第二章 一元二次函数、方程和不等式　章末复习课 [讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章　章末复习课 题型一　不等式及其性质 1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形,变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 2.运用不等式的性质时,要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时,常利用特殊值法求解客观题. 3.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. [例1]　(1)下列命题中,真命题是(　　) A.若ab≠0且a<b,则> B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b>0,则> D.若a>b,c>d,则ac>bd (2)若A=-y2+4x-3,B=x2+2x+2y,则A,B的大小关系为(　　) A.A>B B.A<B C.A=B D.无法确定 　(1)利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可. (2)作差→变形→判断符号→得到结论 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)若ab≠0且a<b,则>不一定成立,例如a=-1,b=2,故A错误;若a>b,则a2>b2不一定成立,例如a=2,b=-3,故B错误;若a>b>0,则a(b+1)-b(a+1)=a-b>0,所以>,故C正确;若a>b,c>d,则ac>bd不一定成立,例如a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,故D错误. (2)因为B-A=(x2+2x+2y)-(-y2+4x-3)=(x-1)2+(y+1)2+1>0,所以A<B. 1.(多选)已知实数x,y满足1<x<6,-3<y<-2,则(　　) A.-2<x+y<4 B.3<x-y<9 C.-12<xy<-3 D.-3<<- 解析　ABD　因为1<x<6,-3<y<-2,所以1-3<x+y<6-2⇒-2<x+y<4,故A正确;因为1<x<6,2<-y<3,所以1+2<x-y<6+3⇒3<x-y<9,故B正确;因为1<x<6,2<-y<3,所以1×2<x·(-y)<6×3⇒2<-xy<18⇒-18<xy<-2,故C错误;因为2<-y<3⇒<-<,又1<x<6,所以1×<-<6×⇒<-<3⇒-3<<-,故D正确. 2.若<<0,则不等式(1)a+b<ab;(2)|a|>|b|;(3)a<b;(4)+>2中,正确的不等式有　　　　个.  答案　2 解析　∵<<0,则a<0,b<0,∴ab>0. a+b<0<ab,(1)中的不等式正确; ∵ab·<ab·<0,则b<a<0,(3)中的不等式错误; ∵|a|=-a<-b=|b|,即|a|<|b|,(2)中的不等式错误; ∵-b>-a>0,则=>1, 由基本不等式可得+>2=2,(4)中的不等式正确. 综上所述,正确的是(1)(4),共2个. 题型二　基本不等式 基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. [例2]　下列说法正确的是(　　) A.函数y=4x2+的最小值是6 B.正数x,y满足+=1,则xy的最大值是64 C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值是2-4 D.若x>-1,则函数y=x+取到最小值时x=0 　根据应用基本不等式求最值的方法,对选项逐个计算求解,求最值时需满足“一正、二定、三相等”. 解析　D　y=4x2+≥2=12,当且仅当4x2=,即x2=时等号成立,故A错误;正数x,y 满足+=1≥2=,当且仅当=,即x=4,y=16时等号成立,所以xy≥64,故B错误;当x>0时,y=2-3x-=2-≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时等号成立,故C错误;当x>-1时,x+1>0,y=x+=x+1+-1≥2-1=1, 当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,故D正确. 3.已知a,b>0且ab=1,则(a+1)(b+1)的最小值为(　　) A.4 B.6 C.2 D.8 解析　A　由题意有(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+a+b≥2+2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,则(a+1)(b+1)的最小值为4. 4.已知正数a,b满足a+b=3,则的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　C　因为正数a,b满足a+b=3,所以=+=(a+b)=≥=3,当且仅当=,即a=1,b=2时等号成立,所以的最小值为3. 题型三　一元二次不等式的解法 1.对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. 2.对于系数含参数的不等式要注意对参数进行分类讨论,做到不重不漏. [例3]　设函数y=ax2+(b-2)x+3. (1)若不等式y<0的解集为{x|1<x<3},试求a,b的值; (2)若a>0,b=-2a,求不等式y≤-1的解集. 　(1)根据不等式的解集确定1和3是方程ax2+(b-2)x+3=0的两个根,结合根与系数的关系即可求得答案. (2)求出方程ax2-(2a+2)x+4=0的两根为和2,分类讨论两根的大小,即可求得不等式解集. 解　(1)由题意知1和3是方程ax2+(b-2)x+3=0的两个根,且a>0, 即有 解得a=1,b=-2. (2)若a>0,b=-2a,则不等式y≤-1,即ax2+(-2a-2)x+3≤-1,即ax2-(2a+2)x+4≤0,因为a>0,方程ax2-(2a+2)x+4=0的两根为 和2, 所以,①当 >2,即0<a<1时,不等式的解集为 ; ②当=2,即a=1时,不等式的解集为{2}; ③当<2,即a>1时,不等式的解集为. 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求实数a的值; (2)求不等式>a+5的解集. 解　(1)依题意,可得方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2,且a<0. 由根与系数的关系,得 解得a=-2. (2)将a=-2代入不等式,得>3,即-3>0, 整理得>0,即(x+1)(x+2)<0, 解得-2<x<-1, 则不等式的解集为{x|-2<x<-1}. 题型四　不等式的恒成立问题 1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.不等式的恒成立问题分为三类:(1)在R上的恒成立问题;(2)在某区间上的恒成立问题;(3)已知参数范围的恒成立问题. [例4]　已知函数y=x2+ax+3. (1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围; (2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围. 　(1)y≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立,根据判别式进行求解. (2)当4≤a≤6时,x2+ax+3≥0恒成立,即xa+x2+3≥0恒成立,求x的取值范围,可将y=xa+x2+3看作关于a的一次函数或常数函数,根据图象求解. 解　(1)当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立, 则Δ=a2-4(3-a)≤0, 即a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2, 故a的取值范围为{a|-6≤a≤2}. (2)将y=xa+x2+3看作关于a的一次函数或常数函数,由于4≤a≤6,其图象是一条线段. 当4≤a≤6时,y≥0恒成立,只需在a=4和 a=6时y≥0即可, 则 解得x≤-3-或x≥-3+, 故x的取值范围是{x|x≤-3-,或x≥-3+}. 6.任意-1≤x≤1,使得不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.m≥ B.m≤ C.m≤ D.m≤ 解析　B　因为对任意-1≤x≤1,不等式x2-x+≥m恒成立.所以≥m,其中-1≤x≤1,设y=x2-x+(-1≤x≤1),因为y=x2-x+=+,所以当x=时,函数y=x2-x+(-1≤x≤1)取最小值,最小值为,所以m≤. 题型五　不等式的实际应用问题 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.解决不等式的实际应用问题的难点是根据题意构建不等式. [例5]　某公司为了竞标某运动会的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售 8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 　(1)设每件定价为t元,由题设有t[8-0.2(t-25)]≥25×8,解一元二次不等式求t的范围,即可确定最大值. (2)问题转化为x>25时,a≥++有解,利用基本不等式求右侧最小值,并确定等号成立的条件,即可得到结论. 解　(1)设每件定价为t元,依题意得 t[8-0.2(t-25)]≥25×8, 则t2-65t+1 000=(t-25)(t-40)≤0,解得25≤t≤40, 所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元. (2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+有解, 等价于x>25时,a≥++有解, 因为+x≥2=10(当且仅当x=30时等号成立), 所以a≥10.2,此时该商品的每件定价为30元, 故当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 7.某种杂志原以2.5元的单价销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2 000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时,求每本杂志的售价为多少元; (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元? 解　(1)设每本杂志的售价为x元, 由题意,x=21, 解得x=3.5或x=3, 则当杂志提价后销售总收入是21万元时,每本杂志的售价为3元或3.5元. (2)设每本杂志的售价为x元, 由题意,x≥20, 解得2.5≤x≤4, 则每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元时,才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　章末复习课 题型一　不等式及其性质 1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形,变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 2.运用不等式的性质时,要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时,常利用特殊值法求解客观题. 3.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. [例1]　(1)下列命题中,真命题是(　　) A.若ab≠0且a<b,则> B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b>0,则> D.若a>b,c>d,则ac>bd 课堂笔记： (2)若A=-y2+4x-3,B=x2+2x+2y,则A,B的大小关系为(　　) A.A>B B.A<B C.A=B D.无法确定 课堂笔记： 1.(多选)已知实数x,y满足1<x<6,-3<y<-2,则(　　) A.-2<x+y<4 B.3<x-y<9 C.-12<xy<-3 D.-3<<- 2.若<<0,则不等式(1)a+b<ab;(2)|a|>|b|;(3)a<b;(4)+>2中,正确的不等式有　　　　个.  题型二　基本不等式 基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. [例2]　下列说法正确的是(　　) A.函数y=4x2+的最小值是6 B.正数x,y满足+=1,则xy的最大值是64 C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值是2-4 D.若x>-1,则函数y=x+取到最小值时x=0 课堂笔记： 3.已知a,b>0且ab=1,则(a+1)(b+1)的最小值为(　　) A.4 B.6 C.2 D.8 4.已知正数a,b满足a+b=3,则的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 题型三　一元二次不等式的解法 1.对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. 2.对于系数含参数的不等式要注意对参数进行分类讨论,做到不重不漏. [例3]　设函数y=ax2+(b-2)x+3. (1)若不等式y<0的解集为{x|1<x<3},试求a,b的值; (2)若a>0,b=-2a,求不等式y≤-1的解集. 、 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求实数a的值; (2)求不等式>a+5的解集. 题型四　不等式的恒成立问题 1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.不等式的恒成立问题分为三类:(1)在R上的恒成立问题;(2)在某区间上的恒成立问题;(3)已知参数范围的恒成立问题. [例4]　已知函数y=x2+ax+3. (1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围; (2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围. 6.任意-1≤x≤1,使得不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.m≥ B.m≤ C.m≤ D.m≤ 题型五　不等式的实际应用问题 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.解决不等式的实际应用问题的难点是根据题意构建不等式. [例5]　某公司为了竞标某运动会的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售 8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 7.某种杂志原以2.5元的单价销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2 000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时,求每本杂志的售价为多少元; (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元? 学科网（北京）股份有限公司 $