专题12 对数函数强化（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册
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精品
内容正文：
专题12 对数函数强化
重点目标：
1. 深化对数型复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性核心性质，熟练运用“同增异减”法则规范解题.
2. 掌握对数型函数恒成立、存在性问题的基础解题模型，能够将参数问题转化为函数最值问题求解.
3. 熟悉对数函数实际应用模型，掌握增长率、衰减、翻倍、半衰期等经典场景，能独立建立对数函数模型解题.
4. 掌握对数函数与二次函数、不等式、分段函数的综合应用，理清跨章节融合题型的解题逻辑.
5. 读懂对数类新定义题型的规则，结合对数核心性质完成推理、判断与运算，适配创新题型考法..
难点目标：
1. 精准区分对数函数恒成立与存在性问题的最值逻辑差异，规避参数范围反向、区间遗漏、定义域缺失等高频错误.
2. 熟练处理含参底数、含参定义域的对数型复合函数，掌握完整分类讨论体系，杜绝漏情况、错单调性的问题.
3. 攻克对数复合型压轴题型，融合单调性、奇偶性、最值、不等式、值域多考点综合分析.
4. 突破对数函数跨章节综合难点，熟练结合二次函数区间最值、分段函数性质、不等式恒成立求解复杂问题.
5. 掌握对数新定义、新情境、新运算题型的解题思维，具备抽象建模、逻辑推理、数形结合的高阶培优能力.
1、 重点知识
（一）对数型复合函数核心培优性质
· 核心模型：，外层为对数函数，内层为初等复合函数.
1. 定义域硬性规则：必须优先满足，所有对数综合题第一步必求定义域，是解题前提.
2. 值域求解步骤：先求内层函数的取值范围，再结合外层对数函数单调性，整体求解函数值域.
3. 单调性法则：严格遵循“同增异减”，且单调区间必须落在定义域范围内，区间书写需合规.
4. 奇偶性判定：定义域关于原点对称前提下，结合对数运算公式化简，判断奇偶性，熟记经典奇偶对数模型.
（二）对数型恒成立与存在性基础模型
· 设定义域，函数，核心转化逻辑为培优必考模板.
1. 恒成立问题：恒成立；恒成立.
2. 存在性问题：成立；成立.
3. 固定解题流程：求定义域→分析复合单调性→求区间最值→转化参数不等式→求解参数范围.
（三）对数函数实际应用基础模型
1. 反解对数模型：指数增长/衰减模型，已知反求时间，需转化为对数式求解.
2. 对数增长模型：适用于增长速度逐渐放缓的实际场景，如声音分贝、酸碱度、地震等级、数据增长统计.
3. 解题核心要点：实际问题必须标注自变量取值范围，结果结合实际意义取舍，保留有效数值.
（四）对数函数常规综合基础考点
1. 对数复合型不等式：利用单调性脱去对数符号，同步保留真数大于0的约束条件，规范求解解集.
2. 对数值大小比较：同底用单调性、同真用图像、不同底不同真用中间值0、1搭桥比较.
3. 定点综合问题：含参对数复合函数恒过定点，利用赋值求解定点坐标.
2、 难点知识
（一）恒成立与存在性高阶难点（压轴高频易错）
1. 逻辑混淆陷阱：恒成立看整体最值约束，存在性看区间临界最值，学生极易参数范围反向，是头号失分点.
2. 含参底数分类讨论：底数含参数时，必须分、两类讨论，两类单调性、最值、不等式解集完全相反，缺一不可.
3. 动区间恒成立问题：定义域区间含参数、区间变动时，结合复合函数单调区间，分类讨论区间位置与最值临界.
4. 双函数最值恒成立：两个对数型函数、对数与初等函数结合的双变量恒成立，转化为两个函数最值大小关系求解.
（二）对数函数跨章节融合综合难点
1. 对数与二次函数融合（期末压轴核心）：内层为二次函数，结合二次函数开口、对称轴、区间最值、判别式，求解复合函数定义域、值域、单调区间、恒成立问题，是期中期末必考压轴题型.
2. 对数与分段函数融合：分段对数函数的单调性、奇偶性、零点、值域综合分析，需分段讨论、整体验证，规避分段漏洞.
3. 对数与不等式融合：含参复合型对数不等式、多段对数不等式，脱壳后多层不等式联立求解，定义域双向约束.
4. 对数与函数最值、极值融合：闭区间上对数复合函数最值、值域压轴，结合数形结合、换元法简化复杂运算.
（三）对数实际应用拔高难点
1. 分段对数模型：多阶段增长、衰减的分段实际问题，需要分段建模、分段运算、整体汇总结果.
2. 最优参数问题：利用对数单调性求解实际场景中的最优解、最值方案，结合参数范围取舍结果.
3. 对数换底估算拔高：高考估算题型，利用换底公式、对数缩放技巧对数值进行大小估算、范围判定.
（四）对数新定义创新题型难点
1. 新定义运算型：自定义对数新型运算、对数变换规则，严格依托题干定义运算，摒弃固有公式套路.
2. 新定义函数型：定义“保值对数函数”“对偶对数函数”“有界对数函数”等新型函数，结合对数固有性质推理证明、求解参数.
3. 新情境判断型：结合对数凹凸性、增减速率、图像特征，判断新型命题、结论真假，适配高考创新考法.
（五）深度拓展拔高知识
1. 对数换元秒杀思想：复杂对数复合函数通过换元，转化为二次函数、一次函数，简化值域、最值、恒成立问题.
2. 对数同构模型（高考高频）：将复杂对数式整理为同构形式，利用函数单调性脱壳，解决复杂不等式、零点问题.
3. 对数有界性拓展：结合对数函数值域为R、区间有界特征，解决恒成立、存在性临界问题.
4. 对数凹凸性结论：对数函数上凸，下凸，用于多选压轴大小比较、不等式证明.
5. 对数与零点综合：复合对数函数零点个数问题，结合图像交点、二次函数判别式、单调性分析零点分布.
（六）本节培优高频失分点汇总
1. 所有对数题型遗漏真数大于0的定义域约束，导致解集、区间、参数范围全部错误.
2. 混淆恒成立与存在性最值逻辑，参数范围反向，是培优题型最高频失分点.
3. 含参对数底数不分类讨论，默认单一单调性，答案不完整、漏解.
4. 复合函数单调区间忽略定义域，区间范围超标、书写不规范.
5. 新定义题型固有思维固化，不按题干新规则解题，推理失误.
6. 对数与二次函数综合忽略判别式、对称轴区间讨论，最值求解错误.
7. 实际应用题忽略自变量正整数、正实数约束，结果不符合实际意义.
题型01 对数型函数的恒成立和能成立问题
角度1：对数型函数的恒成立
【典例】已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的运算性质可得，令，则.利用二次函数的单调性求值域即可.
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可.
【详解】（1）函数的定义域为.
.
令，则.
当时，.
所以当时，，
当时，，
所以当时，该函数的值域为.
（2）当时，.
原不等式可化为，即对恒成立.
令任取，则
所以，
则在上单调递增，所以.
故，即的最小值为.
【变式】已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据的奇偶性求解a的值即可；
（2）根据函数单调性定义证明的单调性，令，进一步得到的单调性，求出的最大值后代入不等式即可求解．
【详解】（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个x都有，
所以，即，所以，
若，则，其定义域关于原点不对称，
所以，且此时，定义域为，符合题意．
（2）由（1）知，其定义域为，
则，
任取，则，
因为，则，所以，
所以，即所以，
所以函数在上单调递减，
对，恒成立，即，得，
记函数，，
因为函数，均为减函数，则函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，所以，
因此，实数m的取值范围是．
角度2：对数型函数的能成立问题
【典例】已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
当时，函数的定义域为；
当时，函数的定义域为；
(2)
当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为．
(3)
【分析】（1）利用对数真数大于0，结合指数函数单调性分和解不等式求定义域；
（2）根据复合函数“同增异减”，结合内外层函数单调性讨论单调性；
（3） 由得递增，将不等式转化为函数值大小关系，再分离参数求的取值范围.
【详解】（1）要使函数有意义必须，即．
若，则； 若，则．
综上所述：当时，函数的定义域为；
当时，函数的定义域为；
（2）令．
当时，函数为增函数，为增函数，
所以函数为增函数，增区间为；
当时，函数为减函数，为减函数，
所以函数为增函数，增区间为．
（3）当时，函数的定义域为，在上单调递增．
所以原不等式可化为在上能成立，只需能成立.
令，则．
又所以，
所以，即实数的范围为．
【变式】已知，函数的最大值为3，最小值为.
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用对数运算法则化简函数，再利用对数函数单调性及二次函数性质列式求出.
（2）由（1）求出并化简给定不等式，分离参数并利用对勾函数单调性求出最大值即得.
【详解】（1）依题意，，
由，得，，又，
因此，，
所以，.
（2）由（1）知，则，
即，依题意，不等式在上有解，
因此，不等式成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则，于是，
所以k的取值范围是.
题型02 对数型函数的实际应用问题
【典例】甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，．
(1)求的值；
(2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准．
【答案】(1)
(2)32天
【分析】（1）将，代入函数解析式，再利用指数式与对数式的互化及指数幂的运算性质运算即可求出的值；
（2）由题意列出不等式，再利用函数的单调性转化为一元二次不等式，令函数，通过估算的值得到使不等式成立的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为当时，，所以，
整理得，即，解得．
（2）由（1）可知，．
要使该新房空气中甲醛的浓度达到安全入住标准，
须满足，
整理可得.
因为函数在上单调递减，
所以．
因为函数在上单调递增，
且．
所以至少通风32天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准．
【变式】环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
【答案】（1）一天中早上点该厂的污水污染指数最低; （2）调节参数应控制在内.
【详解】试题分析：（1）时，，，
令，解得即可得出；（2）利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出.
试题解析：（1） 因为,则.
当时，,得，
即.所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.
（2）设，则当时，.
设,
则,
显然在上是减函数，在上是增函数，
则,
因为,
则有 ，解得，
又，故调节参数应控制在内.
题型03 对数型函数性质的综合应用
【典例】已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合；
(3)若，且，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，换元后结合二次函数知识可得值域；
（2）先求出的解（用换元法），，这样问题转化为或恰有三个解，结合二次函数性质得方程有两个等根．由此可得的值；
（3）设，转化为方程的两根满足，根据韦达定理得到关于的关系式，即可求得的范围.
【详解】（1）易知的定义域为，设，
则，
所以的值域为；
（2）设，由（1）可知，，
令，解得，
所以或，解得或，
因为恰有三个解，所以或恰有三个解，
即恰有一解，所以，解得，
所以的取值集合为；
（3）设，，因为，所以，即，
则的两根为，
整理得，
，
所以，，
若，则成立；
若，则；
又，所以，即；
则，
所以
综上可得，
【变式】已知定义在上的函数．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，令，，
对任意的，则，
内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，
所以在上单调递增，
所以不等式得到，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，所以当时，，
又的对称轴为直线，，
当时，在上单调递增，，解得，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是．
题型04 对数函数与其他章节的融合与综合
【典例】已知函数为偶函数，函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数，若，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数的性质，建立关于的方程求解即可；
（2）根据复合函数单调性分析函数在定义域内单调递增，
要证明不等式恒成立，即恒成立，参变分离可得，再结合基本不等式求解；
（3）由，使得成立，则，
分析函数的单调性，进而求解.
【详解】（1）已知函数为偶函数，
则，即，
则，
则；
（2）由（1）可知，
所以，定义域为，
因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内单调递增，
若不等式恒成立，则恒成立，即，
由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围为；
（3）若，使得成立，
则，由（2）可知，，
函数为开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，所以，不合题意；
当时，函数在区间上单调递增，所以，
则，解得，因为，所以；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，则，解得或，
因为，所以此时无解；
综上，实数的取值范围为.
【变式】已知函数为奇函数.
(1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）；
(2)解不等式；
(3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，函数是定义域上的增函数
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；
（2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）对任意的，，
所以，的定义域为且函数为奇函数，
所以，则，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，是定义域上的增函数，理由如下：
对任意的、且，则，
所以，
，即，
所以，函数为上的增函数.
（2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由可得，
所以，，可得，即，
因为，则，解得，
所以不等式的解集为.
（3）因为函数，显然，所以有
可得，则，则，
因为
，
令，当时，，
设，所以，，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即，
所以有，解得，即实数的取值范围为.
题型05 与对数函数有关的新定义题
【典例】定义一种新的运算“”：，，都有．
(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；
(2)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由新定义可得.
(2) 分别求出和的解析式，将问题转化成两函数值域间的关系，求在上的值域，求在R上的值域，根据值域间的关系列不等式，求解即可.
【详解】（1）∵，，，
∴，
，
∴.
（2）由题意得，，
若对任意的，总存在，使得，
则在R上的值域是函数在上的值域的子集
设，，
令，，则，
∴，∴
设在上的值域为A，则，
∵，当且仅当时取等号，
∴，设在R上的值域为B，则，
∵，∴，
∴，∴，且，
解得且，即m的取值范围为.
【变式】若函数和的定义域均为，关于和的“线函数”定义如下：存在实数，使得.
(1)函数，线函数，求实数的值；
(2)若关于和的线函数同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意可得：，利用多项式相等对应项的系数相等即可求解；
(2)根据线函数的定义可得，然后再利用为偶函数可得，再根据的最小值为1即可求解.
【详解】（1）由函数，线函数，可得，
即有，
解得；
（2）关于和的线函数，
可得，由为偶函数，
可得，
即有，
即为，化为，
则，
又，
由的最小值为1，
可得，由，
当且仅当时函数取得最小值，即，
故.
【巩固训练】
1．若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式转化为，根据在上单调递增，可得，参变分离后令，可转化为在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范围.
【详解】由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.
故选：A
2．若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是
A．(1,2) B．(2,) C．(0,1)(2,) D．(0,)
【答案】B
【详解】分类讨论：
①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，则，
结合反比例函数的单调性可知当时，，
此时；
②若0<a<1, 由题意可得：在区间上恒成立，
即，
，函数，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，
此时要求，与矛盾.
综上可得：的取值范围是(2,).
故选：B
3．若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由方程有解，得有解，由基本不等式可知，从而可求出的最小值
【详解】若方程有解，则有解，
即有解．
∵，
当且仅当，
即时，等号成立，
∴的最小值为1，
故选：B．
4．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】数形结合，求函数的值域即可.
【详解】因为函数在单调递增，
而在上为单调递减，且.
可得函数的图象，如图：
函数的值域为：
方程有解，则实数的取值范围为.
故选：D
5．“学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解.
【详解】经过天后，“进步”的是“落后”的比，
所以，两边取以10为底的对数得，解得.
要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过11天.
故选：B
6．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算的值，即可得解.
【详解】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
7．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】利用函数的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是；
对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是；
对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是；
对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.
故选：ACD
8．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而求出函数在区间上的最值，再列不等式，即可得解.
【详解】令，则函数为减函数，又因为函数是增函数，
所以是减函数，所以函数在区间上的最大值为,最小值为，
由题意得,
则，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
9．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可.
【详解】根据题意可得只需即可，
由题可知为对数底数且或，
当时，此时在各自定义域内都有意义，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，
即，无解，
所以不符合题意；
当时，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
10．在声学中，通常用声强（单位：）和声强级（单位：）来表示声音的强度．已知声强级与声强的函数关系式为（其中为参考声强），当声强为时，对应的声强级为．
(1)求的值；
(2)若要将某声音的声强级提高，则其声强应变为原声强的多少倍？
【答案】(1)（）
(2)
【分析】（1）依题意可得，根据指数与对数的关系计算可得；
（2）设原声强级为，声强为，新声强级为，声强为，则，根据对数的运算性质计算可得.
【详解】（1）依题意可得，所以，则，
所以（）.
（2）由（1）可得，
设原声强级为，声强为，新声强级为，声强为，
依题意可得，
则，∴，则，
∴，
故要将某声音的声强级提高，则其声强应变为原声强的倍.
11．已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域.
（2）令，然后参变分离求解参数范围即可.
【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，可得，
由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增，
可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，
由对勾函数性质得函数在上单调递增，
所以，因此只需即可，
得到；即的取值范围是.
【强化训练】
1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解.
【详解】不等式，变形为，
当时， 令，则，此时原不等式不成立；
当时，令，
由在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
故当时，取得最大值为，
由，解得，
所以.
故选：B.
2．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则函数的定义域为，若恒成立，则，即，将转化成关于的二次函数求最小值即可.
【详解】依题意，设，则函数的定义域为，
令，解得或.
易知函数在上均单调递减，
若恒成立，则，即，
所以，
当且仅当时，取得最小值，即的最小值为，
故选：C.
3．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由题意可知，，
因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
当时，，
当时，，则。
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故选：A.
4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
【答案】C
【分析】由题可知题目相当于解不等式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.
【详解】由题意知，只要解不等式，化简得．
因为，所以，
所以．
故选：C．
5．某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出不同策略对应的学习率公式，当时，分别列出不等式，结合参考数据，计算后，再根据，求得，进而判断两者关系，即可选择.
【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，
又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
故，也即.
故选：A.
6．（多选）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】将选项A，B，C等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项D逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等.
【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得，
即左式等于右式，故A正确；
选项B，右式为，展开得，即，化简得，
即，不一定等于左式，故B错误；
选项C，右式为，展开得，即，化简得，
即，即左式等于右式，故C正确；
选项D，右式中最内层等于 即，中间层等于，
即 ，则最外层等于，展开得 ，即，不一定等于左式，故D错误.
7．（多选）已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．在上为增函数
D．若，是的两个零点，则
【答案】AD
【分析】分别代入对应分段函数的表达式计算和，再求和验证判断A，确定时的特殊情况，再结合对称性的定义判断B，先分别判断和时的单调性，再举反例判断C，先分别求出两段函数的零点，再通过零点满足的方程变形，结合函数的单调性和零点存在定理确定的取值范围判断D即可.
【详解】选项A，由题意得， ，因此，故A正确.
选项B，若关于中心对称，则对任意满足，
当时，，此时，
若成立，则恒成立，
令，但，可得不可能恒成立，
即不可能恒成立，故B错误，
选项C，当时，由指数函数与一次函数的性质得单调递增；
当时，由对数函数与一次函数的性质得单调递增；
而当时，，此时的最大值为，
当时，，
不满足题意，则在上不为增函数，故C错误，
选项D，由题意得共有两个零点，
当时，单调递增，且，因此一个零点为，
当时，单调递增，且时，，
当时，，由零点存在性定理得仅有一个零点，
而，且，
而，可得，得到，即，
可得，则，得到，
因此，故，故D正确.
8．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”．已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先将新定义转化为在上恒成立的核心问题；再分别分析内外层函数的性质，外层是上的奇函数且单调递增，内层是偶函数，因此复合函数也为偶函数，其单调性由内层决定，遵循“同增异减”；最后按的取值分类讨论，结合的对称轴与区间的位置关系，分析的单调区间，利用偶函数对称性与图像平移的位置约束列不等式求解，合并各类情况得到的取值范围.
【详解】设，则定义域为，
且，
故为偶函数，
定义域为，
且，
故为奇函数，
所以为偶函数，且在上单调递增，故在上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：
在单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以有，满足3增函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，故满足，故满足3增函数，
若，画出的图象如下：则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是．
9．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知，试判断是否为“类函数”?
(2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；
(3)若为“类函数”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)不为“类函数”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断；
（2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可；
（3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
若在定义域内存在实数，满足，
可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”.
（2）因为是定义在上的“类函数”，
所以存在实数，满足，
即方程在上有解，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，；当时，，
所以，解得，
所以实数的最小值为.
（3）由函数，
可得对恒成立，即对恒成立，所以，
若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，
①当时，，所以，所以，
因为函数在上是增函数，
当时，可得，所以；
②当时，，所以，矛盾；
③当时，，所以，所以，
因为函数在上是减函数，
当时，可得，所以；
综上所述，实数的取值范围是.
10．已知函数．
(1)若的值域为，求实数的取值范围．
(2)已知当时，恒有意义．
（Ⅰ）求在上的最小值；
（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解.
（2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.
【详解】（1）因为函数的值域为，
所以真数 需取遍所有的正实数，
令，则，构造函数 ，
所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数.
对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为，
由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0，
所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数），
由，解得，所以实数的取值范围是.
（2）同（1）中的函数 ，
当时，，恒有意义，即在时恒成立，
当时，恒成立；
当时，将分离参数得，
由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，
所以 ．
（Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ，
因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值，
所以在上的最小值为（在时取得）；
当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得，
所以，所以在上的最小值为（在时取得）.
综上，.
（Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立，
即在对应区间上.
因为 ，当时，，
所以，所以在上的最小值为，
所以.
由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意；
当时，在上，，
由，解得.
综上，实数的取值范围是．
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专题12 对数函数强化
重点目标：
1. 深化对数型复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性核心性质，熟练运用“同增异减”法则规范解题.
2. 掌握对数型函数恒成立、存在性问题的基础解题模型，能够将参数问题转化为函数最值问题求解.
3. 熟悉对数函数实际应用模型，掌握增长率、衰减、翻倍、半衰期等经典场景，能独立建立对数函数模型解题.
4. 掌握对数函数与二次函数、不等式、分段函数的综合应用，理清跨章节融合题型的解题逻辑.
5. 读懂对数类新定义题型的规则，结合对数核心性质完成推理、判断与运算，适配创新题型考法..
难点目标：
1. 精准区分对数函数恒成立与存在性问题的最值逻辑差异，规避参数范围反向、区间遗漏、定义域缺失等高频错误.
2. 熟练处理含参底数、含参定义域的对数型复合函数，掌握完整分类讨论体系，杜绝漏情况、错单调性的问题.
3. 攻克对数复合型压轴题型，融合单调性、奇偶性、最值、不等式、值域多考点综合分析.
4. 突破对数函数跨章节综合难点，熟练结合二次函数区间最值、分段函数性质、不等式恒成立求解复杂问题.
5. 掌握对数新定义、新情境、新运算题型的解题思维，具备抽象建模、逻辑推理、数形结合的高阶培优能力.
1、 重点知识
（一）对数型复合函数核心培优性质
· 核心模型：，外层为对数函数，内层为初等复合函数.
1. 定义域硬性规则：必须优先满足，所有对数综合题第一步必求定义域，是解题前提.
2. 值域求解步骤：先求内层函数的取值范围，再结合外层对数函数单调性，整体求解函数值域.
3. 单调性法则：严格遵循“同增异减”，且单调区间必须落在定义域范围内，区间书写需合规.
4. 奇偶性判定：定义域关于原点对称前提下，结合对数运算公式化简，判断奇偶性，熟记经典奇偶对数模型.
（二）对数型恒成立与存在性基础模型
· 设定义域，函数，核心转化逻辑为培优必考模板.
1. 恒成立问题：恒成立；恒成立.
2. 存在性问题：成立；成立.
3. 固定解题流程：求定义域→分析复合单调性→求区间最值→转化参数不等式→求解参数范围.
（三）对数函数实际应用基础模型
1. 反解对数模型：指数增长/衰减模型，已知反求时间，需转化为对数式求解.
2. 对数增长模型：适用于增长速度逐渐放缓的实际场景，如声音分贝、酸碱度、地震等级、数据增长统计.
3. 解题核心要点：实际问题必须标注自变量取值范围，结果结合实际意义取舍，保留有效数值.
（四）对数函数常规综合基础考点
1. 对数复合型不等式：利用单调性脱去对数符号，同步保留真数大于0的约束条件，规范求解解集.
2. 对数值大小比较：同底用单调性、同真用图像、不同底不同真用中间值0、1搭桥比较.
3. 定点综合问题：含参对数复合函数恒过定点，利用赋值求解定点坐标.
2、 难点知识
（一）恒成立与存在性高阶难点（压轴高频易错）
1. 逻辑混淆陷阱：恒成立看整体最值约束，存在性看区间临界最值，学生极易参数范围反向，是头号失分点.
2. 含参底数分类讨论：底数含参数时，必须分、两类讨论，两类单调性、最值、不等式解集完全相反，缺一不可.
3. 动区间恒成立问题：定义域区间含参数、区间变动时，结合复合函数单调区间，分类讨论区间位置与最值临界.
4. 双函数最值恒成立：两个对数型函数、对数与初等函数结合的双变量恒成立，转化为两个函数最值大小关系求解.
（二）对数函数跨章节融合综合难点
1. 对数与二次函数融合（期末压轴核心）：内层为二次函数，结合二次函数开口、对称轴、区间最值、判别式，求解复合函数定义域、值域、单调区间、恒成立问题，是期中期末必考压轴题型.
2. 对数与分段函数融合：分段对数函数的单调性、奇偶性、零点、值域综合分析，需分段讨论、整体验证，规避分段漏洞.
3. 对数与不等式融合：含参复合型对数不等式、多段对数不等式，脱壳后多层不等式联立求解，定义域双向约束.
4. 对数与函数最值融合：闭区间上对数复合函数最值、值域压轴，结合数形结合、换元法简化复杂运算.
（三）对数实际应用拔高难点
1. 分段对数模型：多阶段增长、衰减的分段实际问题，需要分段建模、分段运算、整体汇总结果.
2. 最优参数问题：利用对数单调性求解实际场景中的最优解、最值方案，结合参数范围取舍结果.
3. 对数换底估算拔高：高考估算题型，利用换底公式、对数缩放技巧对数值进行大小估算、范围判定.
（四）对数新定义创新题型难点
1. 新定义运算型：自定义对数新型运算、对数变换规则，严格依托题干定义运算，摒弃固有公式套路.
2. 新定义函数型：定义“保值对数函数”“对偶对数函数”“有界对数函数”等新型函数，结合对数固有性质推理证明、求解参数.
3. 新情境判断型：结合对数凹凸性、增减速率、图像特征，判断新型命题、结论真假，适配高考创新考法.
（五）深度拓展拔高知识
1. 对数换元秒杀思想：复杂对数复合函数通过换元，转化为二次函数、一次函数，简化值域、最值、恒成立问题.
2. 对数同构模型：将复杂对数式整理为同构形式，利用函数单调性脱壳，解决复杂不等式、零点问题.
3. 对数有界性拓展：结合对数函数值域为R、区间有界特征，解决恒成立、存在性临界问题.
4. 对数凹凸性结论：对数函数上凸，下凸，用于多选压轴大小比较、不等式证明.
5. 对数与零点综合：复合对数函数零点个数问题，结合图像交点、二次函数判别式、单调性分析零点分布.
（六）本节培优高频失分点汇总
1. 所有对数题型遗漏真数大于0的定义域约束，导致解集、区间、参数范围全部错误.
2. 混淆恒成立与存在性最值逻辑，参数范围反向，是培优题型最高频失分点.
3. 含参对数底数不分类讨论，默认单一单调性，答案不完整、漏解.
4. 复合函数单调区间忽略定义域，区间范围超标、书写不规范.
5. 新定义题型固有思维固化，不按题干新规则解题，推理失误.
6. 对数与二次函数综合忽略判别式、对称轴区间讨论，最值求解错误.
7. 实际应用题忽略自变量正整数、正实数约束，结果不符合实际意义.
题型01 对数型函数的恒成立和能成立问题
角度1：对数型函数的恒成立
【典例】已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的最小值.
【变式】已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
角度2：对数型函数的能成立问题
【典例】已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围．
【变式】已知，函数的最大值为3，最小值为.
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
题型02 对数型函数的实际应用问题
【典例】甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，．
(1)求的值；
(2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准．
【变式】环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
题型03 对数型函数性质的综合应用
【典例】已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合；
(3)若，且，求实数m的取值范围.
【变式】已知定义在上的函数．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
题型04 对数函数与其他章节的融合与综合
【典例】已知函数为偶函数，函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数，若，使得成立，求实数的取值范围．
【变式】已知函数为奇函数.
(1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）；
(2)解不等式；
(3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
题型05 与对数函数有关的新定义题
【典例】定义一种新的运算“”：，，都有．
(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；
(2)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【变式】若函数和的定义域均为，关于和的“线函数”定义如下：存在实数，使得.
(1)函数，线函数，求实数的值；
(2)若关于和的线函数同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式.
【巩固训练】
1．若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是
A．(1,2) B．(2,) C．(0,1)(2,) D．(0,)
3．若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．“学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
6．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
7．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______．
9．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____.
10．在声学中，通常用声强（单位：）和声强级（单位：）来表示声音的强度．已知声强级与声强的函数关系式为（其中为参考声强），当声强为时，对应的声强级为．
(1)求的值；
(2)若要将某声音的声强级提高，则其声强应变为原声强的多少倍？
11．已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【强化训练】
1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
5．某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
6．（多选）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．在上为增函数
D．若，是的两个零点，则
8．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”．已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是________．
9．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知，试判断是否为“类函数”?
(2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；
(3)若为“类函数”，求实数m的取值范围.
10．已知函数．
(1)若的值域为，求实数的取值范围．
(2)已知当时，恒有意义．
（Ⅰ）求在上的最小值；
（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
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