精品解析：江西省南昌市第十九中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

南昌十九中2026-2027学年上学期10月考试高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 2. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 3. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 6. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 7. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 8. 一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由圆与圆相切的性质以及两角差的正弦公式求解，再由可表示为的形式即可求解. 【详解】如图所示，设半径为的圆的圆心为，在12个小圆中任取两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为，连接，，，由圆与圆相切可得， 所以，，， 所以， 所以解得，所以. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 对于直线，．以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】本题结合两直线平行、垂直的充要条件，直线过定点的判断，以及点到直线距离的最值分析，逐一判断各选项正误. 【详解】选项A：若，则满足，即，解得或. 时两直线为、，平行； 时两直线为、，也平行， 故的充要条件是或，A错误； 选项B：当时，的斜率，的斜率，则，故，B正确； 选项C：将整理为，令，得定点为，代入到得（任意时不恒成立），故不经过，C错误； 选项D：过定点，当时，点到的距离最大，最大值为，D正确. 10. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确； 选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误； 选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将直线整理为斜截式方程求出其斜率和倾斜角，结合两直线夹角，得到所求直线的倾斜角，进而得到斜率，再根据直线过定点，即可求出直线的方程. 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 13. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 14. 18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系求出. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 因圆与圆有且仅有一个公共点， 则或， 即或（无解），得， 故的值为. 故答案为： 四、解答题（本题共6大题，共77分） 15. 已知直线经过点. （1）若直线到原点的距离为1，求直线的方程； （2）若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）或 （2）4， 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果； （2）设出直线方程，令，得到，令，得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得，此时，直线为 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号，此时直线方程为. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆方程； （2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】（1） （2）相交 【解析】 【分析】（1）利用弦的中垂线过圆心，通过联立方程组解得圆心坐标，由圆上的点到圆心距离解得半径，可求圆方程； （2）利用圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系. 【小问1详解】 已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心， 又圆心在直线上，由，解得，即圆心， 圆的半径. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆的方程为，则圆心，半径. 圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 17. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【小问1详解】 由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为． 【小问2详解】 由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 18. 已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. （1）若直线的斜率为，求的长度； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （3）设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值. （3）不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 【解析】 【分析】（1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. 【小问1详解】 由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】（1）（坐标原点除外） （2）①； ②证明：由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的方程. （2）①根据弦长公式求得，从而求得四边形面积的表达式，进而求得面积的最大值.②利用根与系数关系，由的坐标求得直线的方程，进而求得直线所过定点. 【小问1详解】 圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为. ②略 【点睛】思路点睛：1.利用切线长比求轨迹：通过已知点到两个圆的切线长之比，结合切线长公式，利用平方化简得到点的轨迹方程，这一步的推导是解决轨迹问题的关键. 2.结合根与系数关系证明定点性质：通过直线与圆的交点，结合根与系数关系，推导出直线方程，从而证明直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2026-2027学年上学期10月考试高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 对于直线，．以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 13. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 14. 18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 四、解答题（本题共6大题，共77分） 15. 已知直线经过点. （1）若直线到原点的距离为1，求直线的方程； （2）若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆方程； （2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 17. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 18. 已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. （1）若直线的斜率为，求的长度； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （3）设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 19. 已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $