专题03 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题（45题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线中定点、定值、定直线问题，按椭圆、双曲线、抛物线分9题型45题系统训练，以题载法强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|15题（5定点/5定值/5定直线）|结合标准方程求解与性质证明，考查直线与椭圆位置关系|从椭圆定义、方程推导到定点定值证明，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |双曲线|15题（5定点/5定值/5定直线）|围绕渐近线、焦点等几何特征，论证定点存在性与定值关系|以双曲线标准方程为基础，关联离心率、渐近线性质，构建推理体系| |抛物线|15题（5定点/5定值/5定直线）|通过焦点弦、切线等问题，探究定直线轨迹与定值计算|基于抛物线定义与方程，结合代数运算，强化转化与化归思想|

专题03 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题（45题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的定点问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 (1)求椭圆E的方程； (2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二 椭圆中的定值问题 6．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 8．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P是C上一点，，且的面积为3． (1)求C的方程； (2)过的直线l与C交于A，B两点，与直线交于点D，设，直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值． 10．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 题型三 椭圆中的定直线问题 11．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明：点在定直线上. 13．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上. 14．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 15．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 题型四 双曲线中的定点问题 16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 17．（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 18．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点． 19．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 20．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 题型五 双曲线中的定值问题 21．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 22．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 24．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 25．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 双曲线中的定直线问题 26．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 27．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 28．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 29．（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 30．（25-26高三上·河南周口·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求的标准方程． (2)若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 题型七 抛物线中的定点问题 31．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 32．（25-26高二上·山东东营·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 33．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线与抛物线C：交于A，B两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若M，N为C上不同的两点，且，判断直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 34．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 35．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点， (1)求的面积的最小值． (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 题型八 抛物线中的定值问题 36．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 37．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 38．（25-26高二上·江西·期末）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 39．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 40．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 题型九 抛物线中的定直线问题 41．（25-26高二上·湖南常德·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 42．（2026·山东·二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 43．（2026·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 44．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 45．（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题（45题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的定点问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，恒过定点 【解题思路】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【解答过程】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii） 【解题思路】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】（1）因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程为. （2）（i）证明：设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【解题思路】（1）利用椭圆的性质计算参数即可； （2）设直线l方程及M，N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程计算参数即可. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； （2）过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 (1)求椭圆E的方程； (2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线，与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【解答过程】（1）由题知，，， ∴椭圆E的方程为； （2）（i）联立知 ∴， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的性质可得， 所以， ∴周长为； （ii）证明：设，， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立与得， ∴，， 设直线与联立得， 设，，则， 又，所以， 同理， 由题知A、B关于原点对称，故， 所以， 所以， 即 整理得， 即， 又，所以整理并化简得：， 解得，故过， 当直线的斜率为0时，由题意知直线即是轴， 所以直线亦过， 综上所述，直线恒过. 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①（）；②存在，. 【解题思路】（1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）①利用相关点代入法求轨迹方程即可；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解. 【解答过程】（1）由题意，，所以， 而，所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，由题意得， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以， 因为在椭圆上，所以， 可得，所以， 所以，即， 因为不与重合，所以， 所以的轨迹为（）. ②设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设， 因为， 所以， 则， 即， ， 即，即， 所以， 因为不恒为0，所以，所以， 所以在轴上存在定点，使得，此时.    题型二 椭圆中的定值问题 6．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】(1)将离心率和点代入计算即可； (2) 设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示直线PA，PB的斜率后计算证明. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，点在椭圆上， 所以， 解得， 则椭圆的标准方程为. （2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设过点的直线方程为， 与椭圆方程联立方程组，整理得， 设交点的坐标分别为，则有， ， 因为，所以， 则 故为定值，定值为. 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题目条件求得a、b的值即可； （2）分两种情况，一种当两条直线的斜率一个为0，另一个不存在时，直接求出的值即可；另一种当两条斜率都存在时，设直线的方程为，则DE为，根据弦长公式求出弦AB和DE的长，代入题中表达式化简即可． 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，则由题意得， 解得，所以， 所以的方程为． （2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， 假设AB斜率为零，DE斜率不存在， 则，，（或）， 此时； 同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有； 若直线与直线的斜率都存在时，如图， 设直线的方程为，， 由，得， 所以， 所以 ， 因为，将换成，得， 所以； 综上所述，的值为定值． 8．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【解题思路】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【解答过程】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P是C上一点，，且的面积为3． (1)求C的方程； (2)过的直线l与C交于A，B两点，与直线交于点D，设，直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆的定义和基本性质，利用已知条件结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线的方程，结合斜率公式得出，联系直线与椭圆，结合韦达定理得出，进而求出为定值，从而证明结论． 【解答过程】（1） ，， ，的面积为，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得， ， ，即， ， ， 椭圆的方程为． （2）证明：设过的直线的方程为，， ，故， 联立直线与椭圆，整理得， 设，由韦达定理得， ， ， 为定值． 10．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，使得恒为定值 【解题思路】（1）将点代入椭圆方程，再结合离心率求解的值即可得解； （2）法一：先求出直线、的方程，设角平分线上任意一点为，则，化简求解； 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，再由，即可得解； 法三：设角平分线与轴交于点，根据可解得，即可得解； （3）设直线方程为，联立方程组，利用根于系数的关系化简即可得解. 【解答过程】（1）设椭圆方程为（）， 因为椭圆经过点，所以， 又离心率，，解得，， 故椭圆的方程为. （2）法一：，，，则直线方程为， 直线方程为， 设角平分线上任意一点为，则， 得或， 因为斜率为正，所以直线方程为. 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点）， 由于，则， 故，由于是锐角， 则，，所以， 直线的斜率为， 故直线的方程为. 法三：设角平分线与轴交于点， 则，即， 故，得， 所以，所以，故直线的方程为. （3）设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 故当时，使得恒为定值. 题型三 椭圆中的定直线问题 11．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【解答过程】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合焦点坐标，列出方程组求解即可； （2）设出切线方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系可求出切点坐标；再求出过点的垂线，与直线联立求出点坐标后即可证得. 【解答过程】（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为； （2）证明：依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，， 由，得， 所以，由，得； 所以，所以，即； 又因为，所以，直线的方程即为； 由，得； 又与直线垂直，所以，所以直线的方程为； 由，得，即，解得；所以点在定直线上. 13．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率公式求出即得. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理列出三角形面积表达式，再利用基本不等式求出最大值；（ⅱ）由（ⅰ）的信息求出直线方程并联立求出交点横坐标即可得证. 【解答过程】（1）由椭圆的短轴长为2，得， 由椭圆的离心率为，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）显然直线不垂直于轴，设其方程为，设， 由消去得， 由，解得，且， 则的面积为 ， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为. （ⅱ）由（1）得，由（ⅰ）得， 直线的方程为，直线的方程为， 则 ，由，解得， 因此直线BD与AC交点G的横坐标为， 所以点G在定直线上. 14．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)点Q在定直线上 【解题思路】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【解答过程】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 15．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【解题思路】（1）根据斜率之积求出即可得出椭圆的方程； （2）根据面积最大时点所处的位置，利用求椭圆的切线后，得三角形的高求解； （3）设直线，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，再联立直线方程求的横坐标，化简即可. 【解答过程】（1）由题意，， 设,，， 则， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图，    由，可得, 直线的方程为：，即， 当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上， 设切线为， 则可得， 由，解得（舍去）， 此时三角形的高为， 所以. （3）设直线，，， ，可得， 所以． 直线AE的方程：① 直线BF的方程：② 联立①②可得． 因为， 所以 所以点G在直线上． 题型四 双曲线中的定点问题 16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用双曲线离心率公式即可求解； （2）设过的直线方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，表示出直线BD的方程化简即可求解，注意讨论斜率为零的情形. 【解答过程】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点 ，所以 ，解得. 所以双曲线的方程为： . （2）证明：由题意得，故， 过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在 轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故此时直线BD过定点. 若过的直线的斜率为零，则此时即为 轴，此时也过， 综上，直线BD过定点. 17．（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率，将点代入求解即可. （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线联立，通过斜率相加等于0求解即可. （ⅱ）设点并表达出直线方程，可以求出直线过的定点. 【解答过程】（1）由题意可知：， 又因为，代入得：， 将点代入双曲线方程：，将代入： ，则， 所以双曲线的方程为：. （2）证明：（ⅰ）设直线：，与双曲线联立： 代入得：， 即， 方程的判别式 设，， 则，. ，则：，，由条件可得： 代入前面表达式： ， 代入：，两边同除以， 得：， 因此，直线：，即恒过定点. （ⅱ）设定直线：，与双曲线联立， 代入：， 两边同乘以：， 方程的判别式， 设根为，则：，， 则，. 对应点：，， ，求直线与双曲线另一个交点，与双曲线另一个交点， 设直线：，其中， 代入双曲线： ，，， 所以可得. 直线：，其中，同理可得. ，， 直线表示为：，将各项代入可得恒过 故直线恒过点. 18．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线所过点坐标和离心率公式得到方程组，解出即可； （2）设直线l的方程为，联立双曲线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可； （3）写出直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到M点坐标，同理得到N点坐标，再写出直线方程，最后化简即可. 【解答过程】（1）由题意，得解得 因为， 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，所以， 当直线l的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 所以设直线的方程为． 因为直线与双曲线的左支有两个交点，所以． 由消去，整理得． ， 设，， 因为点，都在双曲线的左支上，所以，． 所以，解得或， 所以的取值范围为． （3）证明：由题意，得直线的方程为， 代入双曲线的方程， 得． 设，则， 所以，则， 所以． 同理，． 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点． 19．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【解题思路】（1）由双曲线的焦距为得到，再由其中一条渐近线方程为，得到求解； （2）设过P点的切线l的方程为，由动圆D的圆心到切线l的距离为，设直线，与双曲线的方程联立，结合韦达定理求得点B和C的坐标，写出直线BC的方程求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 20．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)过定点，定点坐标为． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【解答过程】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 题型五 双曲线中的定值问题 21．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【解答过程】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 22．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值1 【解题思路】（1）根据面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【解答过程】（1）双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． （2）设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB的中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 23．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. (1)求双曲线C标准方程； (2)已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，其值为. 【解题思路】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程. （2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值. 【解答过程】（1）由题意可得出：，则， 所以双曲线的方程可设为，因为经过点， 所以，化简可得：， 解得：或（舍去）， 所以双曲线C标准方程为：. （2），设， 因为在双曲线上，所以，则， 则. 所以为定值，其值为. 24．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【解答过程】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    25．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解题思路】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 题型六 双曲线中的定直线问题 26．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列方程，解方程即得答案； （2）设过 的直线方程为 ，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得到，利用两点式写出直线，两式相除得到点横坐标与的关系式，再利用韦达定理，可解出点横坐标，即得答案. 【解答过程】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）证明：由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 27．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 28．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【解答过程】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）证明：因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 29．（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【解答过程】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 30．（25-26高三上·河南周口·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求的标准方程． (2)若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）在，且定直线方程为 【解题思路】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得； （ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，可得， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到其渐近线的距离为，所以，， 因此，双曲线的方程为. （2）（i）证明：因为是上第一象限的动点，则，可得且， 易知点、， 所以， ， 由双曲线的定义可得， 所以，， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，整理可得，解得， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点，且， 所以，，因此，； （ii）如图所示： 直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立直线和直线的方程， 可得，解得， 因此，点在定直线上. 题型七 抛物线中的定点问题 31．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦半径公式得，解出即可； （2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：当直线方程为时，显然不合题意， 则可设直线的方程为，，， 由得，，即， 所以，. 因为直线，关于轴对称，所以， 即，化简，得， 所以，所以， 所以直线的方程为，恒过定点. 32．（25-26高二上·山东东营·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意利用抛物线焦半径公式求得p，可得答案； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为进行化简可得的关系式，即可证明结论. 【解答过程】（1）解：由题意得，，点P的横坐标为1，且，则， ∴抛物线的方程为： （2）证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为，则，化简得． 所以两点的横坐标为，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得，， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足， 所以，即，过定点. 综上所述，直线过定点． 33．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线与抛物线C：交于A，B两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若M，N为C上不同的两点，且，判断直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点，定点坐标为. 【解题思路】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，结合已知条件求出值，进而求得抛物线方程. （2）分情况讨论，当直线的斜率不存在和存在时，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出的关系式，进而求得结果. 【解答过程】（1）将直线变形得，与抛物线联立化简得 ，因为直线与抛物线C：交于A，B两点， 设，则根据韦达定理有. 因为，所以. 将代入化简得. 继续化简得，解得（舍去）或， 所以抛物线方程为. （2）直线过定点，理由如下： 当直线的斜率不存在时，则设直线的方程为， 那么，因为， 所以，解得，此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，则设直线的方程为， 联立该直线与抛物线方程得，化简得. 设，则根据韦达定理得. 因为，所以. 代入韦达定理得，化简得，可得，即. 此时直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，定点坐标为.    34．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【答案】(1)； (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）结合题意先判断在的中垂线上，再利用两点间距离公式建立方程求出，进而得到，最后求出抛物线方程即可. （2）（Ⅰ）联立方程组求出和，再结合平面向量的数量积得到即可. （Ⅱ）利用三点共线求出，同理得到，再结合和建立方程，得到，进而确定定点即可. 【解答过程】（1）如图，作出符合题意的图形，      由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为； （2）证明：（Ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设方程为，并记点，    联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （Ⅱ）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 35．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点， (1)求的面积的最小值． (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)4 (2)存在定点 【解题思路】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出最小值. （2）假定存在，设出直线的方程及点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求解. 【解答过程】（1）显然直线斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的面积的最小值为. （2）假设存在，使得对任意的直线l，都有，设， 则，而直线斜率不为零， 设直线的方程为，代入，得， 则，由，得， 即，整理得， 因此，即，则， 由，解得，所以存在定点满足题意. 题型八 抛物线中的定值问题 36．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【解答过程】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以 ． 因为，， 所以，即为定值． 37．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值. 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）证明：由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以为定值，该定值为6. 38．（25-26高二上·江西·期末）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解； （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证； ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由抛物线，可得焦点，准线为， 因为点，可得，解得， 又因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：①由（1）知，设的斜率为，因为，则的斜率为， 则的方程为，联立方程组，整理得， 设，则， 则， 同理可得：， 所以， 所以为定值. ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：，， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为. 39．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，， 的面积，结合， 解得，从而求出直线的方程； （3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得， 由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； （3）证明：由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 40．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）由抛物线的定义得到轨迹方程； （2）①设出直线的方程为，直曲联立，得到，可得，再由斜率的定义，进而可得结论；②由点斜式写出直线的方程，得到过定点，再由三角形面积公式表达出面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值. 【解答过程】（1）由题可知，点P到点的距离与到的距离相等， 所以曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为． （2）①设， 由题意可知的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，消去，得， 显然，所以， 直线的方程为，联立得， 消去，得，整理得， 则是方程的两根，， 所以，所以，同理可得， ， 因为，所以 ②由①知的方程为：，所以， 所以， 令，则， 所以过定点． 所以 ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 题型九 抛物线中的定直线问题 41．（25-26高二上·湖南常德·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据抛物线的定义，可得曲线是以为焦点，的抛物线，进而求得抛物线的方程；（2）（i）设直线的方程为，联立方程组，得到，由弦长公式，求得，列出方程，求得的值，即可求解； （ii）由（i），联立方程组，求得，设直线的方程为，联立方程组得到，得出直线和的方程，联立方程组，化简求得，即可得到结论. 【解答过程】（1）因为点到直线的距离与点到点的距离相等， 根据抛物线的定义，可得曲线是以为焦点，以为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为. （ii）证明：由（i）直线的方程为， 联立方程组，解得，不妨设， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 可得，所以的方程为， 同理可得：直线的方程为， 联立方程组，可得， 整理得 ， 所以点的横坐标的值恒为，所以点在直线上. 42．（2026·山东·二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、， 联立可得， ，因为，可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 因此，抛物线的方程为. （2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合， 设直线的方程为，联立可得， 则可得， 设点、，由韦达定理可得， 设直线的方程为，设点、，同理可得， 直线的方程为，即， 化简可得， 同理可知，直线的方程为， 因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，    交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可， 由，消去， 因为直线与相交，则， 解得 ， 所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上. 43．（2026·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）代入点的坐标，即可求解抛物线方程； （2）首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，再结合基本不等式即可求解； （3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明. 【解答过程】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 又因为时,此时，两点重合，不合题意， 综上可知，的取值范围是； （3）证明：直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线 ，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为 ， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 44．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）根据题意得出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）①设点、，可知，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值； ②设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，求出直线、的方程，将这两直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②证明：如下图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 45．（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【解答过程】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或， 故抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）证明：由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $