3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 直线与椭圆的综合应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质及直线与椭圆的综合应用，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析导入，课中探究弦长问题、最值范围问题，构建从基础公式到综合应用的学习支架，帮助学生衔接椭圆定义与代数方法。 其亮点在于以问题链驱动教学，通过例1弦长公式推导、例2面积最值函数转化等实例，培养数学思维与推理能力，用规范的数学语言（如韦达定理应用、判别式分析）表达解题过程。素养小结提炼方法，助力学生提升解题技能，教师可高效开展分层教学。

3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 1 第3课时 直线与椭圆的综合应用 2 探究点一 弦长问题 探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆相交弦长 相关问题. 2.能灵活运用椭圆的定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. 4 知识点 弦长问题 求直线被椭圆截得的弦长的两种方法: （1）求出两交点坐标,用两点间的距离公式求解; （2）用 求解，其中直线 与椭圆的交点为,,为直线 的斜率. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( ) √ [解析] 由椭圆的对称性可知，若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知直线与椭圆交于， 两点，设， ，则 .( ) √ [解析] . 课 前 预 习 7 探究点一 弦长问题 例1 [2026·河北强基联盟高二期中] 已知椭圆 的方程为 ，上顶点为，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； 解：由题意知，且，结合，可得 , ，因此椭圆的方程为 . 课 中 探 究 8 例1 [2026·河北强基联盟高二期中] 已知椭圆 的方程为 ，上顶点为，离心率为 . （2）若斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于 ， 两点，求 的长. 解：椭圆的左焦点的坐标为，则直线的方程为 ，设，，不妨令 ，由可得，解得， ， 所以 . 课 中 探 究 9 变式 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于， 两点，若，求直线 的方程. 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，此时不妨令,，则 ，不符合题意，所以直线 的斜率存在. 设直线的方程为，, ，将直线的方程代入椭圆的方程 中，可得，即 ，不妨得, ， 课 中 探 究 10 所以 ， 两边同时平方得 ，整理得，即 ，所以，解得 ， 所以直线的方程为或 ，即或 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 直线与椭圆相交弦长的有关问题 （1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出两端点的坐标，再用 两点间的距离公式求弦长. （2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长. （3）设直线方程时，要注意斜率不存在的情况. 课 中 探 究 12 探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题 例2 [2026·贵州华师一附中高二期中] 在平面直角坐标系 中，椭 圆的离心率 ，且短轴长为4. （1）求椭圆 的方程； 解：由椭圆的短轴长为4，得 ，由椭圆的离心率，得 ，则， 所以椭圆的方程为 . 课 中 探 究 13 例2 [2026·贵州华师一附中高二期中] 在平面直角坐标系 中，椭 圆的离心率 ，且短轴长为4. （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求 面积的 最大值. 解：设直线的方程为，, ，由消去并整理得 ，则，解得 ， 课 中 探 究 14 由根与系数的关系得所以 ， 又原点到直线的距离 ，因此，当且仅当 ，即时取等号，所以 面积的最大值为4. 课 中 探 究 15 变式 已知椭圆，是否存在实数 ，使椭圆 上存在 不同两点，关于直线对称？若存在，求 的取值 范围；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数 ，使椭圆上存在不同两点， 关于直线 对称，设直线的方程为，， ，由消去得 ，则，解得 ， 课 中 探 究 16 由根与系数的关系得 ， ， ， ， 存在实数 ，使椭圆上存在不同两点， 关于直线对称，且 的取值范围是 . 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）解决椭圆<m></m>中的范围问题常用的关系有： <m></m>，<m></m>；②离心率<m></m>满足<m></m>； ③若一元二次方程有解，则判别式<m></m>. 课 中 探 究 18 （2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理； ②利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解； ③利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理， 此时，应注意椭圆中， 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次 函数的最值问题来求解. 课 中 探 究 19 课后习题 20 1.过椭圆 的焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 ，两点，则 等于( ) A.4 B. C.1 D. [解析] 由椭圆，可得,，则 ，不妨取直线的方程为. 由解得 ，则 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 2.直线被椭圆 截得的线段长为( ) A. B. C. D. [解析] 由解得或 所以直线 交椭圆于点， ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 3.[2026·河南新乡高二期中]已知椭圆 的离心率 为，短轴为，是椭圆上一点（不与点，重合），则 面积的最大值为( ) A.40 B.12 C.10 D.20 √ [解析] 在椭圆中，可得 ，又离心率，所以，所以 ，所以，则. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 由题意可知， ，所以的面积，当且仅当点 为长轴端点时等号成立，所以 面积的最大值为20. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知椭圆的方程为，点是椭圆的下顶点，点 是椭 圆上任意一点，则 的最大值是( ) A.2 B.4 C. D. [解析] 因为椭圆的方程为，所以. 设 ，则，故，且 ， 所以 ，易知当时，取得最大值 ，故 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 5.已知直线交椭圆于,两点,且点在点 的左 侧,若,则 的值为( ) A.16 B.12 C. D.3 [解析] 方法一:因为椭圆的一个顶点为点 ,直线 过点,所以点的坐标为,则 ,解得,所以或（舍去）. 把点 的坐标代入椭圆方程,得,解得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 方法二:由得,又 ，所以, , 又 ,所以，即,解得 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选题）已知过点的直线与椭圆交于, 两点， 则 的值可能是( ) A.1 B. C. D. √ √ √ [解析] 由，得点在椭圆内. 若直线 的斜率存在，设直线的方程为 ，与椭圆方程联立，整理得 ， 所以, ，则 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 若直线的斜率不存在，则为长轴长，即 . 综上，的取值范围是.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 7.直线被椭圆 截得的弦长为_____. [解析] 由消去并化简得，则 ，设直线与椭圆的交点为，，则 ， ， 弦长 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 8.已知椭圆的离心率为，， 分别为椭 圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆 交于不 同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形 的面积为6，则 椭圆 的方程为_ __________. [解析] 设椭圆的半焦距为，由椭圆 的离心率为，可得. 因为当直线垂直于轴时，四边形 的面积为6，所以，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 由可得故椭圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 9.（13分）[2026·哈尔滨三中高二月考] 已知椭圆 的右焦点为，且长轴长为 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：因为椭圆的长轴长为，即，所以 ， 又因为椭圆的右焦点为 ，即，所以 ，所以椭圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 9.（13分）[2026·哈尔滨三中高二月考] 已知椭圆 的右焦点为，且长轴长为 . （2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为 的直线，直线 与椭 圆相交于，两点，求线段 的长. 解：由题意可得，直线的方程为 ，由得 ，设，，则， ， 故 ，所以线段的长为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 10.已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则 的最大值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设直线的方程为，， ，由得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 由，得，则所以 ，当且仅当时 取得最大值.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 11.已知椭圆的左、右焦点分别是, ，直线 与交于,两点，若的面积是 的面积的2倍，则 ( ) A. B. C. D.或 √ [解析] 由消去得 , 因为直线与交于, 两点，所以,解得,即. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 设 到直线的距离为，到直线的距离为，则由 的面积是的面积的2倍，得,即 ， 又，，所以，解得或 （舍去），故 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 12.（多选题）直线，与椭圆 共有四个交点，它们按逆时针方向排列依次为,,, ，则 ( ) A. B.当时，四边形 为正方形 C.四边形面积的最大值为 D.若四边形为菱形，则 √ √ √ [解析] 对于A选项，易知，由椭圆的对称性知四边形 是平行四边形，设，，联立与 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 消去得 ，则，解得 ，A正确. 对于B选项，由根与系数的关系得， ，因为 ，平行四边形的高即为两平行线之间的距离，所以当 时，，，故 ，B错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C选项，四边形 的面积 ，设，，则，当且仅当 ，即时，等号成立，C正确. 对于D选项，若四边形 是菱形，则 ，即 ，故，化简得 ，解得，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知,分别为椭圆的左、右顶点，点 为 椭圆上异于,的任意一点，直线,的斜率分别为, ，若椭圆 的离心率为，则 ____. [解析] 由题意可得,，设，,则由 在椭圆上可得， . 椭圆的离心率为，，即，故 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 14.（15分）[2026·石家庄二中高二期中] 已知椭圆 的离心率为 . （1）求 的方程； 解：依题意得解得 ，故的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.（15分）[2026·石家庄二中高二期中] 已知椭圆 的离心率为 . （2）直线与交于，两点，若，求 的值. 解：由消去可得 ，显然，设， ，则， ， 于是 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 整理得，解得（舍）或 ，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.（多选题）已知椭圆，过原点的直线 交椭 圆于,两点，过点向轴作垂线，垂足为，连接 并延长，交 椭圆于另一点，直线与的斜率分别记为, ，则下列结论 正确的有( ) A. B. C. D.若，则 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 设,,,，则 , . 对于A， ，不为定值，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C， ，C正确；对于D， 当时，由解得，不妨取 ，由选项C得，则直线的方程为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 由 消去得 ，则，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知椭圆的中心为坐标原点 ， 短轴长为2，且左焦点到直线的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：由椭圆的短轴长为，得 ，又椭圆的左焦点到直线的距离为 ，，解得 ， 又，， ， 椭圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 16.（15分）已知椭圆的中心为坐标原点 ， 短轴长为2，且左焦点到直线的距离为 . （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆 于，两点，若，求 面积的最大值. 解：方法一：依题意，直线 的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， ，， 由消去 并整理得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 由 ，得，， ， ，，则， ，代入可得 ，， 的面积 ， ，当且仅当 时取等号， 面积的最大值为1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 方法二：依题意，直线 的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，则 ， 设，，由消去 并整理得 ，， . ，， ，得， ，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 可得 ， 又 ， 设原点到直线的距离为，则 ，的面积 ，当且仅当 时取等号， 面积的最大值为1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $