程。 　　4、列方程时未抓住等量关系，或设未知数后未把相关量表示出来。 　　5、判断方程的解时只代入一边而忽略另一边。 　　6、利用等式性质变形时，在等式两边做不同的变形。 重点 　　1、等式的概念与列等式的方法。 　　2、等式的基本性质及其应用。 　　3、方程的概念及方程与等式的关系。 　　4、方程的解的判断与列方程的方法。 难点 　　1、利用等式的基本性质进行等式变形。 　　2、由方程的解求参数及由代数式的值判断方程的解。 　　3、在情境中列方程并解决实际问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 3．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 二、填空题 4．利用等式的性质求方程的解是________． 【答案】 【分析】利用等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的性质对方程变形求解. 【详解】解：等式两边同时减去， 得， 化简，得. 5．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 6．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 三、解答题 7．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 8．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 9．已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 10．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：， 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1等式与方程 知识点1 ：等式 　　1. 定义：表示相等关系的式子叫做等式，如、。 　　2. 列等式的步骤： 　　　　（1）分析条件，找出等量关系（如、、等）； 　　　　（2）用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系。 知识点2 ：等式的基本性质 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式 如果，那么 基本性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式 如果，那么；如果且，那么 知识点3 ：方程 　　1. 定义：含有未知数的等式叫做方程，如、。 　　2. 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程，方程是含有未知数的等式。 　　3. 未知数：用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫做未知数。 知识点4 ：方程的解与解方程 名称 定义 区别与联系 方程的解 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值 是一个具体的数 解方程 求方程的解的过程 是一个过程；方程的解通过解方程求得 知识点5 ：列简单方程 　　1. 定义：列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来。 　　2. 一般步骤： 　　　　（1）审：审清题意，找出题中的等量关系； 　　　　（2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； 　　　　（3）列：根据题中等量关系列出方程。 　　3. 确定等量关系的方法：根据题目中的不变量确定相等关系；根据关键词（如“一共有”“比……多”“是……的几倍”）确定相等关系。 【基础必考题型】 【题型1】方程的概念辨析 1.核心知识点 　　判断一个式子是不是方程，辨析等式与方程。 2.解题方法技巧 　　①方程必须同时满足两个条件：是等式、含未知数； 　　②等式不一定是方程，方程一定是等式； ③含“”“”“”的不是等式，不是方程。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【题型2】等式的基本性质的应用 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质进行等式变形。 2.解题方法技巧 　　①性质1：等式两边同加或同减同一个数（或整式）； 　　②性质2：等式两边同乘同一个数，或同除以同一个不为0的数； ③两边同时除以某个数（或式子）时，先判断它是否为0。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列等式变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式题2-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A． B． C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【题型3】判断一个数是不是方程的解 1.核心知识点 　　验证一个数是否为方程的解。 2.解题方法技巧 　　①把这个数分别代入方程的左右两边； 　　②若左边=右边，则是方程的解； ③若左边右边，则不是方程的解。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题3-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】利用等式的性质将等式变形为x=c的形式 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质逐步将等式变形为（为常数）的形式。 2.解题方法技巧 　　①观察等式左边需要做什么变形； 　　②在等式两边进行相同的变形； ③可用代入验证变形结果是否正确。 【例题4】.（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【变式题4-2】.（24-25六年级下·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【题型5】利用等式的性质比较大小 1.核心知识点 　　利用等式的基本性质判断两个数（或式子）的大小关系。 2.解题方法技巧 　　①对等式两边进行适当的变形，得到可直接比较的形式； 　　②如由两边同乘6，得，再比较； ③结合字母取值或数的性质判断大小。 【例题5】.（26-27七年级上·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【压轴素养题型】 【题型6】由方程的解求参数 1.核心知识点 　　已知方程的解，代入方程求含参字母的值。 2.解题方法技巧 　　①把方程的解代入方程； 　　②使左右两边相等，得到关于参数的方程； 　　③解方程求参数的值。【例题6】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【题型7】由代数式的值判断方程的解 1.核心知识点 　　通过表格或代数式的值，找出方程的解。 2.解题方法技巧 　　①方程的解即使方程左右两边代数式的值相等的未知数的值； 　　②观察表格中两边代数式值相等的行； ③对应未知数的取值即为方程的解。 【例题7】.（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）填表： 0 1 _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ 当_______时，，所以方程的解是_______． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【题型8】列方程解决实际问题 1.核心知识点 　　用方程表示实际问题的等量关系并求值。 2.解题方法技巧 　　①审题设未知数，找等量关系； 　　②列出方程； 　　③利用等式性质或估值求值并检验。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． (1)甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； (2)某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 【变式题8-1】.（25-26七年级上·天津河西·期末）列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 易错点 　　1、把含“”“”的式子误认为等式或方程。 　　2、等式两边同除以某个数（或式子）时未判断它是否为0。 　　3、误把不是等式的式子当作方程，或把不含未知数的等式当作方程。 　　4、列方程时未抓住等量关系，或设未知数后未把相关量表示出来。 　　5、判断方程的解时只代入一边而忽略另一边。 　　6、利用等式性质变形时，在等式两边做不同的变形。 重点 　　1、等式的概念与列等式的方法。 　　2、等式的基本性质及其应用。 　　3、方程的概念及方程与等式的关系。 　　4、方程的解的判断与列方程的方法。 难点 　　1、利用等式的基本性质进行等式变形。 　　2、由方程的解求参数及由代数式的值判断方程的解。 　　3、在情境中列方程并解决实际问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 3．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 二、填空题 4．利用等式的性质求方程的解是________． 5．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 6．关于的方程的一个解是，则____________． 三、解答题 7．已知关于的方程的解是，求的值． 8．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 9．已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 10．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $