期末复习讲义01：导数的概念及其几何意义【11个题型归纳】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义01：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的平均变化率 对一般的函数来说，当自变量从变为时，函数值从变为，通常我们把自变量的变化_______称作自变量的改变量，记作，函数值的变化_______称作函数值的改变量，记作.函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即______ 2．瞬时变化率 对一般的函数，在自变量从变为时，若设，，则该函数的平均变化率为______，如果当趋于时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的__瞬时变化率____.瞬时变化率刻画的是函数在_某一点处_____变化的快慢. 3．导数的概念 （1）函数在处的导数记作__________或__________． ． （2）函数的导函数 ． 4．几何意义：就是曲线在点处（也称在处）的_切线的斜率_____．相应地，切线方程为______． 5．导数的实际意义 1．在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是__位移______关于_时间_______的导数，线密度是___质量_____关于_长度_______的导数，功率是__功______关于__时间______的导数等． 2．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数的导函数称为边际成本．边际成本指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就是当产量为时，每增加一个单位的产量，需要增加个单位的成本． 6．割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的_切线_______．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝________＝ 7．曲线上一点处的切线 （1）设为曲线上不同于的一点，此时直线称为曲线的_割线___，随着点沿曲线向点运动，割线在点处附近越来越接近曲线，当点无限逼近点时，直线最终成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点处的_切线____.    （2）设曲线上，，当无限趋近于0时，割线的斜率______无限趋近于点处切线的__斜率___. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平均变化率瞬时变化率】 【练方法】 方法技巧 1平均变化率刻画区间内函数整体变化快慢 2瞬时变化率为平均变化率在区间增量趋于0的极限 公式结论 1平均变化率 2瞬时变化率 （25-26高二下·上海黄浦·期末）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ）经典例题1例题 A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 【答案】C 【分析】结合平均速度、瞬时速度的定义及二次函数的性质，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. （25-26高二下·陕西渭南·期末）某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ）经典例题2例题 A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． （25-26高二下·上海·期中）物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒.小试牛刀1 【答案】80 【分析】根据导数的物理意义，位移对时间的导数为瞬时速度，对给定的位移函数求导后代入计算即可. 【详解】由导数的物理意义可知，位移函数对时间的导函数即为瞬时速度函数， 所以，故， 即物体的瞬时速度为80米/秒. （25-26高二下·广东·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． （25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】． 【题型2：导数的概念】 【练方法】 方法技巧 1函数在处可导等价于瞬时变化率极限存在 2导数是特殊极限自变量增量无限趋近0 公式结论 1函数在处导数定义 2等价定义 3导函数 （25-26高二下·安徽滁州·期中）若函数在处可导，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在处可导， 所以. . （25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）若，则当h时，的极限是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以当h时，的极限是2. （25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数在处可导，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算求解. 【详解】函数在处可导，且，则 （25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处可导，且，则（  ）小试牛刀2 A．-3 B．2 C．4 D．-1 【答案】D 【分析】利用导数的定义分析即可. 【详解】因为函数在处可导， 所以， 所以. （2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.小试牛刀3 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 【题型3：求曲线切线的斜率及范围】 【练方法】 方法技巧 1曲线在处切线斜率等于该点导数值 2求斜率范围即求导函数的值域 公式结论 1切线斜率 2斜率取值范围：求解的值域 （25-26高二下·河北邢台·阶段检测）点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，再求解切线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以 ， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. （25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求得，即可得到答案. 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. （24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． （25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D （25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 【题型4：求在某点出的切线方程】 【练方法】 方法技巧 1点在曲线上先求该点导数值得斜率 2代入点斜式整理成标准直线方程 公式结论 1点斜式 （2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________.经典例题1例题 【答案】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. （25-26高二下·广西·阶段检测）已知曲线及其在点处切线的图象如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由图知切线过点与点， 则曲线在点处切线的斜率为， 所以. （25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． （25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数求导得， 在处斜率为， 点处的切线方程是：，即． （25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 【题型5：求过某点的切线方程】 【练方法】 方法技巧 1点不一定在曲线上设切点 2列斜率等式解切点横坐标 3得到切点后代入点斜式写切线 公式结论 1斜率等量关系 2切线方程 （2026高三·全国·专题练习）已知函数．直线过点且与曲线相切，求满足条件的直线方程；经典例题1例题 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为． （24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. （2020·辽宁沈阳·三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为______.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案. 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： （22-23高二下·山东威海·期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程_________.小试牛刀2 【答案】或（任写一个即可） 【分析】设出切点坐标，利用导数列方程，求得切点和斜率，进而求得切线方程. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或（任写一个即可） 过原点且与相切的直线方程是__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程. 【详解】设切点为，且， 由题意可得：，解得： 过原点且与相切的直线方程是. 故答案为： 【题型6：切线的垂直平行问题】 【练方法】 方法技巧 1两直线平行斜率相等 2两直线垂直斜率乘积为 公式结论 1平行 2垂直 （25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则______.经典例题1例题 【答案】1 【分析】求得导函数，得为切线斜率，由切线与直线平行列方程求解即可． 【详解】由题意知，直线的斜率为3. 又，则. 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，解得. （2026·四川达州·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，可得切线的斜率，根据两直线的位置关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 即曲线在处切线的斜率为13． 因为直线与切线垂直，所以，解得． （25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： （25-26高二上·云南昆明·阶段检测）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 【题型7：公切线问题】 【练方法】 方法技巧 1分别设两条曲线切点写出两条切线点斜式 2两条切线为同一直线斜率相等截距相等联立方程组求解 公式结论 设曲线切点曲线切点 1斜率相等 2截距相等 （25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________．经典例题1例题 【答案】或 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 【点睛】方法归纳：求解两条曲线的公切线问题时，通常采用“双切点设元法”，分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义表示切线斜率，再结合同一直线的斜率、截距对应相等建立方程，求解后验证即可得到所有公切线. （2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________．经典例题2例题 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. （25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______小试牛刀1 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. （2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： （25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.小试牛刀3 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以 . 故答案为：2 【题型8：切线条数问题】 【练方法】 方法技巧 1设切点列方程转化为关于切点横坐标的方程 2方程实根个数等于切线条数 公式结论 1构造方程 2方程实数解的个数=过该点切线条数 （23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： （23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.经典例题2例题 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． （24-25高二下·江西·阶段检测）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围． 【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为， 又切线过点切线斜率为，，即， ∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解． 令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2， 或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值， ,即，解得， 故选：D. 【题型9：切线方程与圆锥曲线综合】 【练方法】 方法技巧 1写出曲线切线方程联立圆锥曲线方程 2利用判别式韦达定理求解参数范围或交点 公式结论 1切线 2一元二次方程判别式 （24-25高三上·浙江·开学考试）若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】首先,我们需要求出曲线过坐标原点的切线方程。然后,根据切线与圆相切的条件,求出实数a的值. 【详解】对求导，得到，设切点为，斜率为. 斜率还可以表示为，即，解得，则斜率为. 则切线方程为.切线与圆相切,则， 整理得，，解得. 故答案为： （23-24高二下·安徽滁州·期末）过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数求出抛物线的切线方程，再利用点到直线的距离以及弦长即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 设点，则切线斜率为， 所以切线方程为，即 令，解得 所以点坐标为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为 所以，即， 解得（负值已舍）， 所以点坐标为. 故答案为：. （24-25高三下·重庆·阶段检测）抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____.小试牛刀1 【答案】. 【分析】利用抛物线性质，可得焦点在轴上，即椭圆的，再利用角平分线的性质，结合正弦定理可证明，，然后利用已知条件可求得，再利用导数来求切线方程，构造递推关系，可判断等比数列，问题即可求解. 【详解】因为焦点在轴上， 所以椭圆的焦点在轴上，故，且， 由是的内心，交轴于，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 其中，故，又， 所以式子①与②相除得：， 根据已知条件：，故， 同理可得，， 由椭圆定义可知，， ，解得，即焦点坐标为，所以抛物线方程为， 由，故抛物线在处的切线方程为， 即，又，故， 令得，，因为，所以， 所以是首项16，公比的等比数列， 即， 故答案为： （2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则__________.小试牛刀2 【答案】/0.375 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： （24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．小试牛刀3 【答案】或 【分析】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于， 当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为， 即，该方程即为直线的方程， 因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 当时，，同理可求得直线的方程为， 故直线的方程为或． 故答案为：或 【题型10：切线的综合问题】 【练方法】 方法技巧 1先区分“在点处切线”与“过点切线”两类模型 2结合导数值域平行垂直公切线切线条数综合求解 公式结论 整合核心公式 1 2点斜式 3平行垂直 （25-26高二下·吉林长春·期中）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________．经典例题1例题 【答案】 【详解】，， ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 进行三次迭代得到的的值为. （2027高三·全国·专题练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则________；若，交点的横坐标为，则________．经典例题2例题 【答案】 1 2 【分析】先根据绝对值分段求导，由切线垂直得到斜率关系，推出两点横坐标乘积为定值；再联立两切线方程求出交点横坐标，代入化简得到所求表达式的值. 【详解】由得 不妨设，易知切线，的斜率均存在且不为0，分别设为，，则， 所以，符号相反，所以有，所以，所以． 切线，的方程分别为，， 由得，所以． 故答案为：① ；②  . （24-25高二上·江苏宿迁·期末）令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：小试牛刀1 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ 【答案】 【分析】（1）根据定义，求出在处的切线即可得到答案； （2）根据牛顿切线法定义，，再化简得出，最后应用错位相减法求和计算即可； 【详解】由于，所以，切线方程为， 令，得，所以， 在点处的切线方程为 ， 因为该切线交x轴于点， 则，， 所以是以为首项以为公比的等比数列，所以 所以 所以， 又， 作差得出， 所以， 所以. 故答案为：；. （23-24高二下·江苏南通·阶段检测）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则______；若，交点的横坐标为，则______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义、互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 不妨设，切线，的斜率分别为，， 当时，则有，，此时， 显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 显然，因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 由可得， 此时切线，的切线方程分别为：，， 两个方程联立，得， 因此， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数运算性质化简函数的解析式，利用两直线垂直的斜率之间的关系进行求解. （24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且.小试牛刀3 (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程； （2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. （2）解：由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在店处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 【题型11：切线方程中距离最值】 【练方法】 方法技巧 1写出含参切线方程代入点到直线距离公式 2转化为函数利用导数或基本不等式求最值 公式结论 1点到直线距离 （2026·宁夏·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________.经典例题1例题 【答案】 【分析】先判断出与的图像的对称性，然后结合导数与点到直线的距离公式求得最小值. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，， 所以，， 则切点为， （25-26高二下·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________．经典例题2例题 【答案】 【详解】令，得，代入曲线， 的最小值即为点到直线的距离， ． （25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________.小试牛刀1 【答案】 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. （25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________.小试牛刀2 【答案】 【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为， 因为直线与的斜率均为定值，所以为定值， 设，则，当曲线在点处的切线平行于直线时， 取得最小值，所以当取最小值时，取得最小值， 令，则，所以，解得，即， 所以当直线过点时，取得最小值，此时， 联立，得，此时， 所以的最小值为. （2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为__________．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据函数关系，找出得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达式单调性,求出最小值. 【详解】易知点在函数上, 设,化简得,即 则点在以为圆心,半径为1的圆周上, 如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可. 设圆心为,可知, 设函数,求导得 易知为单调增函数,且, 所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增, 在上有最小值,最小值, 所以的最小值为. 故答案为: . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义01：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的平均变化率 对一般的函数来说，当自变量从变为时，函数值从变为，通常我们把自变量的变化_______称作自变量的改变量，记作，函数值的变化_______称作函数值的改变量，记作.函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即______ 2．瞬时变化率 对一般的函数，在自变量从变为时，若设，，则该函数的平均变化率为______，如果当趋于时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的__瞬时变化率____.瞬时变化率刻画的是函数在_某一点处_____变化的快慢. 3．导数的概念 （1）函数在处的导数记作__________或__________． ． （2）函数的导函数 ． 4．几何意义：就是曲线在点处（也称在处）的_切线的斜率_____．相应地，切线方程为______． 5．导数的实际意义 1．在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是__位移______关于_时间_______的导数，线密度是___质量_____关于_长度_______的导数，功率是__功______关于__时间______的导数等． 2．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数的导函数称为边际成本．边际成本指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就是当产量为时，每增加一个单位的产量，需要增加个单位的成本． 6．割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的_切线_______．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝________＝ 7．曲线上一点处的切线 （1）设为曲线上不同于的一点，此时直线称为曲线的_割线___，随着点沿曲线向点运动，割线在点处附近越来越接近曲线，当点无限逼近点时，直线最终成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点处的_切线____.    （2）设曲线上，，当无限趋近于0时，割线的斜率______无限趋近于点处切线的__斜率___. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平均变化率瞬时变化率】 【练方法】 方法技巧 1平均变化率刻画区间内函数整体变化快慢 2瞬时变化率为平均变化率在区间增量趋于0的极限 公式结论 1平均变化率 2瞬时变化率 （25-26高二下·上海黄浦·期末）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ）经典例题1例题 A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s （25-26高二下·陕西渭南·期末）某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ）经典例题2例题 A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 （25-26高二下·上海·期中）物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒.小试牛刀1 （25-26高二下·广东·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．6 【题型2：导数的概念】 【练方法】 方法技巧 1函数在处可导等价于瞬时变化率极限存在 2导数是特殊极限自变量增量无限趋近0 公式结论 1函数在处导数定义 2等价定义 3导函数 （25-26高二下·安徽滁州·期中）若函数在处可导，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）若，则当h时，的极限是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数在处可导，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． （25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处可导，且，则（  ）小试牛刀2 A．-3 B．2 C．4 D．-1 （2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.小试牛刀3 【题型3：求曲线切线的斜率及范围】 【练方法】 方法技巧 1曲线在处切线斜率等于该点导数值 2求斜率范围即求导函数的值域 公式结论 1切线斜率 2斜率取值范围：求解的值域 （25-26高二下·河北邢台·阶段检测）点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求在某点出的切线方程】 【练方法】 方法技巧 1点在曲线上先求该点导数值得斜率 2代入点斜式整理成标准直线方程 公式结论 1点斜式 （2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________.经典例题1例题 （25-26高二下·广西·阶段检测）已知曲线及其在点处切线的图象如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．5 （25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．5 （25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________.小试牛刀3 【题型5：求过某点的切线方程】 【练方法】 方法技巧 1点不一定在曲线上设切点 2列斜率等式解切点横坐标 3得到切点后代入点斜式写切线 公式结论 1斜率等量关系 2切线方程 （2026高三·全国·专题练习）已知函数．直线过点且与曲线相切，求满足条件的直线方程；经典例题1例题 （24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.经典例题2例题 （2020·辽宁沈阳·三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为______.小试牛刀1 （22-23高二下·山东威海·期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程_________.小试牛刀2 过原点且与相切的直线方程是__________.小试牛刀3 【题型6：切线的垂直平行问题】 【练方法】 方法技巧 1两直线平行斜率相等 2两直线垂直斜率乘积为 公式结论 1平行 2垂直 （25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则______.经典例题1例题 （2026·四川达州·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____.经典例题2例题 （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．小试牛刀1 （25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________．小试牛刀2 （25-26高二上·云南昆明·阶段检测）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.小试牛刀3 【题型7：公切线问题】 【练方法】 方法技巧 1分别设两条曲线切点写出两条切线点斜式 2两条切线为同一直线斜率相等截距相等联立方程组求解 公式结论 设曲线切点曲线切点 1斜率相等 2截距相等 （25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________．经典例题1例题 （2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________．经典例题2例题 （25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______小试牛刀1 （2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.小试牛刀2 （25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.小试牛刀3 【题型8：切线条数问题】 【练方法】 方法技巧 1设切点列方程转化为关于切点横坐标的方程 2方程实根个数等于切线条数 公式结论 1构造方程 2方程实数解的个数=过该点切线条数 （23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.经典例题1例题 （23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·江西·阶段检测）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：切线方程与圆锥曲线综合】 【练方法】 方法技巧 1写出曲线切线方程联立圆锥曲线方程 2利用判别式韦达定理求解参数范围或交点 公式结论 1切线 2一元二次方程判别式 （24-25高三上·浙江·开学考试）若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数__________.经典例题1例题 （23-24高二下·安徽滁州·期末）过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________.经典例题2例题 （24-25高三下·重庆·阶段检测）抛物线与椭圆有相同的焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，交轴于，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则_____.小试牛刀1 （2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则__________.小试牛刀2 （24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．小试牛刀3 【题型10：切线的综合问题】 【练方法】 方法技巧 1先区分“在点处切线”与“过点切线”两类模型 2结合导数值域平行垂直公切线切线条数综合求解 公式结论 整合核心公式 1 2点斜式 3平行垂直 （25-26高二下·吉林长春·期中）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________．经典例题1例题 （2027高三·全国·专题练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则________；若，交点的横坐标为，则________．经典例题2例题 （24-25高二上·江苏宿迁·期末）令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：小试牛刀1 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ （23-24高二下·江苏南通·阶段检测）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则______；若，交点的横坐标为，则______．小试牛刀2 （24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且.小试牛刀3 (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【题型11：切线方程中距离最值】 【练方法】 方法技巧 1写出含参切线方程代入点到直线距离公式 2转化为函数利用导数或基本不等式求最值 公式结论 1点到直线距离 （2026·宁夏·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________.经典例题1例题 （25-26高二下·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________．经典例题2例题 （25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________.小试牛刀1 （25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________.小试牛刀2 （2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为__________．小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $