精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高二上学期第4次阶段练习（1月月考）数学试题

江西省上高二中2027届高二第4次阶段练习数学卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间一组基底，则也是空间的一组基底 6. 某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（ ） A 0.3 B. C. D. 0.4 7. 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 8. 如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，以点P为圆心，为半径的圆交y轴于A，B两点．若的最大值为，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若三点不共线，平面外任一点O，有，则四点共面 B. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 10. 设抛物线C：焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ） A. 如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B. 主持人打开3号门的概率为 C. 在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D. 在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为____________. 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了六张连号且在同一排电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______.用数字作答. 14. 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 16. 已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求； （2）求的展开式中的系数； （3）求． 17. 不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． （1）求取出的2个小球上的数字不同的概率； （2）记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 18. 如图，已知在四棱柱中，垂直平面，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面为梯形，，，且异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上高二中2027届高二第4次阶段练习数学卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 4. 圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆与圆的方程相减可得圆与圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，由弦长公式求得弦长． 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由，得到钝角或平角判断；对于B，由与是否共线判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，假设三个向量共面，由是否成立判断. 【详解】对于A，若，则钝角或平角，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故B错误； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：D 6. 某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（ ） A. 0.3 B. C. D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付，再根据概率的加法公式求出，最后利用条件概率的概率公式. 【详解】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付， 则，，， 故， 则， 故从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是. 故选：B. 7. 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理和组合数计算. 【详解】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种， 再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种， 剩下的1名志愿者参加审计项目， 所以共有种分配方案. 故选：A 8. 如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，以点P为圆心，为半径的圆交y轴于A，B两点．若的最大值为，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用设，利用勾股定理求出，其中，将此看成关于的二次函数，分成当对称轴在区间左侧，对称轴在区间上，对称轴在区间右侧三种情况进行分类讨论进行求解即可. 【详解】设，则， ∵，∴， 由几何关系可知，， ∵的最大值为，∴的最大值为． 令，此函数为关于的二次函数，且函数图象开口向下， 则其最大值可能在区间端点处或对称轴处取得． ①若当在对称轴处取得最大值时，即时y取得最大值， 即，则，解得，此时， ∵，∴应舍去； ②若当时y取得最大值，即， 整理得，解得：或， ∵，∴和均舍去； ③若当时y取得最大值为，即， 整理得，解得：或（舍去）， 综上所述可知. 故选：． 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若三点不共线，平面外任一点O，有，则四点共面 B. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间四点共面性质判断A，利用法向量不能为零向量判断B，利用向量积小于零与向量夹是钝角不是充要关系判断C，利用线向量与法向量可求线面角来判断D. 【详解】因为，满足，所以四点共面，故A正确； 因为，所以当时，就不可能成为平面的法向量，故B错误； 由，当时，， 假设，此时， 所以当时，，此时不为钝角，故C错误； 若，则l与所成角为，故D正确的. 故选：AD 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 11. 1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ） A. 如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B. 主持人打开3号门的概率为 C. 在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D. 在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【解析】 【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和条件概率公式对选项进行分析即可. 【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门， 对于A，游戏参与者初次选择了1号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后， 因此事件发生的概率均为，正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，， 豪车3号门里，主持人只能打开2号门，， 由全概率公式，正确； 对于CD，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为： ， 因此选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则平面与平面所成角的余弦值． 故答案为：． 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______.用数字作答. 【答案】144 【解析】 【分析】应用分步计数，先将丁、戊、戌排成一排，有4个空，再把乙和丙全排看作一个人插入，最后将甲插入中间3个空，即可得. 【详解】先将丁、戊、戌排成一排有种，队列中有4个空， 再把乙和丙全排看作一个人插到其中一个空中有种， 最后把甲插入中间3个空中有种， 所以共有种. 故答案为：144 14. 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程 （2）由直线与圆相交弦长公式计算 【小问1详解】 ∵直线l：3x－4y＝0，直线m与l垂直， ∴直线m的斜率为 ∴直线m的方程为，即 【小问2详解】 圆x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径r＝2， 圆心O到直线的距离 弦长 16. 已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求； （2）求的展开式中的系数； （3）求． 【答案】（1） （2）-20 （3） 【解析】 【分析】（1）基于二项式展开的基本性质，即展开式中所有二项式系数之和为2的n次幂，通过建立指数方程求解未知指数n. （2）运用二项展开式的通项公式，将目标项的次数与通项中的指数对应，确定特定项的位置并计算其系数. （3）通过赋值法构造代数等式，先利用特殊值确定常数项，再选取合适的变量代入值将所求表达式与原展开式联系起来，从而整体求出系数和的值. 【小问1详解】 因为展开式中各项的二项式系数之和为64， 所以，解得. 【小问2详解】 的展开式的通项， 令，得， 所以展开式中的系数为． 【小问3详解】 令，得， 令，得， 则． 17. 不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． （1）求取出2个小球上的数字不同的概率； （2）记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【小问1详解】 从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有  种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； 【小问2详解】 随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为： 18. 如图，已知在四棱柱中，垂直平面，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面为梯形，，，且异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取  的中点 ，连接 ，，利用面面平行判定定理证明平面 平面，然后利用面面平行性质可得答案； （2）建系，利用线面角的空间向量的计算公式可得答案. 【小问1详解】 取  的中点 ，连接 ，， 在  中，， 分别是 ， 的中点， 所以 ， 又 平面，平面， 所以 平面； 在四棱柱  中，，， 所以四边形  是平行四边形， 因此，， 又  是  的中点， 是  的中点， 所以 ，且 ， 所以四边形  是平行四边形， 所以 ， 因为 平面，平面， 所以  平面， 又 ，且 ，平面， 所以平面 平面， 又平面， 所以  平面. 【小问2详解】 由垂直平面，可得，又由小问1知， 由条件异面直线与所成角为，知， 又由小问1知，可得：， 即两两垂直， 故以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由知：各点坐标分别为：，． 则， 设平面  的法向量为 ， 由 ，， 得, 取 ，则 ，，故 ， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【小问1详解】 由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 【小问2详解】 由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 【小问3详解】 由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ， 为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $