椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题讲义 考点目录 椭圆中的定点问题 椭圆中的定值问题 椭圆中的定直线问题 考点一 椭圆中的定点问题 一、核心本质 动直线（或动曲线）无论参数如何变化，恒经过一个固定的点，该点坐标与运动参数无关。核心思路是参变分离：将含参数的直线方程整理为“参数×式子1 + 式子2 = 0”，令两个式子同时为0，解出定点坐标。 二、常见经典模型 1. 手电筒模型（最高频） · 场景：椭圆上有一个定点 ，过 作两条动直线交椭圆于 、 两点，若两直线的斜率之和为定值，或斜率之积为定值，则直线 恒过定点。 · 典型特例：若 （两直线垂直），则直线 过定点。 2. 过轴上定点的衍生定点 · 场景：过 轴（或 轴）上一个定点的动直线交椭圆于 、 两点，结合垂直、对称等条件，衍生出的新直线恒过另一定点。 三、核心解题方法 方法1：参变分离法（通用通法） 1. 设动直线方程（如 ），引入参数； 1. 联立椭圆方程，写出韦达定理； 1. 根据题目条件（斜率和/积、向量关系等），推导参数之间的等量关系（如 ）； 1. 将关系代回直线方程，整理为 的形式，令系数分别为0，解得定点 。 方法2：特殊探路+一般证明 1. 取两个特殊的参数值（如斜率为0、斜率不存在），求出对应两条直线的交点，猜出定点坐标； 1. 证明该定点在任意参数下的动直线上，完成一般性证明。 优势：先锁定目标，再定向证明，大幅降低运算难度，适合复杂题目。 四、解题步骤 1. 设参：设动直线方程或动点坐标，明确参数； 1. 联立：联立椭圆方程，得韦达定理，验证 ； 1. 转化：将几何条件转化为参数的等量关系； 1. 寻定：参变分离或特殊探路，求出定点坐标； 1. 验证：检验斜率不存在、端点等特殊情况是否也过该点。 例1．（2026·甘肃张掖·二模）设点，，过线段上动点，作线段，垂足为，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，是曲线上不同的两点，若直线和的斜率之商为，证明：直线过定点． 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【分析】（1）根据位置关系与点到点的距离公式，即可求解； （2）设出方程，对应得到方程，求解出、两点坐标，结合直线方程即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，垂足为且在线段上，所以设，， 而，，， 因此， 故曲线的方程为. （2）由题意得，直线斜率必然存在，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，得， 设点坐标为，则由韦达定理，， 则，，， 因为直线与直线的斜率之商为，所以直线方程为， 联立，得， 设点坐标为，则由韦达定理，， 则，，， 由题意知，直线斜率必存在，， 直线的方程为，即， 所以此时直线过定点，故得证. 例2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 例3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）略 变式1．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2) 由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）略 变式2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点. 【分析】（1）利用椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定长，列出等式，即可求得结果. （2）（i）写出三角形的面积表达式，进而求出面积最大值. （ii）分情况讨论直线斜率不存在时，斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点. 【详解】（1）椭圆：（）的一个焦点为， 则另一个焦点坐标为，且椭圆经过点. 所以，所以， 所以， 故椭圆的方程为. （2）椭圆的右顶点，设，. （i）三角形的面积为， 因为， 所以 三角形的面积的最大值为. （ii）当直线的斜率不存在时，，不符合题意； 故可设直线的方程为， 联立，得， 且满足. ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得， ∴， 化简得， 解得或. 易知，当时，，此时直线过右顶点，不符合题意. ①当时，直线的方程为，过定点，与右顶点重合，不符合题意. ②当时，代入，解得（）. 此时，直线方程为，过定点. 综上所述：直线过定点. 【点睛】关键点点睛: 对于恒过定点问题：当斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点，再考虑斜率不存在时的情况. 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 由题意知，直线斜率不为，设直线的方程为，（） ，，，联立方程， 消去整理得， 所以， 易知直线为，令，得到，则， 同理可得， 所以 ， 将代入，化简整理得， 解得（舍）或， 所以直线恒过定点. 【分析】（1）根据条件，列方程组，解出，即可求解； （2）根据题设直线的方程为，（），，，联立直线与椭圆方程，消去整理得，利用根与系的关系得，再根据题设求出，，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知, 解得，所以椭圆C的方程为. （2）略 考点二 椭圆中的定值问题 一、核心本质 某个几何量（斜率、面积、线段长度、向量数量积等）不随直线、点的运动而变化，结果为恒定常数。核心是消去参数，化简后目标量不含任何参数，得到固定数值。 二、常见经典题型 1. 斜率类定值 · 斜率乘积为定值：椭圆上任意一点 ，与关于原点对称的两点 、 连线的斜率乘积 （点差法核心结论）； · 斜率和/比为定值：动弦满足特定条件时，对应斜率的和、比值为常数。 2. 数量积与长度类定值 · 向量数量积为定值：过定点的动弦，对应向量的点积为固定值； · 焦点弦倒数和：过椭圆焦点的弦 ，，与直线斜率无关，恒为定值。 3. 面积类定值 · 特定条件下的三角形、四边形面积不随直线变化，恒为定值。 三、核心解题思路 1. 设参表式：引入参数（斜率、截距等），将目标量用坐标和参数表示出来； 1. 韦达代入：联立椭圆方程，用韦达定理替换坐标的和与积，将目标式转化为仅含参数的式子； 1. 化简消参：对目标式通分、整理，参数项相互抵消，最终得到常数； 1. 特殊验证：代入特殊参数值，验证结果与化简得到的定值一致。 四、解题步骤 1. 明确目标量，设定运动参数； 1. 联立方程，写出韦达定理； 1. 将目标量坐标化，代入韦达定理； 1. 化简整理，消去所有参数，得到定值； 1. 特殊情况验证结果一致性。 例1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【详解】（1）由题意得：，解得， ∵，∴， 由，得：， 故椭圆的方程为. （2）∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得， ∴， ， 在椭圆上，∴，即， 代入得：， 直线与直线的斜率之积为 . 例2．（26-27高二上·吉林四平·阶段检测）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)已知直线与（1）中点的轨迹方程交于，两点，令的中点为. （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)，轨迹为焦点在轴上的椭圆. (2)（i） （ii）令，，中点为， 由于，，两式相减得， 即， ，，. 所以，从而. 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解； （2）（i）根据题意，联立直线与椭圆，由直线与椭圆有两个交点可得，求解即可；（ii）设，，中点为，将点代入椭圆方程，结合直线的斜率公式即可求解. 【详解】（1）设点，根据题意可得，化简得， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆. （2）（i）联立直线与椭圆，得， 由于直线与椭圆有两个交点，所以， 即，解得； （ii）略. 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，，   ∴ ． 变式1．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 变式2．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明： 由题意得， 设点，点在椭圆上，则满足， 即， 斜率，斜率， 所以， 所以为定值. 【详解】（1） 因为椭圆， 则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. （2）略. 变式3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，根据题意，可设直线的方程为， 联立，整理得， 设，，则，． 得直线的方程为，直线的方程为， 又直线，分别交轴于，两点， 则，，又，，且，为轴上下两个点． 则，，． 由，得， 则． 又，所以．即与的面积比为定值． 【分析】（1）由椭圆的离心率和焦点坐标求解即可； （2）可设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出，即可求解． 【详解】（1）椭圆的标准方程为：． 根据题意，可得．又离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 考点三 椭圆中的定直线问题 一、核心本质 动点的运动轨迹是一条固定的直线，即动点的横、纵坐标满足恒定的一次线性关系，与运动参数无关。最典型的模型是极点与极线。 二、常见经典模型 1. 切点弦定直线（极线模型） · 场景：过椭圆外一个定点 ，作椭圆的两条切线，两个切点的连线（切点弦）所在的直线是定直线。 · 结论（极线公式）：椭圆 ，对应点 的切点弦方程为： 2. 动弦切线交点轨迹 · 场景：过椭圆内一个定点的动弦，过弦两端点作椭圆的切线，两条切线的交点的轨迹是一条定直线（即该定点对应的极线）。 3. 条件约束型定直线 · 场景：动点满足斜率关系、向量关系、距离关系等，证明该点恒在某条固定直线上。 三、核心解题方法 1. 设点列关系：设动点坐标为 ，结合运动参数（如直线斜率），根据几何条件列出等式； 1. 韦达消参：联立直线与椭圆，代入韦达定理，消去运动参数； 1. 整理得直线：化简后得到关于 的一次方程，即为定直线方程； 1. 验证范围：确认动点的轨迹是整条直线还是其中一段。 四、解题步骤 1. 设动点坐标与运动参数； 1. 将几何约束转化为代数等式； 1. 联立椭圆，代入韦达定理，消去参数； 1. 整理得到动点坐标的线性关系，即定直线方程； 1. 验证特殊点、边界情况。 例1．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点是、，左右顶点是、，过的直线与椭圆交于两点、(不是左、右顶点)，直线与交于点，求证直线与交点在一条定直线上. 【答案】 由椭圆方程可知，，， 设直线的方程是， 代入椭圆方程得， 易知， 设，，， 则 ， 直线的方程是 ①， 直线的方程是 ②， 设，既满足①也满足②， 则 ， 故直线与交点在一条定直线：上. 【分析】由点斜式分别写出与的方程，两式子消去，根据韦达定理可得，的坐标关系，进而可以得到点M在一条定直线x＝2上； 【详解】略. 例2．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； (3)若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 【答案】(1) (2) (3)证明：由直线与倾斜角互补，得两条直线的斜率互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为. 设直线的方程为，联立，将代入椭圆的方程， 消去并整理得：. 由题意，点是直线与椭圆的一个交点，因此是方程的一个根. 设点的横坐标为，由韦达定理得：，解得， 代入直线方程得，即 . 将替换为，同理得点的坐标：，. 设中点，由中点坐标公式：， . 消去参数，对的分子因式分解得， 又，代入可得即. 故中点恒在定直线上运动. 【分析】（1）由焦距得到，利用垂直条件与三角形面积得到的等量关系，结合解出参数，求得椭圆方程； （2）由向量条件得到坐标之间的关系式，将直线与椭圆联立，借助韦达定理求出两点横坐标，再利用两根之积建立关于斜率的方程，求解得到直线的斜率； （3）由倾斜角互补得到两直线斜率互为相反数，分别设出直线并联立椭圆，利用韦达定理求出横坐标，写出中点的参数坐标，消去参数，推导出中点满足的定直线方程，完成证明. 【详解】（1）由，得焦距即，故焦点坐标为，且. 当时，的横坐标为，代入椭圆方程得. 的面积，即. 联立，.解得或（舍），故，， 因此椭圆标准方程为. （2） 设直线的方程为，设，. 由向量条件得：，即，. 将直线与椭圆联立：，消去得：. 由韦达定理：，. 结合，代入韦达定理的和：，得， 所以. 代入的表达式得，去分母得， 整理得，解得.经检验，都满足题意. 所以直线的斜率为. （3）略 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 变式1．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程． (2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M在定直线上 【分析】（1）根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可； （2）先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得. 【详解】（1）设椭圆E的方程为． 则，解得， 故椭圆E的方程为． （2）依题可设直线l的方程为，，，． 联立方程组，整理得， 则， 直线AP的方程为，直线BQ的方程为， 联立方程组，得 由，得，得． 所以. 故点M在定直线上． 变式2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上， 【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；. （2）是在定直线上，理由如下： 当时，此时椭圆，设点与直线l联立得， ，且， 所以 易知，则， 两式作商得是定值， 故G在定直线上.    变式3．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2) ①如图： 设直线的方程为，并记点，，， 由消去，得， 易知 则，． 由条件，，，直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 所以点在定直线上． ②． 【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标， 得：，解得，所以椭圆的标准方程为． （2）①略 ② 而，所以， 则， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题讲义 考点目录 椭圆中的定点问题 椭圆中的定值问题 椭圆中的定直线问题 考点一 椭圆中的定点问题 一、核心本质 动直线（或动曲线）无论参数如何变化，恒经过一个固定的点，该点坐标与运动参数无关。核心思路是参变分离：将含参数的直线方程整理为“参数×式子1 + 式子2 = 0”，令两个式子同时为0，解出定点坐标。 二、常见经典模型 1. 手电筒模型（最高频） · 场景：椭圆上有一个定点 ，过 作两条动直线交椭圆于 、 两点，若两直线的斜率之和为定值，或斜率之积为定值，则直线 恒过定点。 · 典型特例：若 （两直线垂直），则直线 过定点。 2. 过轴上定点的衍生定点 · 场景：过 轴（或 轴）上一个定点的动直线交椭圆于 、 两点，结合垂直、对称等条件，衍生出的新直线恒过另一定点。 三、核心解题方法 方法1：参变分离法（通用通法） 1. 设动直线方程（如 ），引入参数； 1. 联立椭圆方程，写出韦达定理； 1. 根据题目条件（斜率和/积、向量关系等），推导参数之间的等量关系（如 ）； 1. 将关系代回直线方程，整理为 的形式，令系数分别为0，解得定点 。 方法2：特殊探路+一般证明 1. 取两个特殊的参数值（如斜率为0、斜率不存在），求出对应两条直线的交点，猜出定点坐标； 1. 证明该定点在任意参数下的动直线上，完成一般性证明。 优势：先锁定目标，再定向证明，大幅降低运算难度，适合复杂题目。 四、解题步骤 1. 设参：设动直线方程或动点坐标，明确参数； 1. 联立：联立椭圆方程，得韦达定理，验证 ； 1. 转化：将几何条件转化为参数的等量关系； 1. 寻定：参变分离或特殊探路，求出定点坐标； 1. 验证：检验斜率不存在、端点等特殊情况是否也过该点。 例1．（2026·甘肃张掖·二模）设点，，过线段上动点，作线段，垂足为，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，是曲线上不同的两点，若直线和的斜率之商为，证明：直线过定点． 例2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 例3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 变式1．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 变式2．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点. 考点二 椭圆中的定值问题 一、核心本质 某个几何量（斜率、面积、线段长度、向量数量积等）不随直线、点的运动而变化，结果为恒定常数。核心是消去参数，化简后目标量不含任何参数，得到固定数值。 二、常见经典题型 1. 斜率类定值 · 斜率乘积为定值：椭圆上任意一点 ，与关于原点对称的两点 、 连线的斜率乘积 （点差法核心结论）； · 斜率和/比为定值：动弦满足特定条件时，对应斜率的和、比值为常数。 2. 数量积与长度类定值 · 向量数量积为定值：过定点的动弦，对应向量的点积为固定值； · 焦点弦倒数和：过椭圆焦点的弦 ，，与直线斜率无关，恒为定值。 3. 面积类定值 · 特定条件下的三角形、四边形面积不随直线变化，恒为定值。 三、核心解题思路 1. 设参表式：引入参数（斜率、截距等），将目标量用坐标和参数表示出来； 1. 韦达代入：联立椭圆方程，用韦达定理替换坐标的和与积，将目标式转化为仅含参数的式子； 1. 化简消参：对目标式通分、整理，参数项相互抵消，最终得到常数； 1. 特殊验证：代入特殊参数值，验证结果与化简得到的定值一致。 四、解题步骤 1. 明确目标量，设定运动参数； 1. 联立方程，写出韦达定理； 1. 将目标量坐标化，代入韦达定理； 1. 化简整理，消去所有参数，得到定值； 1. 特殊情况验证结果一致性。 例1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 例2．（26-27高二上·吉林四平·阶段检测）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)已知直线与（1）中点的轨迹方程交于，两点，令的中点为. （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线的斜率之积为定值. 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 变式1．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 变式2．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 变式3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 考点三 椭圆中的定直线问题 一、核心本质 动点的运动轨迹是一条固定的直线，即动点的横、纵坐标满足恒定的一次线性关系，与运动参数无关。最典型的模型是极点与极线。 二、常见经典模型 1. 切点弦定直线（极线模型） · 场景：过椭圆外一个定点 ，作椭圆的两条切线，两个切点的连线（切点弦）所在的直线是定直线。 · 结论（极线公式）：椭圆 ，对应点 的切点弦方程为： 2. 动弦切线交点轨迹 · 场景：过椭圆内一个定点的动弦，过弦两端点作椭圆的切线，两条切线的交点的轨迹是一条定直线（即该定点对应的极线）。 3. 条件约束型定直线 · 场景：动点满足斜率关系、向量关系、距离关系等，证明该点恒在某条固定直线上。 三、核心解题方法 1. 设点列关系：设动点坐标为 ，结合运动参数（如直线斜率），根据几何条件列出等式； 1. 韦达消参：联立直线与椭圆，代入韦达定理，消去运动参数； 1. 整理得直线：化简后得到关于 的一次方程，即为定直线方程； 1. 验证范围：确认动点的轨迹是整条直线还是其中一段。 四、解题步骤 1. 设动点坐标与运动参数； 1. 将几何约束转化为代数等式； 1. 联立椭圆，代入韦达定理，消去参数； 1. 整理得到动点坐标的线性关系，即定直线方程； 1. 验证特殊点、边界情况。 例1．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点是、，左右顶点是、，过的直线与椭圆交于两点、(不是左、右顶点)，直线与交于点，求证直线与交点在一条定直线上. 例2．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； (3)若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 变式1．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程． (2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 变式2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 变式3．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $