第4章 章末复习课 指数函数与对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学讲义通过梳理指数对数运算、函数图象及性质、零点问题构建递进知识体系，以例题解析和反思感悟呈现知识脉络，突出运算性质、图象应用、性质应用等重难点及内在联系。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合，如指数对数计算题、函数图象辨析题，培养数学运算和直观想象素养。方法指导如转化思想助力学生突破难点，基础题与综合题兼顾不同层次学生，为教师精准教学提供支持。

一、指数、对数的运算 1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明. 2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养. 例1　计算： (1)1-+0； (2)log20.25+ln +lg 4+2lg 5-. 解　(1)1-+0 =1-+1 =1--2++1=-. (2)log20.25+ln +lg 4+2lg 5- =log2+ln +lg 4+lg 52- =-2++81+lg 100-2=. 反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 跟踪训练1　化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 答案　B 解析　原式= =log23×log32=2. 二、指数、对数函数的图象及应用 1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. 2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. 例2　已知a>0，且a≠1，则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是(　　) 答案　C 解析　函数g(x)的定义域是(-∞，0)，排除A，B； 若0<a<1，则f(x)=ax是减函数， 此时g(x)=loga是减函数，C，D都不满足； 若a>1，则f(x)=ax是增函数， 此时g(x)=loga是增函数，C满足. 反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 跟踪训练2　在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x，y=loga(x+a)(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　A 解析　函数y=a-x与y=loga(x+a)的图象均过定点(0，1)， 所以C，D错误； 又因为y=a-x=与y=loga(x+a)的单调性不同，所以B错误，A正确. 三、指数、对数性质的应用 1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围. 2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例3　(1)设a=log2π，b=loπ，c=π-2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 答案　C 解析　∵a=log2π>log22=1，b=loπ<lo1=0， c=π-2=即0<c<1， ∴a>c>b. (2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)=logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1. ①求a的值； ②若1≤x≤3，求函数y=(logax)2-loga+2的值域. 解　①因为loga3>loga2，所以a>1， 所以f(x)=logax在[a，3a]上单调递增. 又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)-logaa=1， 即loga3=1， 所以a=3. ②函数y=(log3x)2-log3+2 =(log3x)2-log3x+2=. 令t=log3x， 因为1≤x≤3， 所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1. 所以y= 所以所求函数的值域为. 反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决. 跟踪训练3　若0<x<y<1，则(　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D. 答案　C 解析　因为0<x<y<1，则 对于A，函数y=3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误； 对于B，根据底数a对对数函数y=logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误； 对于C，函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确； 对于D，函数y=在R上为减函数，故D错误. 四、函数的零点 1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题. 2.掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养. 例4　(1)设函数f(x)=log2x+2x-3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　B 解析　因为函数f(x)=log2x+2x-3在定义域(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)的零点至多有一个， 又因为f(1)=log21+21-3=-1<0， f(2)=log22+22-3=2>0， 所以根据函数零点存在定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. (2)已知函数f(x)=a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(-1，0) D.[-1，0) 答案　D 解析　由3x-1=0可得x=>0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex+a=0在(-∞，0]上有一个实根，即y=-a与y=ex在(-∞，0]上有一个交点，因为当x≤0时，ex∈(0，1]，所以0<-a≤1， 即-1≤a<0. 反思感悟　(1)函数的零点与方程的解的关系：方程f(x)=0有实数解⇒函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇒函数y=f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断. 跟踪训练4　(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3 则可以判断函数f(x)至少有　　　　个零点(　　)  A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由所给的函数值表知，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， 由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(5，6)内至少各有一个零点. 故函数f(x)至少有2个零点. (2)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.1 D.4 答案　B 解析　令g(x)=0得f(x)= 可知函数g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=图象的交点个数， 在同一直角坐标系中作出y=f(x)，y=图象的大致图象如图所示， 由图象可知，函数y=f(x)与y=的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $