直线和圆的方程：直线与圆中的定值问题、直线与圆中的定点问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线和圆的方程：直线与圆中的定值问题、直线与圆中的定点问题讲义 直线和圆的方程：直线与圆中的定值问题、直线与圆中的定点问题讲义 考点目录 直线与圆中的定值问题 直线与圆中的定点问题 考点一 直线与圆中的定值问题 【知识点解析】 一、核心本质 直线绕定点旋转、斜率变化或平行移动时，某个几何量（长度、乘积、比值、角度、数量积）始终保持恒定，与直线的位置、斜率无关。解题关键是通过代数化简或几何推导，证明目标量与运动参数无关。 二、四大经典定值模型 1. 幂定理型定值（最基础） 由圆幂定理直接得到，是圆中最本质的长度定值，无需联立方程。 · 相交弦定理：过圆内定点 的任意弦 ， 为定值： · 其中 为定点到圆心的距离， 为圆半径。 · 切割线定理：过圆外定点 的切线长 为定值： · 割线定理：过圆外定点 的任意割线交圆于 两点， 为定值，等于切线长平方。 拓展结论：过圆内定点 作两条互相垂直的弦 ，则弦长平方和为定值： 2. 斜率角度型定值 · 直径斜率积定值： 为圆的直径， 为圆上任意一点，则 （定值），本质是直径所对圆周角为直角。 · 定弦定角：定弦所对的圆周角为定值；同弧所对的圆周角相等，均为定值。 3. 距离长度型定值 · 弦长定值 弦心距定值：若动弦的弦长为定值 ，则圆心到直线的距离恒为定值： · 反之，若圆心到动直线的距离为定值，则弦长恒为定值。 · 切线长定值：到圆心距离相等的点，到圆的切线长相等；同一点到圆的两条切线长相等。 4. 向量数量积型定值 · 以动弦 为直径的圆过定点 ，则 （定值）； · 定点 对动弦端点的数量积，结合韦达定理化简后可证为定值。 三、解题步骤 1. 判模型：优先判断是否属于幂定理、定弦定角等几何定值模型，几何法可直接得结论； 1. 设参数：几何法不适用时，设直线斜率 或截距，写出直线方程； 1. 联立韦达：联立直线与圆的方程，由韦达定理得坐标和、积； 1. 代入化简：将目标量转化为坐标表达式，代入韦达定理，化简后参数抵消，得到常数。 【例题分析】 例1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 例2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】(1)（i）； （ii）证明：设， 由根与系数关系得，， 则， 所以直线的斜率之和为定值2. (2)4 【分析】（1）（i）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；（ii）由韦达定理得； （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【详解】（1）（i）圆的圆心为，半径， 联立方程，消去y可得， 由直线与圆相交可得，解得 故的取值范围为； （ii）略 （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 由题意知：， 则圆心C到距离均为，可得的距离为， 则，所以. 例3．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）由题意可先求出过点的切线方程，则可联立直线得到点坐标，再以为圆心，为半径作圆，求出该圆与圆的交点坐标即可得解； （3）设，，，则可借助两点间距离公式得到与、、有关等式，结合该等式恒成立计算即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由圆的圆心在轴上，则， 由圆过，两点， 则有，解得， 即圆的标准方程为； （2）圆，则圆心， 则过点的切线与轴垂直，即为， 对，令，则，即， 以为圆心，为半径作圆，即为， 则、为该圆与圆的两个交点， ，解得或， 由，故；    （3）设，，则，即， 设，则， 由， ， 则恒成立， 整理得， 则需，由，则， 即有， 由，则，即，则，即， 即方程组符合题意的解为， 即点的坐标为.    【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)138 (3)存在，点，定值为 【分析】（1）设，利用对称关系把点的坐标用表示出来，然后代入圆的方程即可求解； （2）利用两点间距离公式整理从而转化为的最小值，然后利用数形结合思想即可求解； （3）设出直线方程，联立圆的方程消去，利用韦达定理代入化简即可求解. 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    变式2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知在平面直角坐标系中，，平面内动点满足，点轨迹记为曲线， (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求实数的值； (3)若曲线与轴的交点为两点，为直线：上的动点，直线与曲线的另一个交点分别为，直线与轴交点为，探究是否为定值，若是定值，求出定值，不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)恒为定值． 【分析】（1）设动点坐标，由题意，根据两点间距离公式，化简计算，即可得答案. （2）依题意可得为等腰直角三角形，且，故点到直线的距离为，根据点到直线距离公式，代入计算，即可得答案. （3）当直线垂直于轴时，根据相似，可得直线过，当直线不垂直于轴时，设出Q点坐标，可得直线MQ方程，与圆C联立，根据韦达定理，可得E点坐标，同理可得F点坐标，即可求出直线EF的方程，化简整理，可得直线过，根据相似，对应边成比例，即可求得答案. 【详解】（1）设动点坐标，因为动点满足，且，， 所以，化简可得， 所以点的轨迹方程为． （2）依题意可得为等腰直角三角形，且， 故点到直线的距离为， 直线即：，则，解得，即的值为． （3）曲线中，令，可得或，可知， 当直线垂直于轴时，设，x=6与x轴交于点P， 则， 所以，即， 所以，解得，即直线过； 当直线不垂直于轴时， 设且，则直线， 代入得， 由韦达定理可得，可得， 所以，即， 直线，代入C，可得， 由韦达定理可得，可得， 所以，即， 所以， 则， 整理得，即直线过； 综上可得，直线恒过定点，故， 在和中，， 故，故， 即恒为定值． 变式3．（25-26高二上·广西梧州·期中）已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. (1)求曲线E方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 【答案】(1)；是一个圆，圆心为，半径 (2)①或；②是， 【分析】（1）设，由列出关于的等式，整理得解； （2）①讨论的斜率不存在和存在，分别求解，在斜率存在时，设直线的解析式为点斜式，利用圆心到直线的距离，求解即可；②设直线的解析式为点斜式，设直线与圆E的交点为，，，，直线和圆E联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用斜率公式求出，代入和，整理求解即可. 【详解】（1）设，则，化简得． 是一个圆，圆心为，半径 ． （2）①解：当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意； 当的斜率存在时，设，即 由题设知：圆心到直线的距离，此时， 直线的方程为或； ②，联立，可得． 设，，，，则，， . 考点二 直线与圆中的定点问题 【知识点解析】 一、核心本质 含参数的动直线，无论参数如何变化，直线恒经过某一个固定的点；本质是直线方程中，当参数的系数为 0 时，等式恒成立，与参数取值无关。 二、三大经典定点模型 1. 直径型定点（几何法） · 模型特征：若 恒成立，或 ，则弦 恒过定点—— 为圆的直径，定点为圆心。 · 拓展：若 为定角 ，则弦 为定长，对应弦心距为定值，但不一定过定点。 2. 斜率条件型定点 · 模型特征：过圆上定点 作两条动弦 ，满足 ，或 ，则直线 恒过定点。 · 解法：设直线 的方程，联立圆方程，结合斜率条件代入韦达定理，推导直线参数的关系，进而得到定点坐标。 3. 含参直线型定点 · 模型特征：直线方程含单个参数，整理为“常数项 + 参数 含 的式子 = 0”的形式。 · 解法：令参数的系数为 0，同时令常数项为 0，解方程组得定点坐标。 例：，整理为 ，令 ，得定点 。 三、三大解题方法 1. 代数法（通法）：设直线方程，联立圆方程，结合条件推导参数关系，代入直线方程求定点； 1. 几何法：利用圆的几何性质（直径、圆周角、对称）直接判断定点位置； 1. 特殊值法：取两个不同的参数值，得到两条具体直线，求交点即为猜想定点，再代入验证。 四、解题步骤 1. 设动直线的含参方程； 1. 根据题设条件，推导参数之间的关系； 1. 将直线方程整理为“参数 式子 + 常数式 = 0”的形式； 1. 令参数系数与常数式分别为 0，解方程组得定点坐标； 1. 验证特殊情况（斜率不存在）下直线也过该点。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 【答案】(1) (2)证明： ，所以直线，点，， 设点，，， 所以，，所以， 又，，所以 又E，F在圆C上，所以，， 消去，可得①， 当EF斜率存在时设直线EF的方程为， 联立， 消元y可得， 则， 可代入①，得， 解得或， 当时，直线恒过， 当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去， 直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去）， 综上：直线EF过点成立. 【分析】（1）设圆C的方程为，将已知三点代入求出即可； （2）设点，，，易得，根据E，F在圆C上，得出的关系式，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再代入的关系式，求出之间的关系即可得解. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 故圆C的标准方程为； （2）略. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 例2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) 由圆与轴分别交于两点，不妨设， 又为直线上的动点，设，则 则方程为，方程为， 设， 联立方程，解得， 所以，即，即. 联立方程，解得， 所以，即，即. 当时，， 所以直线的方程为 化简得所以直线过定点. 当时，，此时过定点. 综上，直线过定点.    【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可； （2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为 又因为圆经过点 则，解得， 所以圆心半径为， 所以圆的标准方程为 （2）略 例3．（25-26高二上·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2)②设，，，，，， ，， 设直线斜率存在， 联立，消去y可得， 设，， 则，， 故，，， 或舍去， 则直线， ∴直线恒过定点， 当时，过定点，符合， 综上，直线恒过定点； ② 【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可. （2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足； ②由，将，代入计算即可. 【详解】（1）设，由题意得，，， 当时，即， 解得，当时，三点共线，舍去，所以， 当时， 即，解得，所以， 综上或； （2）①略 ②由①得，， 则 ， ， 令， 则，当时，取得最大值， 当直线，四边形面积有最大值 . 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1)或 (2)证明如下：    当直线斜率存在时，设直线． 将直线代入圆的方程得， 又， 则． 即， 即， 即， 即， 整理得， 即， 所以或． 当时，直线恒过点，不满足题意，舍去； 当时，由得． 直线恒过点，满足题意． 当直线斜率不存在时，不妨设直线， 则． 则， 所以与圆无交点，不满足题意，舍去． ∴直线恒过点． 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可； （2）分类讨论结合韦达定理与斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题意可设切线的方程为． 所以圆心到切线的距离为， 即，解得， 所求的切线方程为或； （2）略 变式2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点，. (1)若平行于AB的直线l与圆M相交于C，N两点，且，求直线l的方程； (2)设直线与圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF的两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)或 (2)证明如下： 如图所示： 由题意设，，， 不妨设，， 则，，则， 设，则， 则直线PE的方程为， 代入圆的方程消去y得， ， 由韦达定理得， 即， 设直线PF的方程为， 代入圆的方程消去y得，， 由韦达定理得， 即. 解法一：，. 当直线GH的斜率存在时，， 所以直线GH的方程为， 整理得，所以直线GH过定点； 当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，， 则直线GH的方程为，直线GH过点，同理当时，直线GH过点. 综上，直线GH过定点. 解法二：，. 当直线GH的斜率存在时，， 所以直线GH的方程为， 由题意得，，令，得，， 直线GH的方程为，① 令，得，，，直线GH的方程为，② 联立①②得 将点代入方程， 得恒成立， 故直线GH过定点. 当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，， 则直线GH的方程为，直线GH过点，同理当时，直线GH过点. 综上，直线GH过定点. 解法三： 所以， ， 消去m得， 由题意直线斜率存在，设直线GH的方程为， 代入圆的方程消去y得， ， 由韦达定理得，， 则， 即， 解得或. 当时，直线GH的方程为，过定点； 当时，直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意. 故直线GH过定点. 【分析】（1）求出AB的斜率，设出直线l的方程，利用距离公式得出直线l的方程； （2）根据设出直线PE，PF的方程，分别与圆方程联立得出G，H的横坐标，解法一：得出G，H的纵坐标，进而讨论的斜率，由点斜式得出定点；解法二：取，通过解方程组得出定点；解法三：联立直线GH的方程与圆的方程，通过韦达定理得出，进而由点斜式得出定点. 【详解】（1）解：圆M的标准方程为， 所以，半径为2，其中， 因为l平行于AB，所以设直线l的方程为， 则圆心M到直线l的距离， 因为， 解得或， 所以直线l的方程为或. （2）略 【点睛】方法点睛：在证明直线过定点时，一般是将的坐标表示出来，进而得出其斜率，由点斜式得出定点. 变式3．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知圆． (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 如图，连接 设点， 以为圆心，为半径的圆的方程为① 又②，则线段为两圆相交弦， 故由①②得为直线的方程，即 所以，解得 直线过定点. 【分析】（1）讨论直线方程斜率不存在时，根据直线与圆相交弦长公式求弦长，检验是否符合；直线斜率存在时，设直线方程，根据直线与圆相交弦长公式，求出参数的值，即得直线的方程； （2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，进而求出弦长的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，求得直线的方程； （3）设点，，可得以为圆心，为半径的圆的方程，则线段为该圆与圆相交形成的相交弦，两圆方程作差可得直线的方程，即可求得直线过定点. 【详解】（1）解：圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或. （2）解：在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长， 所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1， 所以直线的方程为：或． （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线和圆的方程：直线与圆中的定值问题、直线与圆中的定点问题讲义 直线和圆的方程：直线与圆中的定值问题、直线与圆中的定点问题讲义 考点目录 直线与圆中的定值问题 直线与圆中的定点问题 考点一 直线与圆中的定值问题 【知识点解析】 一、核心本质 直线绕定点旋转、斜率变化或平行移动时，某个几何量（长度、乘积、比值、角度、数量积）始终保持恒定，与直线的位置、斜率无关。解题关键是通过代数化简或几何推导，证明目标量与运动参数无关。 二、四大经典定值模型 1. 幂定理型定值（最基础） 由圆幂定理直接得到，是圆中最本质的长度定值，无需联立方程。 · 相交弦定理：过圆内定点 的任意弦 ， 为定值： · 其中 为定点到圆心的距离， 为圆半径。 · 切割线定理：过圆外定点 的切线长 为定值： · 割线定理：过圆外定点 的任意割线交圆于 两点， 为定值，等于切线长平方。 拓展结论：过圆内定点 作两条互相垂直的弦 ，则弦长平方和为定值： 2. 斜率角度型定值 · 直径斜率积定值： 为圆的直径， 为圆上任意一点，则 （定值），本质是直径所对圆周角为直角。 · 定弦定角：定弦所对的圆周角为定值；同弧所对的圆周角相等，均为定值。 3. 距离长度型定值 · 弦长定值 弦心距定值：若动弦的弦长为定值 ，则圆心到直线的距离恒为定值： · 反之，若圆心到动直线的距离为定值，则弦长恒为定值。 · 切线长定值：到圆心距离相等的点，到圆的切线长相等；同一点到圆的两条切线长相等。 4. 向量数量积型定值 · 以动弦 为直径的圆过定点 ，则 （定值）； · 定点 对动弦端点的数量积，结合韦达定理化简后可证为定值。 三、解题步骤 1. 判模型：优先判断是否属于幂定理、定弦定角等几何定值模型，几何法可直接得结论； 1. 设参数：几何法不适用时，设直线斜率 或截距，写出直线方程； 1. 联立韦达：联立直线与圆的方程，由韦达定理得坐标和、积； 1. 代入化简：将目标量转化为坐标表达式，代入韦达定理，化简后参数抵消，得到常数。 【例题分析】 例1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 例2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 例3．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知在平面直角坐标系中，，平面内动点满足，点轨迹记为曲线， (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求实数的值； (3)若曲线与轴的交点为两点，为直线：上的动点，直线与曲线的另一个交点分别为，直线与轴交点为，探究是否为定值，若是定值，求出定值，不是，请说明理由． 变式3．（25-26高二上·广西梧州·期中）已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. (1)求曲线E方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 考点二 直线与圆中的定点问题 【知识点解析】 一、核心本质 含参数的动直线，无论参数如何变化，直线恒经过某一个固定的点；本质是直线方程中，当参数的系数为 0 时，等式恒成立，与参数取值无关。 二、三大经典定点模型 1. 直径型定点（几何法） · 模型特征：若 恒成立，或 ，则弦 恒过定点—— 为圆的直径，定点为圆心。 · 拓展：若 为定角 ，则弦 为定长，对应弦心距为定值，但不一定过定点。 2. 斜率条件型定点 · 模型特征：过圆上定点 作两条动弦 ，满足 ，或 ，则直线 恒过定点。 · 解法：设直线 的方程，联立圆方程，结合斜率条件代入韦达定理，推导直线参数的关系，进而得到定点坐标。 3. 含参直线型定点 · 模型特征：直线方程含单个参数，整理为“常数项 + 参数 含 的式子 = 0”的形式。 · 解法：令参数的系数为 0，同时令常数项为 0，解方程组得定点坐标。 例：，整理为 ，令 ，得定点 。 三、三大解题方法 1. 代数法（通法）：设直线方程，联立圆方程，结合条件推导参数关系，代入直线方程求定点； 1. 几何法：利用圆的几何性质（直径、圆周角、对称）直接判断定点位置； 1. 特殊值法：取两个不同的参数值，得到两条具体直线，求交点即为猜想定点，再代入验证。 四、解题步骤 1. 设动直线的含参方程； 1. 根据题设条件，推导参数之间的关系； 1. 将直线方程整理为“参数 式子 + 常数式 = 0”的形式； 1. 令参数系数与常数式分别为 0，解方程组得定点坐标； 1. 验证特殊情况（斜率不存在）下直线也过该点。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 例2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 例3．（25-26高二上·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 变式2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点，. (1)若平行于AB的直线l与圆M相交于C，N两点，且，求直线l的方程； (2)设直线与圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF的两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 变式3．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知圆． (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $