4.2 一元一次方程及其解法（2个知识点+7种题型） 讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

4.2 一元一次方程及其解法（2个知识点+7种题型） 一、要点梳理 要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成“1” 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 二、典型例题 【题型1】解一元一次方程 例1.解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】解方程 (1)2（x+8）=3（x-1） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1即可； （2）先去分母，然后去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号得，2x+16=3x-3， 移项得，2x-3x=-3-16， 合并同类项得，-x=-19， 系数化为1得，x=19； （2）解：去分母得，2（x-1）=4-（2x-1）， 去括号得，2x-2=4-2x+1， 移项得，2x+2x=4+1+2， 合并同类项得，4x=7， 系数化为1得，x=． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【变式2】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)x＝5 【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得4y＋3y－6y－7y＝－77＋60， 合并同类项，得－6y＝－17， 系数化为1得：； （2）解：去分母，得，4（x＋1）－5（x＋1）＝－6， 去括号，得，4x＋4－5x－5＝－6， 移项，得4x－5x＝－6＋1， 合并同类项，得：－x＝－5， 系数化为1得：x＝5． 【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【题型2】已知一元一次方程的解，求参数值 例2.若关于x的方程的解和方程的解相同，则a的值为（　　）． A．7 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】求得方程的解，代入到方程中即可求解． 【详解】解：解方程可得， 将代入到方程可得， 解得 故选：C 【点睛】此题考查了方程的解，一元一次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的解． 【变式】已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是关于x的方程的一个解，可得，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个解， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键． 【题型3】同解方程 例3.已知方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A．－26 B．－2 C．2 D．26 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程、求代数式的值；首先求出的解，把解代入中，求得k的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：解方程，得： 由于方程与方程解相同， 把代入中得：， 则； 故选：C． 【变式】方程的解与方程的解相同，求m值． 【答案】m的值是-． 【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可． 【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=， ∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同， 把x=代入， 得：， ∴m=-． 故m的值是-． 【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 【题型4】一元一次方程的整数解问题 例4.已知关于x的方程有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非正整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非正整数 或，1，6时，的解都是非正整数 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式】若关于x的方程有负整数解，则整数m为（  ） A．2或3 B．或2 C．0或 D．、0、2、3 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先把m当做已知数，按照去括号，去分母，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解该方程，再根据解为负整数，得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∵方程有负整数解， ∴或， 当时，， 当时，， 故选：C． 【题型5】一元一次方程的解与参数无关型问题 例5.已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk）， ∴2kx-2a=6-6x-3bk， 整理得（2x+3b）k+6x=2a+6， ∵无论k为何值，方程的解总是2， ∴2a+6=6×2，2×2+3b=0， 解得a=3，， ∴． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键． 【变式】已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 【答案】6 【分析】先去分母，把方程化为，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解：， 方程两边都乘6，去分母得 ， 整理得：， ∵无论k为何值，方程的解总是， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键． 【题型6】探究一元一次方程组解的情况 例6.已知：，． (1)当取何值时，与的值相等？ (2)是否存在这样的值，使与的值互为相反数．如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，与的值相等 (2)故不存在这样的值，使与的值互为相反数，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据，列出关于的等式即可求出； （2）根据与互为相反数，列出关于的等式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故当时，； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 该方程无解， 故不存在这样的值，使与的值互为相反数． 【变式】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将 变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或； （3）解：∵， ， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：， 关于y的一元一次方程可化为：， ， ． 【题型7】含绝对值的一元一次方程的解法 例7.根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为： 2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=0.5 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-4.5 故，方程|2x+4|＝5的解为x=0.5或x=-4.5 (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据绝对值的意义解方程即可； （2）将看作一个整体，根据绝对值的意义先求出a+b的值，然后再求其绝对值即可． 【详解】（1）|3x−2|＝4 解：方程可化为：或， 当时，则有，所以， 当时，则有，所以， 故方程|3x−2|＝4的解为：或． （2）|a＋b＋4|＝16， 方程可变为：a＋b＋4＝16或a＋b＋4＝−16， 解得a＋b＝12或a＋b＝−20， 所以|a＋b|＝12或20， 答：|a＋b|的值为12或20． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义． 【变式】阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）类比解法一即可求解； （2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解． 【详解】（1）解：移项得， 合并得， 两边同时除以得， 所以， 所以或； （2）解：当时，原方程可化为，解得，符合； 当时,原方程可化为，解得，符合； 当时，原方程可化为，解得，不符合． 所以原方程的解为或． 【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论． 1 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【变式】方程的解与方程的解相同，求m值． 【题型4】一元一次方程的整数解问题 例4.已知关于x的方程有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式】若关于x的方程有负整数解，则整数m为（  ） A．2或3 B．或2 C．0或 D．、0、2、3 【题型5】一元一次方程的解与参数无关型问题 例5.已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ． 【变式】已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 【题型6】探究一元一次方程组解的情况 例6.已知：，． (1)当取何值时，与的值相等？ (2)是否存在这样的值，使与的值互为相反数．如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【变式】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【题型7】含绝对值的一元一次方程的解法 例7.根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为： 2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=0.5 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-4.5 故，方程|2x+4|＝5的解为x=0.5或x=-4.5 (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； 【变式】阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $