专题3.3整式的加减（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册
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精品
内容正文：
专题3.3整式的加减
知识点1 ：整式的概念
1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式中不含加减运算，分母中不含字母。
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；系数包含前面的符号，单独一个字母的系数为，是常数，是系数的组成部分。
3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；一个非零数的次数为。
4. 多项式：可以看作几个单项式的和的代数式叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
5. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
6. 整式：单项式和多项式统称为整式。
名称
定义
注意
单项式
由数与字母的积组成的代数式
不含加减运算；分母中不含字母；单独数或字母也是单项式
多项式
几个单项式的和
每一项都包括前面的符号；次数取次数最高的项
整式
单项式与多项式的统称
分母中含字母的式子不是整式
知识点2 ：同类项
1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。
2. 两个无关：同类项与系数无关、与字母的排列顺序无关，如与是同类项。
3. 判断方法：先看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否相等，两者同时满足才是同类项。
知识点3 ：合并同类项
1. 定义：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
2. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，简记为“一相加、两不变”。
3. 一般步骤：一找（找出同类项）、二移（运用交换律、结合律把同类项结合）、三合（合并同类项）、四排（结果按某一字母的降幂或升幂排列）。
知识点4 ：去括号与添括号
1. 去括号法则：
括号前的符号
法则
括号前是“”
把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都不改变，如
括号前是“”
把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都要改变，如
括号前有数字因数
先用分配律将括号内各项乘该系数（含符号），再去括号，如
2. 添括号法则：所添括号前面是“”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”，括到括号里的各项都要改变符号，如。
知识点5 ：整式的加减运算
1. 运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去掉括号，然后再合并同类项。
2. 运算依据：整式的加减运算满足各种运算律，其本质是数的运算。
3. 结果要求：不能有同类项，一般不含括号，带分数化成假分数，结果若是多项式一般按某一字母的升幂或降幂排列。
知识点6 ：整式的化简求值
1. 方法：求代数式的值时，若代数式中含有同类项和括号，通常先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算。
2. 步骤：一化（利用整式加减法则将整式化简）、二代（把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子）、三计算（依据有理数运算法则计算）。
【基础必考题型】
【题型1】整式的概念辨析
1.核心知识点
识别单项式、多项式、整式，并确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数。
2.解题方法技巧
①分母中含有字母的式子不是整式，如不是整式；
②单项式的系数包含前面的符号，次数是所有字母的指数和，常数项次数为；
③多项式看项数与次数，次数取次数最高的项的次数，常数项不含字母；
④是常数，不是字母，含的项系数要含。
【例题1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式
C．单项式m的次数是1，没有系数 D．单项式的系数是，次数是4
【答案】D
【分析】依据单项式、多项式的相关定义判断各选项，注意为常数．
【详解】解：A选项：单项式的系数是，次数是，故本选项错误；
B选项：多项式的最高次项为，次数为，是三次三项式，故本选项错误；
C项：单项式的次数是1，系数是1，故本选项错误；
D项：单项式的系数是，次数是，故本选项正确．
【变式题1-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）多项式的次数和项数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据多项式的次数的定义和多项式中项的定义解答即可．
【详解】解：多项式的最高次项为，次数为，该多项式的项为，，，共项．所以次数和项数分别是，．
【变式题1-2】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）整式是四次三项式，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义，需满足最高次项次数为4，且最高次项系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵ 整式为四次三项式．
∴ 最高次项次数为4，且最高次项系数不为0．
∵ 项的次数为，常数项次数为0，
∴ 最高次项为，
∴ ，且，
由得，
∴ 或．
解得或．
∵ ，即．
∴ ．
【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如果多项式是关于y的三次多项式，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法得出a，b的值进而得出答案．
【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式，
∴的最高次数为3，且最高次项合并后系数不为0；
选项A：，三次项合并后系数为，不符合；
选项B：，第一项为四次项，关于y的多项式次数为4，不符合；
选项C：，第一项系数为，最高次项为，符合要求；
选项D：，多项式最高次数为1，不符合．
【题型2】判断同类项
1.核心知识点
判断两个单项式或多项式中的项是否为同类项。
2.解题方法技巧
①看所含字母是否相同；
②看相同字母的指数是否相同；
③常数项与常数项是同类项；
④同类项与系数、字母排列顺序无关。
【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D． 与
【答案】C
【详解】解：中的指数是，的指数是；中的指数是，的指数是，相同字母指数不同，故A项不是同类项；
含字母、；只含字母，所含字母不同，故B项不是同类项；
与，所含字母都是、，的指数都是，的指数都是，故项是同类项；
含字母；含字母，所含字母不同，故D项不是同类项．
【变式题2-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）下列单项式中，与 是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项的定义解答，即同类项要同时满足两条：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．
【详解】解：因为含字母 a，b，其中 a 的指数是 2，b 的指数是 1．
A 中 a 的指数是 1、b 的指数是 2，不符合题意；
B 中 a 的指数是 1、b的指数是1，不符合题意；
C中a 的指数是 2，b 的指数是 1，符合题意；
D 中 a，b 的指数都是 2，不符合题意．
【变式题2-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】由于所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，故逐项判断即可．
【详解】解：选项，与所含字母相同，但对应字母的指数不同，故不是同类项；
选项，与所含字母相同，对应字母的指数不同，故不是同类项；
选项，与所含字母相同，且的指数都是，的指数都是，所以是同类项；
选项，与所含字母不同，故不是同类项；
综上所述，选项正确，故答案为．
【变式题2-3】.（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】解：A、是常数，含字母，不是同类项，不符合题意；
B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，符合题意；
C、与中相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意；
D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意．
【题型3】利用同类项的概念求字母的值
1.核心知识点
由两个单项式是同类项，根据相同字母指数相同建立方程求字母的值。
2.解题方法技巧
①分别令相同字母的指数相等，列出方程（组）；
②解方程求出字母的值；
③再代入含字母的代数式求值。
【例题3】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若与的和仍是单项式，则__________．
【答案】5
【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，相同字母的指数必须分别相等．
【详解】解：由题意得，，所以．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若与是同类项，则___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义，两个单项式所含相同字母的指数对应相等，可求出m、n的取值，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵与是同类项，
∴两个单项式中相同字母的指数分别相等，
因此， ；
∴．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）单项式与是同类项，那么________．
【答案】5
【分析】根据同类项定义，相同字母的指数分别相等，列方程求出m、n的值，再计算的结果．
【详解】解：∵ 单项式与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·湖南·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ .
【答案】13
【详解】解：由题意得：单项式 与 是同类项，
∴，，
解得，
∴．
【题型4】去括号与添括号
1.核心知识点
根据去括号、添括号法则正确变形。
2.解题方法技巧
①括号前是“”则各项符号不变；
②括号前是“”则各项符号都改变；
③括号前有数字因数时先乘再按法则去括号；
④多层括号由内向外逐层去掉。
【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则先去掉括号再进行整式的加减运算即可．
【详解】解：，
故选A.
【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）[（______）][（______）]．
【答案】
【分析】把看作一个整体，利用添括号法则对右式变形即可求解．
【详解】解：把看作整体，根据添括号法则，等式右边得，
．
【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”：
（）____________；
（）______．
【答案】
【分析】当括号前为正号，去括号后各项符号不变，当括号前为负号，去括号后各项改变符号，据此解答即可．
【详解】解：（）；
（）．
【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）要使等式成立，内应填的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对等式左边去括号，再调整式子形式与右边对比，即可求出内的项．
【详解】解：，
对比，得．
【题型5】整式的升幂与降幂排列
1.核心知识点
把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）的顺序排列。
2.解题方法技巧
①先确定排列依据是哪一个字母；
②按该字母在各单项式中的指数进行排序，指数从大到小为降幂、从小到大为升幂；
③不含该字母的项（常数项）在升幂排列时放在最前，降幂排列时放在最后；
④排列时各项连同它前面的符号整体移动。
【例题5】.（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）多项式按字母x的升幂排列是______．
【答案】
【详解】解：多项式按字母x的升幂排列是．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把多项式按字母进行降幂排列______．
【答案】
【分析】降幂排列是按指定字母的次数从高到低排列各项，移动项时要保留原项的符号．
【详解】解：先找出多项式各项中的次数：中的次数是，中的次数是，中的次数是，常数项中的次数是，
按的次数从高到低排列各项，得到结果：．
【变式题5-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于、的四次三项式．
(1)直接写出 ；
(2)将此多项式按的升幂重新排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式的项与次数，绝对值，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据多项式的定义，列出方程且，求解即可；
（2）根据多项式按的升幂重新排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是关于、的四次三项式，
∴且，
解得且，
∴．
（2）∵
∴
．
【变式题5-3】.（25-26七年级上·吉林·期中）已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求、的值；
(2)将这个多项式按x的降幂重新排列．
【答案】(1)
，；
(2)
．
【分析】本题考查了多项式的项与次数，单项式的次数，熟练掌握以上定义是解题的关键．
（1）根据关于、的多项式是五次四项式，求出，根据单项式的次数与该多项式的次数相同，可得：，解方程求出的值；
（2）由、的值分别为2、5，可知多项式为，再按的降幂排列即可．
【详解】（1）解：关于、的多项式是五次四项式，
，
解得：，
单项式的次数与该多项式的次数相同，
，
解得：，
、的值分别为2、5；
（2）解：由（1）可知、的值分别为2、5，
多项式为，
按的降幂排列为：．
【培优高频题型】
【题型6】整式的化简求值
1.核心知识点
先化简整式，再代入字母的具体值求值。
2.解题方法技巧
①一化：先去括号、合并同类项；
②二代：代入数值时负数、分数加括号；
③三计算：按运算顺序计算。
【例题6】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，值为6．
【分析】先去括号、合并同类项把式子化成最简，再把 a，b 的值代入，代入负数时要加括号．
【详解】解：
当，时，∴原式．
【变式题6-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，−4
【详解】解：原式
当时，原式．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【详解】解：
，
当，时，
原式．
【题型7】整式加减中的不含某项与无关性问题
1.核心知识点
整式加减后不含某项，或整式的值与某个字母的取值无关，实质是令含该字母（该项）的系数为。
2.解题方法技巧
①先进行整式的加减运算（去括号、合并同类项）；
②“不含某项”即该项系数为；“值与某字母无关”即含该字母的项的系数为；
③列方程求参数的值。
【例题7】.（26-27七年级上·全国·课后作业）多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______．
【答案】4
【分析】将两个多项式相加合并同类项，不含二次项说明二次项的系数为，据此建立等式求解即可．
【详解】解：
相加后不含二次项，
二次项系数等于，即
．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值．
【答案】
【分析】根据多项式不含二次项，令二次项的系数等于0，建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可．
【详解】解：关于的多项式不含二次项，
且，
∴，
∴．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果；
（2）先把结果整理成“含的项常数项”的形式，再令含的项的系数为 0．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
因为它的值与的取值无关，
所以含的项的系数为 0，
即，
解得．
【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），．
(1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
(2)当，时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式与取值无关的条件，令含的项系数为0，列方程求解；
（2）先化简多项式，代入m、n的取值后，结合的表达式计算；
（3）将看作整体，利用已知方程求整体值，代入计算．
【详解】（1）解：先化简多项式：
，
∵多项式的值与的取值无关，
∴项与项的系数均为0，即，
解得；
（2）解：当，时，
代入的表达式得：，
∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【题型8】整式加减中的误看问题
1.核心知识点
看错加减符号后，利用“将错就错”还原多项式并求正确结果。
2.解题方法技巧
①由错误的运算结果反推还原未知多项式；
②如误把“”看成“”，先由求；
③再按正确运算求结果，也可用求解。
【例题8】.（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）把错写成了，结果比原来___（多或少几）．
【答案】少24
【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号法则是关键．
根据题意列式求解即可．
【详解】解：
，
所以把错写成了，结果比原来少24．
故答案为：少24．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京·开学考试）小李把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了字母表示数和乘法分配律，字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面．
根据乘法分配律，将 写成两个乘积的加，即，再与比较即可．
【详解】解：
，
故答案为：B．
【变式题8-2】.（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为．
(1)求多项式；
(2)若的值与a无关，求b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键
（1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可；
（2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
；
（2）解：∵，，
∴
，
∵的值与a无关，
∴，
∴．
【变式题8-3】.（25-26七年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉做一道数学题：
已知两个多项式□，，试求．
其中多项式中最高次项的系数印刷不清楚，嘉嘉看答案以后知道．
(1)请你帮嘉嘉求出多项式中最高次项的系数“□”．
(2)老师又给出了一个多项式，要求计算．嘉嘉在求解时，误把看成，结果求出的答案为．请你帮嘉嘉先求出多项式，再计算．
(3)对于第（2）小题，琪琪说：“不用求出多项式，也能计算的结果．”你同意琪琪的说法吗？如果同意，请写出解题过程；如果不同意，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)同意，解题过程：
设，则．
因为，，
所以
．
【分析】本题考查了整式的加减计算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．
（1）先求出，再由，根据整式的加减运算求解即可；
（2）由，，则，再化简计算即可；
（3）设，则，由，，则，即可求解．
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以
，
所以多项式中最高次项的系数“□”为．
（2）解：因为，，
所以
；
所以
（3）略
【题型9】整式加减中的多结论问题
1.核心知识点
对多个结论逐一判断真伪，常与整式运算、恒等变形结合。
2.解题方法技巧
①逐一化简或代入检验每个结论；
②关注“恒等”“不变”“无关”等关键词；
③用反例排除错误结论。
【例题9】.（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（ ）
当时，； ；
； 中，的系数为偶数，常数项为奇数．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，找出，然后代入计算即可判断；计算即可判断；利用前项和的性质即可判断；分析系数和常数项的奇偶性规律即可判断；解题的关键是利用从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和分别计算验证说法．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
当时，，原说法正确，符合题意；
，
∴
，原说法错误，不符合题意；
∵前项和，由递推得，
∴，原说法正确，符合题意；
设，其中为系数，为常数项，
由，，，，，，，
∴为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，
为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，，
∵，
∴中，的系数为偶数，常数项为奇数，原说法正确，符合题意；
综上，正确，共个，
故选：．
【变式题9-1】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法：
①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数；
②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”；
③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法.
【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数，
① 若化简结果为常数，则，即，
取，则，，为常数，故①正确；
② 若为单项式，则为单项式，分两种情况：
（常数单项式）：，
当时，，则为和，共种排列；
当时，，则为和，共种排列；
当或时，无符合条件的，共种操作；
（一次单项式）：，即，
仅符合，此时可选，共种操作，
两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确；
③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组：
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种，
总共有种结果，故③错误，
综上，正确的有个.
【变式题9-2】.（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）在多项式中，除首尾项外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，．．．，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有12种不同的结果；
③若可以闪退的三项满足： ，则的最小值为．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了整式的混合运算，绝对值的性质，掌握整式的运算是关键．
①通过举例两种不同的闪减操作后的式子作差，验证结果是否不含e项；
②分析每种闪退一项后的结果去绝对值的可能情况，计算不同结果的总数；
③利用绝对值的几何意义确定各变量的最小值，代入表达式求最小值．
【详解】解：闪退“”后的式子为，
闪退“”后的式子为，
∴作差得，结果不含e项，故①正确；
每种闪退一项的操作有四种去绝对值情况，
第一，闪退“”后的式子为：，
去绝对值：当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
第二，闪退“”后的式子为：，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
第三，闪退“”后的式子为，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
综上所述，共有“12种不同的结果”正确，故②正确；
利用绝对值几何意义：最小值为2，此时，又要使的最小，所以取；
最小值为3，此时，又要使的最小，所以取；
最小值为7，此时，又要使的最小，所以取；
代入，故③正确；
综上，①②③正确，共3个，
故选：D ．
【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）有依次排列的2个整式，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法：
①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x系数都为1；
②经过3次操作后，将整式列求和，和为；
③经过7次操作后，将得到128个整式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】观察每次操作后的式子，将每个整式中的常数化为分母相同的分数，可以发现，每个整式中，x的系数均为1，常数项对应的分式的分母为，分子从0，依次到，根据规律判断选项即可．
【详解】解：由题意，初始的两个整式的字母x的系数均为1，在一轮操作后，新得到的整式中的x的系数为，故任一整式均由两个字母x的系数为1的整式相加，再除以2得到，x的系数始终为，无论多少轮操作后，x的系数均为1，①正确；
观察规律，可发现，
第一轮操作后：，即；
第二轮操作后：，即；
第三轮操作后：，即；
类推归纳，第n次操作后：，每个整式中，常数项对应的分式的分母为，分子从0，依次到，共个整式，
故经过3次操作后，求和得，②正确；
经过7次操作后，将得到个整式，③错误．
【压轴素养题型】
【题型10】整式加减中的规律探索
1.核心知识点
观察图形或数字的排列规律，用含的整式表示第个图形的数量。
2.解题方法技巧
①观形法：观察相邻图形变与不变，找基础图形；
②把图形数量转化为数字规律，通常为形式；
③用整式加减运算验证规律。
【例题10】.（2026七年级上·全国·专题练习）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____．
【答案】
【分析】由第个代数式为，第个代数式为，第个代数式为，再进一步归纳即可得到答案．
【详解】解：观察已知代数式可得：
第个代数式为，
第个代数式为，
第个代数式为，
．．．
由此归纳可得，第个代数式中，的次数为，分母为，
因此第个代数式为．
【变式题10-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是按一定规律排列的图形，依照此规律，第4个图形中的小点一共有___________个，第100个图形中的小点一共有___________个．
【答案】
【分析】通过前三个所给的已知图形找出规律以此类推即可．
【详解】解：第一个图形有三个点，可以看成：，
第二个图形有两层，内层三个点，外层六个点，可以看成：，
第三个图形有三层，内层三个点，中层六个点，外层九个点，可以看成：，
由此我们可以归纳，第个图形即有：个点．
当时，即有；
当时，即有．
【变式题10-2】.（26-27七年级上·江西宜春·阶段检测）如图是某月的月历．
(1)十字框中的五个数的和与中间数16有什么关系？
(2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数的倍
(2)解：有这种规律，即五个数的和是中间数的倍．理由如下：
证明：根据月历的排列规律，同一列上下相邻两个数相差，同一行左右相邻两个数相差，
中间数为时，十字框中上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，
五个数的和为，
故五个数的和是中间数的倍．
【分析】（1）首先计算5个数的和，再判断与16的关系即可；
（2）设中间数为时，十字框中上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，列代数式，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
故十字框中的五个数的和是中间数的倍．
（2）解：略．
【变式题10-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）观察下列各式：
，，．
(1)猜想 ．
(2)用你发现的规律计算：
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对比、、这三组等式，发现两个连续整数的倒数之积的相反数，可以拆成前一个数的倒数的相反数加上后一个数的倒数，由此猜想．
（2）运用第（1）问得到的规律，把算式里从到的每一项都拆成一个负分数和一个正分数，与、与…… 一直到与互相抵消，只剩下开头的和末尾的，计算得到．
【详解】（1）解：观察给出的式子：
，
，
，
∴ 猜想：．
（2）解：
．
【题型11】整式加减的实际应用
1.核心知识点
用整式的加减解决行程、面积、购物等实际问题。
2.解题方法技巧
①列代数式表示实际问题中的数量关系；
②进行整式加减运算化简；
③代入数值求值并检验实际意义。
【例题11】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川莼菜是国家地理标志产品．某蔬菜合作社去年莼菜产量为千克，今年改良品种后，产量比去年的2倍还多300千克．
(1)用含的代数式表示今年的产量；
(2)当时，求今年的产量；
(3)若去年的产量增加100千克，今年的产量将增加多少千克？
【答案】(1)千克
(2)千克
(3)今年的产量将增加200千克
【分析】（1）根据题意，去年产量为千克，先表示出去年产量的2倍，再加300，列出代数式；
（2）把代入（1）得到的代数式，计算求值；
（3）先表示出去年产量增加100千克后对应的今年产量，再减去原来今年的产量，求出增加的量．
【详解】（1）解：由题意可得，今年的产量为千克．
（2）解：当时，（千克）．
答：今年的产量为千克．
（3）解：若去年的产量增加100千克，则去年的产量为千克，
今年产量为（千克），
（千克）
答：今年的产量将增加200千克．
【变式题11-1】.（26-27七年级上·广西南宁·期中）如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为，
(1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积：
①三角形花坛的面积为___________
②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π）
(2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π）
(3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3）
【答案】(1)①；②．
(2)
(3)1050元
【分析】（1）①直接利用三角形的面积公式求解即可；②根据圆的面积公式结合已知条件即可解答；
（2）用长方形的面积减去三角形的面积和一个四分之一圆的面积即可；
（3）将代入（2）所得的代数式求得面积，然后求费用即可．
【详解】（1）解：①由题意可知：三角形的面积为；
②由题意可知：四分之一圆花坛的面积为．
（2）解：草坪的面积为．
（3）解：当时，草坪面积为，
物业种植完这块草坪的费用为：元．
【变式题11-2】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下：
阶梯
年用水量（每户）
综合水价（元/）
第一档
不超过的部分
第二档
超过但不超过的部分
第三档
超过的部分
(1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________；
(2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）．
【答案】(1)；；
(2)当时，总水费为元；
当时，总水费为元．
【分析】（1）超过但不超过，根据前两档计费标准计算，当水费为元时，代入即可求解；
（2）根据条件可判断年用水量超过，先计算年水费，再对分和两种情况分别计算年水费．
【详解】（1）解：；
，
解得；
（2）解：，
，
故年的用水量超过，
年的水费为
当时，年的水费为元，
总水费为；
当时，
年的水费为，
总水费为；
故当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元；
当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元．
【变式题11-3】.（26-27七年级上·陕西·期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价
售价
乒乓球拍
30元副
元副
乒乓球
1元个
元个
今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍．
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球．
(1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示）
(2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由．
【答案】(1)方案一花费元，方案二花费元；
(2)解：设计更省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），理由如下：
当，时，
方案一费用：（元），
方案二费用：（元）．
设计的方案费用为：（元），
，
设计的方案更省钱，需花费610元．
【分析】（1）总费用球拍费用球的费用，分别用售价乘以数量即可；
（2）根据规则设计更省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用和方案一、二的费用，并比较即可．
【详解】（1）解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个），
所需费用：
元；
方案二：每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副），
所需费用：
元；
（2）略
【题型12】整式加减中的新定义问题
1.核心知识点
按题目新定义的运算规则进行整式运算。
2.解题方法技巧
①读懂新定义运算的规则；
②把整式按规则代入，注意运算顺序；
③化简后再求值或判断。
【例题12】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为；
（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…
若，则第2026次运算结果是（ ）
A．32 B．8 C．2 D．1
【答案】D
【分析】第2026次运算次数过大，需计算前几次结果找出循环规律，利用周期求解．
【详解】解：记第次运算的结果为，
，
，
，
，
，
可知从第2次运算起，结果以，为循环节，周期为，
∵，，
∴第次运算结果与第次相同，为．
【变式题12-1】.（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数a，b为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)若，，则___________；___________；
(2)有理数6，7是“隔一数对”吗？请说明理由；
(3)计算：；
(4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)有理数6，7是“隔一数对”，理由如下：
，，
，
∴有理数6，7是“隔一数对”；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题干方法计算即可；
（2）计算，，根据题意即可解答；
（3）计算小括号里的式子，即可解答；
（4）将式子按照题干规律化简，再计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）略
（3）解：
；
（4）解：两个连续的非零整数都是“隔一数对”，
．
【变式题12-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称与是关于5的平衡数．
(1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）；
(2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)与是关于5的平衡数，理由如下：
，
所以与是关于5的平衡数．
(3)7
【分析】（1）根据平衡数的定义进行求解即可；
（2）根据整式加减运算法则求出，然后再进行判断即可；
（3）先根据平衡数定义得出，再根据，得出，最后代入数据求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴4与1是关于5的平衡数；
∵，
∴与是关于5的平衡数；
（2）略
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为最大的负整数，
∴，
∴．
【变式题12-3】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究规律，解答相关题目：
小明说：“我定义了一种新运算，叫（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；；；；；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：
①______；②______．
(2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)，计算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为非负数，并把绝对值相加；
（2）根据（加乘）运算的法则计算即可；
（3）可知，，原式，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为非负数，并把绝对值相加．
，
（2）解：
原式
（3）解：根据题意可知，，即
，
原式
易错点
1、判断同类项时只看所含字母相同而忽略相同字母的指数也须相同，如与不是同类项。
2、漏掉单项式系数的符号，如的系数是而非。
3、漏乘括号内某项，去括号时忘记改变括号前为“”的各项符号。
4、合并同类项时把系数相加却把字母和指数也相加，如误为。
5、把不同类的项当成同类项合并，如不能合并为。
6、化简求值时未先化简就代入，或代入负数、分数时不加括号。
7、“不含某项”“与某字母无关”问题中忽略该项系数为这一条件。
重点
1、单项式的系数、次数及多项式的项、次数、常数项的确定。
2、判断同类项并正确合并同类项。
3、掌握去括号、添括号法则。
4、能进行整式的加减运算并化简求值。
难点
1、正确去括号（含符号变化与分配律的应用）。
2、整体代入求代数式的值。
3、不含某项、与某字母无关问题中求参数。
4、新定义、规律探索等创新题型中的整式加减应用。
【对应练习题】
一、单选题
1．下列式子：，，，，，，，中，整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】根据整式定义，注意排除等式与分母含字母的式子，为常数．
【详解】解：整式为单项式与多项式的统称，分母含字母的式子、等式均不是整式，
、、、（为常数）均为单项式，属于整式，
、均为多项式，属于整式，
分母含字母，不是整式，
是等式，不是整式，
综上，整式有、、、、、，共有6个．
2．若式子与式子是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 与是同类项，
，，
解得，，
．
3．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用和减去多项式求出这个多项式，再用所求结果减去即可．
【详解】解：该多项式为
；
所求差为
．
二、填空题
4．若关于x，y的多项式不含项，则的值为________．
【答案】
【分析】多项式不含某一项时该项的系数为0，据此求出的值，再代入计算目标代数式的值．
【详解】解：∵关于，的多项式不含项，
∴项的系数为0，即
解得
∴．
5．一根长为的铁丝，剪下一部分围成一个长为、宽为b的长方形，则这根铁丝还剩下_______．
【答案】/
【分析】先根据长方形的长和宽计算围成长方形所用的铁丝长度，再用铁丝总长度减去所用长度，即可得到剩余铁丝长度．
【详解】解：∵铁丝总长度为，围成的长方形长为、宽为，
∴长方形的周长为，
∴剩余铁丝长度为总长度减去围长方形所用的长度，
即．
6．观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
【答案】
【分析】分别看系数绝对值的规律和符号的规律，再把两者合起来．
【详解】解：∵系数的绝对值依次是，，，，…，
∴第个是，
∵系数的符号依次是正、负、正、负、…，奇数个为正，偶数个为负，
∴系数的符号为．
∴第个单项式的系数是．
三、解答题
7．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)；；
(2)；
【详解】（1）解：
，
；
当时，原式；
（2）解：，
；
当，时，原式．
8．观察下列三行数，并解答后面的问题．
①
4
8
…
②
1
3
5
…
③
0
2
4
…
(1)根据第① 行数的规律，写出其中第6个数：___________，第个数：___________ （用含的代数式表示）；
(2)根据排列规律，分别写出上面三行的第7个数，并计算这三个数的和．
【答案】(1)12，
(2)上面三行数的第7个数分别为，7，6，这三个数的和为
【分析】（1）观察第①行数，发现所给各数的绝对值依次增加2，且正负数相间出现，据此即可解决问题；
（2）观察第②行数，发现所给各数的绝对值依次增加1，且正负数相间出现；观察第②、③两行数发现，第③行的数比第②行对应位置的数小1，据此进行计算即可．
【详解】（1）解：观察第①行数可知， 所给各数的绝对值依次增加2，且正负数相间出现，
所以第①行的第个数可表示为；
当时， 第6个数为．
（2）解：观察第②行数，发现所给各数的绝对值依次增加1，且正负数相间出现；
所以第②行的第个数可表示为；
观察第②、③两行数发现，第③行的数比第②行对应位置的数小1，
所以第③行的第个数可表示为．
当时，
第①行第7个数为；
第②行第7个数为；
第③行第7个数为；
这三个数的和为．
9．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的折出售．
(1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；
(2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？
【答案】(1)总面积：，方案一总金额：万元，方案二总金额：万元
(2)方案一更优惠，优惠万元
【分析】（1）先分别计算各区域面积，再计算总面积；按两种付款方案分别计算购买一套该户型商品房的总金额即可；
（2）将代入方案一和方案二的代数式中，分别计算出两种方案的具体金额，再进行比较即可．
【详解】（1）解：各区域面积：
卫生间面积：（），
厨房面积：（），
客厅面积：（），
卧室面积：（），
总面积：（），
方案一
付费面积：，
总金额：万元．
方案二
总金额：万元．
（2）解：当时，
方案一：万元，
方案二：万元，
优惠：万元．
综上可得：方案一更优惠，优惠万元．
10．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等．
(1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整：
，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
(2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
【答案】(1)；；
(2)
显然能被9整除，
因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除．
【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可；
（2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可．
【详解】（1）解：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
（2）略
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专题3.3整式的加减
知识点1 ：整式的概念
1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式中不含加减运算，分母中不含字母。
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；系数包含前面的符号，单独一个字母的系数为，是常数，是系数的组成部分。
3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；一个非零数的次数为。
4. 多项式：可以看作几个单项式的和的代数式叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
5. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
6. 整式：单项式和多项式统称为整式。
名称
定义
注意
单项式
由数与字母的积组成的代数式
不含加减运算；分母中不含字母；单独数或字母也是单项式
多项式
几个单项式的和
每一项都包括前面的符号；次数取次数最高的项
整式
单项式与多项式的统称
分母中含字母的式子不是整式
知识点2 ：同类项
1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。
2. 两个无关：同类项与系数无关、与字母的排列顺序无关，如与是同类项。
3. 判断方法：先看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否相等，两者同时满足才是同类项。
知识点3 ：合并同类项
1. 定义：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
2. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，简记为“一相加、两不变”。
3. 一般步骤：一找（找出同类项）、二移（运用交换律、结合律把同类项结合）、三合（合并同类项）、四排（结果按某一字母的降幂或升幂排列）。
知识点4 ：去括号与添括号
1. 去括号法则：
括号前的符号
法则
括号前是“”
把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都不改变，如
括号前是“”
把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都要改变，如
括号前有数字因数
先用分配律将括号内各项乘该系数（含符号），再去括号，如
2. 添括号法则：所添括号前面是“”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”，括到括号里的各项都要改变符号，如。
知识点5 ：整式的加减运算
1. 运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去掉括号，然后再合并同类项。
2. 运算依据：整式的加减运算满足各种运算律，其本质是数的运算。
3. 结果要求：不能有同类项，一般不含括号，带分数化成假分数，结果若是多项式一般按某一字母的升幂或降幂排列。
知识点6 ：整式的化简求值
1. 方法：求代数式的值时，若代数式中含有同类项和括号，通常先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算。
2. 步骤：一化（利用整式加减法则将整式化简）、二代（把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子）、三计算（依据有理数运算法则计算）。
【基础必考题型】
【题型1】整式的概念辨析
1.核心知识点
识别单项式、多项式、整式，并确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数。
2.解题方法技巧
①分母中含有字母的式子不是整式，如不是整式；
②单项式的系数包含前面的符号，次数是所有字母的指数和，常数项次数为；
③多项式看项数与次数，次数取次数最高的项的次数，常数项不含字母；
④是常数，不是字母，含的项系数要含。
【例题1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式
C．单项式m的次数是1，没有系数 D．单项式的系数是，次数是4
【变式题1-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）多项式的次数和项数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式题1-2】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）整式是四次三项式，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如果多项式是关于y的三次多项式，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】判断同类项
1.核心知识点
判断两个单项式或多项式中的项是否为同类项。
2.解题方法技巧
①看所含字母是否相同；
②看相同字母的指数是否相同；
③常数项与常数项是同类项；
④同类项与系数、字母排列顺序无关。
【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D． 与
【变式题2-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）下列单项式中，与 是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式题2-3】.（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【题型3】利用同类项的概念求字母的值
1.核心知识点
由两个单项式是同类项，根据相同字母指数相同建立方程求字母的值。
2.解题方法技巧
①分别令相同字母的指数相等，列出方程（组）；
②解方程求出字母的值；
③再代入含字母的代数式求值。
【例题3】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若与的和仍是单项式，则__________．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若与是同类项，则___________．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）单项式与是同类项，那么________．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·湖南·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ .
【题型4】去括号与添括号
1.核心知识点
根据去括号、添括号法则正确变形。
2.解题方法技巧
①括号前是“”则各项符号不变；
②括号前是“”则各项符号都改变；
③括号前有数字因数时先乘再按法则去括号；
④多层括号由内向外逐层去掉。
【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）[（______）][（______）]．
【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”：
（）____________；
（）______．
【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）要使等式成立，内应填的项是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5】整式的升幂与降幂排列
1.核心知识点
把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）的顺序排列。
2.解题方法技巧
①先确定排列依据是哪一个字母；
②按该字母在各单项式中的指数进行排序，指数从大到小为降幂、从小到大为升幂；
③不含该字母的项（常数项）在升幂排列时放在最前，降幂排列时放在最后；
④排列时各项连同它前面的符号整体移动。
【例题5】.（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）多项式按字母x的升幂排列是______．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把多项式按字母进行降幂排列______．
【变式题5-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于、的四次三项式．
(1)直接写出 ；
(2)将此多项式按的升幂重新排列．
【变式题5-3】.（25-26七年级上·吉林·期中）已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求、的值；
(2)将这个多项式按x的降幂重新排列．
【培优高频题型】
【题型6】整式的化简求值
1.核心知识点
先化简整式，再代入字母的具体值求值。
2.解题方法技巧
①一化：先去括号、合并同类项；
②二代：代入数值时负数、分数加括号；
③三计算：按运算顺序计算。
【例题6】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中，．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式题6-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
【题型7】整式加减中的不含某项与无关性问题
1.核心知识点
整式加减后不含某项，或整式的值与某个字母的取值无关，实质是令含该字母（该项）的系数为。
2.解题方法技巧
①先进行整式的加减运算（去括号、合并同类项）；
②“不含某项”即该项系数为；“值与某字母无关”即含该字母的项的系数为；
③列方程求参数的值。
【例题7】.（26-27七年级上·全国·课后作业）多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），．
(1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
(2)当，时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【题型8】整式加减中的误看问题
1.核心知识点
看错加减符号后，利用“将错就错”还原多项式并求正确结果。
2.解题方法技巧
①由错误的运算结果反推还原未知多项式；
②如误把“”看成“”，先由求；
③再按正确运算求结果，也可用求解。
【例题8】.（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）把错写成了，结果比原来___（多或少几）．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京·开学考试）小李把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（ ）
A． B． C． D．
【变式题8-2】.（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为．
(1)求多项式；
(2)若的值与a无关，求b的值．
【变式题8-3】.（25-26七年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉做一道数学题：
已知两个多项式□，，试求．
其中多项式中最高次项的系数印刷不清楚，嘉嘉看答案以后知道．
(1)请你帮嘉嘉求出多项式中最高次项的系数“□”．
(2)老师又给出了一个多项式，要求计算．嘉嘉在求解时，误把看成，结果求出的答案为．请你帮嘉嘉先求出多项式，再计算．
(3)对于第（2）小题，琪琪说：“不用求出多项式，也能计算的结果．”你同意琪琪的说法吗？如果同意，请写出解题过程；如果不同意，请说明理由．
【题型9】整式加减中的多结论问题
1.核心知识点
对多个结论逐一判断真伪，常与整式运算、恒等变形结合。
2.解题方法技巧
①逐一化简或代入检验每个结论；
②关注“恒等”“不变”“无关”等关键词；
③用反例排除错误结论。
【例题9】.（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（ ）
当时，； ；
； 中，的系数为偶数，常数项为奇数．
A． B． C． D．
【变式题9-1】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法：
①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数；
②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”；
③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式题9-2】.（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）在多项式中，除首尾项外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，．．．，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有12种不同的结果；
③若可以闪退的三项满足： ，则的最小值为．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）有依次排列的2个整式，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法：
①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x系数都为1；
②经过3次操作后，将整式列求和，和为；
③经过7次操作后，将得到128个整式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【压轴素养题型】
【题型10】整式加减中的规律探索
1.核心知识点
观察图形或数字的排列规律，用含的整式表示第个图形的数量。
2.解题方法技巧
①观形法：观察相邻图形变与不变，找基础图形；
②把图形数量转化为数字规律，通常为形式；
③用整式加减运算验证规律。
【例题10】.（2026七年级上·全国·专题练习）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____．
【变式题10-1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是按一定规律排列的图形，依照此规律，第4个图形中的小点一共有___________个，第100个图形中的小点一共有___________个．
【变式题10-2】.（26-27七年级上·江西宜春·阶段检测）如图是某月的月历．
(1)十字框中的五个数的和与中间数16有什么关系？
(2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由．
【变式题10-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）观察下列各式：
，，．
(1)猜想 ．
(2)用你发现的规律计算：
．
【题型11】整式加减的实际应用
1.核心知识点
用整式的加减解决行程、面积、购物等实际问题。
2.解题方法技巧
①列代数式表示实际问题中的数量关系；
②进行整式加减运算化简；
③代入数值求值并检验实际意义。
【例题11】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川莼菜是国家地理标志产品．某蔬菜合作社去年莼菜产量为千克，今年改良品种后，产量比去年的2倍还多300千克．
(1)用含的代数式表示今年的产量；
(2)当时，求今年的产量；
(3)若去年的产量增加100千克，今年的产量将增加多少千克？
【变式题11-1】.（26-27七年级上·广西南宁·期中）如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为，
(1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积：
①三角形花坛的面积为___________
②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π）
(2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π）
(3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3）
【变式题11-2】.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下：
阶梯
年用水量（每户）
综合水价（元/）
第一档
不超过的部分
第二档
超过但不超过的部分
第三档
超过的部分
(1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________；
(2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）．
【变式题11-3】.（26-27七年级上·陕西·期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价
售价
乒乓球拍
30元副
元副
乒乓球
1元个
元个
今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍．
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球．
(1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示）
(2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由．
【题型12】整式加减中的新定义问题
1.核心知识点
按题目新定义的运算规则进行整式运算。
2.解题方法技巧
①读懂新定义运算的规则；
②把整式按规则代入，注意运算顺序；
③化简后再求值或判断。
【例题12】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为；
（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…
若，则第2026次运算结果是（ ）
A．32 B．8 C．2 D．1
【变式题12-1】.（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数a，b为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)若，，则___________；___________；
(2)有理数6，7是“隔一数对”吗？请说明理由；
(3)计算：；
(4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，请直接写出的值．
【变式题12-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称与是关于5的平衡数．
(1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）；
(2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值．
【变式题12-3】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究规律，解答相关题目：
小明说：“我定义了一种新运算，叫（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；；；；；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：
①______；②______．
(2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)，计算的值．
易错点
1、判断同类项时只看所含字母相同而忽略相同字母的指数也须相同，如与不是同类项。
2、漏掉单项式系数的符号，如的系数是而非。
3、漏乘括号内某项，去括号时忘记改变括号前为“”的各项符号。
4、合并同类项时把系数相加却把字母和指数也相加，如误为。
5、把不同类的项当成同类项合并，如不能合并为。
6、化简求值时未先化简就代入，或代入负数、分数时不加括号。
7、“不含某项”“与某字母无关”问题中忽略该项系数为这一条件。
重点
1、单项式的系数、次数及多项式的项、次数、常数项的确定。
2、判断同类项并正确合并同类项。
3、掌握去括号、添括号法则。
4、能进行整式的加减运算并化简求值。
难点
1、正确去括号（含符号变化与分配律的应用）。
2、整体代入求代数式的值。
3、不含某项、与某字母无关问题中求参数。
4、新定义、规律探索等创新题型中的整式加减应用。
【对应练习题】
一、单选题
1．下列式子：，，，，，，，中，整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．若式子与式子是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．若关于x，y的多项式不含项，则的值为________．
5．一根长为的铁丝，剪下一部分围成一个长为、宽为b的长方形，则这根铁丝还剩下_______．
6．观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
三、解答题
7．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
8．观察下列三行数，并解答后面的问题．
①
4
8
…
②
1
3
5
…
③
0
2
4
…
(1)根据第① 行数的规律，写出其中第6个数：___________，第个数：___________ （用含的代数式表示）；
(2)根据排列规律，分别写出上面三行的第7个数，并计算这三个数的和．
9．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的折出售．
(1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；
(2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？
10．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等．
(1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整：
，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
(2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
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