4.5.3函数的应用（二）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.3　函数的应用（二） 一、教学内容解析 1．课标要求：能选择合适的函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数等）刻画实际问题中的变化规律，理解不同函数模型的增长差异，能用函数模型解决简单的实际问题。 2．教材分析：本课位于指数函数与对数函数之后，是函数应用的重要部分。通过人口增长、碳14测年等实例，探讨不同函数模型的增长特征，旨在培养学生根据实际情境选择并构建数学模型的能力，体会数学建模思想。 3．本课核心内容的数学内涵是不同函数模型的增长规律及其在实际问题中的应用。 从代数角度，指数函数（）、对数函数（）与幂函数（）虽均为增函数，但增长速度差异显著。指数函数呈爆炸式增长，对数函数增长逐渐缓慢，幂函数居中。即存在，当时，。 从几何角度，这三种函数图象走势直观反映了增长差异。在同一坐标系中，对数函数图象起初上升快但渐缓，幂函数图象稳定上升，指数函数图象起初缓随后陡峭攀升。这种代数结构与几何图象的对应，构成了数形结合的桥梁。研究思路是通过数据计算与图象观察归纳一般规律，再应用于实际问题的模型选择与求解。教学重点在于理解增长差异并选择模型。 因此，本节课的教学重点为：掌握指数函数、对数函数等不同函数模型的增长规律，能根据实际问题的增长特征选择恰当的函数模型并求解，体会数学建模思想。 二、教学目标解析 1．经历不同函数模型增长差异的探究过程，掌握指数函数、对数函数的增长规律； 发展了思维。 2．通过比较函数图象与解析式，体会数形结合思想，提升逻辑推理与直观想象素养； 3．能根据实际问题的增长情况，选择合适的函数模型构建数学模型并求解； 4．在解决人口增长、碳14测年等实际问题中，提升数学运算与数学建模核心素养。 三、学情分析 1．知识储备：学生已学习了指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象与性质，能够画出这些函数的图象并了解其基本变化趋势。 2．能力储备：学生具备了一定的数据分析和函数图象作图能力，能够通过描点法画出函数图象并进行初步的观察与比较。 3．有待发展：面对实际问题时，学生往往难以准确判断增长类型并选择恰当的函数模型，对“指数爆炸”等增长速度的量化分析存在思维短板，容易产生畏难情绪。 4．能力突破：借助信息技术工具绘制图象进行动态比较，运用从特殊到一般的归纳思想，能够帮助学生突破选择模型时的思维瓶颈。 因此，本节课的教学难点为：根据实际问题的数据特征分析增长规律，选择合适的函数模型解决实际问题。 四、教学过程 1.复习引入，温故知新 导入语：前面我们学习了指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象与性质。我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。面对一个实际问题，如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？今天我们将通过具体实例，探讨不同函数模型的增长差异及其应用。 复习：回顾指数函数（）和对数函数（）的单调性。 追问1：当自变量逐渐增大时，这两个函数的函数值增大速度有何不同？ 追问2：如何从图象上直观看出这种增长差异？ 师生活动：教师引导学生回顾，指数函数图象随增大而陡峭上升，对数函数图象随增大而逐渐平缓。 设计意图：通过回顾旧知，唤醒学生对函数图象与增长趋势的记忆，为发现不同函数模型增长差异的新知奠定基础。 2.公式代换，发现新知 问题：由已学的指数函数、对数函数和幂函数的性质，我们能推得它们在增长速度上有怎样的新结论？ 师生活动：学生尝试比较、和的增长情况。 追问1：当足够大时，这三个函数的值谁最大？ 追问2：如何精确刻画这种差异？ 师生活动：教师引导学生计算并列表比较，发现存在一个临界值，之后指数函数值超越幂函数值。总结得出本课核心结论：对于指数函数（）、幂函数（）和对数函数（），总存在，当时，有。这称为函数增长速度的差异定理。 问题：你能用文字语言表述“指数爆炸”、“直线上升”和“对数增长”的实际意义吗？ 设计意图：通过具体函数的代换与比较，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，体会转化与化归思想。在计算与推理中发展逻辑推理素养，并要求学生用文字语言表述数学结论，锻炼数学语言表达能力，深刻理解不同函数模型增长差异的本质。 3.课堂探究，公式证明 问题：我们能否利用已有函数性质和不等式关系，直接推导出当足够大时，指数函数增长快于幂函数的结论？ 师生活动：学生先尝试利用求导或数列归纳法证明，教师肯定后给出利用极限思想的证明方法。设，当时，该比值趋向于无穷大，从而证明的增长最终快于。两种过程均指向同一结论。 追问1：上述证明中，每一步推理的依据是什么？ 追问2：这种利用极限思想比较无穷大量增长速度的方法，其核心思路是什么？ 设计意图：通过严格的数学证明，明确推理的逻辑顺序，让学生知其然更知其所以然。丰富学生的证明策略，从直观感知上升到理性证明，进一步体会极限思想在比较函数增长速度中的重要作用，培养严谨的数学思维。 4.几何解释，加深理解 如图1，在同一个直角坐标系中，画出指数函数、幂函数和对数函数的图象。通过图象的交点与走势，可以直观展示三者的增长差异。 问题：利用图形，你能得出这三种函数增长差异的几何解释吗？ 追问1：图中三个函数图象的交点分别对应什么代数含义？ 追问2：当动点沿轴向右移动时，三个函数图象的上下位置关系如何变化？ 追问3：如何用几何语言准确表述“指数爆炸”这一特征？ 师生活动：教师利用动态几何软件演示，随着增大，指数函数图象越来越陡峭，对数函数图象越来越平缓。学生小组探究得出图象位置关系。 师生活动：师生共同总结出几何解释：当足够大时，指数函数图象在最上方，幂函数居中，对数函数在最下方，即。 设计意图：通过给出具体图形并进行动态演示，帮助学生建立代数表达式与几何图象之间的联系。数形结合加深对函数增长差异的理解，有效提升学生的直观想象素养，使抽象的代数结论变得直观可见。在实际教学中，鼓励学生自主操作软件绘制图象，能够进一步增强他们的动手实践能力和探究精神。这种从代数到几何，再从几何到代数的双向互动，有助于学生形成完整的数学认知结构，为后续解决复杂的函数综合问题奠定坚实的基础。同时，这也体现了数学中形与数的和谐统一，让学生在美的感受中学习数学。 5.学以致用，迁移内化 例1．某地野兔总只数的倍增期为21个月，现有1万只，求增长到1亿只大约需要多少个月？ 追问：在此模型中，野兔数量的增长属于哪种函数模型？其适用条件是什么？ 例2．某公司准备制定奖励方案，现有三个模型：、、，哪个符合奖金不超过万元且不超过利润的要求？ （1）验证模型在区间上是否满足奖金总数不超过万元。 （2）验证模型在区间上是否同时满足两项要求。 师生活动：学生口述解题思路，教师板书。对于例1，设基数为，增长率，由得，再由求解。对于例2，通过比较函数值与临界值验证。 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 设计意图：通过例1明确指数增长模型在实际问题中的应用条件，通过例2掌握利用函数性质比较不同模型增长差异并作出决策的方法。两道例题分别从指数模型和对数模型的角度出发，帮助学生巩固所学结论，提升解决实际问题的能力。 6.巩固运用，深化理解 判断下列结论是否正确： ①指数函数总比幂函数增长快。 ②对数函数（）的增长速度越来越慢。 答案：假,真 练习1：已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为百分之零点三。用马尔萨斯人口增长模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？解析：由题意得，解得。 答案： 练习2：假设有一笔资金投资，方案一每天回报40元，方案二第一天回报10元以后每天多10元，方案三第一天0.4元以后每天翻一番。请问投资10天应选择哪种方案？解析：分别计算10天累计回报，方案一为，方案二为，方案三为。 答案： 设计意图：通过判断题辨析函数增长差异的适用条件，通过两道练习题分别巩固指数模型和对数、一次模型的计算与比较，深化对结论适用条件的理解。 7.回顾反思，提高升华 回顾本节课的学习，回答以下问题： （1）本节课学习了哪些关于函数模型的知识？ （2）在运用函数模型解决实际问题时，需要注意什么？ （3）本节课运用了哪些数学思想方法？ 设计意图：引导学生从知识、方法、思想三个维度归纳学习收获，形成系统的知识结构，提升反思与总结能力。 学科网（北京）股份有限公司 $