专题13函数零点（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

专题13 函数零点 重点目标： 1. 理解函数零点的概念, 掌握函数零点、对应方程的实数根、函数图象与轴交点横坐标三者之间的等价关系. 2. 掌握函数零点存在定理, 能利用定理判断连续函数在给定区间上是否存在零点. 3. 理解二分法的原理, 会用二分法求解简单方程的近似解, 熟悉二分法的操作步骤. 4. 能结合一次、二次、指数、对数函数, 求解零点个数、零点所在区间等基础题型. 5. 会将实际问题转化为函数模型, 利用函数零点解决简单的实际应用问题. 难点目标： 1. 辨析零点存在定理的单向性: 理解定理只能判断零点存在, 不能判定零点个数; 不存在零点不能用定理直接证明. 2. 数形结合思想的运用: 通过构造函数, 转化方程解的个数问题为两个函数图象交点个数问题. 3. 含参函数零点问题: 能对参数分类讨论, 结合函数单调性、值域分析零点个数与参数范围. 4. 二分法的误差理解: 准确区分精确度概念, 能根据给定精确度判断二分法何时停止计算. 5. 实际问题建模: 从复杂文字情境提取变量关系, 建立合适函数模型, 利用零点分析实际情境中的临界点. 1、 重点知识 （一）函数的零点与方程的根 1. 定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2. 注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3. 方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （二）零点存在定理及其推论 1. 定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2. 重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 （三）零点个数的判断方法 1. 直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2. 定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点. 3. 图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4. 性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 （四）判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点. （五）二分法 二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法. （六）用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； （七）几种常见的函数模型 1. 一次函数模型：（，为常数，） 2. 二次函数模型：（为常数，） 3. 指数函数模型：（为常数，，且） 4. 对数函数模型：（为常数，，且） 5. 幂函数模型：（为常数，） 6. 分段函数模型： （八）用函数模型解应用问题的四个步骤 1. 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2. 建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3. 求模：求解数学模型，得出数学模型； 4. 还原：将数学结论还原为实际问题. 2、 难点知识 （一）零点存在定理的易错辨析 · , 不能说明区间内无零点; · 只能推出至少一个零点, 不能确定零点数量; · 定理前提: 连续函数, 不连续函数不适用. （二）二分法定义的易错辨析 1. 二分法的求解原理是函数零点存在定理； 2. 函数图象在零点附近连续不断； 3. 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解. （三）零点个数问题（数形结合核心难点, 高考高频） 方程的解 与交点横坐标. 常见考法: 含绝对值函数、分段函数、指数对数混合函数零点个数, 画图分析交点. （四）含参数的零点问题（期末压轴、高考热点） 类型: 已知零点个数, 求参数取值范围; 思路: 分离参数法、分类讨论法, 结合函数单调性、最值、极限分析. 易错点: 端点是否可取、分段函数分段点的函数值讨论. （五）已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1. 直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2. 数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3. 分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （六）关于精确度 1. “精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33 2. 精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值. （七）函数拟合与预测的一般步骤 1. 通过原始数据、表格，绘出散点图； 2. 通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3. 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4. 根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5. 利用选取的拟合函数进行预测； 6. 利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 题型01确定函数的零点 角度1：求函数的零点 【典例】二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 【变式】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 角度2：零点所在区间的判断 【典例】在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 【变式】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 角度3：根据零点所在区间求参数 【典例】若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若 或. 当时，由 ； 当时，由 . 若 ，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时， ； 当这两个根都在区间时， ，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 【变式】已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 题型02 函数零点的个数问题 角度1：判断函数零点的个数 【典例】函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 【变式】已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】C 【详解】时，，令得， 解得或2， 又，即的一个周期为3， 所以函数在区间上的零点个数为. 角度2：根据零点个数求参数 【典例】已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 【变式】已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ，，， 取交集得 . 题型03 函数零点和问题 【典例】已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 【变式】设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 题型04 比较零点的大小 【典例】已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 【变式】（多选）已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】令，则， 分别作与的图象如图所示． 由图可得， 所以，故A正确； ，故C正确； 由于， 所以，故B正确，D错误， 故选：ABC 题型05 求函数零点（代数式）的取值范围 【典例】已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【答案】D 【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解． 的图象如图所示，由二次函数的对称性，可得．因为， 所以，故． 故选：D 【变式】已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为且，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象如图， 由题意得，，则， 令得，或4，故， 所以， 令，则， 又. 故选：D 题型06 二分法概念的理解 角度1：能否应用二分法的判断 【典例】下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 【变式】下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二分法求零点有两个条件：1.函数在区间上连续；2.区间两端函数值异号，即（图像穿过轴）.    对于，图像与轴相交但没有穿过轴，不满足，错误； 对于，零点处图像与轴相切，零点两侧函数值都大于等于，同号，错误； 对于，连续曲线，存在区间使得两端函数值一正一负，穿过轴，正确； 对于，函数在零点处不连续，不满足二分法前提，错误. 角度2：二分法步骤的辨析 【典例1】利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 【变式1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【典例2】已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 【变式2】已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 角度3：二分法求零点（方程的近似解） 【典例】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 【变式】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 题型07 函数模型的应用问题 角度1：指数函数模型的应用 【典例】冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 【变式】为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 角度2：对数函数模型的应用 【典例】二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题设公式（为正的常数）， 可得当刺激强度从变化到时，的增量为：， 当从15增大到60时，，代入得：，整理得， 当从60增大到480时，代入增量公式：， 将代入，得． 【变式】在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 【答案】A 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 角度3：根据增长率选择合适的函数模型 【典例】根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D. 故选：C 【变式】在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系， 故选：C. 角度3：建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【答案】(1) (2)3.4小时 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 【变式1】受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 【答案】(1)50 (2) 【详解】（1）维护人员名，则研发人员名，调整后研发人员人均投入为， 所以，即， 即，解得，则， 所以调整后研发人员人数最少为50名. （2）对于条件①，因为调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 对于条件②，因为维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， 当时，取最大值为15，所以， 综上所述，的取值范围为. 【典例2】某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据： 年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1). （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型. 【答案】（1）可用③来描述x，y之间的关系；（2）该企业要考虑转型. 【详解】（1）将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)， 得解得，所以y＝x－. 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)， 得解得所以. 当x＝9时，，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)， 得解得所以y＝log2(x－1). 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系. （2）令log2(x－1)>6，则x>65. 因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型. 【变式2】某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 【答案】(1)应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1），y＝27×（）x（x≥0） (2)9 min 【详解】解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快， y＝logbx（b＞1）和y＝p＋q（p＞0）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）. 由题意得解得 所以该函数模型为y＝27×（）x（x≥0）. （2）由题意得27×（）x＞300，即（）x＞，所以x＞log. 又log＝＝≈≈8.368， 所以至少经过9 min培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2. 【巩固训练】 1．方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数， 因为函数在上都是单调递增函数， 所以函数在上也是单调递增函数. 因为， 所以， 又因为函数在上是单调递增函数， 所以根据函数零点存在原理，函数在上有唯一零点，且该零点在区间内， 因此方程的解所在区间为. 2．若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 4．已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示：    由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为， 故选：C 5．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 6．已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标， 而和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，所以两个交点也关于对称， 联立、，得，故. 故选：D 7．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 8．（多选）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【详解】设的零点为，且． 由，得或或． 由的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程有且仅有三个解，故A正确： 同理，最多有九个解，C错误； 因为有一个解，又每个对应的值只有一个相应的解，故有且仅有一个解，而最多有三个解，所以B错误，D正确， 故选AD． 9．（多选）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由函数 ，作出函数的图象，如图所示， 因为关于x的方程 有四个不同的解，且， 结合图象，可得，且， 则，其中， 所以，所以A不正确. 根据图象，要使得方程 有四个不同的解，可得，所以B正确； 因为，且，可得， 所以，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 显然，所以，所以C正确； 令，可得，结合图象，可得，所以D不正确. 故选：BC. 10．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 【答案】(1)选模型②， (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，所以选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为， 所以当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【强化训练】 1．已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由是函数的零点可知， 整理得，即， 设，易知在上单调递增， 因为， 所以， 所以，故， 故选：A． 2．已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到在上单调递增， ，注意到， 又，则，则， 又，则； 令，得； 在R上单调递减，注意到. 则，即. 故选：D 3．若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在内单调递增， 则函数在内的值域为. 若函数在内无零点，则或，可得或， 可知函数在内有2个零点， 则，解得，所以或； 若函数在内有且仅有1个零点，则，可得， 可知函数在内有且仅有1个零点， 则或，解得或，所以无解； 综上所述：的取值范围是. 4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】由 ，得 ， 令， 由函数 在区间 上恰有两个不同的不动点， 得方程在内恰有两个不同的实根， 在内有两个零点， 所以或， 所以或， 所以或， 所以实数 的取值范围为. 5．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 6．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 7．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 8．（多选题）某市盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【答案】ABC 【详解】由题意可知，所以即，. 由题意可知当时，失去的新鲜度小于，没有超过. 当时，则有即，所以， 所以，解得． 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数在内连续，且， 所以函数在内有零点，所以A正确； 对于B，函数，令，则或，所以函数的零点是，所以B错误； 对于C，作函数与的图象，可知，当时，函数与的图象有且只有一个交点. 当时，函数与的图象有两个交点，分别为. 所以函数有三个不同的零点. 所以C正确；    对于D，因为，根据用二分法求函数在区间内的零点近似值方法，知零点近似值在内，又，零点近似值在上，所以D错误. 故选：AC. 10．据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图：    为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 (1)依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； (2)在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. 【答案】(1)应选择函数模型； (2)m的值为1.25，第2季度 【详解】（1）由研究员乙的发现①可知，随着时间的推移，后期生猪成活率呈缓慢递增趋势. 对于模型，当充分大时，呈递增趋势，符合题意； 对于模型，当充分大时，呈常数趋势，不符合题意. 同时，由表可知，模型在点C，D处的误差为0，拟合效果优于. 故应选择函数模型； 由题意，函数的图象经过点和， 将这两点坐标代入解析式得:， 所以该函数模型的解析式为: ， （2）当时，，所以模型估计m的值为1.25. 由基本不等式可得: ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，取得最小值， 故在第2季度生猪的成活率最低. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数零点 重点目标： 1. 理解函数零点的概念, 掌握函数零点、对应方程的实数根、函数图象与轴交点横坐标三者之间的等价关系. 2. 掌握函数零点存在定理, 能利用定理判断连续函数在给定区间上是否存在零点. 3. 理解二分法的原理, 会用二分法求解简单方程的近似解, 熟悉二分法的操作步骤. 4. 能结合一次、二次、指数、对数函数, 求解零点个数、零点所在区间等基础题型. 5. 会将实际问题转化为函数模型, 利用函数零点解决简单的实际应用问题. 难点目标： 1. 辨析零点存在定理的单向性: 理解定理只能判断零点存在, 不能判定零点个数; 不存在零点不能用定理直接证明. 2. 数形结合思想的运用: 通过构造函数, 转化方程解的个数问题为两个函数图象交点个数问题. 3. 含参函数零点问题: 能对参数分类讨论, 结合函数单调性、值域分析零点个数与参数范围. 4. 二分法的误差理解: 准确区分精确度概念, 能根据给定精确度判断二分法何时停止计算. 5. 实际问题建模: 从复杂文字情境提取变量关系, 建立合适函数模型, 利用零点分析实际情境中的临界点. 1、 重点知识 （一）函数的零点与方程的根 1. 定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2. 注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3. 方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （二）零点存在定理及其推论 1. 定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2. 重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 （三）零点个数的判断方法 1. 直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2. 定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点. 3. 图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4. 性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 （四）判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点. （五）二分法 二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法. （六）用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； （七）几种常见的函数模型 1. 一次函数模型：（，为常数，） 2. 二次函数模型：（为常数，） 3. 指数函数模型：（为常数，，且） 4. 对数函数模型：（为常数，，且） 5. 幂函数模型：（为常数，） 6. 分段函数模型： （八）用函数模型解应用问题的四个步骤 1. 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2. 建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3. 求模：求解数学模型，得出数学模型； 4. 还原：将数学结论还原为实际问题. 2、 难点知识 （一）零点存在定理的易错辨析 · , 不能说明区间内无零点; · 只能推出至少一个零点, 不能确定零点数量; · 定理前提: 连续函数, 不连续函数不适用. （二）二分法定义的易错辨析 1. 二分法的求解原理是函数零点存在定理； 2. 函数图象在零点附近连续不断； 3. 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解. （三）零点个数问题（数形结合核心难点, 高考高频） 方程的解 与交点横坐标. 常见考法: 含绝对值函数、分段函数、指数对数混合函数零点个数, 画图分析交点. （四）含参数的零点问题（期末压轴、高考热点） 类型: 已知零点个数, 求参数取值范围; 思路: 分离参数法、分类讨论法, 结合函数单调性、最值、极限分析. 易错点: 端点是否可取、分段函数分段点的函数值讨论. （五）已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1. 直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2. 数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3. 分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （六）关于精确度 1. “精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33 2. 精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值. （七）函数拟合与预测的一般步骤 1. 通过原始数据、表格，绘出散点图； 2. 通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3. 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4. 根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5. 利用选取的拟合函数进行预测； 6. 利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 题型01确定函数的零点 角度1：求函数的零点 【典例】二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 角度2：零点所在区间的判断 【典例】在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 角度3：根据零点所在区间求参数 【典例】若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【变式】已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 题型02 函数零点的个数问题 角度1：判断函数零点的个数 【典例】函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式】已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 角度2：根据零点个数求参数 【典例】已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式】已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 题型03 函数零点和问题 【典例】已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 题型04 比较零点的大小 【典例】已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式】（多选）已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05 求函数零点（代数式）的取值范围 【典例】已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【变式】已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为且，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 二分法概念的理解 角度1：能否应用二分法的判断 【典例】下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式】下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 角度2：二分法步骤的辨析 【典例1】利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 角度3：二分法求零点（方程的近似解） 【典例】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 题型07 函数模型的应用问题 角度1：指数函数模型的应用 【典例】冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 【变式】为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 角度2：对数函数模型的应用 【典例】二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式】在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 角度3：根据增长率选择合适的函数模型 【典例】根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 【变式】在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 角度3：建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【变式1】受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 【典例2】某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据： 年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1). （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型. 【变式2】某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 【巩固训练】 1．方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 9．（多选）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（    ） A． B． C． D． 10．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 【强化训练】 1．已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 3．若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 7．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（多选题）某市盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 10．据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图：    为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 (1)依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； (2)在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. / 学科网（北京）股份有限公司 $