精品解析：宁夏回族自治区固原市彭阳县第五中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

彭阳五中九年级数学第一次阶段性监测 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知函数是二次函数，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 7. 抛物线过，，三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 11. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 13. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 14. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 15. 当时，二次函数的最大值为______． 16. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2）； 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最小值． 21. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 22. 丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 23. 商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 24. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 25. 如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭阳五中九年级数学第一次阶段性监测 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据未知数个数、最高次数、二次项系数是否非零三个维度判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项，方程整理为，是整式方程，仅含一个未知数，最高次数为2，二次项系数不为0，符合题意． B选项，分母含未知数，是分式方程，不符合题意． C选项，未说明，当时方程不是一元二次方程，不符合题意． D选项，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意． 2. 对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 3. 已知函数是二次函数，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 6. 根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 7. 抛物线过，，三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找到二次函数的对称轴以及确定开口方向，再分析三个点横坐标到对称轴的距离，结合函数在对称轴两侧的增减性，即可判断的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， 三点横坐标到对称轴的距离分别为，，， ∵函数开口向上，越靠近对称轴，函数值越小， ∴． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 11. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 【答案】8 【解析】 【详解】设有支球队参赛，则有： ， 解得：，（舍）， ∴有个球队参赛． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义进行求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴． 13. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到且∆，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 所以且． 故答案为且． 【点睛】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 14. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 15. 当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据开口方向向上，结合x的取值范围，与对称轴距离越大的函数值越大，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵，，，且， ∴时，函数取得最大值，最大值为． 16. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ． 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）k=1，方程的另一根为0 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）将x=3代入，即可求出k的值，从而得到原方程为，再根据因式分解法解方程即可得出方程的另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解：把x=3代入，得：， 解得：k=1． ∴原方程为， ∴， 解得， ∴方程的另一根为0； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 20. 已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）设二次函数的解析式为，将点代入函数解析式求出，即可求解； （2）根据二次函数的性质可得：当时，随的增大而减小，得到当时，函数有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 二次函数的解析式为， 当时，随的增大而减小， 又， 当时，函数有最小值，最小值为． 21. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） 二次函数的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 22. 丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为 （2） 【解析】 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 23. 商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】（1）根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件，根据总利润=每件的利润乘以销售的总件数，解答即可． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质 解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件， 故， 且， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为1800元． 故每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元． 24. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【答案】（1） （2）鸡场的长与宽分别为16米、10米； （3）鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ 【小问2详解】 令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； 【小问3详解】 对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 25. 如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或或或或． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $