第10讲 第三章函数的概念与性质单元复习+小测（核心知识+6易错辨析+13典例精讲）-2026-2027学年高一数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学函数概念与性质，以函数三要素为基础，串联分段函数、单调性、奇偶性等核心性质，结合幂函数模型，构建从基础定义到实际应用的完整知识支架。 资料通过6大易错辨析规避认知误区，13类典例精讲（含变式训练）强化解题思维，小测环节检验学习效果。易错点分析培养数学思维的严谨性，实际应用题引导用数学眼光观察现实，助力课中教学增效与课后查漏补缺。

第10讲 第三章函数的概念与性质单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+13典例精讲） 【题型一】函数的定义域求解 【题型八】由奇偶性求函数解析式 【题型二】函数的表示法 【题型九】由奇偶性求参数 【题型三】已知分段函数的值求参数 【题型十】求幂函数的解析式 【题型四】根据函数的单调性求参数值 【题型十一】根据函数是幂函数求参数值 【题型五】利用函数单调性求最值或值域 【题型十二】判断一般幂函数的单调性 【题型六】根据分段函数的单调性求参数 【题型十三】函数实际应用 【题型七】函数不等式恒成立问题 【知识点01】函数的概念及表示 （1）函数定义 设非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作：。 三要素：定义域、对应关系、值域（核心：定义域+对应关系，两要素相同则函数相同） （2）定义域求解核心规则 ① 分式：分母不为0，； ② 偶次根式：被开方数非负，； ③ 零次幂：底数不为0，； ④ 多个限制条件取交集。 （3）函数表示法 解析式法、列表法、图像法；分段函数是一个函数，并非多个函数。 【知识点02】分段函数 （1）定义 在定义域的不同子集上，有不同对应解析式的函数，称为分段函数。 核心关键：分段函数是一个函数，而非多个函数，定义域为各分段定义域的并集。 （2）通用形式 （3）高考常考题型 分段函数求值、分段函数定义域与值域、分段函数单调性、分段函数不等式、分段函数奇偶性判定。 【知识点03】函数的单调性与最值 （1）单调性定义 设函数的定义域为，区间： 任意，若，恒有，则在上单调递增； 任意，若，恒有，则在上单调递减。 （2）最值定义 最大值：，对任意，，则为最大值； 最小值：，对任意，，则为最小值。 （3）单调性常用结论 增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减；复合函数：同增异减。 【知识点04】函数的奇偶性 （1）判定前提：函数定义域关于原点对称（必要不充分条件） （2）定义公式 奇函数：对定义域内任意，，图像关于原点对称； 偶函数：对定义域内任意，，图像关于轴对称。 （3）核心性质 ① 奇函数若在处有定义，则； ② 奇偶性+单调性：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反； ③ 奇偶函数四则运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 【知识点05】幂函数 （1）定义 形如的函数称为幂函数，底数为自变量，指数为常数。 （2）常见幂函数图像与性质 ① ：定义域，奇函数，单调递增； ② ：定义域，偶函数，递减，递增； ③ ：定义域，非奇非偶，单调递增； ④ ：定义域，奇函数，区间递减； ⑤ ：定义域，奇函数，单调递增。 （3）通用性质 所有幂函数在上都有定义，且图像过定点。 【知识点06】函数的应用（一） 核心模型：一次函数、二次函数、幂函数模型，用于解决增长率、最值优化、实际变化规律问题；解题核心：建立函数解析式+确定定义域+利用单调性/最值求解实际问题。 易错点1：函数概念与相等函数误区 误区：解析式相同即为同一函数；分段函数为多个函数。 正解：必须定义域、对应关系均相同才是相等函数；分段函数是一个函数。 易错点2：分段函数取值误区 误区：代入自变量时随意选用分段解析式，忽略自变量所属区间。 正解：先判自变量范围，再对应选取对应分段解析式计算。 易错点3：单调区间书写误区 误区：不连续单调区间用连接。 正解：多个单调区间只能用“逗号”“和”连接，不能取并集。 易错点4：奇偶性判定顺序误区 误区：直接化简判断奇偶性。 正解：先判定定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶。 易错点5：幂函数定义误区 误区：属于幂函数。 正解：幂函数系数必须为1、无常数项，仅标准形式。 易错点6：实际问题最值误区 误区：直接用函数顶点最值，忽略实际定义域限制。 正解：实际问题必须优先限定自变量取值范围，在定义域内求最值。 【题型一】函数的定义域求解 【典例1-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 【典例1-2】（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据二次根式和分式的意义求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得且 所以函数的定义域为 故答案为： 【典例1-3】（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______. 【答案】 【分析】代入求解可得第一空答案；求出的定义域及的解析式，根据其解析式，可求得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以； 因为的定义域为， 且， 所以，解得 所以函数的定义域是. 故答案为：；. 【变式1-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 【变式1-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且， 的定义域为. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【题型二】函数的表示法 【典例2-1】（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据表先计算出，然后可得的结果. 【详解】由表中数据可知，，所以， 故选：A. 【典例2-2】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【典例2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数________； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数________． 【答案】 【分析】（1）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可； （2）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可． 【详解】（1）依题意，且，故， ； （2）依题意，且，故， 所以． 故答案为：；． 【变式2-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【详解】由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的表格找出满足时的取值，再根据的表格求出当取这些值时的取值，最后判断选项. 【详解】观察的表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足的取值为； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 所以的值可以是，或. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】分类讨论和时的函数解析式，由此可求与之间的函数解析式. 【详解】过作于，则，则为等腰直角三角形， 当时，； 当时，， 综上所述，与之间的函数解析式为. 故答案为：. 【题型三】已知分段函数的值求参数 【典例3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若设函数，若，则_____. 【答案】3 【分析】利用分段函数的性质并结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，解得. 故答案为：3 【变式3-1】（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解. 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况，运算求解即可. 【详解】因为， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 【变式3-3】（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)6 (2)0或2． 【分析】（1）根据分段函数解析式依次求得,; （2）根据分段函数解析式分类求解方程，检验后即得参数的值. 【详解】（1）， ． （2）当时，由，得，解得，符合题意； 当时，由，得，解得（舍去）. 故的值为0或2． 【题型四】根据函数的单调性求参数值 【典例4-1】（25-26高一上·天津红桥·期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性，列不等式求实数的取值范围. 【详解】函数在上是增函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【变式4-2】（24-25高一上·河南·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】对二次项系数是否为零进行分类讨论，并根据二次函数图象性质，利用单调性解不等式可得结果. 【详解】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数的图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（    ） A． B． C．0.8 D．5 【答案】BCD 【分析】根据函数单调性的概念及图象特征，列不等式求解的取值范围即可. 【详解】由图可知，在上单调递增，所以或， 所以的取值范围为． 故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD. 【题型五】利用函数单调性求最值或值域 【典例5-1】（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性，再求最大值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性和定义域，判断函数值域即可. 【详解】由题意可知函数定义域为，即定义域， 可知在定义域上单调递增，可知，所以． 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为____________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质求出函数的单调性，求出端点函数值，即可得解. 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2) 由（1）得，任取， 则， 由，得，，， 则，即， 所以函数在区间上是减函数. (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得. （2）利用减函数的定义推理得证. （3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值. 【详解】（1）函数，由，得，解得， 所以. （2）略 （3）由（2）得函数在区间上是减函数， 则当时，，当时，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【题型六】函数不等式恒成立问题 【典例6-1】（24-25高一上·河南·期中）记为不超过x的最大整数，已知m，n均为正整数，，要使时，恒成立，则n可以取的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的定义，得到 求解. 【详解】解：由的定义，可知，所以， 由于，故只需，即可满足时，恒成立， 故n可以取的最小值为． 故选：D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建宁德·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用参变分离结合基本不等式求最值即可. 【详解】当时，恒成立； 当时，，则， 因为，等号成立时， 所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数，可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的 恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故选：BCD. 【变式6-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【典例7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可 【详解】依题意，解得， 故选：B 【变式7-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则可以为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】由函数在各段单调递减且断点左侧的函数值不小于右侧的函数值得到不等式组，求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以符合题意的有B、C. 故选：BC 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求方程的根； (2)若是上的单调递减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分段讨论解方程即可； （2）根据一元二次函数和分段函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，， 则当时，由，得（舍）或（舍）； 当时，由，得， 故方程的根为； （2）由题意得，解得， 故实数的取值范围为. 【题型八】由奇偶性求函数解析式 【典例8-1】（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是奇函数求解解析式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C 【变式8-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 【变式8-3】（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数在上是奇函数，当时. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性求解析式即可； （2）分、两种情况解不等式即可． 【详解】（1）函数在上是奇函数，则，， 当时，，则， 所以； （2）当时，，符合题意； 当时，，， 即，， 则，解得或； 综上，不等式的解集为． 【题型九】由奇偶性求参数 【典例9-1】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由求得，代回检验即可. 【详解】因为的定义域为，且为奇函数，所以， ，得， 则，又，满足题意， 故. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高一上·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称且对称轴为轴可构造方程组求得，进而求得结果. 【详解】是定义域为的偶函数， ，解得：，，. 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则___________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数的定义求出的值，从而可得值． 【详解】是定义在上的偶函数， 定义域关于原点对称，得，解得， ，又函数为偶函数， ，即，解得， . 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数，且满足． (1)求实数的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义加以证明． 【答案】(1)， (2)单调减函数，证明见解析 【分析】（1）由解得，又由解出即可； （2）先判断的单调性，利用单调性的定义即可得证； 【详解】（1）由题意有：的定义域为， 又有，即，解得． 又得，解得； （2）由题意有：在为单调减函数， 证明如下： ， 所以 ， 其中， 即， 所以，在为单调减函数． 【题型十】求幂函数的解析式 【典例10-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设，代入点，即可得解. 【详解】设则，解得. 故选：D 【变式10-1】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 【变式10-2】（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 【变式10-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用基本不等式直接求解即可. 【详解】（1）解：因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以 （2）解：因为， 所以， 所以,当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 【题型十一】根据函数是幂函数求参数值 【典例11-1】（25-26高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（   ） A．2或 B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以，解得或， 当时，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 【变式11-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和所过的点求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，且过点，因此， 所以，得，所以. 故答案为： 【变式11-2】（多选）若幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义求出幂函数的解析式，再把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出. 【详解】由题意得，则， 所以过点，由，得． 故选：BC. 【变式11-3】（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数,证明见解析 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 【题型十二】判断一般幂函数的单调性 【典例12-1】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出的解析式，根据奇函数定义和幂函数性质判断. 【详解】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 故选：C. 【变式12-1】（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 【答案】A 【分析】设，代入点解得，即可得，进而分析单调性和函数值即可. 【详解】设， 由题意可得：，可得， 则在上单调递减， 且，即图象过点. 【变式12-2】已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调______（填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 【变式12-3】函数，，的单调性如何？ 【答案】答案见解析 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个函数分析，即可求解. 【详解】根据幂函数的图象与性质，可得函数在定义域为单调递增函数； 函数在定义域上是单调递增函数， 并且在第一象限内函数的增长趋势越来越快，函数的增长越来越缓慢； 函数在上是单调递减函数，在为单调递增函数； 【题型十三】函数实际应用 【典例13-1】（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式13-1】（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 【答案】B 【分析】根据题干给出的函数模型和已知数据求出函数解析式，设产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数，求其最大值. 【详解】设，由图知当时，，所以，所以， 设，由图知当时，，所以，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 则企业利润， 令，则， 则， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元. 故选：B. 【变式13-2】（25-26高一·全国·寒假作业）某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件______元，最大利润为______元． 【答案】 190 60500 【分析】设定销售价为变量，建立利润的二次函数模型，利用二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设销售价为每件元，利润为元. 销售量为件，每件利润为元. 则. 由二次函数性质，当元时，最大. 将代入，得元. 故答案为：； 【变式13-3】（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 1. 知识体系框架 以函数三要素为基础，分段函数为常考载体，单调性、奇偶性为核心性质，幂函数为基础初等函数模型，最终落地函数实际应用，构成完整函数单元知识体系。 2. 核心解题套路 ① 所有函数问题，优先确定定义域，规避基础失分； ② 分段函数严格“看区间、代对应解析式”，杜绝取值混乱； ③ 单调性解决最值、比较大小、函数不等式问题； ④ 奇偶性优先判定义域对称性，简化对称区间运算； ⑤ 幂函数紧扣标准定义、定点、区间单调性三大核心； ⑥ 实际应用重在建模，必须结合实际场景限定定义域。 3. 提分重点 重点突破分段函数求值与单调性、奇偶性综合问题，规避高频易错点，熟练掌握基础函数性质的综合应用，是本章单元得分关键。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期中）下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（     ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于ABC选项中的图象，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， D选项，符合函数的定义. 故选：D 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 3．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性和奇偶性来进行判断即可. 【详解】由幂函数在单调递减，可得指数， 因此排除指数为正的选项A，B， 再由图像关于轴对称，说明是偶函数， 对于C：，，定义域为， 因为，所以是奇函数，关于原点对称，故C不符合要求， 对于D：，，定义域为， 因为，所以是偶函数，关于轴对称，因此答案选D. 5．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 6．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 8．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 11．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【分析】A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 三、填空题 12．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】0 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，最后代入，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以， 所以． 故答案为：0. 13．（25-26高一上·河南驻马店·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质，分别分析每一段函数的单调性，再结合函数在分段点处的取值情况列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）设，为实数，且满足则__________. 【答案】2 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，由， 得 . 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 17．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意，，解得，则， 因，关于原点对称，且， 即函数是奇函数. 任取，由， 因，则，，， 故，即，故函数在上为增函数. (2). 【分析】（1）根据函数为奇函数，由求出的值并检验，利用函数的单调性定义证明函数单调性即可； （2）法一：利用函数的奇偶性和上的单调性推得在上也是增函数，即得，即可求得答案；法二：由题设不等式等价于，分别求解两不等式，再求交集即得. 【详解】（1）略 （2）法一：不等式等价于， 因函数在上为增函数，且为上的奇函数， 则函数在上也是增函数，故有，解得， 即实数的取值范围为. 法二：由可得， 由①可得； 对于② ，因，则有， 设，则得，解得或， 即或，解得或. 综上可得，即实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）设函数． (1)利用单调性的定义判断的单调性； (2)求的值，并解不等式； (3)对任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)在单调递增 (2)， (3) 【分析】（1）利用函数单调性定义按照步骤证明即可； （2）代入求值，利用单调性解不等式； （3）由单调性将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】（1）的定义域为， ，且， 则 因为，，， 所以． 故在单调递增． （2）因为函数，所以． 不等式可化为， 即， 因为在单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． （3）由（1）知，函数在单调递增． 因为，从而当，即， 所以，即 令， 则在单调递减，在单调递增． 所以，， 对任意时，，当且仅当 解得， 所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 第三章函数的概念与性质单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+13典例精讲） 【题型一】函数的定义域求解 【题型八】由奇偶性求函数解析式 【题型二】函数的表示法 【题型九】由奇偶性求参数 【题型三】已知分段函数的值求参数 【题型十】求幂函数的解析式 【题型四】根据函数的单调性求参数值 【题型十一】根据函数是幂函数求参数值 【题型五】利用函数单调性求最值或值域 【题型十二】判断一般幂函数的单调性 【题型六】根据分段函数的单调性求参数 【题型十三】函数实际应用 【题型七】函数不等式恒成立问题 【知识点01】函数的概念及表示 （1）函数定义 设非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作：。 三要素：定义域、对应关系、值域（核心：定义域+对应关系，两要素相同则函数相同） （2）定义域求解核心规则 ① 分式：分母不为0，； ② 偶次根式：被开方数非负，； ③ 零次幂：底数不为0，； ④ 多个限制条件取交集。 （3）函数表示法 解析式法、列表法、图像法；分段函数是一个函数，并非多个函数。 【知识点02】分段函数 （1）定义 在定义域的不同子集上，有不同对应解析式的函数，称为分段函数。 核心关键：分段函数是一个函数，而非多个函数，定义域为各分段定义域的并集。 （2）通用形式 （3）高考常考题型 分段函数求值、分段函数定义域与值域、分段函数单调性、分段函数不等式、分段函数奇偶性判定。 【知识点03】函数的单调性与最值 （1）单调性定义 设函数的定义域为，区间： 任意，若，恒有，则在上单调递增； 任意，若，恒有，则在上单调递减。 （2）最值定义 最大值：，对任意，，则为最大值； 最小值：，对任意，，则为最小值。 （3）单调性常用结论 增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减；复合函数：同增异减。 【知识点04】函数的奇偶性 （1）判定前提：函数定义域关于原点对称（必要不充分条件） （2）定义公式 奇函数：对定义域内任意，，图像关于原点对称； 偶函数：对定义域内任意，，图像关于轴对称。 （3）核心性质 ① 奇函数若在处有定义，则； ② 奇偶性+单调性：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反； ③ 奇偶函数四则运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 【知识点05】幂函数 （1）定义 形如的函数称为幂函数，底数为自变量，指数为常数。 （2）常见幂函数图像与性质 ① ：定义域，奇函数，单调递增； ② ：定义域，偶函数，递减，递增； ③ ：定义域，非奇非偶，单调递增； ④ ：定义域，奇函数，区间递减； ⑤ ：定义域，奇函数，单调递增。 （3）通用性质 所有幂函数在上都有定义，且图像过定点。 【知识点06】函数的应用（一） 核心模型：一次函数、二次函数、幂函数模型，用于解决增长率、最值优化、实际变化规律问题；解题核心：建立函数解析式+确定定义域+利用单调性/最值求解实际问题。 易错点1：函数概念与相等函数误区 误区：解析式相同即为同一函数；分段函数为多个函数。 正解：必须定义域、对应关系均相同才是相等函数；分段函数是一个函数。 易错点2：分段函数取值误区 误区：代入自变量时随意选用分段解析式，忽略自变量所属区间。 正解：先判自变量范围，再对应选取对应分段解析式计算。 易错点3：单调区间书写误区 误区：不连续单调区间用连接。 正解：多个单调区间只能用“逗号”“和”连接，不能取并集。 易错点4：奇偶性判定顺序误区 误区：直接化简判断奇偶性。 正解：先判定定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶。 易错点5：幂函数定义误区 误区：属于幂函数。 正解：幂函数系数必须为1、无常数项，仅标准形式。 易错点6：实际问题最值误区 误区：直接用函数顶点最值，忽略实际定义域限制。 正解：实际问题必须优先限定自变量取值范围，在定义域内求最值。 【题型一】函数的定义域求解 【典例1-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为___________． 【典例1-3】（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数，则______；的定义域是______. 【变式1-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为________． 【变式1-3】（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【题型二】函数的表示法 【典例2-1】（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【典例2-2】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数________； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数________． 【变式2-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为______． 【题型三】已知分段函数的值求参数 【典例3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若设函数，若，则_____. 【变式3-1】（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-3】（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【题型四】根据函数的单调性求参数值 【典例4-1】（25-26高一上·天津红桥·期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是______． 【变式4-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·河南·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为________. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（    ） A． B． C．0.8 D．5 【题型五】利用函数单调性求最值或值域 【典例5-1】（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为____________. 【变式5-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【题型六】函数不等式恒成立问题 【典例6-1】（24-25高一上·河南·期中）记为不超过x的最大整数，已知m，n均为正整数，，要使时，恒成立，则n可以取的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建宁德·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【典例7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则可以为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求方程的根； (2)若是上的单调递减函数，求实数的取值范围. 【题型八】由奇偶性求函数解析式 【典例8-1】（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【变式8-3】（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数在上是奇函数，当时. (1) 求的解析式； (2) 求不等式的解集. 【题型九】由奇偶性求参数 【典例9-1】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【变式9-1】（24-25高一上·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则___________． 【变式9-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数，且满足． (1)求实数的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义加以证明． 【题型十】求幂函数的解析式 【典例10-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【变式10-2】（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【变式10-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值． 【题型十一】根据函数是幂函数求参数值 【典例11-1】（25-26高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（   ） A．2或 B． C．3 D．1 【变式11-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则_____. 【变式11-2】（多选）若幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【题型十二】判断一般幂函数的单调性 【典例12-1】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【变式12-1】（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 【变式12-2】已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调______（填“递增”或“递减”）． 【变式12-3】函数，，的单调性如何？ 【题型十三】函数实际应用 【典例13-1】（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 【变式13-2】（25-26高一·全国·寒假作业）某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件______元，最大利润为______元． 【变式13-3】（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 1. 知识体系框架 以函数三要素为基础，分段函数为常考载体，单调性、奇偶性为核心性质，幂函数为基础初等函数模型，最终落地函数实际应用，构成完整函数单元知识体系。 2. 核心解题套路 ① 所有函数问题，优先确定定义域，规避基础失分； ② 分段函数严格“看区间、代对应解析式”，杜绝取值混乱； ③ 单调性解决最值、比较大小、函数不等式问题； ④ 奇偶性优先判定义域对称性，简化对称区间运算； ⑤ 幂函数紧扣标准定义、定点、区间单调性三大核心； ⑥ 实际应用重在建模，必须结合实际场景限定定义域。 3. 提分重点 重点突破分段函数求值与单调性、奇偶性综合问题，规避高频易错点，熟练掌握基础函数性质的综合应用，是本章单元得分关键。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期中）下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（     ） A．  B．  C．   D．   2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 8．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 11．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 三、填空题 12．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 13．（25-26高一上·河南驻马店·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 14．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）设，为实数，且满足则__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 17．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）设函数． (1)利用单调性的定义判断的单调性； (2)求的值，并解不等式； (3)对任意，都有成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $