四川省仁寿第一中学校南校区2026-2027学年高二上学期数学周练四试卷

仁寿一中南校区高2025级高二上学期周练四 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的。 1.若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知空间向量与共线，则（     ） A．0 B．6 C．-4 D．4 3.已知平面α的一个法向量=(2,2,－1)，点A（0,1,－3）在平面α内，则点P（2,－3,－2）到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小 值为（ ） A. B. C. D. 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 7.设，直线上一点M满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.若直线上存在点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ） A. B. C. D. 事件A与相互独立 10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E,F分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ） A. //平面 B. 平面 C. D. 点D与点B1到平面的距离相等 11.已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12.已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14.甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 16. （15分）在平面直角坐标系中，已知点，点P满足， （1）求点P的轨迹； （2）若直线与点P的轨迹相交于D，G两点，且，求的值. 17.（15分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是,乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18．（17分）如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. （1）证明：面面； （2）若直线与底面的所成的角为，求面与面夹角余弦值. 19.（17分）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高2025级高二上学期周练四 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的。 1.若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】因为，则，解得或. 故选：C. 2. 已知空间向量与共线，则（     ） A．0 B．6 C．-4 D．4 【答案】A 【解析】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 3.已知平面α的一个法向量=(2,2,－1)，点A（0,1,－3）在平面α内，则点P（2,－3,－2）到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵点A（0，1，﹣3）在α内，P（2，﹣3，﹣2）， ∴＝（2，﹣4，1）， ∵向量＝（2，2，﹣1）为平面α的法向量， ∴P（2，﹣3，﹣2）到α的距离d＝＝． 故选：C． 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15 【答案】B 【解析】三次投篮共有20种， 恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种 ∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 故选：B 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则有，点关于轴的对称点为，如图所示：当四点共线时，的周长的最小， 最小值为，故选：D 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 7.设，直线上一点M满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，直线l与线段AB相交，由得，因此直线过定点，且斜率，如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是．故选：C 8.若直线上存在点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 则， 整理得，解得（舍去）或，则， 故点到直线的距离，即，解得， 所以．故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ） A. B. C. D. 事件A与相互独立 【答案】AC 【解析】对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，则， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以事件A与不独立，故D错误； 故选：AC． 10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E,F分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ） A. //平面 B. 平面 C. D. 点D与点B1到平面的距离相等 【答案】AC 【解析】对A，因为分别是和的中点 故，故//平面成立. 对B，建立如图空间直角坐标系， 设正方体边长为2 则，.故. 故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立. 对C， ，. ，故成立. 对D，点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上. 连接易得平面即平面，又点与点中点在上，故点不在平面上.故D不成立. 故选：AC 11.已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12.已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解析】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得.故答案为：. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14.甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 【答案】/0.5625 【解析】记甲、乙最终获胜的事件分别为，由赛制规则及初始对阵（甲、乙首先比赛，丙轮空）可知，甲与乙在赛程中地位完全相同，故甲获胜的概率与乙获胜的概率相等，即，所求概率为. 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则甲赢的基本事件包括，，，，，，，，所以，甲赢的概率. 所以. 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 【解析】（Ⅰ）所有可能的摸出结果是： （Ⅱ）不正确，理由如下： 由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为 共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确. 16. （15分）在平面直角坐标系中，已知点，点P满足， （1）求点P的轨迹； （2）若直线与点P的轨迹相交于D，G两点，且，求的值. 【解析】（1）设点点满足，∴， 化为:，即点的轨迹圆，圆心，半径 . （2）圆心到直线的距离， ∴，∴，解得或 17.（15分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是,乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 18．（17分）如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. （1）证明：面面； （2）若直线与底面的所成的角为，求面与面夹角余弦值. 【解析】（1）因为，，所以三角形等腰直角三角形， 设，的中点为，连接，所以， 因为点在底面的投影是的重心， 所以点在上，因为， 所以， 于是，所以， 因此四边形是平行四边形，所以， 因为面，所以面， 而面，所以面面； （2）建立如下图所示的空间直角坐标系，， 因为面，所以是平面一个法向量，， 因为直线与底面的所成的角为， 所以， 解得，舍去， 所以该三棱台的高为，所以， 因为面面，面面，面， 所以面，所以是平面一个法向量， 设平面的法向量为，，， 所以， 取，则 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此面与面夹角余弦值为. 19.（17分）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面，平面. （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，，平面，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； (3)设，则，,, 的，，设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $