辽宁营口市第十七中学2026-2027学年九年级上学期第一次数学限时训练

九年级第一次数学限时训练 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是（) A.x2-5x=1 B.3x+2y=1 c.2-1=1 D.ax2+bx+c=0 2.若一元二次方程x2-3x+a=0的一个根为x=2,则a的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.将抛物线y=2x2的图象经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)子-4的图象（) A.先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B.先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C.先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D.先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 4.关于抛物线y=-x2+6x+7,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 5.关于x的一元二次方程x2+bx-1=0的实数根的情况是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是() 第1页/共6页 7.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会 了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会x名同学，则可列方程为( ) A.1+x(x+1)=49 B.1+x+x2=49 C.1+x+x(x+1)=49 D.1+2x=49 8.已知点A(-5,y)B(-2,y2)和C(1,y)都在二次函数y=ax2+2ax+c(a<0)的图象上，则外y23的大 小关系是() A.乃<y2<y3 B.y<3<y2 C.y2<y3<乃 D.y3<2< 9.二次函数y=2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,则下列结论中不正确的是 A.3a+c<0 B.a-b≤am2+bm(m为任意实数) C.9a-3b+c<0 D.关于x的方程a2+bx+c上I有四个根 10.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法，以方程x2+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中 记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形， 最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正数解为8-2×2=4，小美尝试用此方法解关于 x的方程x2+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正 数解是( 2x 2x 28 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 第2页/共6页 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11.关于x的一元二次方程x2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是 12.已知m,n是一元二次方程x2+x-2026=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 13.已知一个直角三角形两直角边长之和为40cm,则这个直角三角形的最大面积为 14.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=a+b交于A(-2,m),B(1,n)两点，则不等式ax2-x+c<b的解集是 15.将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 y=x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为 三、解答题（共8道题，共75分） 16.解方程：(6分) (1)3x2+2x-3=0: (2)x(x-1)=8x-8. 17.已知二次函数y=x2+bx+c(a,b,C是常数，且a≠0)的函数值y与自变量x的部分对应值如表：(7分) -2 0 3 -3 -3 0 (1)该函数图象的对称轴为直线 第3页/共6页 (2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 (3)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>5的解集是 (4)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(I为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，请直接写出1的 取值范围 18.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m2-m-1=0的有两个不相等的实数根七，2， (1)求m的取值范围： (2)若x+x2=1-x2,求m的值. 19.(8分)已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,求： -2A0 B 4 -4 (1)点A、B、C的坐标： (2)△ABC的面积. 第4页/共6页 20.(11分)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠 墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示).若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米。 D A (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量×的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值：若不能，请说明理由： (3)当x是多少时，矩形花因面积y最大？最大面积是多少？ 21.(11分)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个。 (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售 价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 2.(10分)如图0，在平面直角坐标系中，抛物线巧=-22+bx+c经过点4(-1,0)和点C(0,2),与：轴的 3 另一个交点为B.抛物线y关于x轴对称的抛物线为y2: 图① 图② (1)求抛物线，的函数解析式： (2)如图②，点D是抛物线y在第四象限上的一点，连接BC,BD,CD,OD.若SABCD=2 SACOD,求点D的 坐标。 第5页/共6页 23.综合与实践(12分) 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=V2,动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正 方形DPEF设点P的运动时间为IS,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系 A S个 18 D 2 B P 4 图1 图2 (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t=1时，S=」 ②S关于t的函数解析式为 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信 息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长 (3)延伸探究：若存在3个时刻4,2,4(41<L2<L2)对应的正方形DPEF的面积均相等。 ①L+L2=_； ②当(，=4H时，正方形DPEF的面积为 第6页/共6页 九年级数学水平测试答案 1.A2.A3.B4.C5.A6.C7.C8.B9.B10.A 1.k≤2且k≠012.202518.200cm214.-2<x<115.-21<6<-3 4 1605=1+0.5=1丽 3 3 (2)1=1.2=8 17. (1)x=1 (2)x=-1,x2=3 (3)x<-2或x>4 (4)-4≤t<5 18.(1)m>-1 (2)1 19.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,求： -2A -4 (1)点A、B、C的坐标： (2)△ABC的面积. 【答案】(1)A(-1,0):B(3,0):C(0,-3) (2)6 【解析】 【分析】(1)根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标： (2)根据A,B,C的坐标求出AB,CO长，即可求出S△oc的值。 【小问1详解】 第1页/共10页 解：令x=0,则y=-3, C(0,-3): 令y=0,则x2-2x-3=0. 解得：1=-1，x2=3, A(-1,0):B(3,0). 【小问2详解】 解：÷A(-1,0).B(3,0).C(0,-3) AB=4,OC=3, 8c280c=x4x3=6, 2 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计 算 20.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙， 另外三边用总长为36米的橘栏围成（如图所示）.若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米， A (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出×的值：若不能，请说明理由： (3)当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)y=-2x2+36x:8≤x<18 （2)当x=17时，满足条件的花园面积能达到34平方米 (3)当x=9时，y最大，最大面积是162平方米 【解析】 【分析】(1)根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围： (2)把y=34代入解方程并检验取值： (3)配方法求二次函数在定义域内的最值。 第2页/共10页 【小问1详解】 解：.AB=x米，三边栅栏总长为36米， ∴.BC=(36-2x)米 ∴.y=x36-2x),即y=-2x2+36x. 墙长20米， .0<36-2x≤20. 解得8≤x<18 【小问2详解】 解：令y=34,则-2x2+36x=34. 整理，得x2-18x+17=0. 解得x=17或x=1. 8≤x<18, .x=17, 当x=17时，满足条件的花园面积能达到34平方米。 【小问3详解】 解：将y=-2x2+36x化为顶点式为y=-2(x-9)2+162, 8≤x<18, ∴.当x=9时，y最大，最大面积是162平方米. 21.某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率： (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此 基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为 每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%、 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大。 【解析】 【分析】(1)设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解。 (2)以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的 性质求最大值对应的售价. 第3页/共10页 【小问1详解】 解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为X,根据题意， 得150(1+x)2=216, 整理得(1+x)=1.44, 解得x=0.2=20%,x2=-2.2. ~月增长率为正数。 x2=-2.2不符合题意，舍去。 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%： 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为每个x元，月销售利润为y元.单个头盔的利润为(x一300)元. ~售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个。 月销告量为60-X=400=260-)x个， 1 2 x2400 260-2x20 .解不等式组得400≤x≤520. 根据题意， y=-300(20--+410r-780. 1 <0. 2 时，y取得最大值，将Q=-,6=410代入，得 b 抛物线开口向下，当x== 2a 2 410 X=一 =410 2×2 ÷400<410<520. ∴该售价符合实际销售的取值范围. 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大。 22.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线乃= 2x2+bx+c经过点A(-1,0)和点C(0,2)与x轴的 另一个交点为B,抛物线乃关于x轴对称的抛物线为y2· 第4页/共10页 图① 图② (1)求抛物线y的函数解析式： (2)如图②，点D是抛物线y2在第四象限上的一点，连接BC,BD,CD,OD.若S△CD=2SAcw,求 点D的坐标： (3)当-1<x<3时抛物线y= 22+bx+c与x≤-1时抛物线2组成新的函数G,函数G的图象上 有不重合的两点P和Q,点P和点Q的横坐标分别为1和-1+0.5，若函数G的图象上点P和点Q之间部 分（包括点P和点Q)的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围. 2+4x+2 4 【答案】(1)y= 33 (2)D(2,-2) 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可解答： (2)求得y2的解析式和直线BC的解析式，再设点D的横坐标为m,根据题意列方程即可解答： 【小问1详解】 解：抛物线y= 22+bx+c经过点A(-1,0)和点C(0,2). 0、 .-b+c 3 2=c 4 b=- 解得 3. c=2 4 ∴抛物线乃，的函数解析式为y=一 + x+2: 3 3 【小问2详解】 第5页/共10页 4 解：=一 3 8 .抛物线乃的顶点为 3 抛物线y关于x轴对称的抛物线为y2, 抛物线y2的顶点为 1,-3 与y轴交点为(0，-2) %=ax--等 8 把(0，-2)代入可得-2=a- 3 9a -(x--82x4 2 333-2, 令0=-22+4x+2. 4 3 3 解得x=-1,x2=3, .B(3,0) 设直线BC的解析式为y=x+b. 把B(3,0),C(0,2)代入y=x+b. [0=3k+b 可得 2=b =- 解得 3. b=2 ·直线BC的解析式为y=一子x+2, 如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E, 图② 第6页/共10页 3 DE=-2 2 2 2 m+2 3 3 2=号m+号m+4. 3-2, 2m2mS。cw=3 m2+2 m+4 2 3 =-m2+m+6 SABO =2SAcOn .-m2+m+6=2m. 解得m=2(负数舍去)， 子--2-2含2-2=2 3 3 .D(2,-2): 23.综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=√2， 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以 DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为S,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系 A S个 18 F D 6 2 B P 4 图1 图2 (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当1=1时，S= ②S关于t的函数解析式为」 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根 据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长， 第7页/共10页 (3)延伸探究：若存在3个时刻4,2,42(4<L2<L3)对应的正方形DPEF的面积均相等。 ①4+L2=_ ②当l3=41,时，求正方形DPEF的面积. 【答案】（1)①3：②S=12+2 (2)S=2-81+18(2≤t≤8)，AB=6 34 (3)①4：2 9 【解析】 【分析】(1)①先求出CP=】,再利用勾股定理求出DP=√3，最后根据正方形面积公式求解即可：② 仿照(1)①先求出CP=I,进而求出DP2=t+2,则S=DP2=t2+2: (2)先由函数图象可得当点P运动到B点时，S=DP2=6,由此求出当1=2时，S=6,可设S关于 r的函数解析式为S=a(t-4)+2,利用待定系数法求出S=t2-8t+18,进而求出当 S=t2-8t+18=18时，求得t的值即可得答案： (3)①根据题意可得可知函数S=(【-4)+2可以看作是由函数S=1+2向右平移四个单位得到的，设 P(m,n),Q(m,n)(m2>m)是函数S=+2上的两点，则(m+4,n),(m2+4,n)是函数 S=（t-4)2+2上的两点，由此可得m,+m2=0,m1<m2<m,+4<m2+4,则m2+m+4=4,根据 题意可以看作4=m2,4=m1+4,4=m2+4,则+2=4：②由(3)①可得马=4+4，再由 乌=4，得到二号，继而得答案 【小问1详解】 解：~动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动， ∴当1=1时，点P在BC上，且CP=1, ~∠C=90°，CD=√2。 ∴.DP=VCP2+CD2=V5 S=DP2=3. 故答案为：3： 第8页/共10页 ②动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在BC匀速运动， :CP=I, '∠C=90°，CD=V5, .DP2=CP2+CD=2+2, ∴S=DP2=t2+2: 【小问2详解】 解：由图2可知当点P运动到B点时，S=DP2=6, .12+2=6, 解得1=2， 当1=2时，S=6, 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)： ∴可设s关于t的函数解析式为S=a(t-4)2+2. 把(2,6)代入S=a(t-4)2+2中得：6=a(2-4)2+2. 解得a=1. s关于t的函数解析式为S=(t-4)2+2=2-81+18(2≤1≤8)， 在S=t2-81+18中，当S=t2-8t+18=18时，解得t=8或t=0, ∴.AB=8-2=6: 【小问3详解】 解：①：点P在BC上运动时，S=2+2,点P在AB上运动时S=(t-4)2+2. ∴可知函数S=(（t-4)2+2可以看作是由函数S=2+2向右平移四个单位得到的。 设P(m,n),2(m2n)(m2>m)是函数S=2+2上的两点，则(m,+4,n,（m+4,n)是函数 S=(t-4)2+2上的两点， ∴.m1+m2=0,m1<m2<m+4<m2+4, .m2+1+4=4, ,存在3个时刻4,2,4，（h<L2<43)对应的正方形DPEF的面积均相等. 第9页/共10页 ∴.可以看作4=m2,马=m1+4,t,=m2+4. .4+4=4, 故答案为：4： ②由(3)①可得马=4+4. 4=4%, ∴.4t=t+4, 4 0 B 【点晴】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式。勾股定理等等，正确理解 题意利用数形结合的思想求解是解题的关键。 第10页/共10页