随机事件概率专题讲义 2026-2027学年数学人教版九年级下册

本讲义系统梳理随机事件与概率的核心知识，从确定事件、随机事件的分类及概率意义入手，到用列表法、树状图法求等可能事件概率，再到用频率估计不规则事件概率，最后结合几何与统计综合应用，构建完整知识支架。 资料以2027中考素养为导向，设计湛江本地情境题（如湖光岩竞赛抽选）培养数据意识，通过抛骰子、图钉试验等合作探究发展抽象能力与推理意识，易错辨析强化严谨思维。课中活动提升课堂互动，课后变式训练与综合练习助力学生查漏补缺，巩固知识。

人教版数学九年级下册 第34章 随机事件的概率 全章讲义 （学生版 · 对接2027年中考素养导向 · 原创命制） 全章知识结构一览表 小节 核心内容 主要方法 2027中考高频考法 34.1 随机事件与概率 确定事件、随机事件、概率意义与范围 大量重复试验、可能性刻画 事件类型判断、概率取值范围 34.2 用列举法求概率 等可能事件、列表法、树状图法 枚举所有等可能结果 两步及以上试验求概率、公平性 34.3 用频率估计概率 频率与概率关系、用频率估计概率 大量试验频率稳定值 不规则物体概率估计 章末综合 概率与几何、统计综合 数形结合、建模思想 概率与面积、决策与方案选择 34.1 随机事件与概率 一、概念梳理 1. 事件的分类（在一定条件下观察结果是否预先可知）： 事件类型 含义 举例 必然事件 条件确定时结果一定会发生 太阳从东方升起; 标准大气压下100℃水沸腾 不可能事件 条件确定时结果一定不会发生 掷骰子出现点数7; 常温下铁熔化 随机事件 条件确定时结果可能发生也可能不发生 射击运动员命中靶心; 明日湛江有雨 确定事件 必然事件与不可能事件的统称 上两类合称确定事件 2. 概率的意义与取值范围：一般地，对于事件A，刻画它发生可能性大小的数值P(A)称为概率。 事件A 概率P(A)的范围 特殊值 必然事件 P(A)=1 1 不可能事件 P(A)=0 0 随机事件 0<P(A)<1 介于0与1之间 核心提示：随机事件发生的可能性大小是可测量的，概率正是对这种可能性大小的数量刻画。 二、典例精讲 【典例1】判断下列事件的类型（必然/不可能/随机）： ① 任意写出一个偶数，它能被2整除；② 从一副去掉大小王的扑克中抽一张抽到红桃K；③ 一个实心铁球放入清水中会上浮；④ 湛江明日会下雨。 ______________________________________________ 【典例2】袋子中装有2个红球、3个黄球（除颜色外相同），随机摸出1个球。求：(1)摸到红球的概率；(2)摸到蓝球的概率；(3)摸到不是绿球的概率。 ______________________________________________ ______________________________________________ 三、变式训练 变式1　下列事件：①某运动员投篮命中；②抛一枚均匀硬币正面朝上；③一个三角形的内角和为180°；④从装有白球的袋中摸出红球。其中是随机事件的有____个。 变式2　袋中红、白、黑三色共10个球，若P(红)=0.3，P(白)=0.4，则黑球有____个。 变式3　"任意一个数的绝对值是非负数"是____事件；"袋中只有红球，摸出一个白球"是____事件。 四、易错辨析 判断下列说法是否正确： ① "明天降水概率为90%"，说明明天一定会下雨。 ② 某彩票中奖率为1%，买100张就一定能中奖。 ______________________________________________ 五、合作探究 活动：全班分4组，每组用一枚均匀骰子连续抛20次，记录"点数不小于5"的次数并计算频率，汇总填入下表，观察趋势。 组别 抛掷总次数 点数≥5的次数 频率 第1组 20 第2组 20 第3组 20 第4组 20 全班合计 80 34.2 用列举法求概率 一、概念梳理 当一次试验所有可能结果只有有限个，且每个结果出现可能性都相等（等可能性事件）时，可用列举法： P(A) = 事件A包含的结果数 m ÷ 所有等可能结果总数 n 列举的两种基本方法： 方法 适用情形 关键要点 列表法 试验涉及两个因素(如两枚骰子、两次抽牌) 行列对应两个因素, 避免遗漏重复 树状图法 涉及两个及以上步骤的试验 每一步分枝完整, 结果沿路径读取 二、典例精讲 【典例3】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。 图34-3 两枚硬币全部等可能结果（树状图） ______________________________________________ 【典例4】同时掷两枚质地均匀的骰子，用列表法求两枚骰子点数之和为8的概率。 图34-5 两枚骰子点数之和的列表（共36种等可能结果） ______________________________________________ 三、变式训练 图34-4 不透明袋中装有颜色不同的球 变式4　如图34-4，袋中有2红2蓝2绿共6个球，随机摸出一个。求：(1)摸到红球概率；(2)摸到蓝球或绿球的概率。 变式5　从甲、乙、丙三名同学中随机选取2名参加活动，用列表或树状图求恰好选中甲和乙的概率。 变式6　掷一枚骰子两次，用树状图求两次点数之和大于9的概率。 四、易错辨析 辨析：有人说"同时掷两枚骰子，点数之和从2到12共11种可能，所以和为7的概率是1/11"。这个说法对吗？ ______________________________________________ 五、合作探究 图34-2 自由转动的转盘（红60°、蓝120°、绿90°、黄90°） 活动：如图34-2转盘自由转动后停止，计算指针指向各色区域的概率。判断：转盘对"红色方"和"蓝色方"是否公平？ 34.3 用频率估计概率 一、概念梳理 当试验所有等可能结果无法用列举法确定时（如不规则图钉、幼树移植），用大量重复试验中事件发生的频率去估计概率。 比较项 频率 概率 定义 n次试验中事件发生次数m与n之比 m/n 刻画事件发生可能性大小的确定数值 特点 随试验次数变化, 随机波动 客观存在, 不随试验改变 联系 大量重复试验时频率稳定于概率 概率是频率的稳定值 频率的稳定性：随试验次数不断增大，频率在概率附近摆动并逐渐稳定，这是用频率估计概率的理论依据。 二、典例精讲 图34-1 抛硬币"正面朝上"频率随次数趋于0.5 【典例5】某校生物小组对某种幼树移植成活情况进行试验，记录如下： 移植总数n 50 100 200 400 800 1500 3000 成活数m 42 88 172 338 671 1259 2522 成活频率m/n 0.84 0.88 0.86 0.845 0.839 0.839 0.841 估计该幼树移植成活的概率（保留两位小数），并说明若移植5000棵大约能成活多少棵。 ______________________________________________ ______________________________________________ 三、变式训练 变式7　某射击运动员同一条件下射击：100发命中87次、200发命中173次、500发命中436次。估计命中概率，并判断1000发大约命中多少发。 变式8　从一批乒乓球中抽检优等品：抽100个优等品90个、300个优等品272个、600个优等品545个。估计为优等品的概率。 四、易错辨析 辨析：某同学抛硬币10次出现6次正面，断定"正面朝上的概率是0.6"。结论可靠吗？为什么？ ______________________________________________ 五、合作探究 活动：全班用一枚图钉从课桌抛落100次，记录"钉尖向上"次数，汇总估算概率。讨论：图钉为何不能用列举法而必须用频率估计？ 本章总结与2027年中考备考 一、核心方法与易错点一览表 知识模块 核心方法 高频易错点 随机事件 按结果是否预先确定分类 把概率大误当必然发生 列举法求概率 列表法、树状图法, P=m/n 忽视等可能前提; 两步试验漏结果 频率估计概率 大量重复试验, 取频率稳定值 试验次数太少就下结论; 混淆频率与概率 概率应用 公平性判断、与面积统计综合 游戏公平性只比次数不比概率 二、2027年中考命题趋势 ① 情境化：概率与湛江本地生活（转盘抽奖、抽号、抽签、抽检合格率、游戏设计）结合，突出应用与建模。 ② 综合化：概率与统计图表、几何面积结合（几何概率、平均数与概率混合）成为压轴小问常见形式。 ③ 素养导向：强调用数据说话的决策题、游戏公平性说理题，考查推理与数据观念。 三、章末综合练习 （一）选择题 1. 下列事件为随机事件的是（　）A.负数小于零 B.打开电视正在播天气预报 C.三角形内角和为360° D.水中月亮比天上大 2. 袋中3红2白共5球随机摸1个，摸到白球概率为（　）A.2/5 B.3/5 C.1/2 D.1/5 3. 同时掷两枚骰子，点数之和最小的概率是（　）A.1/36 B.1/6 C.2/36 D.1/12 4. 用频率估计概率，下列说法正确的是（　）A.频率就是概率 B.试验10次即可估准 C.大量重复试验时频率趋于概率 D.概率随试验改变 （二）填空题 5. "任意画一个矩形，它的对角线相等"是____事件。 6. 甲乙从写有1、2、3的签中各抽一签（不放回），甲抽到1的概率为____。 7. 某种种子发芽试验中频率稳定在0.92附近，估计发芽概率约为____。 8. 转盘红色占90°，自由转动指向红色的概率为____。 （三）解答题 9. 袋中红球、黄球共20个（除颜色外相同），随机摸1个，摸到红球频率稳定在0.25附近。(1)估计摸到红球概率；(2)估计红球、黄球各有多少个。 ______________________________________________ ______________________________________________ 10. 转盘促销：转盘等分成8份，其中1份一等奖、2份二等奖、3份纪念奖，其余不中奖。(1)求获得二等奖概率；(2)小明说"纪念奖份数最多，所以中纪念奖可能性比不中奖大"，判断对错。 ______________________________________________ ______________________________________________ 11.（湛江情境·2027模拟）湖光岩景区开展垃圾分类知识竞赛，从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽2名代表。(1)用列表或树状图列出所有等可能结果；(2)求恰好抽到甲和丙的概率。 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ —— 第34章 概率 全章讲义 完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版数学九年级下册 第34章 随机试讲的概率 全章讲义 （教师版 · 对接2027年中考素养导向 · 原创命制） 全章知识结构一览表 小节 核心内容 主要方法 2027中考高频考法 34.1 随机事件与概率 确定事件、随机事件、概率意义与范围 大量重复试验、可能性刻画 事件类型判断、概率取值范围 34.2 用列举法求概率 等可能事件、列表法、树状图法 枚举所有等可能结果 两步及以上试验求概率、公平性 34.3 用频率估计概率 频率与概率关系、用频率估计概率 大量试验频率稳定值 不规则物体概率估计 章末综合 概率与几何、统计综合 数形结合、建模思想 概率与面积、决策与方案选择 34.1 随机事件与概率 一、概念梳理 1. 事件的分类（在一定条件下观察结果是否预先可知）： 事件类型 含义 举例 必然事件 条件确定时结果一定会发生 太阳从东方升起; 标准大气压下100℃水沸腾 不可能事件 条件确定时结果一定不会发生 掷骰子出现点数7; 常温下铁熔化 随机事件 条件确定时结果可能发生也可能不发生 射击运动员命中靶心; 明日湛江有雨 确定事件 必然事件与不可能事件的统称 上两类合称确定事件 2. 概率的意义与取值范围：一般地，对于事件A，刻画它发生可能性大小的数值P(A)称为概率。 事件A 概率P(A)的范围 特殊值 必然事件 P(A)=1 1 不可能事件 P(A)=0 0 随机事件 0<P(A)<1 介于0与1之间 核心提示：随机事件发生的可能性大小是可测量的，概率正是对这种可能性大小的数量刻画。 二、典例精讲 【典例1】判断下列事件的类型（必然/不可能/随机）： ① 任意写出一个偶数，它能被2整除；② 从一副去掉大小王的扑克中抽一张抽到红桃K；③ 一个实心铁球放入清水中会上浮；④ 湛江明日会下雨。 【思路分析】 看结果是否预先确定：一定发生→必然；一定不发生→不可能；可能发生也可能不发生→随机。 【解答】 ①必然事件；②随机事件；③不可能事件；④随机事件。 【典例2】袋子中装有2个红球、3个黄球（除颜色外相同），随机摸出1个球。求：(1)摸到红球的概率；(2)摸到蓝球的概率；(3)摸到不是绿球的概率。 【思路分析】 共5个球且等可能，用 P=所求结果数÷总结果数。 【解答】 (1)P(红)=2/5；(2)无蓝球，P(蓝)=0；(3)无绿球，"不是绿球"是必然事件，P=1。 三、变式训练 变式1　下列事件：①某运动员投篮命中；②抛一枚均匀硬币正面朝上；③一个三角形的内角和为180°；④从装有白球的袋中摸出红球。其中是随机事件的有____个。 【答案】 2 个（①②）；③必然，④不可能。 变式2　袋中红、白、黑三色共10个球，若P(红)=0.3，P(白)=0.4，则黑球有____个。 【答案】 10×(1-0.3-0.4)=3 个。 变式3　"任意一个数的绝对值是非负数"是____事件；"袋中只有红球，摸出一个白球"是____事件。 【答案】 必然；不可能。 四、易错辨析 判断下列说法是否正确： ① "明天降水概率为90%"，说明明天一定会下雨。 ② 某彩票中奖率为1%，买100张就一定能中奖。 【判断与纠错】 ①错。90%只表示可能性很大，随机事件不因概率大就必然发生。 ②错。中奖率1%是每张中奖的可能性，每张相互独立，100张不保证中奖。 五、合作探究 活动：全班分4组，每组用一枚均匀骰子连续抛20次，记录"点数不小于5"的次数并计算频率，汇总填入下表，观察趋势。 组别 抛掷总次数 点数≥5的次数 频率 第1组 20 第2组 20 第3组 20 第4组 20 全班合计 80 【设计意图与教学建议】 通过真实动手感受"频率在0.33附近摆动"，为用频率估计概率埋伏笔；先各组汇报再引导发现次数越大频率越稳。 34.2 用列举法求概率 一、概念梳理 当一次试验所有可能结果只有有限个，且每个结果出现可能性都相等（等可能性事件）时，可用列举法： P(A) = 事件A包含的结果数 m ÷ 所有等可能结果总数 n 列举的两种基本方法： 方法 适用情形 关键要点 列表法 试验涉及两个因素(如两枚骰子、两次抽牌) 行列对应两个因素, 避免遗漏重复 树状图法 涉及两个及以上步骤的试验 每一步分枝完整, 结果沿路径读取 二、典例精讲 【典例3】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。 图34-3 两枚硬币全部等可能结果（树状图） 【思路分析】 由树状图知全部4种等可能结果，其中"一正一反"有(正,反)(反,正)共2种。 【规范解答】 P(一正一反)=2/4=1/2。 【典例4】同时掷两枚质地均匀的骰子，用列表法求两枚骰子点数之和为8的概率。 图34-5 两枚骰子点数之和的列表（共36种等可能结果） 【思路分析】 列表共36种等可能结果，和为8的有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共5种。 【规范解答】 P(和为8)=5/36。 三、变式训练 图34-4 不透明袋中装有颜色不同的球 变式4　如图34-4，袋中有2红2蓝2绿共6个球，随机摸出一个。求：(1)摸到红球概率；(2)摸到蓝球或绿球的概率。 【答案】 (1)2/6=1/3；(2)4/6=2/3。 变式5　从甲、乙、丙三名同学中随机选取2名参加活动，用列表或树状图求恰好选中甲和乙的概率。 【答案】 无序共3种{甲乙}{甲丙}{乙丙}，P=1/3。 变式6　掷一枚骰子两次，用树状图求两次点数之和大于9的概率。 【答案】 和>9即10,11,12共6种，P=6/36=1/6。 四、易错辨析 辨析：有人说"同时掷两枚骰子，点数之和从2到12共11种可能，所以和为7的概率是1/11"。这个说法对吗？ 【判断与纠错】 错。列举法要求每种结果等可能，而各和并不等可能：和为7由6种组合构成，和为2只有(1,1)一种。应枚举36种基本结果，P(和为7)=6/36=1/6。 五、合作探究 图34-2 自由转动的转盘（红60°、蓝120°、绿90°、黄90°） 活动：如图34-2转盘自由转动后停止，计算指针指向各色区域的概率。判断：转盘对"红色方"和"蓝色方"是否公平？ 【设计意图与教学建议】 P(红)=60/360=1/6，P(蓝)=120/360=1/3，两方获胜概率不等→不公平；渗透几何概率思想与公平性判断。 34.3 用频率估计概率 一、概念梳理 当试验所有等可能结果无法用列举法确定时（如不规则图钉、幼树移植），用大量重复试验中事件发生的频率去估计概率。 比较项 频率 概率 定义 n次试验中事件发生次数m与n之比 m/n 刻画事件发生可能性大小的确定数值 特点 随试验次数变化, 随机波动 客观存在, 不随试验改变 联系 大量重复试验时频率稳定于概率 概率是频率的稳定值 频率的稳定性：随试验次数不断增大，频率在概率附近摆动并逐渐稳定，这是用频率估计概率的理论依据。 二、典例精讲 图34-1 抛硬币"正面朝上"频率随次数趋于0.5 【典例5】某校生物小组对某种幼树移植成活情况进行试验，记录如下： 移植总数n 50 100 200 400 800 1500 3000 成活数m 42 88 172 338 671 1259 2522 成活频率m/n 0.84 0.88 0.86 0.845 0.839 0.839 0.841 估计该幼树移植成活的概率（保留两位小数），并说明若移植5000棵大约能成活多少棵。 【思路分析】 随n增大成活频率在0.84附近摆动，取稳定值0.84作估计。 【规范解答】 P(成活)≈0.84；成活约5000×0.84=4200（棵）。 三、变式训练 变式7　某射击运动员同一条件下射击：100发命中87次、200发命中173次、500发命中436次。估计命中概率，并判断1000发大约命中多少发。 【答案】 频率0.87、0.865、0.872，稳定于0.87；1000×0.87≈870发。 变式8　从一批乒乓球中抽检优等品：抽100个优等品90个、300个优等品272个、600个优等品545个。估计为优等品的概率。 【答案】 频率0.90、0.907、0.908，稳定于约0.91，故P(优等品)≈0.91。 四、易错辨析 辨析：某同学抛硬币10次出现6次正面，断定"正面朝上的概率是0.6"。结论可靠吗？为什么？ 【判断与纠错】 不可靠。10次太少，频率随机波动大不足以估计概率；均匀硬币正面概率应为0.5。 五、合作探究 活动：全班用一枚图钉从课桌抛落100次，记录"钉尖向上"次数，汇总估算概率。讨论：图钉为何不能用列举法而必须用频率估计？ 【设计意图与教学建议】 图钉结构不规则，钉尖向上/向下非等可能结果，无法直接m/n列举；体会频率估计概率的必要性，发展数据意识与建模素养。 本章总结与2027年中考备考 一、核心方法与易错点一览表 知识模块 核心方法 高频易错点 随机事件 按结果是否预先确定分类 把概率大误当必然发生 列举法求概率 列表法、树状图法, P=m/n 忽视等可能前提; 两步试验漏结果 频率估计概率 大量重复试验, 取频率稳定值 试验次数太少就下结论; 混淆频率与概率 概率应用 公平性判断、与面积统计综合 游戏公平性只比次数不比概率 二、2027年中考命题趋势 ① 情境化：概率与湛江本地生活（转盘抽奖、抽号、抽签、抽检合格率、游戏设计）结合，突出应用与建模。 ② 综合化：概率与统计图表、几何面积结合（几何概率、平均数与概率混合）成为压轴小问常见形式。 ③ 素养导向：强调用数据说话的决策题、游戏公平性说理题，考查推理与数据观念。 三、章末综合练习 （一）选择题 1. 下列事件为随机事件的是（　）A.负数小于零 B.打开电视正在播天气预报 C.三角形内角和为360° D.水中月亮比天上大 【答案】 B。A必然，C、D不可能。 2. 袋中3红2白共5球随机摸1个，摸到白球概率为（　）A.2/5 B.3/5 C.1/2 D.1/5 【答案】 A。 3. 同时掷两枚骰子，点数之和最小的概率是（　）A.1/36 B.1/6 C.2/36 D.1/12 【答案】 A。和最小为2仅(1,1)一种。 4. 用频率估计概率，下列说法正确的是（　）A.频率就是概率 B.试验10次即可估准 C.大量重复试验时频率趋于概率 D.概率随试验改变 【答案】 C。 （二）填空题 5. "任意画一个矩形，它的对角线相等"是____事件。 【答案】 必然。 6. 甲乙从写有1、2、3的签中各抽一签（不放回），甲抽到1的概率为____。 【答案】 1/3。 7. 某种种子发芽试验中频率稳定在0.92附近，估计发芽概率约为____。 【答案】 0.92。 8. 转盘红色占90°，自由转动指向红色的概率为____。 【答案】 90/360=1/4。 （三）解答题 9. 袋中红球、黄球共20个（除颜色外相同），随机摸1个，摸到红球频率稳定在0.25附近。(1)估计摸到红球概率；(2)估计红球、黄球各有多少个。 【规范解答】 (1)P(红)≈0.25；(2)红球20×0.25=5个，黄球20-5=15个。 10. 转盘促销：转盘等分成8份，其中1份一等奖、2份二等奖、3份纪念奖，其余不中奖。(1)求获得二等奖概率；(2)小明说"纪念奖份数最多，所以中纪念奖可能性比不中奖大"，判断对错。 【规范解答】 (1)P(二等奖)=2/8=1/4；(2)不中奖=8-1-2-3=2份，P(不中奖)=2/8=1/4，P(纪念奖)=3/8>1/4，小明正确。 11.（湛江情境·2027模拟）湖光岩景区开展垃圾分类知识竞赛，从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽2名代表。(1)用列表或树状图列出所有等可能结果；(2)求恰好抽到甲和丙的概率。 【规范解答】 (1)无序共6种{甲乙}{甲丙}{甲丁}{乙丙}{乙丁}{丙丁}；(2)P(甲和丙)=1/6。 —— 第34章 概率 全章讲义 完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $