重庆市巴蜀中学校2027届高三上学期10月高考适应性考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知a,beR,则“a2=b2”是“log2la|=log2lb|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.曲线y=f(x)在点(1，(1))处的切线方程为y=x,f(x)的导函数为f'(x),则f(1)f'(1)= A.0 B.1 C.2 D.-2 3.已知向量a=(2,1),=(3,2),c=(6,),满足(3d-d)∥6，则实数A的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.有11个周末听讲座的名额要随机分配给A,B,C,D四个班级，每个班至少分一个，则不同的分 配方法有 A.50种 B.120种 C.210种 D.310种 5.若eoe2a=in(m-a,则tam任+d cosa+sina A.3 B.-3a 6已知F,52分别为椭圆C:二+1(@>b>0)的左、右焦点，MN为圆P:(x-1)'+y=4的一条 直径，点P为C上一点且满足Pi+P1=9,|PR,1=2,则该椭圆C的离心率为 A名 D. 4 7.如图1所示，“六芒星”是以中心为0的正三角形AE1各边的两个三分点为顶 点再向外作正三角形而形成的，点P为该“六芒星”边上的动点，且AE=6, 则c.O的取值范围为 A.[-12,-6] B.[-12,3] C.[-18,6] D.[-12,0] 口翻■口口园翻圆圆口口 r21火x≠1) 8.设f八x)= 若关于x的方程f2(x)+m(x)+n=0(m,neR)有五个不同的实数解x、 3(x=1) 2、x3、x4、x5,则m的取值范围是 A.（-6,-4) B.（-∞，-4) C.(-∞，-6) D.(-∞，-6)U(-6,-4) 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知1,2为复数，则下列说法中正确的有 A.1好1=1a112 B.若z1+z2=0,则|a1|=|a2 C.若1x1-1|=1,则|名1|≤2 D.若|1+2|=1-，则=0 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c0其中b=1,c=32,且4(ccosA-+acosC)=a,则 A.sinA sinB sinC=4:1:3.2 2.29 C.tanA'tanB sinC D.△ABC的面积大于2 11.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x+3)-g(-x)=2, f'(x-1)=g(x),且f(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是 A.f(2)=0 B.函数f'(x)的图象关于x=1对称 C.f(x-1)=g(x)+2 D.kg(k)=0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知正项等比数别a满是24，，成等差数列，公 13.函数x)=max+)(o<0)在0，引上的值域为[-1，引，则。的取值范围为 14.已知定义在R上的函数f八x)的导数为f'(x),且满足f'(x)+f(x)=2(x2+x-3)e,f(0)=-3,则 f代x)的解析式为；若关于x的不等式f(x)<x在(0，+∞)内仅有一个整数解，则实数k 的取值范围为 ·（第一空2分，第二空3分) 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐某市为了了解市民对户外运动的喜欢情 况是否存在性别差异，随机抽取了该市200名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 70 30 100 女性 80 20 100 合计 150 50 200 (1)试根据α=0.01的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取10名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量X, 求X的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个 周末仍选择爬山的概率为了，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为 .已知小 方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为600 ,263 求他该月份第二个周末选择爬山的概率 n(ad-bc)2 附：X=(a+b)(cd(ate)(b+d,n=a+b+cd 临界值表： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分)》 如图2，几何体ABCD-B,C,D,是底面为菱形的直四棱柱ABCD-A,B,C,D,截去三棱锥A1-AB,D,后 剩余的部分，∠BMD=号，MB=BB, (1)求证：AD,∥平面BC,D: (2)设E是BD的中点，求直线B,E与平面BCD所成角的正弦值 图2 17.(本小题满分15分) 已知函数f八x)=mx+xlnx(meR) (1)当m=1时，求函数f(x)的极值： (2)若f(x)>(2m-1)x-m对任意x>1恒成立，求整数m的最大值. 18.（本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A+cos2B+2sinC=2. (1)证明：c2≤a2+b2； (2)若cosAcosB:>0,且△ABC的面积等于4. (1)求△ABC内切圆半径r的取值范围； (i)当△ABC内切圆半径r最大时，若点D,E,F分别是边AB,BC和AC上的动点，且△DEF 为等边三角形，求△DEF边长的最小值 19.(本小题满分17分) 已知平面上的动点P(,%)到直线4：x=2y和2：x=-马的距离之积为定值等，且2%>. (1)求动点P的轨迹E的方程； (②)A,B,(4,在月，的左边)为E上的相异的两点，且M(?,)为线段4品，的中点，过A, B1分别作，2的平行线A,M1,BM1交于点M1,过M作直线A,B1的平行线，交E于A2,B2 (A2在B2的左边)，再过A2,B2分别作l1,2的平行线AM2,B2M2交于点M2,…,一直如此 操作下去可得到一点列M1,M2,…,Mn(n≥3，neN). (1)证明：M平分线段A+B+(1≤k≤n); MM (i)试探究A,B1≤≤n-1,keN~)是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说 明理由.口■■口口■■■■口口 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A A C D 二、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC AC ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 [-4,-2] fw=6-0eke（2e,] 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：（1)假设H:该市市民喜欢户外运动与性别无关联，…（1分) X=200X(70×20-80×302_8=2.67<6635,…（3分) 100×100×150×50 根据小概率值=0.01的独立性检验，没有充分的理由认为H不成立，即认为该市市民 喜欢户外运动与性别无关联.…(5分) (2)用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率卫= 1503 2004’ …(6分) 抽取10名市民中喜欢室外运动的人数X服从二项分布X~B10, 4 …(7分) 由二项分布期望公式得：B(x)=柳=10×3_15 ……(8分) 42 数学参考答案·第1页（共7页) 口■■口口■■■■口口 由二项分布方差公式得：D(X)=p1-p)=10× …(9分) (3)设A=“小方第i个周末选择爬山”i=2,3), 则PAA)-3PnA)手Pr4团-P④不- 4444)4④r④)-4》品r4: 3 …(11分) P4)=34)=208 420 600 解得P4)=17, 30 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为 17 …(13分) 30 16.(本小题满分15分) (1)证明：在直四棱柱ABCD-AB,CD中，CD∥C1D且CD=C1D. 因为四边形ABCD为菱形，则AB∥CD且AB=CD,.AB∥CD且AB=CD, 所以四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. 又BC1C平面BCD,ADZ平面BCD,AD∥平面BCD.…(6分) (2)解：由四边形ABCD为菱形，可得ED⊥EC,取BD的中点F,连接EF, ABCD-AB,C,D,为直棱柱，则EF⊥平面ABCD 设AB=BB,=2,…(7分) 则以E为原点，分别以EC,ED,EF为x,y,z轴建立如图1所示的 空间直角坐标系， E(0,0,0),A(-V30,0)D0,1,0),B10,-1,2),D,0,1,2, …(9分) 图 则BE=(0,1,-2),BD=(0,2,0),BC=(5,1,2). 设平面BCD的法向量为m=(,yz) 数学参考答案·第2页（共7页) 口■■口口■■■■口口 则 m·BD=2y=0, 令x=2,得=(2,0，-V3).…（11分) m·BC1=V3xty+2z0=0, 设直线B,E与平面BC1D所成角为O, 则sim6=1BE.m。2V3 2105 |B,Ellml5x√万35， ………(14分) ·直线B,B与平面BCD所成角的正弦值为2105 …(15分) 35 17.(本小题满分15分) 解：(1)函数f(x)的的定义域为(0，+o),f"(x)=hx+2,x∈(0，e),f"(x)<0, x∈(e2,+o),f"(x)>0,即函数f()在(0，e)上单调递减，在(e2,+o)上单调递增， 所以∫(x)的极小值是f(e2)=-e2,无极大值.…（5分) (2)因为f()>(2-1)x-m对任意x>1恒成立，即x+xlnx>(x-1)对任意的x>1恒 成立，即m<X+xl血x对任意x>1恒成立.…(6分) x-1 令g()=X+x血x x-1 则g四-2.令=-h-2>D. 则成)1 >0,…(8分) 于是得函数h(x)在(1，+o)上单调递增，而h(3)=1-n3<0,h(4)=2-2ln2>0, 方程h(x)=0在(1，+∞)上存在唯一实根∈(3,4)，并满足1n=x。-2.…(10分) 当1<x<x时，h(x)<0,即8(x)<0;当x>时，h(x)>0,即g'(x)>0, 从而得函数g)=+x血x在a,)上单调递减，在(，+四)上单调递 x-1 增，…（12分） 即有g6m=g)=6+-0中-2到-66,9，…14分) 0-1 x-1 则<[g(x)]m=∈(3,4)，所以整数m的最大值是3.…（15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：，cos2A+cos2B+2sinC=2,.1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2, 数学参考答案·第3页（共7页） 口■■口口■■■■口口 即sinC=sin2A+sin2B. …(2分)》 C∈(0，，.0<simC1, .sinC≤sinC=simA+sinB.…（3分) 由正弦定理知sinA= a sin B= -sin C= 2R 2R (其中R为△ABC的外接圆半径)， 2R C≤d+b2.…(4分) (2)(i)解：由余弦定理结合(1)有cosC= d+b-c20. 2ab 又Ce(0,),∴C∈0， ……(5分) 当ce习时.A+B> 又cos Acos B>0,A,B∈(0，T),且A+B<兀， 0引 -B>0. >A72 又y=sinx在0， 上单调递增，.sinA>sin IB=cosB>0, 2 ∴simA>cos2B,∴.simA+sin2B>cos2B+sin2B=1, 即sinC=sinA+sinB>l,矛盾， 故C= ,满足sinC=sin2A+sin2B,所以△ABC为直角三角形.…(8分) 2 1 由△1Bc的面积等于S=2b=2a+b+cr=4宁b=8,且c=匠+B， P r= 8 a+b+c a+b+y(a+b)2-16 令t=a+b,则a+b≥2Wab=4W2(当且仅当a=b=2V2时取等号)， 8 即t≥4√2，.r= t+VE2-16 :y=t+VP-16在t∈[4W2,+∞)上单调递增且函数值恒正， .T= t+P-16在te[4W2,+)上单调递减， 8 所以，当t=4V2时，mx=2V2-2:当t→+∞时，”→0，故r∈(0,2√5-2] …(11分) 数学参考答案·第4页（共7页) 口■■口口■■■■口口 (ii)解：由(i)知：当a=b=2W2,即A=B=亚时， 4 r最大 如图2，设等边△DEF边长为t,∠EFC=日，B∈0， π） 21 在Rt△EFC中，∠C=),EC=tsin0,FC=tcos 图2 ∠BC=亚-6」 2 因为∠DE-骨所以∠D5B=-∠PBc-∠D5F=(径号日 在△DBB中，∠B=T,∠BDE=I-∠B-∠DBB=U- 4 由正弦定理 DE BE sinB sin∠BDE 因为BE+EC=BC=2√2 即2amg0j+m0=-25, 整理得：t= 2W5 2√2(5-1)2(3-1) sin6+√2si (12 7 sinθ+cos8 所以0=匹时，t。=25-2, 即△DEF边长的最小值为fmn=23-2.… …（17分) 19.(本小题满分17分) (1)解：由题知： 1x-2%1.x+2yg1-4 5 505即6-4坊上4 又21%0以，.46-x=4, 故P点的轨迹B的方程为y-=1 …(4分) 4 (2)（1)证明：如图3，·A,B均在E上， 6 14 12 10 8 a-4 6 两式相减得发。1 4-4 0Z5 ☒5101201 -6 数学参考答案·第5页（共7页） -8 -10 口■■口口■■■■口口 肌y4-yBy4ty=→kB,4a=① 4-g4+x84 88) 又Mo33) 图3 为线段AB,的中点， 16 +罗%+海g和寻 16 …（6分) 设直线AB,的方程为x=4y+.I≤k≤)， △=642-48(m2+4)>0 [x=4y+l% 则 ￡-1→12y+8y+m+4=0,·+a.=- nt 3 4 %+4 yAyB 12 …(7分) 直线AM的方程为x-x4=2y-y4). 又x4=4y4+k,即x=2y+2y4+; 同理直线BM的方程为x=-2y+6yB:+mx, [x=2y+2y4+k 设M(:,),则联立两直线方程 x=-2y+6VB,+mg Xx=3vB+y+m 解得 y=- 3VB -yA ……(8分) xk=3y8:+yA+,= 3yB-yA 又 3y8:-y4 2,即xk=, …（10分) ye= 3 即M在直线y=x上. 1 设线段4BH的中点为N,同①推导可得km·kou=4 又名子点o-1.即NH也在直线=上 又M和N都在直线AHBH上，M和N重合， 即M平分线段AHB+1… …(12分) )解：4是定值该定值为，③4 理由如下： 17 数学参考答案·第6页（共7页） 口■■口口■■■■口口 设M0,yx),则直线ABH方程为x=4y-3yk,即（1)中H=-3yk yr= yBm+y 根据(i)可得 2 …(13分) yk+= 3yBM-yAw 2 又|M,MHl=V21g1-y.l=V 2 2 …(15分) B=+4A=71m 故MMl=2-V34 …（17分） A%+HB+l1717 数学参考答案·第7页（共7页)