第二章一元二次函数、方程和不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式的性质 这一部分解决三件事：用性质比较大小、用性质判断命题真假、用性质求代数式的取值范围. 前两件事靠「同向可加、同乘正数」几条规则的熟练，第三件事靠一个容易被忽略的技术——把目标式凑成已知式的线性组合. 做题先问一句：这条性质的条件（同号、正数、不为零）满足没有. 1、实数大小比较与作差法 1.1　比较大小的依据 设 ，则 ；；. 这是作差法的全部依据，也是所有不等式性质的出发点——性质本身都是用「作差后判号」证出来的. 1.2　做题方法（作差法四步） ① 作差 ；② 变形，目标是化成因式乘积或平方和两种形状之一（手段：因式分解、配方、通分、分子有理化）；③ 定号，结合题目给的字母范围判断差的符号；④ 下结论. 变形是四步里唯一有难度的一步，判断标准很实在：变形后能不能一眼看出符号. 看不出来就是没变到位，继续拆. 作商法：、 时作商 与 比——，. 两条纪律：只适用于同正的情形；比的是 而不是 . 1.3　例题 例 1、 已知 ，，比较 与 的大小. 解：作差，通分后因式分解. 分子按 分组： 故 所以 ，当且仅当 时取等. 注：这题的变形思路是「先通分把根式集中，再按 、 分组提公因式」. 若停在「通分后分子很长」这一步就判不了号，必须做到出现 这种显然非负的形状. 2、不等式的基本性质 2.1　八条性质 序号 名称 内容 使用时的条件 1 对称性 双向 2 传递性 ， 单向 3 可加性 双向 4 可乘性 ，；， 看 的符号 5 同向可加 ， 不能相减 6 同向同正可乘 ， 四个数都为正 7 可乘方 同为正数 8 可开方 同为正数 性质 7、8 中 且 . 2.2　关键性质的证明 性质 4：由 得 . 若 ，则 ，即 ，故 ；若 ，则 ，即 ，故 . 「乘负数变号」的根源就在这里——负数乘一个正数会变成负数. 性质 5：由 、 得 故 . 注意这里只证明了「加」，不能由此推出「减」： 与 的大小取决于 各自的大小，无法确定. 性质 6：由 、 得 故 . 这一步的技巧是拆交叉项：把 拆成 ，再把 拆成 ，两个括号都为正. 2.3　易错点 乘（除）负数忘变号：性质 4 中 的符号决定方向，符号没看就动笔必错. 同乘 ：（带等号），因为 时两边相等. 写成严格不等号就错了. 倒数：，缺「同正」即错； 且 也够用（此时 同号）. 相加与相减不同：、 能推出 ，推不出 . 2.4　例题 例 2、 下列命题中正确的是（　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 解：A：由 得 ，而 ，故 ，即 ，等号在 时成立. A 对. B：取 ，，则 ，但 ，不等号方向反了. B 错. C：取 ，，，，则 、 都成立，但 . C 错. D：由性质 7（）直接得. D 对. 答案：AD. 3、求代数式的取值范围 3.1　待定系数法 已知 与 的范围，要求 的范围，正确做法是把目标式写成已知式的线性组合：设 比较两边系数，、，解得 、，即 . 两个已知式各自乘正数后同向相加，范围就是准的. 3.2　为什么不能分别求范围再组合 先解出 、 各自的范围，再把端点代进目标式——这是本节唯一的硬错，原因在于两个变量不是独立的： 与 的取值互相牵制，把它们的端点「各自取到」时，往往凑不出同时满足两个条件的 . 举例：由 与 能推出 、，于是 ——而真值域只有 （见例 3），两端各多出 ，合计约占整个区间的三分之一，属于把范围放大了. 口诀：能凑线性组合，就不要解出单个变量. 3.3　例题 例 3、 已知 ，，求 的取值范围. 解：设 ，则 解得 、，即 由 得 ；由 得 . 同向相加： 故取值范围是 . 错解对照：若先解出 、，再算得 ，而正确结果是 ，区间长度从 被放大到 . 反查端点即可看出问题：要使 ，需 且 ；但 时由 得 ，两个条件不能同时满足，所以 根本取不到. 基本不等式 这一部分只有一条主线：把目标式凑成「和为定值」或「积为定值」，再用基本不等式. 全部技巧——拆、配、并、「1」代换、因式分解、换元、消元——都是为了凑出这个定值；全部失分都出在「一正、二定、三相等」这三个检查点上. 下面先给四个高频模型（认得出就能一步到位），再按十一类题型把方法逐一铺开. 这十一类恰好覆盖了试卷上会遇到的十一种外形，做题时先认外形、再选方法. 4、基本不等式与最值定理 4.1　内容与成立条件 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立. 基本不等式：若 ，，则 当且仅当 时等号成立. 其中 叫算术平均数， 叫几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于几何平均数. 三种等价写法，见到哪种都要认得： 证明：由 展开得 ，即 ，两边除以 得结论；等号当且仅当 ，即 . 4.2　最值定理 设 ，： ① 若 为定值，则当 时积 取最大值 ； ② 若 为定值，则当 时和 取最小值 . 简记：和定积最大，积定和最小（证明由基本不等式直接移项即得，从略）. 4.3　基本不等式链 若 ，，则 四项依次为调和、几何、算术、平方平均数，当且仅当 时全部取等，可直接使用. 4.4　结论：四个常考值模型 这四个模型是把「一正、二定、三相等」压缩成一句话的结果，认出来就能直接写答案，省掉每次重新凑的过程. 来历各有出处：模型一、二来自题型三的拆项，模型四来自题型三的配系数，模型三来自「分子分母同除 化出 」这一手（见 5.12 对照表）. 模型一　 等号当 . 识别特征：一个正项与它的倒数型相加. 模型二　 等号当 . 识别特征：分母比分子少一个常数，先把整式拆出 . 模型三　 等号当 . 识别特征：分母二次、分子一次. 最后那个 不是凑数的条件：右边的界必须是正数，而由 知分母 的最小值为 . 若 ，这个最小值 ，分母可以取到 甚至变号，原式在 上根本无上界，「 某个正数」就不成立. 所以套模型三之前先算一遍 的符号. 模型四　 等号当 . 识别特征：两个一次因式括号相乘，展开后二次项系数为负. 四个模型都要注意范围：模型一、二要求 （或 ），模型四要求 ，模型三要求 、 且 . 范围不满足就不能套. 5、十一类题型 5.1　 直接使用 条件已经给出「和定」或「积定」，直接套最值定理. 此类属于送分题，认出条件即可，不展开. 例 4、 已知 ，，且 ，求 的最大值. 解：和为定值 ，由「和定积最大」得 ，等号当 时成立，故最大值为 . 5.2　 判断「能不能取等」 这是最容易被答案骗的一类：形式上完全符合基本不等式的样子，但等号取不到，或者「一正」「二定」根本不满足. 三关要逐个过，缺一关结论就错. 例 5、 下列各式中，最小值为 的是（　） A. （）　　B. C. （）　　D. （） 解：A： 时 ，没有最小值（下无界），A 错. B：两式均为正，积为 ，形式上 ；但等号要求 ，即 ，无解，等号取不到. 令 ，则 在 上递增，最小值为 ，不是 . B 错. C：两式积为定值 ，故 ，最小值是 不是 . C 错. D：两式均为正、积为定值 ，故 ，等号当 （满足 ）成立. D 对. 答案：D. 注：这类题的三个坑分别对应三关——A 栽在「一正」（ 时 ，下无界），B 栽在「三相等」（ 无解），C 则三关全过、最小值确实是 ，只是不等于题目要的 . 做选择题时三关都要在心里过一遍. 5.3　 配凑：拆项与配系数 目标式的两个因子之和不是定值时，通过拆项或乘系数把它凑成定值. 拆项：把一项拆成两段，使其中一段与另一项配对成倒数结构，剩下的常数单独放着. 配系数：给其中一个因子乘一个系数，使两因子之和变成定值. 例 6、 已知 ，求 的最小值. 解： 与 之积不是定值，先拆项：把 拆成 . 等号当 ，即 、（满足 ）时成立. 故 的最小值为 . 注：拆项的方向由分母决定——分母是 ，就把 拆出 ，这样才和后面的分式配成倒数结构. 这是模型二的原型. 例 7、 已知 ，求 的最大值及此时 的值. 解： 与 之和为 不是定值，可以把 提出来， 此时 与 之和恒为 （定值），由「和定积最大」得 等号当 ，即 时成立. 故最大值为 ，此时 . 5.4　分离常数型 分式的分子、分母含同一个字母时，先把分子按分母整理（或直接拆项），拆成「常数（或整式） 分式」. 分离出来的常数本身不参与最值，真正干活的是拆完后 、 这种互为倒数的分式对. 例 8、 已知 ，，求 的最小值. 解：把前一个分式按分子拆开： 于是 等号当 ，即 时成立. 故最小值为 . 注：分离只是手段，配出倒数对才是目的. 分子次数不低于分母时，一律先做这个动作. 5.5　 「1」的妙用 条件给出「某个式子 」时，把这个 用进目标式，展开后自动裂出一对互为倒数的项. 两种用法的分界看分母： 目标式每一项都是 型（分母一次、分子无变量）→ 乘「1」法，整体乘条件； 目标式里出现 、 这类分子也含变量的项 → 「1」的代换，用条件替掉分子上的常数. 先乘一次看能不能配成对，配不成就代换. 两种用法都只用一次基本不等式，从根上避开「多次取等不同步」. 5.5.1　乘「1」法 原理：目标式乘上恒等于 的式子，值不变，展开后出现倒数结构. 关键好处是只用一次基本不等式，从根上避开「多次取等不同步」的问题. 四步：① 把条件化成「某个式子 」；② 目标式乘这个 并展开，先把常数项算出来；③ 对展开后的倒数项用基本不等式；④ 用等号条件与原条件联立，解出 并检验是否在允许范围内. 第 ④ 步不能省——取等条件解出来的点不在范围内，是这类题最常见的失分点. 例 9、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 解：条件已是「」，直接乘上去： 由 、 知两项均为正，积为定值 ，故 于是 . 等号当 ，即 ；代入条件得 ，即 、，均在范围内. 故 的最小值为 . 5.5.2　「1」的代换 原理：条件里有 （如 ）时，把目标式分子上的常数直接替换成这个条件，分式立刻拆成「常数 倒数项」，后面的整式就是配好的另一半. 例 10、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 解：把 的分子 写成 ，即 于是 等号当 ，即 ；代入 得 、，均满足 、. 故最小值为 . 注：这一步和乘「1」法只差一个「乘」字——乘「1」法是整体乘条件，换「1」法是拿条件去替掉分子上的常数. 若目标式写成 的样子（分子就是 ），替换更直接：，同样裂出倒数项. 两类的共同点：都只用一次基本不等式，都靠「条件制造倒数」这一手. 5.6　 二次比一次型 分子二次、分母一次，做多项式除法把它化成「一次式 分式」的结构，再对分式部分用基本不等式. 例 11、 已知 ，求 的最小值. 解：令 ，则 ， 等号当 ，即 、（满足 ）时成立. 故 的最小值为 . 注：换元之后一定要写 ，否则模型一的条件「一正」就不成立，后面的结论全部作废. 5.7　 因式分解法 条件是 这种「一次项 混合积」的形状时，把等式两边配成两个一次因式之积等于常数（如 ，展开比原式多出常数 ，需一并处理），再对两个因式整体代换，目标式化成「」的形状后用基本不等式. 例 12、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 解：对条件做因式分解——两边同时减 ： 令 、，则 . 由 、 及 、 得 、，满足基本不等式的正数要求. 把目标式用 表示： 等号当 且 ，即 、，也就是 、 时成立. 故 的最小值为 . 5.8　 整体换元 条件同时含 与 时，把 、 或 当作整体，用 或 在两者之间建立不等式，解出整体的范围. 例 13、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 解：把条件里的 缩小成 ： 令 ，则 ，即 ，故 （ 舍去负根），于是 等号当 且 ，即 时成立（代回验证 ）. 故 的最小值为 . 例 14、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 解：把条件里的 放大成 ： 令 ，则 ，即 ，故 （ 舍去负根）. 等号当 且 ，即 时成立. 故 的最小值为 . 注：两题条件相同、方向相反——求积时把和缩成 ，求和时把积放大成 . 5.9　 换元法 结构复杂、分母与分子关系不直观时，换元把问题变成关于新元的简单函数. 例 15、已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解：∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 5.10　 消元法 条件能解出一个变量时，解出来代入目标式，化成一元函数再配凑. 例 16、 若 ，，，求 的最小值. 解：由 得 ，代入后通分： 由 得 等号当 ，即 、 时成立. 故最小值为 . 注：消元后若得到分式，先约分再配凑——本题约掉 这一步是关键，不约分就凑不出积为定值. 5.11　 判别式法 把最值看成「关于某个变量的方程有解」的条件，用 求范围. 它不依赖「一正二定」，所以在配凑走不通时是兜底手段. 例 17、 求 的取值范围. 解：去分母整理成关于 的方程： 若 ，方程化为 ，即 ，成立，故 在范围内. 若 ，上式是二次方程，因 ，需 与 合并，得 的取值范围是 . 注：判别式法的两个必做动作——先单独验二次项系数为 的那一支（本题 ），再对 求解. 漏掉前一步就会丢掉一个端点值. 5.12　方法选择对照表 拿到一道最值题，先看目标式的外形，再按表选方法： 目标式外形 首选方法 原因 型 模型一、二 直接套，一步到位 分母比分子少一个常数 拆项（题型三） 拆出分母那一块配成倒数 分式分子次数不低于分母 分离常数（题型四） 拆出倒数对再配凑 两个分式之和为常数 乘「1」法（题型五） 整体乘 展开即出倒数结构 分式分子是常数 、条件给了「」的式子 「1」的代换（题型五） 用条件替掉分子上的 分子二次、分母一次 换元 + 拆项（题型六） 设 分母，化成一元 条件是一次项 混合积（ 形） 因式分解（题型七） 分解成两因式之积为常数 条件含 与 整体换元（题型八） 对 建立不等式 分子分母都含 、可同除 同除 + 模型三（见 5.12） 化出 条件能解出一个变量 消元（题型十） 化成一元函数 上面都不成 判别式法（题型十一） 不依赖一正二定，兜底 6、「三相等」：等号取不到怎么办 6.1　两类情形 第一类：根本取不到等号（如题型二），特征是解出的取等条件与题设范围矛盾. 处理办法：判出等号不可达后，转为判断函数单调性，在区间端点取最值（见 6.2 的例 18）. 第二类：多次使用、取等不同步，即对同一个式子连用两次基本不等式，两次的等号条件不能同时成立. 处理办法：改成只用一次（「1」代换、整体换元就是为此设计的），或改用单调性. 6.2　例题 例 18、 求 的最小值. 解：设 ，由 得 ，且 ，于是 若直接用基本不等式，得 ，等号当 ；但 ，取等不可能成立，故 只是下界而非最小值. 改看单调性：对 ， 由 得 ，又 ，故差为负，即 在 上递增，故在 上递增，最小值为 此时 ，即 . 故 的最小值为 . 例 19、 已知 ，求 的最小值. 解：这道题如果先对 用基本不等式，得到的最小值 使后一项 反而取到最大值——一增一减无法相加. 正确做法是先把前两项并成一个整体： 于是 两个因子互为倒数，积为定值 ，故 等号当 ，即 、（满足 ）时成立. 故 的最小值为 . 注：这就是「先并项、再用一次基本不等式」的标准用法. 判断自己有没有犯「多次取等」的错，只需看用了几个不等号——用两次就要额外验证两次的等号能否同时成立. 二次函数、方程与不等式 这一部分的核心只有一句话：三个二次指的是同一个对象的三种说法——不等式的解集、方程的根、抛物线在 轴上下方的部分. 会解题的关键是能在这三种说法之间自由翻译. 7、三个二次的关系 7.1　概念对应 （）是二次函数；令 得一元二次方程 ；令 或 得一元二次不等式. 函数的零点就是方程的根，即图像与 轴交点的横坐标（零点是数，不是点）. 7.2　解集总表（） 课本把「图象、方程的根、不等式的解集」三件事并排放在一张表里，竖看是三种判别式，横看是同一个二次函数的三种说法： 图象 方程的根 两个不相等的实根 （） 两个相等的实根 没有实数根 的解集 或 的解集 读表的两个要点： ① 图象行决定下面两行的形状. 抛物线与 轴有两个交点，就有「两边」（）和「中间」（）两块；只有一个切点，两边取遍除了切点以外的全体，中间是空的；没有交点，整条抛物线在 轴上方，所以 恒成立、 无解. ② 那一列最容易写错. 的解集是 ，一定要把重根挖掉——写成 就错了，因为 时式子恰等于 ；反过来 的解集才是 . 表的前提是 . 时先两边乘 把二次项系数化正（同时不等号变向）再套表，切忌开口方向没定就写解集. 例如 先化为 ，再按 的情形处理. 8、一元二次不等式的解法 8.1　四步 ① 化正：二次项系数化为正，不等号右边化为 ；② 求根：算判别式，解对应方程（能因式分解优先分解）；③ 画草图：开口向上的抛物线，标出两根位置；④ 写解集：大于取两边、小于取中间，端点开闭看不等号. 8.2　含参数不等式的分类 三条分类线索，按题目特点选一条即可，不要一上手就乱分： ① 二次项系数含参数：分 、、 三类. 时不等式退化为一次不等式，这一支最容易被整段漏掉. ② 两根含参数、大小不确定：先解出两根，再按 、、 讨论，每一支写出各自的解集. ③ 根是否存在不确定：对 分类（、、），再在每类里写解集. 8.3　例题 例 20、 解关于 的不等式 . 解：先看二次项系数是否为 . （1） 时，不等式化为 ，解集为 . （2） 时，左边分解为 ，对应两根为 与 . 因 的符号影响开口，需再分： 若 ，开口向下，，解集为 ； 若 ，开口向上，解集在两根之间，需比较 与 ： 时 ，解集为 ； 时两根相等， 无解，解集为 ； 时 ，解集为 . 注：这题把两条分类线索都用上了——先按二次项系数分 与 ，再按两根大小分 、、. 漏掉 或漏掉 （两根相等）都算整题错. 9、已知解集求参数 9.1　两条关键信息 ① 解集的端点就是对应方程的根. 若 的解集是 ，则 是方程 的两根. ② 解集的形态决定 的符号. 解集是「中间」（一段线段）则 ；解集是「两边」（两段射线）则 . 这一条最容易被忘，只列韦达不判符号，得到的参数往往正负颠倒. 9.2　做法 用根与系数的关系 、 列方程求参数，最后回代检验解集是否与题设一致. 9.3　例题 例 21、 已知关于 的不等式 的解集为 ，求不等式 的解集. 解：解集是「中间」一段，故 ；且 、 是方程 的两根，由韦达定理 故 ，. 代入目标不等式： 因 ，两边同除以 （负数，不等号变向）： 解得 . 故所求解集为 . 例 22、 若关于 的不等式 的非空解集为 ，求 的值. 解：解集是「中间」非空一段，故 ，且 、 是方程 的两个不相等的实根，由韦达定理 即 ，代入第一式： 得 或 . 时 ，与 矛盾，舍去. 故 （此时不等式为 ，解集确为 ，回代吻合）. 10、恒成立与有解 10.1　判别式法（ 时首选） 要求 条件 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 两条纪律：题目没说「一元二次」时， 的退化情形必须单独交代；带等号的要求对应 ，不带等号的对应 ，这一处等号丢了就整题错. 10.2　分离参数法（ 有范围限制时首选） 把参数与变量分到不等号两边，化成 或 的形式： 恒成立 ； 恒成立 . 10.3　主元法（参数是一次、变量是二次时用） 当题目问的是「对某个参数的一切取值都成立，求变量的范围」时，把参数当主元，原式就变成关于参数的一次函数（或一次不等式）. 依据只有一条：一次函数在闭区间上的最值必在端点取到. 设 在 上恒正，等价于 且 ——两个端点条件，不需要讨论斜率正负. 识别特征：题目里出现「对任意 都成立」，而 只以一次形式出现. 10.4　例题 例 23、 已知命题「，」是真命题，求实数 的取值范围. 解：题目没说「一元二次」，先讨论 ：此时不等式为 ，对一切实数成立，故 可以. 时，需开口向上且与 轴至多一个交点： 解得 . 综上， 的取值范围是 . 注：带等号对应 ，端点 可取（此时 ）；若不等号是严格的「」，端点就取不到. 例 24、 若命题 ：「存在 ，使得 」为假命题，求实数 的最大值. 解：先把量词翻过来——「存在使 」为假，等价于「对任意 ， 恒成立」. 分离参数：由 ，因 时 ，两边同除以 不变号： 故 . 由基本不等式 ，当且仅当 （在范围内）时取等，故最小值为 . 所以 . 检验 ：原式为 ，在 上恒成立，端点可取. 故 的最大值为 . 注：这类「命题为假」的题，先翻量词再定方向——翻完是恒成立，取最紧的最小值一端；直接照「存在」求最值会全盘跑偏. 例 25、 对于 ，不等式 恒成立，求 的取值范围. 解：参数 只以一次形式出现，把 当主元，整理成关于 的一次式： 设 （），一次式在区间上的最值必在端点取到，按系数 的符号分三支： 时，，不满足 ，舍去； 时，， 关于 递增，最小值在左端点 处：，解得 （与 取交集）； 时，， 关于 递减，最小值在右端点 处：，解得 （与 取交集）. 故 的取值范围是 . 注：谁的次数低，谁当主元. 主元法的易错点是漏掉「系数为零」那一支——本题 恰好不满足，若不单独讨论就会混进答案. 例 26、 存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. 解：左边只含 、右边只含 ，参数已天然分离.「存在」取最松的一端： 在 上随 增大而增大，最大值为 ，故 解得 . 注：与 10.2 的口诀对上——恒成立看最值的「最紧」一端（最小值），有解看「最松」一端（最大值）. 若把题干改成「对任意 都成立」，就要改用最小值 ，答案完全不同：「存在」与「任意」直接决定取哪一端. 11、二次方程根的分布 11.1　三组条件 先画开口方向确定的抛物线草图，把「根在某区间内」翻译成三组条件： ① 判别式 （保证有根，要求两不等根时用 ）； ② 对称轴 落在指定区间内； ③ 区间端点处的函数值符号（、 等）. 11.2　常见四种分布（） 分布 条件 两根都小于 ，， 两根都大于 ，， 一根小于 、一根大于 两根都在 内 ，，， 第三行只有一条条件，原因很直接： 落在两根之间时，图像在 处必在 轴下方，即 ；反过来 也说明 在两根之间. 一条条件就等价，不需要再补判别式. 11.3　例题 例 27、 已知方程 的两根都大于 ，求 的取值范围. 解：开口向上，两根都大于 ，需三条同时成立： 由第一条得 或 ；由第二条得 ；由第三条得 . 三者取交，得 . 注：若题目改成「有两个不相等的实根都大于 」，则第一条改为 ，答案变为 . 措辞差别只在 的等号上，这正是 11.1 强调「要求两不等根时用 」的原因. 12、分式不等式与高次不等式 12.1　同解转化 小于、小于等于同理. 转化之后变成整式不等式，再走穿根法. 六步：移项 通分（不要去分母） 分子分母最高次项化正 分别因式分解 求各因式的根 数轴标根写出解集. 铁律：分母不为零，取等时分母的根永远是空心. 12.2　穿根法 把不等式化成「一边为 、另一边为因式乘积且各因式最高次项为正」，在数轴上标出所有根，从右上方起笔画曲线： 奇次根穿过，偶次根回弹（奇穿偶不穿）. 曲线在数轴上方的区间就是 的解集，下方就是 的解集，如图 1. 图 1　穿根法：奇次根穿过、偶次根回弹 以 为例（如图 1）： 与 是奇次根，曲线穿过； 是偶次根，曲线在此回弹不穿. 四个区间上符号依次为 、、、，故解集为 . 12.3　例题 例 28、 解不等式 . 解：同解转化为 两根为 与 ，开口向上，大于等于取两边且含端点，但 使分母为零必须挖掉： 例 29、 解不等式 . 解：先移项通分，不要去分母： 分子 恒成立，故原不等式等价于 解得 . 注：这题的关键是「先看分子能不能恒正」——分子恒正时分母必须为负，一步就得结果；若硬去分母再乘 ，会绕远路. 1 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式的性质 这一部分解决三件事：用性质比较大小、用性质判断命题真假、用性质求代数式 的取值范围.前两件事靠「同向可加、同乘正数」几条规则的熟练，第三件事靠一个容 易被忽略的技术一把目标式凑成已知式的线性组合.做题先问一句：这条性质的条件 (同号、正数、不为零)满足没有 1、实数大小比较与作差法 1.1比较大小的依据 设a,bER,则a-b>0曰a>b;a-b=0曰a=b:a-b<0曰a<b.这 是作差法的全部依据，也是所有不等式性质的出发点一性质本身都是用「作差后判 号」证出来的 1.2做题方法（作差法四步） ①作差A一B:②变形，目标是化成因式乘积或平方和两种形状之一（手段：因 式分解、配方、通分、分子有理化)；③定号，结合题目给的字母范围判断差的符 号；④下结论 变形是四步里唯一有难度的一步，判断标准很实在：变形后能不能一眼看出符号 看不出来就是没变到位，继续拆 作商法：A>0、B>0时作商台与1比合>1今A>B,合<1今A<B.两条 纪律：只适用于同正的情形：比的是1而不是0. 1.3例题 例1、已知a>0,b>0,比较元+后与Va+V历的大小 解：作差，通分后因式分解」 +bYa vi ava+bvb-avb-bva Vab 分子按a,b分组： a(Va-VB)-b(Va-VB)=(Va-VB)(a-b)=(Va-VB)2(Va+B) 故 品品a-6@-a1面0 a Vab 所以后+会≥Va+v万，当且仅当a=b时取等 注：这题的变形思路是「先通分把根式集中，再按α、b分组提公因式」.若停在 「通分后分子很长」这一步就判不了号，必须做到出现（ā一√⑥）这种显然非负的形 状 2、不等式的基本性质 2.1八条性质 序号 名称 内容 使用时的条件 1 对称性 a>b台b<a 双向 2 传递性 a>b,b>c→a>c 单向 3 可加性 a>b台a+c>b+c 双向 可乘性 a>b,c>0ac>bc;a>b,c< 4 看c的符号 0→ac<bc 5 同向可加 a>b,c>d→a+c>b+d 不能相减 6 同向同正可乘 a>b>0,c>d>0→ac>bd 四个数都为正 7 可乘方 a>b>0→an>bn 同为正数 8 可开方 a>b>0→Wa>Vb 同为正数 性质7、8中n∈N*且n≥2. 2.2关键性质的证明 性质4：由a>b得a-b>0.若c>0,则(a-b)c>0,即ac-bc>0,故 ac>bc;若c<0,则(a-b)c<0,即ac-bc<0,故ac<bc.「乘负数变号」的 根源就在这里一负数乘一个正数会变成负数. 性质5：由a-b>0、c-d>0得 (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0 故a+c>b+d.注意这里只证明了「加」，不能由此推出「减」：a-c与b一 d的大小取决于c,d各自的大小，无法确定： 性质6：由a>b>0、c>d>0得 ac-bd=c(a-b)+b(c-d)>0 故ac>bd.这一步的技巧是拆交叉项：把ac拆成c(a-b)+bc,再把bc拆成 b(c-d)+bd,两个括号都为正 2.3易错点 ·乘（除）负数忘变号：性质4中c的符号决定方向，符号没看就动笔必错。 ·同乘c2:a>b→ac2≥bc2(带等号)，因为c=0时两边相等.写成严格不等号 就错了 ·倒数：a>b>0→<行缺「同正」即错：a>b且ab>0也够用（此时a,b同 号) ·相加与相减不同：a>b、c>d能推出a+c>b+d,推不出a-c>b-d. 2.4例题 例2、下列命题中正确的是() A.若a>b,则ac2≥bc2 B若a>b,则<号 C.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.若a>b>0,则a3>b3 解：A:由a>b得a-b>0,而c2≥0，故(a-b)c2≥0，即ac2≥bc2,等 号在c=0时成立.A对. B:取a=1,b=-1,则a>b,但=1>=-1，不等号方向反了.B错 C:取a=2,b=1,c=3,d=0,则a>b、c>d都成立，但a-c=-1< b-d=1.C错 D:由性质7(n=3)直接得.D对. 答案：AD 3 3、求代数式的取值范围 3.1待定系数法 己知x+y与x-y的范围，要求4x+2y的范围，正确做法是把目标式写成已知 式的线性组合：设 4x+2y=m(x+y)+n(x-y) 比较两边系数，m+n=4、m-n=2,解得m=3、n=1,即4x+2y= 3(x+y)+(x-y).两个己知式各自乘正数后同向相加，范围就是准的 3.2为什么不能分别求范围再组合 先解出x、y各自的范围，再把端点代进目标式一这是本节唯一的硬错，原因在 于两个变量不是独立的：x+y与x一y的取值互相牵制，把它们的端点「各自取到」 时，往往凑不出同时满足两个条件的x,y. 举例：由1≤x+y≤3与-1≤x-y≤1能推出0≤x≤2、0≤y≤2，于是 4x+2y∈[0,12]一而真值域只有[2,10]（见例3），两端各多出2，合计约占整个区 间的三分之一，属于把范围放大了 口诀：能凑线性组合，就不要解出单个变量 3.3例题 例3、已知1≤x+y≤3，-1≤x-y≤1，求4x+2y的取值范围 解：设4x+2y=m(x+y)+n(x-y),则 m+n=4, (m-n=2, 解得m=3、n=1,即 4x+2y=3(x+y)+(x-y) 由1≤x+y≤3得3≤3(x+y)≤9；由-1≤x-y≤1得-1≤x-y≤1.同 向相加： 2≤4x+2y≤10 故取值范围是[2,10]. 错解对照：若先解出0≤x≤2、0≤y≤2，再算得[0,12]，而正确结果是 [2,10],区间长度从8被放大到12.反查端点即可看出问题：要使4x+2y=12,需 4 x=2且y=2;但x=2时由x+y≤3得y≤1，两个条件不能同时满足，所以12 根本取不到 基本不等式 这一部分只有一条主线：把目标式凑成「和为定值」或「积为定值」，再用基本 不等式.全部技巧一拆、配、并、「1」代换、因式分解、换元、消元一都是为了 凑出这个定值：全部失分都出在「一正、二定、三相等」这三个检查点上 下面先给四个高频模型（认得出就能一步到位），再按十一类题型把方法逐一铺 开.这十一类恰好覆盖了试卷上会遇到的十一种外形，做题时先认外形、再选方法. 4、基本不等式与最值定理 4.1内容与成立条件 重要不等式：对任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 基本不等式：若a>0,b>0,则 Vabsatb 2 当且仅当a=b时等号成立.其中叶也叫算术平均数，Vb叫几何平均数，即两个 正数的算术平均数不小于几何平均数 三种等价写法，见到哪种都要认得： a+b≥2瓜，ab=(士，a2+b2≥zab 证明：由(a-V⑥2≥0展开得a+b-2Wab≥0，即a+b≥2Wab,两边除以 2得结论；等号当且仅当va=Vb,即a=b 4.2最值定理 设a>0,b>0: ①若a+b=S为定值，则当a=b时积ab取最大值： ②若ab=P为定值，则当a=b时和a+b取最小值2√P, 简记：和定积最大，积定和最小（证明由基本不等式直接移项即得，从略）· 4.3基本不等式链 若a>0,b>0,则 5 2 1i≤vabs a+b a2+b2 2 ≤ 2 a+6 四项依次为调和、几何、算术、平方平均数，当且仅当α=b时全部取等，可直 接使用 4.4结论：四个常考值模型 这四个模型是把「一正、二定、三相等」压缩成一句话的结果，认出来就能直接 写答案，省掉每次重新凑的过程.来历各有出处：模型一、二来自题型三的拆项，模型 四来自题型三的配系数，模型三来自「分子分母同除x化出x+」这一手（见5.12对 照表) 模型-mx+2≥2Wmn(x>0,m>0,n>0) 等号当x= 识别特征：一个正项与它的倒数型相加. m 模型二 m(x- a)+”≥2Wmm(x>a,m>0,n>0) x-a 等号当x一a= n V 识别特征：分母比分子少一个常数，先把整式拆出(x一a) 模型三 ax2+bx+c 2vac+b (x>0,a>0,c>0,b>-2vac) 等号当x= 识别特征：分母二次、分子一次， a 最后那个b>一2√c不是凑数的条件：右边的界必须是正数，而由ax+≥ 2vac知分母ax2+bx+c=x(ax+b+9的最小值为x(2Wac+b).若b≤-2vac,这 个最小值≤0，分母可以取到0甚至变号，原式在x>0上根本无上界，「≤某个正 数」就不成立.所以套模型三之前先算一遍2√Qc+b的符号 模型四mx(m-mx)≤Om>0,n>0,0<x<点 等号当x=六识别特征：两个一次因式括号相乘，展开后二次项系数为负 四个模型都要注意范围：模型一、二要求x>0（或x>α)，模型四要求0< x<2,模型三要求x>0、a,c>0且2Vac+b>0.范围不满足就不能套。 6 5、十一类题型 5.1直接使用 条件已经给出「和定」或「积定」，直接套最值定理.此类属于送分题，认出条件 即可，不展开 例4、已知a>0,b>0,且a+b=1,求ab的最大值 解：和为定值1，由[和定积最大！得ab≤()'=京等号当Q=b=时成 立，故最大值为 5.2判断「能不能取等」 这是最容易被答案骗的一类：形式上完全符合基本不等式的样子，但等号取不 到，或者「一正」「二定」根本不满足.三关要逐个过，缺一关结论就错 例5、下列各式中，最小值为2的是() A.x+(x≠0) B.Vx2+2+x2+2 C.x2+生(x≠0)D.x+(x>0) 解：A:x<0时x+<0,没有最小值（下无界），A错 B:两式均为正，积为1，形式上≥2VT=2:但等号要求Vx2+2=1,即x2= -1,无解，等号取不到.令t=x2+2≥V2,则t+在W2,+∞)上递增，最小值为 2+竖-=识不是2.B错 C:两式积为定值4，故x2+专≥2W4=4,最小值是4不是2.C错， D:两式均为正、积为定值1，故x+≥2，等号当x=1(满足x>0)成立.D 对 答案：D 注：这类题的三个坑分别对应三关一A栽在「一正」(x<0时x+<0,下 无界)，B栽在「三相等」(Vx2+2=1无解)，C则三关全过、最小值确实是4， 只是不等于题目要的2.做选择题时三关都要在心里过一遍 5.3配凑：拆项与配系数 目标式的两个因子之和不是定值时，通过拆项或乘系数把它凑成定值 7 •拆项：把一项拆成两段，使其中一段与另一项配对成倒数结构，剩下的常数单独放 着 •配系数：给其中一个因子乘一个系数，使两因子之和变成定值 例6、已知x>2,求y=x+二2的最小值 解：x与是2之积不是定值，先拆项：把x拆成(x-2)+2 1 1 y=(x-2)+x2+2≥2x-2)x2+2=4 等号当x-2=2即(x-2)2=1、x=3(满足x>2)时成立. 故y的最小值为4 注：拆项的方向由分母决定一分母是x一2，就把x拆出(x一2)，这样才和后面 的分式配成倒数结构.这是模型二的原型 例7、已知0<x<1,求x(3-3x)的最大值及此时x的值 解：x与3-3x之和为3-2x不是定值，可以把3提出来， x(3-3x)=3x(1-x) 此时x与1-x之和恒为1（定值)，由「和定积最大」得 31-03} 等号当x=1-x,即x=时成立。 故最大值为子此时x= 5.4分离常数型 分式的分子、分母含同一个字母时，先把分子按分母整理（或直接拆项），拆成 「常数（或整式）+分式」.分离出来的常数本身不参与最值，真正干活的是拆完后 名三这种互为倒数的分式对 例8、已知x>0,y>0,求+的最小值 2x 解：把前一个分式按分子拆开：是=+号 于是要+作+)≥+2-月 2x 等号当=三即x=y时成立。 8 故最小值为 注：分离只是手段，配出倒数对才是目的.分子次数不低于分母时，一律先做这个 动作」 5.5「1」的妙用 条件给出「某个式子=1」时，把这个1用进目标式，展开后自动裂出一对互为 倒数的项.两种用法的分界看分母： ·目标式每一项都是整型（分母一次、分子无变量）→乘[1」法，整体乘条件： ·日标式里出现三三这类分子也含变量的项→「1」的代换，用条件替掉分子上的 常数 先乘一次看能不能配成对，配不成就代换.两种用法都只用一次基本不等式，从根 上避开「多次取等不同步」· 5.5.1乘「1」法 原理：目标式乘上恒等于1的式子，值不变，展开后出现倒数结构 目标式=目标式×1 关键好处是只用一次基本不等式，从根上避开「多次取等不同步」的问题 四步：①把条件化成「某个式子=1」：②目标式乘这个1并展开，先把常数项 算出来；③对展开后的倒数项用基本不等式；④用等号条件与原条件联立，解出x,y 并检验是否在允许范围内 第④步不能省一取等条件解出来的点不在范围内，是这类题最常见的失分点 例9、已知x>0,y>0,且+号=1，求x+y的最小值 解：条件已是「=1」，直接乘上去： xyn》1%19-0g别 由x>0、y>0知两项均为正，积为定值9，故 y+9≥2 ly 9x .=6 x y 于是x+y≥16.等号当=S,即y=3x:代入条件得+=1，即x=4、 y=12,均在范围内. 0 故x+y的最小值为16： 5.5.2「1」的代换 原理：条件里有1（如x+2y=1)时，把目标式分子上的常数直接替换成这个 条件，分式立刻拆成「常数+倒数项」，后面的整式就是配好的另一半 例10、已知x>0,y>0,且x+2y=1,求2+的最小值， 解：把2的分子2写成2×1=2(x+2y),即2=2+2)=2+y 于是 2+学身212竖 =2+4=6 等号当兴=多即x=29:代入x+2)=1得y=子x=克均满足x>0、y> 0 故最小值为6. 注：这一步和乘「1」法只差一个「乘」字一乘「1」法是整体乘条件，换「1」 法是拿条件去替掉分子上的常数若目标式写成：+的样子（分子就是1），替换更 直接：是=2=1+名，同样裂出倒数项 两类的共同点：都只用一次基本不等式，都靠「条件制造倒数」这一手 5.6二次比一次型 分子二次、分母一次，做多项式除法把它化成「一次式+分式」的结构，再对分 式部分用基本不等式： 例11、已知x>1,求y=子的最小值 解：令t=x-1>0,则x=t+1, +112_212+3-t+222312 y t 等号当t=,即t=V3、x=1+V3(满足x>1)时成立 故y的最小值为2V3+2. 注：换元之后一定要写t>0,否则模型一的条件「一正」就不成立，后面的结论 全部作废 10 5.7因式分解法 条件是ax+by+abxy=c这种「一次项+混合积」的形状时，把等式两边配成 两个一次因式之积等于常数（如(ax+1)(by+1),展开比原式多出常数1，需一并处 理)，再对两个因式整体代换，目标式化成「pm+q」的形状后用基本不等式： 例12、已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4,求2x+y的最小值 解：对条件做因式分解—两边同时减2： xy+x-2y-2=2→x(y+1)-2y+1)=2→(x-2)y+1)=2 令m=x-2、n=y+1,则mn=2. 由x>0、y>0及(x-2)(y+1)=2>0、y+1>0得m>0、n>0,满足基 本不等式的正数要求 把目标式用m,n表示： 2x+y=2(m+2)+(n-1)=2m+n+3≥2W2mn+3=2W4+3=7 等号当2m=n且mn=2,即m=1、n=2,也就是x=3、y=1时成立. 故2x+y的最小值为7. 5.8整体换元 条件同时含ab与a+b时，把ab、a+b或Vab当作整体，用a+b≥2vab或 b≤地在两者之间建立不等式，解出整体的范围 例13、已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求ab的最小值 解：把条件里的a+b缩小成2√ab: ab=a+b+3≥2Wab+3 令s=Vab>0,则s2-2s-3≥0，即(s-3)(s+1)≥0，故s≥3(s+1>0 舍去负根)，于是 ab=s2≥9 等号当a=b且a2=2a+3,即a=b=3时成立（代回验证9=6+3）. 故ab的最小值为9. 例14、已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求a+b的最小值， 解：把条件里的ab放大成a+b: 4 (a+b)2 4 ≥ab=a+b+3 11 令t=a+b>0,则t2-4t-12≥0，即(t-6)(t+2)≥0，故t≥6(t+2> 0舍去负根). 等号当a=b且a2=2a+3,即a=b=3时成立 故a+b的最小值为6. 注：两题条件相同、方向相反—一求积时把和缩成2Vαb,求和时把积放大成 (a+b)2 4 5.9换元法 结构复杂、分母与分子关系不直观时，换元把问题变成关于新元的简单函数 例15、已知x,y为正实数，则、x+y的最大值为() 2x+y x+3y A.3 B.7 C.3 D. 1 3 12 5 2 解：x,y为正实数，令2x+y=m,x+3y=n,m>0,n>0, 联立得2x+y=m,解得x-3,,y= 2n-m x+3y=n 5 5 x,y为正实数， ∫3m-n>0,即上<严<3，满足基本不等式使用条件. 2n-m>0 3m-n 2n-m 所以x+y 5+5 -3-”+2m=1-”+” 55m55n 5n m m n m n 则严+”≥2， m n =2,当且仅当”=”=1，即m=n时取等号. n m n m n m 此时x=2 ，y=”,均为正实数，等号可取 5 原式12- 即经大位为号 5.10消元法 条件能解出一个变量时，解出来代入目标式，化成一元函数再配凑 例16、若a>0,b>0,ab=2,求a+4b+2b的最小值 b2+1 解：由ab=2得a=子，代入后通分： 12 a+4h+263 822422202D220D2 2 b2+1 b2+1 b(b2+1)-b(b2+1) b 由b>0得 2 2 2b+ 之22b=4 等号当2b=子即b=1、Q=2时成立 故最小值为4. 注：消元后若得到分式，先约分再配凑一本题约掉b2+1这一步是关键，不约 分就凑不出积为定值， 5.11判别式法 把最值看成「关于某个变量的方程有解」的条件，用△≥0求范围.它不依赖「一 正二定」，所以在配凑走不通时是兜底手段， 例17、求y=生的取值范围 x2+1 解：去分母整理成关于x的方程： yx2+y=x2+x+1→y-1)x2-x+y-1)=0 若y=1,方程化为-x=0,即x=0,成立，故1在范围内. 若y≠1，上式是二次方程，因x∈R,需 11 三140y-1)2≥0→0y-1)2≤492≤ys 与y=1合并，得y的取值范围是，引 注：判别式法的两个必做动作一 先单独验二次项系数为0的那一支（本题y= 1)，再对△≥0求解.漏掉前一步就会丢掉一个端点值， 5.12方法选择对照表 拿到一道最值题，先看目标式的外形，再按表选方法： 目标式外形 首选方法 原因 ax+型 模型一、二 直接套，一步到位 分母比分子少一个常数 拆项（题型三） 拆出分母那一块配成倒数 13 目标式外形 首选方法 原因 分式分子次数不低于分母 分离常数（题型四） 拆出倒数对再配凑 乘「1」法（题型五） 整体乘1展开即出倒数结 两个分式之和为常数 构 分式分子是常数1、条件给了 「1」的代换（题型 「=1」的式子 五) 用条件替掉分子上的1 分子二次、分母一次 换元+拆项（题型六） 设t=分母，化成一元 条件是一次项+混合积(abxy 形) 因式分解（题型七） 分解成两因式之积为常数 条件含ab与a+b 整体换元（题型八） 对√ab建立不等式 分子分母都含x、可同除 同除+模型三（见 5.12) 化出x+ 条件能解出一个变量 消元（题型十） 化成一元函数 上面都不成 判别式法（题型十一） 不依赖一正二定，兜底 6、 「三相等」：等号取不到怎么办 6.1两类情形 第一类：根本取不到等号（如题型二），特征是解出的取等条件与题设范围矛盾 处理办法：判出等号不可达后，转为判断函数单调性，在区间端点取最值（见62的例 18). 第二类：多次使用、取等不同步，即对同一个式子连用两次基本不等式，两次的 等号条件不能同时成立.处理办法：改成只用一次（「1」代换、整体换元就是为此设 计的)，或改用单调性， 6.2例题 例18、求y=品的最小值 解：设t=Vx2+4,由x2≥0得t≥2，且x2+5=t2+1,于是 y=2+1,1 t -=t+- 14 若直接用基本不等式，得y≥2，等号当t=1;但t≥2，取等不可能成立，故2 只是下界而非最小值 改看单调性：对1≤t1<t2, 9)-92)=a-t2)(1-) 由>1得1->0，又1-t2<0,故差为负，即g)=t+在1,10) 上递增，故在[2，+o∞)上递增，最小值为 15 g(2)=2+2=2 此时t=2,即x=0 故y的最小值为 例19、已知x>1,求y=x++的最小值 解：这道题如果先对x+二用基本不等式，得到的最小值2使后一项6反而取到 最大值一一增一减无法相加.正确做法是先把前两项并成一个整体： 1x2+1 x+- xx 于是 y=2+116r 一十 x2+1 两个因子互为倒数，积为定值16，故 y≥2W16=8 等号当生=4，即x2-4x+1=0、x-2+V3(满足x>1)时成立 故y的最小值为8. 注：这就是「先并项、再用一次基本不等式」的标准用法.判断自己有没有犯「多 次取等」的错，只需看用了几个不等号一用两次就要额外验证两次的等号能否同时 成立 二次函数、方程与不等式 这一部分的核心只有一句话：三个二次指的是同一个对象的三种说法一不等式 的解集、方程的根、抛物线在x轴上下方的部分.会解题的关键是能在这三种说法之间 自由翻译 15 7、三个二次的关系 7.1概念对应 y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数；令y=0得一元二次方程ax2+bx+c= 0;令y>0或y<0得一元二次不等式. 函数的零点就是方程的根，即图像与x轴交点的横坐标（零点是数，不是点）. 7.2解集总表(a>0) 课本把「图象、方程的根、不等式的解集」三件事并排放在一张表里，竖看是三 种判别式，横看是同一个二次函数的三种说法： 4>0 4=0 4<0 y=ax2+bx+c图象 两个相等的实根 ax2+bx+c=0方程的根 两个不相等的实根 X1,X2（X1<X2) 名=名=品 没有实数根 ax2+bx+c>0的解集 {x|x<x1或x> x2} {x|x≠ 2 R ax2+bx+c<0的解集 {xIx1<x<x2} 0 0 读表的两个要点： ①图象行决定下面两行的形状.抛物线与x轴有两个交点，就有「两边」(>0) 和「中间」(<0)两块；只有一个切点，两边取遍除了切点以外的全体，中间是空 的；没有交点，整条抛物线在x轴上方，所以>0恒成立、<0无解 ②4=0那一列最容易写错ax2+bx+c>0的解集是x1x≠-品}，一定要把 重根挖掉一写成R就错了，因为x=-品时式子恰等于0：反过来ax2+bx+c≥ 0的解集才是R. 16 表的前提是a>0.α<0时先两边乘-1把二次项系数化正（同时不等号变向）再 套表，切忌开口方向没定就写解集.例如-2x2+x+3<0先化为2x2-x-3>0, 再按a>0的情形处理 8、一元二次不等式的解法 8.1四步 ①化正：二次项系数化为正，不等号右边化为0：②求根：算判别式，解对应方 程（能因式分解优先分解）；③画草图：开口向上的抛物线，标出两根位置；④写 解集：大于取两边、小于取中间，端点开闭看不等号 8.2含参数不等式的分类 三条分类线索，按题目特点选一条即可，不要一上手就乱分： ①二次项系数含参数：分=0、>0、<0三类.=0时不等式退化为一次不等式， 这一支最容易被整段漏掉 ②两根含参数、大小不确定：先解出两根，再按x1<x2、x1=x2、x1>x2讨 论，每一支写出各自的解集 ③根是否存在不确定：对4分类(>0、=0、<0)，再在每类里写解集 8.3例题 例20、解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解：先看二次项系数是否为0 (1)a=0时，不等式化为-x+1<0,解集为{x1x>1} (2)a≠0时，左边分解为(ax-1)(x-1)<0,对应两根为二与1.因a的符号 影响开口，需再分： 若a<0,开口向下，是<0<1，解集为{xIx<或x>1: 若a>0,开口向上，解集在两根之间，需比较上与1： 0<a<1时号>1，解集为{x11<x<: a=1时两根相等，(x一1)2<0无解，解集为0： a>1时<1，解集为{x1<x<1 1> 注：这题把两条分类线索都用上了一先按二次项系数分a=0与a≠0，再按两 根大小分0<a<1、a=1、a>1.漏掉a=0或漏掉a=1(两根相等)都算整题 错 9、已知解集求参数 9.1两条关键信息 ①解集的端点就是对应方程的根.若ax2+bx+c>0的解集是{xI2<x<3}, 则2,3是方程ax2+bx+c=0的两根. ②解集的形态决定α的符号.解集是「中间」（一段线段）则a>0;解集是「两 边」（两段射线）则α<0.这一条最容易被忘，只列韦达不判符号，得到的参数往往 正负颠倒： 9.2做法 用根与系数的关系十x2=会xx=列方程求参数，最后回代检验解集是 否与题设一致 9.3例题 例21、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{xI-2<x<1),求不 等式cx2+bx+a≥0的解集 解：解集是「中间」一段，故a>0:且-2、1是方程ax2+bx+c=0的两 根，由韦达定理 -2+1=-1,8=-2×1=-2 a 故b=a,c=-2a.代入目标不等式： cx2+bx+a =-2ax2 ax +a=0 因a>0,两边同除以-2a（负数，不等号变向)： x2号x-≤02x2-x-1≤0(2x+10x-1)≤0 解得-≤x≤1. 故所求解集为x1-≤x≤1 例22、若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的非空解集为{xI1<x<m},求 m的值. 18 解：解集是「中间」非空一段，故a>0,且1、m是方程ax2-6x+a2=0的 两个不相等的实根，由韦达定理 6 a2 1+m=-,1·m=-=a a 即a=m,代入第一式： 6 1+m=二→m2+m-6=0→(m+3)m-2)=0 m 得m=2或m=-3.m=-3时a=-3<0,与a>0矛盾，舍去 故m=2(此时不等式为2x2-6x+4<0,解集确为1<x<2,回代吻合) 10、恒成立与有解 10.1判别式法（x∈R时首选) 要求 条件 ax2+bx+c>0恒成立 a=b=0且c>0,或a>0且△<0 ax2+bx+c≥0恒成立 a=b=0且c≥0，或a>0且4≤0 ax2+bx+c<0恒成立 a=b=0且c<0,或a<0且4<0 ax2+bx+c≤0恒成立 a=b=0且c≤0，或a<0且4≤0 两条纪律：题目没说「一元二次」时，Q=0的退化情形必须单独交代；带等号的 要求对应△≤0，不带等号的对应△<0，这一处等号丢了就整题错 10.2分离参数法（x有范围限制时首选) 把参数与变量分到不等号两边，化成a<f(x)或a>f(x)的形式： a≤f(x)恒成立台a≤f(x)mim: a≥f(x)恒成立台a≥f(x)max 10.3主元法（参数是一次、变量是二次时用） 当题目问的是「对某个参数的一切取值都成立，求变量的范围」时，把参数当主 元，原式就变成关于参数的一次函数（或一次不等式）· 0 依据只有一条：一次函数在闭区间上的最值必在端点取到.设g(t)=kt+b在 [m,n]上恒正，等价于g(m)>0且g(n)>0一两个端点条件，不需要讨论斜率正 负」 识别特征：题目里出现「对任意a∈[m,n]都成立」，而a只以一次形式出现 10.4例题 例23、已知命题「HxER,ax2+ax+1≥0」是真命题，求实数a的取值范围. 解：题目没说「一元二次」，先讨论α=0：此时不等式为1≥0，对一切实数成 立，故a=0可以 a≠0时，需开口向上且与x轴至多一个交点： a>0, (4=a2-4a≤0. 解得0<a≤4. 综上，a的取值范围是{aI0≤a≤4} 注：带等号对应△≤0，端点a=4可取（此时4x2+4x+1=(2x+1)2≥ 0);若不等号是严格的「>0」，端点就取不到 例24、若命题p:「存在1≤x≤2，使得x2-ax+4<0]为假命题，求实数 a的最大值 解：先把量词翻过来一「存在使<0」为假，等价于「对任意1≤x≤2，x2- ax+4≥0恒成立」 分离参数：由x2+4≥ax,因1≤x≤2时x>0,两边同除以x不变号： 4 a≤X十 放a≤(c+),nn由基本不等式x+兰≥24=4，当且仅当x=2(在范围内) 时取等，故最小值为4 所以a≤4.检验a=4:原式为x2-4x+4=(x-2)2≥0，在[1,2]上恒成立， 端点可取 故a的最大值为4. 注：这类「命题为假」的题，先翻量词再定方向一翻完是恒成立，取最紧的最 小值一端；直接照「存在」求最值会全盘跑偏. 20 例25、对于-1≤a≤1，不等式x2+(a-2)x+1-a>0恒成立，求x的取值 范围 解：参数a只以一次形式出现，把a当主元，整理成关于a的一次式： x2+(a-2)x+1-a=(x-1)a+(x-1)2 设g(a)=(x-1)a+(x-1)2(-1≤a≤1)，一次式在区间上的最值必在端点 取到，按系数x一1的符号分三支： x=1时，g(a)=0,不满足>0，舍去： x>1时，x-1>0,g关于a递增，最小值在左端点a=-1处：-(x-1)+ (x-1)2=(x-1)(x-2)>0,解得x>2(与x>1取交集)： x<1时，x-1<0,g关于a递减，最小值在右端点a=1处：(x-1)+(x 1)2=x(x-1)>0,解得x<0(与x<1取交集). 故x的取值范围是{xIx<0或x>2} 注：谁的次数低，谁当主元.主元法的易错点是漏掉「系数为零」那一支一本题 x=1恰好不满足，若不单独讨论就会混进答案 例26、存在x∈{x10≤x≤3}，使不等式2x-2≥m2-3m成立，求实数m 的取值范围 解：左边只含x、右边只含m,参数已天然分离.「存在」取最松的一端： 3xe[0,3],2x-2≥m2-3m→(2x-2)max≥m2-3m 2x-2在[0,3]上随x增大而增大，最大值为2×3-2=4，故 4≥m2-3m→m2-3m-4≤0→(m-4)(m+1)≤0 解得-1≤m≤4. 注：与10.2的口诀对上一恒成立看最值的「最紧」一端（最小值），有解看 「最松」一端（最大值）.若把题千改成「对任意x∈[0,3]都成立」，就要改用最小值 -2,答案完全不同：「存在」与「任意」直接决定取娜一端 11、二次方程根的分布 11.1三组条件 先画开口方向确定的抛物线草图，把「根在某区间内」翻译成三组条件： ①判别式△≥0（保证有根，要求两不等根时用△>0）： ②对称轴x=一云落在指定区间内： 20 ③区间端点处的函数值符号(f(m)>0、f(n)>0等)· 11.2常见四种分布(a>0) 分布 条件 两根都小于m 4≥0，-点<m,fm)>0 2a 两根都大于m 4≥0，品>mf0m)>0 一根小于m、一根大于m f(m)<0 两根都在(m,n)内 4≥0，m<-六<，f0m>0,f)>0 第三行只有一条条件，原因很直接：m落在两根之间时，图像在x=m处必在x 轴下方，即f(m)<0;反过来f(m)<0也说明m在两根之间.一条条件就等价，不 需要再补判别式. 11.3例题 例27、已知方程x2-2ax+4=0的两根都大于1，求a的取值范围. 解：开口向上，两根都大于1，需三条同时成立： 4=4a2-16≥0， -2a -=a>1, 2 f(1)=1-2a+4>0. 由第一条得a≥2或a三-2：由第二条得a>1:由第三条得a<号 三者取交，得2≤Q<号 注：若题目改成「有两个不相等的实根都大于1」，则第一条改为△>0，答案变 为2<Q<措辞差别只在4的等号上，这正是11.1强调「要求两不等根时用4> 0」的原因 12、分式不等式与高次不等式 12.1 同解转化 >0台2>0，兰≥0台2≥0且2≠0 y2 y2 22 小于、小于等于同理.转化之后变成整式不等式，再走穿根法 六步：移项)通分（不要去分母）→分子分母最高次项化正→分别因式分解→ 求各因式的根→数轴标根写出解集， 铁律：分母不为零，取等时分母的根永远是空心 12.2穿根法 把不等式化成「一边为0、另一边为因式乘积且各因式最高次项为正」，在数轴 上标出所有根，从右上方起笔画曲线： 奇次根穿过，偶次根回弹（奇穿偶不穿）.曲线在数轴上方的区间就是>0的解 集，下方就是<0的解集，如图1. 偶次根：不穿过 2.5 图1穿根法：奇次根穿过、偶次根回弹 以(x-1)(x-2.5)(x-4)>0为例（如图1)：x=1与x=4是奇次根，曲线 穿过；x=2.5是偶次根，曲线在此回弹不穿.四个区间上符号依次为+、-、一、+， 故解集为{xIx<1或x>4}: 12.3例题 例28、解不等式≥0 解：同解转化为 (x-1)(x+2)≥0且x+2≠0 两根为1与一2，开口向上，大于等于取两边且含端点，但x=-2使分母为零必 须挖掉： {xIx<-2或x≥1 例29、解不等式-3x+2≤1 x-3 解：先移项通分，不要去分母： 23 2-3x+2,《-3s02x+5 X-3 x-3 分子x2-4x+5=(x-2)2+1>0恒成立，故原不等式等价于 x-3<0 解得{xIx<3} 注：这题的关键是「先看分子能不能恒正」一分子恒正时分母必须为负，一步 就得结果；若硬去分母再乘(x一3)2，会绕远路 24 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式的性质 这一部分解决三件事：用性质比较大小、用性质判断命题真假、用性质求代数式的取值范围. 前两件事靠「同向可加、同乘正数」几条规则的熟练，第三件事靠一个容易被忽略的技术——把目标式凑成已知式的线性组合. 做题先问一句：这条性质的条件（同号、正数、不为零）满足没有. 1、实数大小比较与作差法 1.1　比较大小的依据 设 ，则 ；；. 这是作差法的全部依据，也是所有不等式性质的出发点——性质本身都是用「作差后判号」证出来的. 1.2　做题方法（作差法四步） ① 作差 ；② 变形，目标是化成因式乘积或平方和两种形状之一（手段：因式分解、配方、通分、分子有理化）；③ 定号，结合题目给的字母范围判断差的符号；④ 下结论. 变形是四步里唯一有难度的一步，判断标准很实在：变形后能不能一眼看出符号. 看不出来就是没变到位，继续拆. 作商法：、 时作商 与 比——，. 两条纪律：只适用于同正的情形；比的是 而不是 . 1.3　例题 例 1、 已知 ，，比较 与 的大小. 双向 2 传递性 ， 单向 3 可加性 双向 4 可乘性 ，；， 看 的符号 5 同向可加 ， 不能相减 6 同向同正可乘 ， 四个数都为正 7 可乘方 同为正数 8 可开方 同为正数 性质 7、8 中 且 . 2.2　关键性质的证明 性质 4：由 得 . 若 ，则 ，即 ，故 ；若 ，则 ，即 ，故 . 「乘负数变号」的根源就在这里——负数乘一个正数会变成负数. 性质 5：由 、 得 故 . 注意这里只证明了「加」，不能由此推出「减」： 与 的大小取决于 各自的大小，无法确定. 性质 6：由 、 得 故 . 这一步的技巧是拆交叉项：把 拆成 ，再把 拆成 ，两个括号都为正. 2.3　易错点 乘（除）负数忘变号：性质 4 中 的符号决定方向，符号没看就动笔必错. 同乘 ：（带等号），因为 时两边相等. 写成严格不等号就错了. 倒数：，缺「同正」即错； 且 也够用（此时 同号）. 相加与相减不同：、 能推出 ，推不出 . 2.4　例题 例 2、 下列命题中正确的是（　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 3、求代数式的取值范围 3.1　待定系数法 已知 与 的范围，要求 的范围，正确做法是把目标式写成已知式的线性组合：设 比较两边系数，、，解得 、，即 . 两个已知式各自乘正数后同向相加，范围就是准的. 3.2　为什么不能分别求范围再组合 先解出 、 各自的范围，再把端点代进目标式——这是本节唯一的硬错，原因在于两个变量不是独立的： 与 的取值互相牵制，把它们的端点「各自取到」时，往往凑不出同时满足两个条件的 . 举例：由 与 能推出 、，于是 ——而真值域只有 （见例 3），两端各多出 ，合计约占整个区间的三分之一，属于把范围放大了. 口诀：能凑线性组合，就不要解出单个变量. 3.3　例题 例 3、 已知 ，，求 的取值范围. 基本不等式 这一部分只有一条主线：把目标式凑成「和为定值」或「积为定值」，再用基本不等式. 全部技巧——拆、配、并、「1」代换、因式分解、换元、消元——都是为了凑出这个定值；全部失分都出在「一正、二定、三相等」这三个检查点上. 下面先给四个高频模型（认得出就能一步到位），再按十一类题型把方法逐一铺开. 这十一类恰好覆盖了试卷上会遇到的十一种外形，做题时先认外形、再选方法. 4、基本不等式与最值定理 ，有 ，当且仅当 时等号成立. 基本不等式：若 ，，则 当且仅当 时等号成立. 其中 叫算术平均数， 叫几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于几何平均数. 三种等价写法，见到哪种都要认得： 证明：由 展开得 ，即 ，两边除以 得结论；等号当且仅当 ，即 . 4.2　最值定理 设 ，： ① 若 为定值，则当 时积 取最大值 ； ② 若 为定值，则当 时和 取最小值 . 简记：和定积最大，积定和最小（证明由基本不等式直接移项即得，从略）. 4.3　基本不等式链 若 ，，则 四项依次为调和、几何、算术、平方平均数，当且仅当 时全部取等，可直接使用. 4.4　结论：四个常考值模型 这四个模型是把「一正、二定、三相等」压缩成一句话的结果，认出来就能直接写答案，省掉每次重新凑的过程. 来历各有出处：模型一、二来自题型三的拆项，模型四来自题型三的配系数，模型三来自「分子分母同除 化出 」这一手（见 5.12 对照表）. 模型一　 等号当 . 识别特征：一个正项与它的倒数型相加. 模型二　 等号当 . 识别特征：分母比分子少一个常数，先把整式拆出 . 模型三　 等号当 . 识别特征：分母二次、分子一次. 最后那个 不是凑数的条件：右边的界必须是正数，而由 知分母 的最小值为 . 若 ，这个最小值 ，分母可以取到 甚至变号，原式在 上根本无上界，「 某个正数」就不成立. 所以套模型三之前先算一遍 的符号. 模型四　 等号当 . 识别特征：两个一次因式括号相乘，展开后二次项系数为负. 四个模型都要注意范围：模型一、二要求 （或 ），模型四要求 ，模型三要求 、 且 . 范围不满足就不能套. 5、十一类题型 5.1　 直接使用 条件已经给出「和定」或「积定」，直接套最值定理. 此类属于送分题，认出条件即可，不展开. 例 4、 已知 ，，且 ，求 的最大值. 5.2　 判断「能不能取等」 这是最容易被答案骗的一类：形式上完全符合基本不等式的样子，但等号取不到，或者「一正」「二定」根本不满足. 三关要逐个过，缺一关结论就错. 例 5、 下列各式中，最小值为 的是（　） A. （）　　 B. C. （）　　 D. （） 5.3　 配凑 目标式的两个因子之和不是定值时，通过拆项或乘系数把它凑成定值. 拆项：把一项拆成两段，使其中一段与另一项配对成倒数结构，剩下的常数单独放着. 配系数：给其中一个因子乘一个系数，使两因子之和变成定值. 例 6、 已知 ，求 的最小值. ，求 的最大值及此时 的值. 分式」. 分离出来的常数本身不参与最值，真正干活的是拆完后 、 这种互为倒数的分式对. 例 8、 已知 ，，求 的最小值. 5.5　 「1」的妙用 条件给出「某个式子 」时，把这个 用进目标式，展开后自动裂出一对互为倒数的项. 两种用法的分界看分母： 目标式每一项都是 型（分母一次、分子无变量）→ 乘「1」法，整体乘条件； 目标式里出现 、 这类分子也含变量的项 → 「1」的代换，用条件替掉分子上的常数. 先乘一次看能不能配成对，配不成就代换. 两种用法都只用一次基本不等式，从根上避开「多次取等不同步」. 5.5.1　乘「1」法 原理：目标式乘上恒等于 的式子，值不变，展开后出现倒数结构. 关键好处是只用一次基本不等式，从根上避开「多次取等不同步」的问题. 四步：① 把条件化成「某个式子 」；② 目标式乘这个 并展开，先把常数项算出来；③ 对展开后的倒数项用基本不等式；④ 用等号条件与原条件联立，解出 并检验是否在允许范围内. 第 ④ 步不能省——取等条件解出来的点不在范围内，是这类题最常见的失分点. 例 9、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 5.5.2　「1」的代换 （如 ）时，把目标式分子上的常数直接替换成这个条件，分式立刻拆成「常数 倒数项」，后面的整式就是配好的另一半. 例 10、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 分式」的结构，再对分式部分用基本不等式. 例 11、 已知 ，求 的最小值. 这种「一次项 混合积」的形状时，把等式两边配成两个一次因式之积等于常数（如 ，展开比原式多出常数 ，需一并处理），再对两个因式整体代换，目标式化成「」的形状后用基本不等式. 例 12、 已知 ，，且 ，求 的最小值. 与 时，把 、 或 当作整体，用 或 在两者之间建立不等式，解出整体的范围. 例 13、 已知 ，，且 ，求 的最小值. ，，且 ，求 的最小值. A． B． C． D． ，，，求 的最小值. 求范围. 它不依赖「一正二定」，所以在配凑走不通时是兜底手段. 例 17、 求 的取值范围. 型 模型一、二 直接套，一步到位 分母比分子少一个常数 拆项（题型三） 拆出分母那一块配成倒数 分式分子次数不低于分母 分离常数（题型四） 拆出倒数对再配凑 两个分式之和为常数 乘「1」法（题型五） 整体乘 展开即出倒数结构 分式分子是常数 、条件给了「」的式子 「1」的代换（题型五） 用条件替掉分子上的 分子二次、分母一次 换元 + 拆项（题型六） 设 分母，化成一元 条件是一次项 混合积（ 形） 因式分解（题型七） 分解成两因式之积为常数 条件含 与 整体换元（题型八） 对 建立不等式 分子分母都含 、可同除 同除 + 模型三（见 5.12） 化出 条件能解出一个变量 消元（题型十） 化成一元函数 上面都不成 判别式法（题型十一） 不依赖一正二定，兜底 6、「三相等」：等号取不到怎么办 6.1　两类情形 第一类：根本取不到等号（如题型二），特征是解出的取等条件与题设范围矛盾. 处理办法：判出等号不可达后，转为判断函数单调性，在区间端点取最值（见 6.2 的例 18）. 第二类：多次使用、取等不同步，即对同一个式子连用两次基本不等式，两次的等号条件不能同时成立. 处理办法：改成只用一次（「1」代换、整体换元就是为此设计的），或改用单调性. 6.2　例题 例 18、 求 的最小值. ，求 的最小值. 轴上下方的部分. 会解题的关键是能在这三种说法之间自由翻译. 7、三个二次的关系 7.1　概念对应 （）是二次函数；令 得一元二次方程 ；令 或 得一元二次不等式. 函数的零点就是方程的根，即图像与 轴交点的横坐标（零点是数，不是点）. 7.2　解集总表（） 课本把「图象、方程的根、不等式的解集」三件事并排放在一张表里，竖看是三种判别式，横看是同一个二次函数的三种说法： 图象 方程的根 两个不相等的实根 （） 两个相等的实根 没有实数根 的解集 或 的解集 读表的两个要点： ① 图象行决定下面两行的形状. 抛物线与 轴有两个交点，就有「两边」（）和「中间」（）两块；只有一个切点，两边取遍除了切点以外的全体，中间是空的；没有交点，整条抛物线在 轴上方，所以 恒成立、 无解. ② 那一列最容易写错. 的解集是 ，一定要把重根挖掉——写成 就错了，因为 时式子恰等于 ；反过来 的解集才是 . 表的前提是 . 时先两边乘 把二次项系数化正（同时不等号变向）再套表，切忌开口方向没定就写解集. 例如 先化为 ，再按 的情形处理. 8、一元二次不等式的解法 8.1　四步 ① 化正：二次项系数化为正，不等号右边化为 ；② 求根：算判别式，解对应方程（能因式分解优先分解）；③ 画草图：开口向上的抛物线，标出两根位置；④ 写解集：大于取两边、小于取中间，端点开闭看不等号. 8.2　含参数不等式的分类 三条分类线索，按题目特点选一条即可，不要一上手就乱分： ① 二次项系数含参数：分 、、 三类. 时不等式退化为一次不等式，这一支最容易被整段漏掉. ② 两根含参数、大小不确定：先解出两根，再按 、、 讨论，每一支写出各自的解集. ③ 根是否存在不确定：对 分类（、、），再在每类里写解集. 8.3　例题 例 20、 解关于 的不等式 . 9、已知解集求参数 9.1　两条关键信息 ① 解集的端点就是对应方程的根. 若 的解集是 ，则 是方程 的两根. ② 解集的形态决定 的符号. 解集是「中间」（一段线段）则 ；解集是「两边」（两段射线）则 . 这一条最容易被忘，只列韦达不判符号，得到的参数往往正负颠倒. 9.2　做法 用根与系数的关系 、 列方程求参数，最后回代检验解集是否与题设一致. 9.3　例题 例 21、 已知关于 的不等式 的解集为 ，求不等式 的解集. 的不等式 的非空解集为 ，求 的值. 时首选） 要求 条件 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 恒成立 且 ，或 且 两条纪律：题目没说「一元二次」时， 的退化情形必须单独交代；带等号的要求对应 ，不带等号的对应 ，这一处等号丢了就整题错. 10.2　分离参数法（ 有范围限制时首选） 把参数与变量分到不等号两边，化成 或 的形式： 恒成立 ； 恒成立 . 10.3　主元法（参数是一次、变量是二次时用） 当题目问的是「对某个参数的一切取值都成立，求变量的范围」时，把参数当主元，原式就变成关于参数的一次函数（或一次不等式）. 依据只有一条：一次函数在闭区间上的最值必在端点取到. 设 在 上恒正，等价于 且 ——两个端点条件，不需要讨论斜率正负. 识别特征：题目里出现「对任意 都成立」，而 只以一次形式出现. 10.4　例题 例 23、 已知命题「，」是真命题，求实数 的取值范围. ：「存在 ，使得 」为假命题，求实数 的最大值. ，不等式 恒成立，求 的取值范围. ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. （保证有根，要求两不等根时用 ）； ② 对称轴 落在指定区间内； ③ 区间端点处的函数值符号（、 等）. 11.2　常见四种分布（） 分布 条件 两根都小于 ，， 两根都大于 ，， 一根小于 、一根大于 两根都在 内 ，，， 第三行只有一条条件，原因很直接： 落在两根之间时，图像在 处必在 轴下方，即 ；反过来 也说明 在两根之间. 一条条件就等价，不需要再补判别式. 11.3　例题 例 27、 已知方程 的两根都大于 ，求 的取值范围. 小于、小于等于同理. 转化之后变成整式不等式，再走穿根法. 六步：移项 通分（不要去分母） 分子分母最高次项化正 分别因式分解 求各因式的根 数轴标根写出解集. 铁律：分母不为零，取等时分母的根永远是空心. 12.2　穿根法 把不等式化成「一边为 、另一边为因式乘积且各因式最高次项为正」，在数轴上标出所有根，从右上方起笔画曲线： 奇次根穿过，偶次根回弹（奇穿偶不穿）. 曲线在数轴上方的区间就是 的解集，下方就是 的解集，如图 1. 图 1　穿根法：奇次根穿过、偶次根回弹 以 为例（如图 1）： 与 是奇次根，曲线穿过； 是偶次根，曲线在此回弹不穿. 四个区间上符号依次为 、、、，故解集为 . 12.3　例题 例 28、 解不等式 . . 1 学科网（北京）股份有限公司 $