专题01反比例函数 同步冲刺讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题01反比例函数同步冲刺讲义 【题型01 用反比例函数描述数量关系】.....................................4 【题型02 由定义判断反比例函数】.........................................6 【题型03 由反比例函数的定义求参数】.....................................8 【题型04 求反比例函数】................................................10 【题型05 由反比例函数值求自变量】......................................14 【题型06 判断(画)反比例函数图象】.......................................17 【题型07 由图象求反比例函数解析式】....................................20 【题型08 由图象求反比例函数对称性求点坐标】............................23 【题型09 由双曲线象限分布求参数范围】..................................25 【题型10 判断反比例函数增减性】........................................28 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】..................................31 【题型12 由增减性求反比例函数参数】....................................33 【题型13 比较反比例函数值或自变量大小】................................35 【题型14 由比例系数求特殊图形面积】....................................38 【题型15 由图形面积求反比例函数解析式】................................42 【题型16 求反比例函数解析式】..........................................45 【题型17 反比例函数与几何综合】........................................49 【题型18 反比例函数与二次函数图象综合判断】............................53 【题型19 一次函数与反比例函数图象综合判断】............................56 【题型20 一次函数与反比例函数交点问题】................................59 【题型21 一次函数与反比例函数其他综合应用】............................62 【题型22 实际问题与反比例函数】........................................67 ★知识梳理 知识点01:反比例函数的定义及表达式 1. 定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0） 的函数，叫做反比例函数。 其中：..x 是自变量，y 是因变量； 自变量 x 的取值范围：x0（分母不能为 0）； 函数值 y 的取值范围：y0。 2. 三种等价表达形式（k0） 分式形式：y=（最常用） 负指数形式：y=kx−1 乘积形式：xy=k（判断反比例关系的核心依据） 3. 判定方法 判断一个函数是否为反比例函数，只需看其能否化为 y=(k0) 的形式，且满足 k0、x0。 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 .知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 1. 图象位置与增减性（核心考点） k 的符号 图象所在象限 增减性（在每个象限内） 图象趋势 k>0 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 曲线从左向右下降 k<0 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 曲线从左向右上升 2. 关键注意事项 增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用（如 k>0 时，x1=−1，x2=1，y1=−k，y2=k，x1<x2​ 但 y1<y2​）； ∣k∣ 越大，双曲线离坐标轴越远；∣k∣ 越小，双曲线离坐标轴越近 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点06:实际应用（建模） 从实际问题中抽象出反比例函数模型， 步骤： 1.分析变量，确定自变量与函数 2.依据题意列等量关系，转化为 y= 形式 3.确定 k 值，明确自变量取值范围 4.利用图象与性质解决实际问题（如最值、方案选择） 【题型1.用反比例函数描述数量关系】 【典例】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】下列选项中，能写成反比例函数的是（　　） A．人的体重和身高 B．正三角形的边长和面积 C．速度一定，路程和时间的关系 D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系 【答案】D 【详解】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断变量间是否为反比例函数关系，因此可得： A、人的体重和身高，不是反比例函数关系； B、正三角形面积S，边长为a，则，不是反比例函数关系； C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例； D、销售总价不变，销售单价与销售数量成反比例关系． 故选D． 【题型2.由定义判断反比例函数.】 【典例】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 【跟踪专练1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 【跟踪专练3】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 【题型3.由反比例函数的定义求参数】 【典例】已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 【答案】3 【分析】先根据坐标特征判断已知点所在象限，结合三点在不同象限确定点B的象限，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，分情况讨论反比例函数经过的两点，计算后舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解：根据平面直角坐标系中象限的坐标特征可知，点在第三象限，点在第四象限， ∵三点分别在三个不同的象限， ∴点在第一象限，即， 对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，即， 若反比例函数同时经过和，可得：，，则， 因此反比例函数不可能同时经过和， 分两种情况讨论： ① 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第一象限，三点分别在三个不同象限，符合题意； ② 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第四象限，与点同象限，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 【跟踪专练3】已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把点，，代入各个函数进行验证判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； B、当时，，当时，， 当时，， ∴有，， 此时，，符合题意， ∴点，，可同时在函数图象上； C、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； D、当时，，当时，， 当时，， ∵若，则， ∴，不符合题意， ∴点，，不能同时在函数图象上； 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键． 【题型4.求反比例函数值】 【典例】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查反比例函数：根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数k，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 【跟踪专练2】已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是________ ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式． 将点，两点分别代入双曲线，可得，，根据题意列不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：将点，两点分别代入双曲线， 得，， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． ①解方程即可判断； ②解方程可知，，由题意可知，或，然后依次将其分别代入 可判断； ③由题意可知，，由可转化车，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 【详解】解： 解得， ①错误； 解，可知，，由题意可知，或 当时，，将其代入 可知 当时，，将其代入 可知 可知②正确； 点在反比例函数的图象上 将其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 故③正确． 所以正确的个数为2个 故选：C． 【题型5.由反比例函数值求自变量】 【典例】已知反比例函数的图象经过点，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，先确定点的坐标，再利用勾股定理求出的长，由菱形面积底乘高即可求得．解题的关键是掌握：反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于． 【详解】解：∵函数的图象经过点，轴，， ∴点的纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 【题型6.判断(画)反比例函数图象】 【典例】如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______． 【答案】图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；对应点的位置不正确等 【分析】根据反比例函数的图象与性质进行观察判断． 【详解】解：观察图象，主要错误有： ①图象形状错误：反比例函数的图象是两支双曲线，不是射线组成； ②不满足函数定义：有一个x值，对应两个y值； ③与y轴有交点：∵中，，，∴图象不可能与坐标轴相交； ④对应点的位置不正确：比如，当时，，即图象需经过点， 故答案为：图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；图象上对应点的位置不正确等． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象特征以及与坐标轴的关系是解答的关键． 【跟踪专练1】某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____． 【答案】-1． 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限， 点一定在第三象限， 在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点， 反比例函数的图象经过，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 【跟踪专练3】函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．    B．   B． C．   D．   【答案】A 【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象． 【详解】∵ ∴ ∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键． 【题型7.由图象求反比例函数解析式】 【典例】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 设反比例函数解析式为，将代入求出反比例函数解析式后即可得解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入可得， 即反比例函数解析式为， 时， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键． 可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得到， 而反比例函数的图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点、的坐标，根据题意即可得出， ，解方程组即可得出结论； 【详解】解：设， 在反比例函数的图象上， ， 轴，且点在反比例函数的图象上， ，． 轴， ，， 又，， ， 解得或（舍去）， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据线段间的关系找出关于的方程组是解题的关键． 【题型8.由图象求反比例函数对称性求点坐标】 【典例】已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 【跟踪专练1】如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 【跟踪专练2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 【跟踪专练3】互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，的值等于（　　） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线对称，即有，，再根据两点均在反比例函数图象，可得，问题随之得解． 【详解】解：根据题意A、B关于直线对称， ∴，， ∵互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线对称，得出，，是解答本题的关键． 【题型9.由双曲线象限分布求参数范围】 【典例】若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，图像位于第二、四象限，则，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限 【答案】一、二 【分析】本题考查了反比例函数于二次函数的图象和性质．由反比例函数图像位于第一、三象限得出，再分析二次函数的图像特征，由于，抛物线开口向上且顶点在轴正半轴，值恒为正，从而判断图像经过的象限． 【详解】解：反比例函数（）的图像位于第一、三象限， ． 对于函数， ， 二次项系数为正，抛物线开口向上， 且常数项，当时，，顶点在， ，即值恒为正． 当时，，图像经过第一象限； 当时，，图像经过第二象限； 当时，，图像在轴正半轴． 综上，图像经过第一、二象限． 故答案为：一、二． 【题型10.判断反比例函数增减性】 【典例】某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 根据题意，找出符合条件的函数即可． 【详解】解：根据题意得， 符合条件的函数为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数和二次函数的增减性，根据不同函数的增减性性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故该选项符合题意． B、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意． C、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． D、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 【跟踪专练2】借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】题目主要考查反比例函数的图象及反比例函数的性质，根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断即可． 【详解】解：∵， x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 随着描点的数量不断增加，其草图如下， 令， 当时，即时，， 当且仅当，即，，故①正确，符合题意； 同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意； 由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意； 由描点可知，其图形关于对称，即当时，，， 则有，． 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 【题型11.判断反比例函数图象所在象限】 【典例】反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是__________，在第二、四象限的是__________； 【答案】 ①②④ ③ 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数来说，当时，反比例函数图象分别位于第一、三象限，当时，反比例函数图象分别位于第二、四象限．据此进行判断即可． 【详解】解：反比例函数①、②、③即、④的图象中， ∵， ∴在第一、三象限的是①②④，在第二、四象限的是③； 故答案为：①②④，③ 【跟踪专练1】如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵在三个反比例函数，，中，， ∴它们在轴上方的图象中，①是反比例函数的图象，②是反比例函数的图象，③是反比例函数的图象，则选项A和B均错误； 由函数图象可知，当自变量的值相同时，③的函数值比②的函数值大，则选项C错误； 对于反比例函数，当自变量的值相同时，随着的增大，其函数值的绝对值也越大，图象的位置相对于坐标原点越来越远，则选项D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是________________． 【答案】 【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 【题型12.由增减性求反比例函数参数】 【典例】已知反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性得到出，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的值增大而减小， ∴， 解得． 【跟踪专练1】已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据闭函数的定义，反比例函数在区间上需满足最小值为，最大值为，由于函数在定义域内单调递减，因此最大值在处取得，最小值在处取得，从而列出方程求解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：因为反比例函数在区间上单调递减， 因此当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， 根据闭函数定义，最大值等于，最小值等于，即，， 将两式相乘，得：， 解得：或， 但考虑到区间需使函数有定义且连续，和必须同号（均正或均负），因此 ， 故， 故答案为：4． 【跟踪专练3】已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小， ， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时， ∵y1＞y2， 当在第一象限时， ∴，解得； 当在第三象限时， ∴，解得； 综上所述：或； ②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时， ∵y1＞y2， ∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解， 因此，本题的取值范围为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小． 【题型13.比较反比例函数值或自变量大小】 【典例】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，横坐标，，， ∴点在第三象限，点和在第一象限， ∴，，． 又∵在第一象限内，随的增大而减小，且， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 【跟踪专练1】点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及非负数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与象限分布，并结合点的坐标范围比较函数值大小是解题的关键．先确定反比例函数比例系数的符号，明确函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的范围，结合函数性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ∴点在第二象限， ∴． ∵， ∴点、在第四象限，结合第四象限内函数的增减性， ∴． ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若有意义，且点，在y关于x的函数的图象上，则________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合反比例函数的性质比较与的大小即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足，解得， ∴， ∴函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵，两点，都在第一象限的函数图象上， ． 【跟踪专练3】已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图像，根据反比例函数图像上点的坐标特征，根据的大小和符号判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上， ， ， 在第三象限， 随的增大而减小， ，故A正确； 时， 在第三象限，在第一象限， ，， ，故B、C错误； ， ， 在第一象限， 随的增大而减小， ，故D错误； 故选：A． 【题型14.由比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．连接，得到和的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴轴， ∴点和点到的距离相等， ， ， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，连接，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握这一知识点是关键；延长交y轴于点D，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解；如图，延长交y轴于点D， . ∵轴，轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 【跟踪专练3】如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【题型15.由图形面积求反比例函数解析式】 【典例】如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 【跟踪专练1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点B向x轴作垂线，垂足为C，若的面积是7.5，则k的值为（   ） A．21 B．18 C．15 D．9 【答案】A 【分析】过A作于D，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形、四边形、四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 过A作于D，延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴正半轴上的点，连接，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，由轴，则，然后根据即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：． 【题型16.求反比例函数解析式】 【典例】若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的解析式求解，用待定系数法求未知参数是解题关键． 将点的坐标代入反比例函数解析式，求出参数的值，从而得到函数表达式． 【详解】解：将点代入， 可得：， 解得，则， 故反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图象过已知点，求出k的值，再根据x轴上点的纵坐标为0，代入一次函数求出横坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将点坐标代入得： 解得：， 一次函数解析式为 , 轴上的点纵坐标为0， 令，得 ， 解得：， 一次函数图象与x轴的交点坐标为． 【跟踪专练2】如图，在等腰直角三角形中，，，点A的坐标为，点C在y轴上，若反比例函数的图象过点B，则k的值是__________． 【答案】3 【分析】过点作轴，垂足为，先利用勾股定理求出的长，再利用证明，得到点B坐标，最后将点B坐标代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵点A的坐标为， ∴, ∵， ∴, ∴点C的坐标为， ∵，， ∴ 又∵，, ∴ ∴，， ∴， ∴点B坐标为， 把代入，得， ∴． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D，若点C的横坐标为6，，则k的值为（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】过点作于点，由勾股定理构造方程求出，，再根据反比例函数图象同时经过顶点C，D，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，   ， ∵点C的横坐标为6，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴设，则． ∴，，． 在中， ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去），， ∴，． 设，则， ∵反比例函数的图象同时经过顶点C，D， ∴． ∴． ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出和的长时解题的关键． 【题型17.反比例函数与几何综合】 【典例】发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为___________m． 【答案】105 【分析】设的解析式为，根据y轴垂直平分，，可求得，根据的长，可求得点的坐标，代入反比例函数解析式中，求出反比例函数解析式，再根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标，再代入解析式中求得纵坐标即可． 【详解】解：设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，矩形性质，轴对图形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，解题关键是熟练掌握矩形性质，轴对图形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 【跟踪专练1】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 【答案】16 【详解】解：如图，作，垂足为H． ∵， ∴． 设A，则根据反比例函数的对称性得到 B， ∴ ∴ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 【题型18.反比例函数与二次函数图象综合判断】 【典例】写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先判断出该函数为二次函数，再结合函数的图像和性质写出即可． 【详解】解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点， 这样的函数可以为二次函数，设， 如图，二次函数与反比例函数有3个交点， 可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 这样的函数可以是， 其中，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像，解题的关键是抓住3个交点的条件，利用数形结合思想解决． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 【跟踪专练2】若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____． 【答案】0＜m＜2 【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围． 【详解】分段函数y=的图象如图： 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m的范围即可. 【跟踪专练3】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可用排除法解答，根据y始终大于0，可排除D，再根据x的绝对值越接近于0（如，或）时，每个图象两侧都是无限上升，可排除A，根据函数和有交点即可排除C，即可解题． 【详解】解：取，，，会发现最小值是取时，由此选项C，D错误；的绝对值越接近于0（如，或）时，每个图象两侧都是无限上升，可排除A， ∵直线经过和时，直线解析式为， 当时，x无解， ∴与没有交点， ∴B正确； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，平方根和绝对值大于等于0的性质，本题中求得直线与函数的交点时解题的关键． 【题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例】如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 【跟踪专练2.】已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数上点的坐标特征，关于轴，轴对称的点的坐标，熟练掌握这两个函数上点的坐标特征是解题的关键，根据，两点关于轴对称，，可以表示出点的坐标为，又因为这两个点分别在两个函数图象上，所以得到：，，根据，计算即可． 【详解】解：点的坐标为，、两点关于轴对称， ， 点在双曲线上， ， ， 点在直线上， ， 即， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，首先假设一次函数的图像是正确的，根据一次函数图像确定、的取值范围，根据、的取值范围判断反比例函数图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故A选项错误； B选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 反比例函数在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， 又， 一次函数的图像不成立， 故D选项错误． 故选：B． 【题型20.一次函数与反比例函数交点问题】 【典例】如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先确定交点的横坐标分别为，2，再根据函数的增减性解答即可． 本题考查了反比例函数和直线交点的问题，函数的增减性，数形结合的思想，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2， 故， 解得， 故交点的横坐标分别为，2， 当时， 解得， 由，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式可以是___________（只写出符合条件的一个即可）． 【答案】（满足即可） 【分析】设这个反比例函数的表达式是，联立反比例函数解析式，根据这个反比例函数与一次函数的图象无公共点，可得关于的方程无实数解，即可求解． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式是． 由得． 因为这个反比例函数与一次函数的图象无公共点，所以方程无解． 所以，解得 ∴这个反比例函数的表达式可以是 【跟踪专练3】如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 【题型21.一次函数与反比例函数其他综合应用】 【典例】如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为______________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键． 设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：设（）． ∵ 轴，在上， ∴ ， ∴ ． 设直线的解析式为，将代入得：， 解得， ∴ 直线的解析式为． ∵ 轴， ∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 【题型22.实际问题与反比例函数】 【典例】某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入求出的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 【跟踪专练1】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长l增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， ∴的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为． 当时，，， ∴当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 【跟踪专练2】验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，用待定系数法求出反比例函数解析式，当时，代入解析式求出的值，进而计算即可，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意设关于的函数图像解析式为， ∴， ∴关于的函数图像解析式为， 当时，， ∴近视眼镜的度数减少了（度）， 故答案为：． 【跟踪专练3】长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01反比例函数同步冲刺讲义 【题型01 用反比例函数描述数量关系】.....................................4 【题型02 由定义判断反比例函数】.........................................4 【题型03 由反比例函数的定义求参数】.....................................5 【题型04 求反比例函数】................................................5 【题型05 由反比例函数值求自变量】......................................6 【题型06 判断(画)反比例函数图象】.......................................7 【题型07 由图象求反比例函数解析式】....................................8 【题型08 由图象求反比例函数对称性求点坐标】............................9 【题型09 由双曲线象限分布求参数范围】..................................10 【题型10 判断反比例函数增减性】........................................11 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】..................................12 【题型12 由增减性求反比例函数参数】....................................13 【题型13 比较反比例函数值或自变量大小】................................13 【题型14 由比例系数求特殊图形面积】....................................14 【题型15 由图形面积求反比例函数解析式】................................15 【题型16 求反比例函数解析式】..........................................16 【题型17 反比例函数与几何综合】........................................17 【题型18 反比例函数与二次函数图象综合判断】............................18 【题型19 一次函数与反比例函数图象综合判断】............................19 【题型20 一次函数与反比例函数交点问题】................................20 【题型21 一次函数与反比例函数其他综合应用】............................21 【题型22 实际问题与反比例函数】................................... ...22 ★知识梳理 知识点01:反比例函数的定义及表达式 1. 定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0） 的函数，叫做反比例函数。 其中：..x 是自变量，y 是因变量； 自变量 x 的取值范围：x0（分母不能为 0）； 函数值 y 的取值范围：y0。 2. 三种等价表达形式（k0） 分式形式：y=（最常用） 负指数形式：y=kx−1 乘积形式：xy=k（判断反比例关系的核心依据） 3. 判定方法 判断一个函数是否为反比例函数，只需看其能否化为 y=(k0) 的形式，且满足 k0、x0。 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 .知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 1. 图象位置与增减性（核心考点） k 的符号 图象所在象限 增减性（在每个象限内） 图象趋势 k>0 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 曲线从左向右下降 k<0 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 曲线从左向右上升 2. 关键注意事项 增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用（如 k>0 时，x1=−1，x2=1，y1=−k，y2=k，x1<x2​ 但 y1<y2​）； ∣k∣ 越大，双曲线离坐标轴越远；∣k∣ 越小，双曲线离坐标轴越近 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点06:实际应用（建模） 从实际问题中抽象出反比例函数模型， 步骤： 1.分析变量，确定自变量与函数 2.依据题意列等量关系，转化为 y= 形式 3.确定 k 值，明确自变量取值范围 4.利用图象与性质解决实际问题（如最值、方案选择） 【题型1.用反比例函数描述数量关系】 【典例】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_______． 【跟踪专练1】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【跟踪专练3】下列选项中，能写成反比例函数的是（　　） A．人的体重和身高 B．正三角形的边长和面积 C．速度一定，路程和时间的关系 D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系 【题型2.由定义判断反比例函数.】 【典例】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有______（填序号）． 【跟踪专练1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【跟踪专练3】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型3.由反比例函数的定义求参数】 【典例】已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【跟踪专练1】平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 【跟踪专练3】已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【题型4.求反比例函数值】 【典例】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是________ ． 【跟踪专练3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5.由反比例函数值求自变量】 【典例】已知反比例函数的图象经过点，则的值是______． 【跟踪专练1】关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为________． 【跟踪专练3】定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【题型6.判断(画)反比例函数图象】 【典例】如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______． 【跟踪专练1】某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____． 【跟踪专练3】函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．    B．   B． C．   D．   【题型7.由图象求反比例函数解析式】 【典例】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为___________． 【跟踪专练1】如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于______． 【跟踪专练3】如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【题型8.由图象求反比例函数对称性求点坐标】 【典例】已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 【跟踪专练1】如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【跟踪专练3】互不重合的两点，皆落于反比例函数图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，的值等于（　　） A． B．1 C． D．7 【题型9.由双曲线象限分布求参数范围】 【典例】若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________． 【跟踪专练1】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【跟踪专练2】数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限 【题型10.判断反比例函数增减性】 【典例】某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________________ 【跟踪专练1】下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有_________． 【跟踪专练3】已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型11.判断反比例函数图象所在象限】 【典例】反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是__________，在第二、四象限的是__________； 【跟踪专练1】如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是________________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【题型12.由增减性求反比例函数参数】 【典例】已知反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【跟踪专练2】若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则___________． 【跟踪专练3】已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【题型13.比较反比例函数值或自变量大小】 【典例】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【跟踪专练1】点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若有意义，且点，在y关于x的函数的图象上，则________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【跟踪专练3】已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型14.由比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为_____． 【跟踪专练1】如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，连接，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【跟踪专练3】如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【题型15.由图形面积求反比例函数解析式】 【典例】如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【跟踪专练1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点B向x轴作垂线，垂足为C，若的面积是7.5，则k的值为（   ） A．21 B．18 C．15 D．9 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴正半轴上的点，连接，若的面积为，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【题型16.求反比例函数解析式】 【典例】若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等腰直角三角形中，，，点A的坐标为，点C在y轴上，若反比例函数的图象过点B，则k的值是__________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D，若点C的横坐标为6，，则k的值为（    ）    A． B．3 C． D．6 【题型17.反比例函数与几何综合】 【典例】发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为___________m． 【跟踪专练1】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练2】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【题型18.反比例函数与二次函数图象综合判断】 【典例】写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点________． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____． 【跟踪专练3】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例】如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是______． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2.】已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是______． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【题型20.一次函数与反比例函数交点问题】 【典例】如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是___________． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式可以是___________（只写出符合条件的一个即可）． 【跟踪专练3】如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【题型21.一次函数与反比例函数其他综合应用】 【典例】如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为______________． 【跟踪专练3】小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【题型22.实际问题与反比例函数】 【典例】某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为______． 【跟踪专练1】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【跟踪专练2】验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【跟踪专练3】长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $