专题01 导数的概念及运算（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第二册

专题01 导数的概念与运算 重点目标： 1. 理解平均变化率、瞬时变化率的实际背景.掌握平均变化率的计算公式与几何意义. 2. 理解函数在某一点处导数的定义.区分“在某点处的导数”与“导函数”的概念差异. 3. 掌握导数的几何意义.能够区分曲线“在某点”与“过某点”的切线.会求切线方程. 4. 熟记基本初等函数导数公式.熟练运用导数四则运算法则完成函数求导运算. 5. 掌握复合函数的分解方法与复合函数求导法则.能够对简单复合函数进行求导. 6. 了解导函数衍生性质.会利用导数反映函数变化快慢. 难点目标： 1. 理解导数定义式的多种等价变形.能够利用导数定义式进行简单极限计算. 2. 辨析曲线切线概念.突破“过某点”切线问题.能够处理切点未知的多解切线问题. 3. 复合函数正确分层.避免漏层、重复求导.规范完成多层复合函数求导运算. 4. 熟练运用导数四则运算法则.尤其规避除法求导公式分子顺序颠倒的运算错误. 5. 结合导数几何意义解决切线与直线、曲线相交的小综合问题. 6. 综合利用奇偶函数、周期函数导数性质完成判断、推理类小题.对接拔高考点. 1、 重点知识 （一）平均变化率 1. 定义式：函数从到的平均变化率. 2. 实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. 3. 意义：刻画函数在区间上函数值变化的快慢. 4. 几何意义：表示曲线上两点，连成割线的斜率. 5. 注意：.可正、可负. 6. 求平均变化率步骤：①求；②求；③计算比值. （二）瞬时变化率与导数的定义 1. 瞬时变化率定义：函数在处瞬时变化率：，瞬时变化率刻画函数在这一点处变化的快慢. 2. 函数在处的导数：上面的极限值记作.是一个常数. 3. 导函数：若区间内每一点都可导.则.导函数是一个函数.简称导数. 4. 定义等价变形： 5. 概念区分：在处导数是数值；导函数是函数；就是导函数在处的函数值. （三）导数的几何意义 1. 切线的形成：时.割线绕点旋转.无限趋近得到切线. 2. 几何意义：是曲线在点处切线的斜率. 3. 重要辨析：曲线切线不一定只有一个交点；只有一个交点的直线不一定是切线. （四）“在某点处”与“过某点”切线方程求法 1. 在点处的切线：①求斜率：；②点斜式写方程：；③整理化为一般式. 2. 过点的切线（不一定在曲线上.切点未知）：①设切点；②求该点导数；③根据两点都在切线上.斜率.解方程求出切点横坐标；④代入点斜式写出切线方程.注意本题可能存在多条切线. （五）基本初等函数导数公式 1. 常数函数：.； 2. 幂函数：.（为实数）； 3. 三角函数：；； 4. 指数函数：；特例； 5. 对数函数：；特例. （六）导数四则运算法则 设均可导： 1. 加减：； 2. 乘法：； 3. 除法：. （七）复合函数求导 1. 复合函数概念：..得到复合函数. 2. 链式法则：.对导数等于对中间变量导数乘对导数. 3. 求导四步骤：分层→每层分别求导→结果相乘→中间变量回代为. 4. 注意：分解得到的每层必须是基本初等函数；分清对哪一个变量求导. （八）导函数常用性质 1. 奇函数的导数为偶函数；偶函数的导数为奇函数；周期函数导数仍然是周期函数. 2. 越大.切线越陡峭.代表该位置函数瞬时变化越快. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频失分点） 1. 概念混淆陷阱：混淆“在某点的导数（数值）”和“导函数（函数）”.书写符号出错. 2. 切线审题陷阱：题干“过点”和“在点”不仔细区分.直接把已知点当作切点.漏解. 3. 除法求导公式陷阱：分子顺序为“前导后不导.减去前不导后导”.极易写反顺序.整题求导错误. 4. 复合函数求导陷阱：只求外层导数.忘记乘内层函数导数.是高频错误. （二）导数定义式综合难点 1. 识别等价极限变形.区分的不同形式.识别出定义结构进行整体代换求值. 2. 注意：极限式子结构不匹配.不能直接套用导数定义. （三）切线综合难点 1. “过某点”切线问题：点不在曲线上.会出现多条切线.解方程后全部切点要保留.不能只取一解. 2. 切线平行、垂直已知直线.利用斜率条件联立求解切点、参数. 3. 切线与曲线交点问题：切线和曲线除切点外还可以有其他交点.不能误认为切点是唯一公共点. （四）复合函数求导难点 1. 多层复合函数分层.从外到内逐层分解.不能跳层；每一层单独求导之后全部相乘. 2. 复合函数结合四则运算.分清运算优先级：先四则运算.再处理内部复合结构. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 奇偶、周期函数导数性质.小题可以直接使用.实现快速判断函数图像、选项. 2. 导数几何意义综合：多条切线、公切线问题.是高考高频小综合题型. 3. 导数定义的思想铺垫：导数本质是极限思想.为后续研究函数单调性、极值做理论铺垫. 4. 含参数函数求导：四则、复合求导法则对含参函数同样成立.参数当作常数处理. （六）全章高频失分点汇总 1. 混淆“过点”与“在点”切线.误把外部点直接当成切点.漏算切线. 2. 除法求导分子顺序颠倒.求导结果符号错误. 3. 复合函数只求外层导数.漏乘内层函数导数. 4. 混淆“某点处导数（常数）”和“导函数”.书写表达式出错. 5. 复合函数分层错误.跳层求导.导致求导结果错误. 6. 切线概念理解错误.认为切线和曲线只能有一个交点. 7. 基本初等函数公式记忆混淆.三角函数、对数指数导数记错. 题型01 定义法求导数 【典例】设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式】已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 题型02 导数几何意义的理解及运用 【典例】若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式】若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（ ） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 题型03导数的运算 角度1：求简单函数的导数 【典例】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 角度2：求复合函数的导数 【典例】求下列函数的导数： (1)； (2)． 【变式】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 角度3：求某点处的导数值 【典例】已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式】设函数的导函数为，且，则. A．0 B．-4 C．-2 D．2 题型04 导数法求切线方程 角度1：求曲线“在”某点的切线方程 【典例】曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 角度2：求曲线“过”某点的切线方程 【典例】（多选）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【变式】函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 角度4：公切线问题 【典例】已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【变式】曲线在处的切线也为的切线，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 题型05 切线方程的应用 角度1：切线方程求参数范围 【典例】（多选）已知直线与抛物线相切，则（    ） A． B． C． D．2 【变式】（多选）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（    ） A．－5 B．－3 C．－1 D．1 角度2：切线方程求距离最值 【典例】曲线上的点到直线的距离的最小值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式】若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【巩固训练】 1．设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D．不存在 4．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 5．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若函数，则 C．若，则 D．曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 9．曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 10．求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 【强化训练】 1．设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（     ） A．4 B．1 C． D． 2．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 5．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 6．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则（   ） A．在上的平均变化率为2 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．直线可能是曲线的一条切线 8．（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C．是非奇非偶函数 D．最小值为2 9．若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 10．（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 11．已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念与运算 重点目标： 1. 理解平均变化率、瞬时变化率的实际背景.掌握平均变化率的计算公式与几何意义. 2. 理解函数在某一点处导数的定义.区分“在某点处的导数”与“导函数”的概念差异. 3. 掌握导数的几何意义.能够区分曲线“在某点”与“过某点”的切线.会求切线方程. 4. 熟记基本初等函数导数公式.熟练运用导数四则运算法则完成函数求导运算. 5. 掌握复合函数的分解方法与复合函数求导法则.能够对简单复合函数进行求导. 6. 了解导函数衍生性质.会利用导数反映函数变化快慢. 难点目标： 1. 理解导数定义式的多种等价变形.能够利用导数定义式进行简单极限计算. 2. 辨析曲线切线概念.突破“过某点”切线问题.能够处理切点未知的多解切线问题. 3. 复合函数正确分层.避免漏层、重复求导.规范完成多层复合函数求导运算. 4. 熟练运用导数四则运算法则.尤其规避除法求导公式分子顺序颠倒的运算错误. 5. 结合导数几何意义解决切线与直线、曲线相交的小综合问题. 6. 综合利用奇偶函数、周期函数导数性质完成判断、推理类小题.对接拔高考点. 1、 重点知识 （一）平均变化率 1. 定义式：函数从到的平均变化率. 2. 实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. 3. 意义：刻画函数在区间上函数值变化的快慢. 4. 几何意义：表示曲线上两点，连成割线的斜率. 5. 注意：.可正、可负. 6. 求平均变化率步骤：①求；②求；③计算比值. （二）瞬时变化率与导数的定义 1. 瞬时变化率定义：函数在处瞬时变化率：，瞬时变化率刻画函数在这一点处变化的快慢. 2. 函数在处的导数：上面的极限值记作.是一个常数. 3. 导函数：若区间内每一点都可导.则.导函数是一个函数.简称导数. 4. 定义等价变形： 5. 概念区分：在处导数是数值；导函数是函数；就是导函数在处的函数值. （三）导数的几何意义 1. 切线的形成：时.割线绕点旋转.无限趋近得到切线. 2. 几何意义：是曲线在点处切线的斜率. 3. 重要辨析：曲线切线不一定只有一个交点；只有一个交点的直线不一定是切线. （四）“在某点处”与“过某点”切线方程求法 1. 在点处的切线：①求斜率：；②点斜式写方程：；③整理化为一般式. 2. 过点的切线（不一定在曲线上.切点未知）：①设切点；②求该点导数；③根据两点都在切线上.斜率.解方程求出切点横坐标；④代入点斜式写出切线方程.注意本题可能存在多条切线. （五）基本初等函数导数公式 1. 常数函数：.； 2. 幂函数：.（为实数）； 3. 三角函数：；； 4. 指数函数：；特例； 5. 对数函数：；特例. （六）导数四则运算法则 设均可导： 1. 加减：； 2. 乘法：； 3. 除法：. （七）复合函数求导 1. 复合函数概念：..得到复合函数. 2. 链式法则：.对导数等于对中间变量导数乘对导数. 3. 求导四步骤：分层→每层分别求导→结果相乘→中间变量回代为. 4. 注意：分解得到的每层必须是基本初等函数；分清对哪一个变量求导. （八）导函数常用性质 1. 奇函数的导数为偶函数；偶函数的导数为奇函数；周期函数导数仍然是周期函数. 2. 越大.切线越陡峭.代表该位置函数瞬时变化越快. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频失分点） 1. 概念混淆陷阱：混淆“在某点的导数（数值）”和“导函数（函数）”.书写符号出错. 2. 切线审题陷阱：题干“过点”和“在点”不仔细区分.直接把已知点当作切点.漏解. 3. 除法求导公式陷阱：分子顺序为“前导后不导.减去前不导后导”.极易写反顺序.整题求导错误. 4. 复合函数求导陷阱：只求外层导数.忘记乘内层函数导数.是高频错误. （二）导数定义式综合难点 1. 识别等价极限变形.区分的不同形式.识别出定义结构进行整体代换求值. 2. 注意：极限式子结构不匹配.不能直接套用导数定义. （三）切线综合难点 1. “过某点”切线问题：点不在曲线上.会出现多条切线.解方程后全部切点要保留.不能只取一解. 2. 切线平行、垂直已知直线.利用斜率条件联立求解切点、参数. 3. 切线与曲线交点问题：切线和曲线除切点外还可以有其他交点.不能误认为切点是唯一公共点. （四）复合函数求导难点 1. 多层复合函数分层.从外到内逐层分解.不能跳层；每一层单独求导之后全部相乘. 2. 复合函数结合四则运算.分清运算优先级：先四则运算.再处理内部复合结构. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 奇偶、周期函数导数性质.小题可以直接使用.实现快速判断函数图像、选项. 2. 导数几何意义综合：多条切线、公切线问题.是高考高频小综合题型. 3. 导数定义的思想铺垫：导数本质是极限思想.为后续研究函数单调性、极值做理论铺垫. 4. 含参数函数求导：四则、复合求导法则对含参函数同样成立.参数当作常数处理. （六）全章高频失分点汇总 1. 混淆“过点”与“在点”切线.误把外部点直接当成切点.漏算切线. 2. 除法求导分子顺序颠倒.求导结果符号错误. 3. 复合函数只求外层导数.漏乘内层函数导数. 4. 混淆“某点处导数（常数）”和“导函数”.书写表达式出错. 5. 复合函数分层错误.跳层求导.导致求导结果错误. 6. 切线概念理解错误.认为切线和曲线只能有一个交点. 7. 基本初等函数公式记忆混淆.三角函数、对数指数导数记错. 题型01 定义法求导数 【典例】设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 【变式】已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由导数定义，令， 则，解得． 题型02 导数几何意义的理解及运用 【典例】若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可. 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知. 故选：D 【变式】若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（ ） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【详解】由题可知，函数的导函数在区间上的图象关于直线对称， 即函数图象切线的斜率关于对称. 对于①：在处与处的切线斜率符号不同（即导数不同）， 因此的图象不关于对称，①不符合题意； 对于②：的切线斜率从逐渐减小，则的图象不关于对称，②不符题意； 对于③：在上的斜率（即导数）均相同，的图象关于对称，③符合题意； 对于④：的图象可能有一个对称中心，即， 两边求导得，，得， 则函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，④符合题意. 题型03导数的运算 角度1：求简单函数的导数 【典例】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用基本函数的导数，结合导数的运算法则求导. （2）利用积函数的求导法则求导，也可以把函数化成多项式函数再求导. （3）利用积、商的导数的运算法则求导. （4）利用积函数的求导法则求导. （5）利用商的导数的运算法则求导. 【详解】（1） （2）方法一：． 方法二：，则． （3） （4） （5） 【变式】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用基本函数的求导公式及导数的运算法则可得结果. 【详解】（1）. （2）. （3）因为， 所以. （4）. （5）. （6）因为， 所以 . 角度2：求复合函数的导数 【典例】求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) . 【详解】（1）； （2）. 【变式】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 角度3：求某点处的导数值 【典例】已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 则， 解得． 【变式】设函数的导函数为，且，则. A．0 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】可先求函数的导数，先令求出，再令即可求解 【详解】由，令得， 解得，则， 故选B 题型04 导数法求切线方程 角度1：求曲线“在”某点的切线方程 【典例】曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在点 处切线的斜率为， 故切线方程为，即. 【变式】函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 角度2：求曲线“过”某点的切线方程 【典例】（多选）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求. 【详解】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 【变式】函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 角度4：公切线问题 【典例】已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 【变式】曲线在处的切线也为的切线，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由求导得：，则曲线在处的切线斜率为1，切线方程为：y=x， 设直线y=x与曲线相切的切点为，由求导得， 于是得，解得， 所以， 故选：C 题型05 切线方程的应用 角度1：切线方程求参数范围 【典例】（多选）已知直线与抛物线相切，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【分析】设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为直线与抛物线相切， 设切点坐标为，因为抛物线，所以， 所以，所以①， 由切点在直线与抛物线上， 所以且，所以②， 由①②可得：或. 所以，所以. 故选：AB 【变式】（多选）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（    ） A．－5 B．－3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可． 【详解】由已知得，则切线斜率，切线方程为， 直线过点，则，化简得， 切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或. 故选：AC. 角度2：切线方程求距离最值 【典例】曲线上的点到直线的距离的最小值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是； 故选：D 【变式】若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【分析】利用导数求曲线上一点到直线的最小距离，先在曲线上求与直线平行的直线，得到切点，再求切点到直线的距离即可. 【详解】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 【巩固训练】 1．设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由导数的定义可得，. 2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设函数的图象上有两点， 经过点的切线分别为， 则直线的斜率依次为， ，， 由图可知直线的倾斜角， 因函数在上单调递增，故， 即. 3．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】根据题意，函数在点处的导数等于切线斜率，即，所以. 4．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 5．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 ， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 6．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，又，所以，则切线方程为， 设，则，令，解得，所以. 7．（多选）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为是一个具体的值，故，则A选项错误； 对于B选项，故B选项正确； 对于C选项，， ，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项正确. 8．（多选）下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若函数，则 C．若，则 D．曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 【答案】AC 【详解】，这是常数，常数的导数为0，所以，A选项正确； ， 求导得：，代入， ，B选项错误； ，对求导： ， 令：， 移项：，C选项正确； ，求导：， ， 设倾斜角为，，， 当时，， 当时，，D选项错误. 9．曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 【答案】 【详解】可知直线的斜率为， 因为，则， 令，解得，此时， 所以点到直线的距离最短，最短距离为． 10．求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② (3)①；②；③ 【详解】（1）①；②；③. （2）①；②. （3）①；②； ③. 【强化训练】 1．设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（     ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】在平面直角坐标系中画出，以及的图象， 若，则将向下平移个单位，此时不满足恒成立， 由于，要使恒成立，则必有， 即，所以， 当时，，，， 在的切线方程为， 所以要使恒成立，则，故A正确. 2．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 【答案】② 【详解】由题意，水深越深，水的体积越大，排除①，③， 水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快， 水深由到时，水深增大时，体积增加的速度越来越慢，可排除④. 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 4．曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 5．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 6．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，则函数图象关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去． 故， 则令，即，即函数的图象关于轴对称． 因为，， 所以， 令，则， 又，所以， 则， 即函数是周期为8的周期函数， 所以， 因为函数图象关于点中心对称和轴对称， 所以导数关于对称和点中心对称， 同理可得， 所以， 所以切线方程为，即． 7．（多选）已知函数，则（   ） A．在上的平均变化率为2 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．直线可能是曲线的一条切线 【答案】AB 【详解】对于A，在上的平均变化率为，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故C错误； 对于D，恒成立，因为直线的斜率为，所以直线不可能是曲线的一条切线，故D错误． 8．（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C．是非奇非偶函数 D．最小值为2 【答案】AC 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C， 由，得， 解得或， 所以的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，所以C正确； 对于D，， 当且仅当，即，时，等号成立. 显然不成立，所以取不到2. 所以D错误. 9．若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故，所以， 所以，于是 设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故 切点纵坐标为 因为切点在直线上，所以， 解得 10．（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】解：（1）由函数，可得，当时，， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由函数，可得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线与曲线只有一个公共点， 联立方程组，整理得， 当时，可得，解得，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的值为或． 11．已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. / 学科网（北京）股份有限公司 $