专题02图形的相似同步冲刺讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题02图形的相似同步冲刺讲义 【题型01 比例的性质】............................................3 【题型02 比例线段】..............................................6 【题型03 成比例线段】............................................8 【题型04 相似图形】.............................................10 【题型05 相似多边形】...........................................12 【题型06 相似多边形的性质】.....................................16 【题型07 由平行判断成比例的线段】...............................19 【题型08 由平行截线求相关线段的长或比值】.......................21 【题型09 黄金分割】.............................................25 【解答题4题】...................................................27 ★知识梳理 知识点01:相似图形 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 特征： 只与形状有关，与大小、位置、方向无关。 全等图形是特殊的相似图形（相似比＝1） 知识点02:成比例线段 对于四条线段 a,b,c,d，若 则这四条线段叫做成比例线段。 比例的基本性质 ⟺ad=bc 合比性质 ⟹​​ 等比性质 若⋯(b+d+⋯+n0)， 则 知识点03:相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似。 2.相似多边形的性质 对应角相等； 对应边成比例。 3.相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若甲：乙相似比为 k，则乙：甲相似比为 。 4.判定多边形相似（必须同时满足） ① 边数相同；② 对应角相等；③ 对应边成比例。 5.常用结论 所有等边三角形相似； 所有正方形相似； 所有正 n 边形相似； 矩形之间、菱形之间不一定相似。 知识点04:黄金分割 1.定义 在线段 AB 上有一点 C（AC>BC），若 则点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2.黄金比 ≈0.618 3.数量关系 设 AB=1，AC>BC： AC​,BC 4.易错点 (1)一条线段有 2 个黄金分割点； (2)要看清题目是较长段还是较短段； (3)黄金分割只看比例，与长度单位无关。 【题型1.比例的性质】 【典例】已知，那么________． 【答案】/2.5 【分析】根据已知比例关系变形，再将所求分式拆分，代入计算即可得到结果． 【详解】解：由可得，且， 则． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则一次函数必经过的第____________象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据比例的性质求得k值，然后根据一次函数图象与系数的关系作出选择． 【详解】解：由可得： ① ② ③ 由得： ， （1）当时； ∴一次函数的解析式是：， ∴该函数经过第一、二、三象限； （2）当时，，④ 将④代入③，得：； 又∵， ∴， ∴一次函数的解析式是：； 该函数经过第二、三、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二、三象限； 故答案为二、三． 【跟踪专练3】定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所给新定义逐项列式计算即可，判断②时注意分式的分母不能为0，判断③时注意裂项相消，判断④时注意分和两种情况，利用等式的性质求解． 【详解】解：①，故①正确； ②，则，化简得， 解得或，根据得， ，故②错误； ③ ， 故③正确； ④若， 则， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， 故④错误； 综上可知，正确的是①③， 故选B． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解分式方程，等式的性质，有理数的混合运算等，解题的关键是理解新定义的运算法则． 【题型2.比例线段】 【典例】已知线段，，如果线段b是线段a、c的比例中项，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：∵线段，，如果线段b是线段a、c的比例中项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】已知点B在线段上，且，若，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x， ∵线段是和的比例中项， ∴AP2=PB·AB，即x2=1－x， ∴x2+x－1=0， 解得：，（舍去）， ∴PB=1－= ， ∴ ，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 【题型3.成比例线段】 【典例】已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键． 根据成比例的线段的定义进行判断作答即可． 【详解】解：设这条线段为d， 根据题意可以是：， ∴， ∴ ， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是______米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 【跟踪专练3】若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为(　　) A．3 cm B．±3 cm C．±18 cm D．18 cm 【答案】A 【详解】根据比例中项的概念，得c2=ab=6×3，则可求c=±3，由线段的非负性可知c=3． 故选A 点睛：本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 【题型4.相似图象】 【典例】将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 【跟踪专练1】下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． .C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 【题型5.相似多边形】 【典例】对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是______ 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 【跟踪专练1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 【跟踪专练2】如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．    【答案】= 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 【题型6.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形，若 ，则____度． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， 又，，， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 ，...即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律. 【详解】解: ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ∴三角形的边长分别为 即相邻三角形相似比为: 1: 2, 即相邻三角形面积比为: 1: 4, ∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为: ∴第n个纸板的面积为: ∴第2020个纸板的面积为: 故选：B 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键. 【题型7.由平行判断成比例的线段】 【典例】如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①∵MN ∥ BC，∴  AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴  AD：DM = AN：NC ，再由（1）得  AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C． 点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【题型8.由平行截线求相关线段的长或比值】 【典例】如图是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图，已知最上层与中间层的垂直距离，中间层与最下层的垂直距离，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【跟踪专练1】如图，，，点在上，交于点，点在上，，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，得到；再根据，利用平行线分线段成比例求出；最后由结合，可知是直角三角形，用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴，即， 解得． ∵，， ∴，即是直角三角形， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 【答案】 ４ 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，点的轨迹等知识，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）过点D作交于点，得得，由得，设，则，求出，由得； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为；再分别求出的面积和的面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 过点D作交于点，如图， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∴， ∵, ∴； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积， ∴四边形面积的最大值为； 故答案为：4；． 【跟踪专练3】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【题型9.黄金分割】 【典例】大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，是解题的关键．根据，，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据黄金分割比的定义，用线段总长乘以可求出线段的长度． 【详解】解：点恰好是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长为___________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案. 【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm， 可得， 解得. 由已知可得， 解得. 综上，此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选：B 【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键. 【解答题】 1．如图，已知中，，，，．求线段的长； 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理—由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 由平行线分线段成比例定理可得，代入题中条件即可得解． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 2．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？过点作的垂线，并在垂线上取；连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理，若，求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理和解一元二次方程．掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 所以点为黄金分割点． 由作图可知， ． 即． 3．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 4．已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02图形的相似同步冲刺讲义 【题型01 比例的性质】............................................3 【题型02 比例线段】..............................................4 【题型03 成比例线段】............................................4 【题型04 相似图形】..............................................4 【题型05 相似多边形】............................................5 【题型06 相似多边形的性质】......................................6 【题型07 由平行判断成比例的线段】................................7 【题型08 由平行截线求相关线段的长或比值】........................8 【题型09 黄金分割】..............................................9 【解答题4题】...................................................10 ★知识梳理 知识点01:相似图形 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 特征： 只与形状有关，与大小、位置、方向无关。 全等图形是特殊的相似图形（相似比＝1） 知识点02:成比例线段 对于四条线段 a,b,c,d，若 则这四条线段叫做成比例线段。 比例的基本性质 ⟺ad=bc 合比性质 ⟹​​ 等比性质 若⋯(b+d+⋯+n0)， 则 知识点03:相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似。 2.相似多边形的性质 对应角相等； 对应边成比例。 3.相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若甲：乙相似比为 k，则乙：甲相似比为 。 4.判定多边形相似（必须同时满足） ① 边数相同；② 对应角相等；③ 对应边成比例。 5.常用结论 所有等边三角形相似； 所有正方形相似； 所有正 n 边形相似； 矩形之间、菱形之间不一定相似。 知识点04:黄金分割 1.定义 在线段 AB 上有一点 C（AC>BC），若 则点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2.黄金比 ≈0.618 3.数量关系 设 AB=1，AC>BC： AC​,BC 4.易错点 (1)一条线段有 2 个黄金分割点； (2)要看清题目是较长段还是较短段； (3)黄金分割只看比例，与长度单位无关。 【题型1.比例的性质】 【典例】已知，那么________． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【跟踪专练2】已知，则一次函数必经过的第____________象限． 【跟踪专练3】定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2.比例线段】 【典例】已知线段，，如果线段b是线段a、c的比例中项，那么_______． 【跟踪专练1】下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【跟踪专练2】已知点B在线段上，且，若，则线段______． 【跟踪专练3】已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.成比例线段】 【典例】已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【跟踪专练2】在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是______米（用科学记数法表示）． 【跟踪专练3】若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为(　　) A．3 cm B．±3 cm C．±18 cm D．18 cm 【题型4.相似图象】 【典例】将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【跟踪专练1】下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． .C． D． 【跟踪专练2】如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个． 【跟踪专练3】学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.相似多边形】 【典例】对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是______ 【跟踪专练1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【跟踪专练2】如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．    【跟踪专练3】某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【题型6.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形，若 ，则____度． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【跟踪专练3】有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【题型7.由平行判断成比例的线段】 【典例】如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为_________． 【跟踪专练1】如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.由平行截线求相关线段的长或比值】 【典例】如图是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图，已知最上层与中间层的垂直距离，中间层与最下层的垂直距离，，若，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，，，点在上，交于点，点在上，，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 【跟踪专练3】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型9.黄金分割】 【典例】大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________． 【跟踪专练1】黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长为___________（结果保留根号）． 【跟踪专练3】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，已知中，，，，．求线段的长； 2．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？过点作的垂线，并在垂线上取；连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理，若，求的长． 3．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 4．已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $