专题2.2 基本不等式-重难点题型讲义【知识清单+11大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，先梳理重要不等式（任意实数）与基本不等式（正数）的区别及联系，明确几何与算术平均数概念，强调“一正二定三等”求最值条件，再拓展不等式链、三元不等式等变形结论，构建从定义到应用的完整知识支架。 该资料亮点在于11类题型分层精讲，结合“即学即练”与水产养殖网箱造价等实际案例，通过问题情境培养数学眼光（发现数量关系）和数学思维（逻辑推理求最值），课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对薄弱题型强化，有效查漏补缺。

专题2.2 基本不等式-重难点题型精讲 知识点01：基本不等式 1．重要不等式：对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． 2． 基本不等式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 【注意】(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 【即学即练】 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 知识点02：利用基本不等式求最值 利用算数平均数与几何平均数定理（即基本不等式）可以求函数的最大值、最小值． （1）已知，，如果积是定值，那么当时，和有最小值． （2）已知，如果和是定值，那么当时，积有最大值． 以上两条可简记作：和定积最大；积定和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 注： 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【即学即练】 1．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 知识点03：由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2) 基本不等式链:（其中，当且仅当时，取“”号）； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． (4)三个正数的基本不等式:如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【即学即练】 1．（2026高一上·全国·专题练习）若，求证：． 【答案】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式推理得证. 【详解】略 题型01 对基本不等式的理解 1．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 题型02 直接利用均值不等式求最值 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 【详解】略 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数 的最小值是2吗？ 【答案】不是，当时，函数，所以最小值是2； 当时，，所以没有最小值. 【解析】略 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 题型03 利用“1”的妙用求最值 9．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 10．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题意，知， 所以， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. （2）因为都是正实数，， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 故的最小值为18； 11．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】． 当且仅当且，即时取等号， 所以． 题型04 利用配凑法求最值 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 14．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 15．（25-26高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为___________． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 题型05 利用消元法求最值 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 18．（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 19．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 20．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 题型06 利用换元法求最值 21．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解 【详解】解：实数，满足 化为： 令，，则 解得：， 则： 当且仅当，即时取等号 所以的最小值为. 故选：A. 22．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）已知实数满足，且，则的值最小时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用换元法,设，即，故，然后利用基本不等式求最值即可． 【详解】设，解得 ， 所以 ，即， 设， 则，即， 当且仅当，即时取等号， 即， 则的值最小时，实数， 故选:． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 24．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】采用目标换元+一元二次方程判别式法求最值，将所求式整体设元，转化为方程有正根的存在性问题，避免复杂均值配凑，最后务必验证等号可取性. 【详解】由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 25．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，且，则最大值为______． 【答案】 【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 26．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 27．（25-26高一上·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 28．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 题型08 对勾函数求最值 29．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A中x无法确定正负，不能求出最值；B是二次函数，配方求解最值；C看成关于的二次函数，配方求最值；D变换构造，用基本不等式求最小值﹒ 【详解】A中的正负无法确定，其函数值可以为负数； B中，最小值为2； C中，当时，其最小值为2； D中，当且仅当，即时取等号﹒ 故选：BCD﹒ 30．（25-26高一上·河南·期中）下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可. 【详解】A：当取负数，显然函数值小于，不符合； B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合； C：当时，，不符合； D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合； 故选：B. 31．（25-26高一上·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 故选：C 32．（25-26高二上·河南·期中）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可判断AC，利用基本不等式可判断BD. 【详解】若，则，故A选项不满足题意； 若，则，当且仅当，即时，“”成立，这显然不成立，故B选项不满足题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，当且仅当时，“”成立，故D选项符合题意． 故选：D. 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 33．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 34．（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 35．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 36．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型10 利用基本不等式证明不等关系 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，证明：. 【答案】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 【分析】结合“”的妙用，利用基本不等式直接证明. 【详解】略 38．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】略 39．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． (2) 证明：，即证，也即证， 只需证 ，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 40．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 【答案】（1）8，（2）6， （3）证明：，且， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 【分析】（1）利用“配凑法”，即可由不等式求解. （2）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3）略 题型11 基本不等式的实际问题的应用 41．（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 42．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 43．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 44．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 2．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 3．（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 6．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 8．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 10．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式及不等式等号成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，当且仅当， 即，时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 综上所述，选项BC正确. 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，即，所以. 如，，，，此时不成立. 综上，A错误. 对于B，若，同号，则，，所以， 当且仅当即时等号成立，B正确. 对于C，如，，，，此时不成立，C错误. 对于D，若，，则，当且仅当时等号成立. 而，所以等号取不到，所以若，，且，则，D正确. 12．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）（多选）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 15．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式-重难点题型精讲 知识点01：基本不等式 1．重要不等式：对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． 2． 基本不等式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 【注意】(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 【即学即练】 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 知识点02：利用基本不等式求最值 利用算数平均数与几何平均数定理（即基本不等式）可以求函数的最大值、最小值． （1）已知，，如果积是定值，那么当时，和有最小值． （2）已知，如果和是定值，那么当时，积有最大值． 以上两条可简记作：和定积最大；积定和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 注： 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【即学即练】 1．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 知识点03：由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2) 基本不等式链:（其中，当且仅当时，取“”号）； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． (4)三个正数的基本不等式:如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【即学即练】 1．（2026高一上·全国·专题练习）若，求证：． 题型01 对基本不等式的理解 1．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 直接利用均值不等式求最值 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数 的最小值是2吗？ 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 题型03 利用“1”的妙用求最值 9．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 10．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 11．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 题型04 利用配凑法求最值 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 14．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（25-26高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为___________． 16．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 题型05 利用消元法求最值 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 18．（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 20．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 题型06 利用换元法求最值 21．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）已知实数满足，且，则的值最小时，实数（    ） A． B． C． D．1 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 25．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，且，则最大值为______． 26．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 题型08 对勾函数求最值 29．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·河南·期中）下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 32．（25-26高二上·河南·期中）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 33．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 35．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 36．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 题型10 利用基本不等式证明不等关系 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，证明：. 38．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 39．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 40．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 题型11 基本不等式的实际问题的应用 41．（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 42．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 43．（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 44．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 10．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 12．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）（多选）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 14．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 15．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $