专题03 直线与圆的位置关系（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级下册

专题03 直线与圆的位置关系 题型一 直线与圆的位置关系 题型二 切线的性质和判定 题型三 切线长定理 题型一：直线与圆的位置关系 1.已知的直径为10，直线l与相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2.圆的半径是6.5，如果圆心与直线的距离是4.5，那么直线和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 3.在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相交 4.如图，已知中，，．D、E分别是边、上的点，，且．如果经过点A，且与外切，那么与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 5.在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 6.如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 7.如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（　　） A．r＞ B． ＜r≤4 C． ＜r≤4 D． ＜r≤ 9.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2 10.如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11.已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为　 　cm． 题型二：切线的性质和判定 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，连结BD，若∠B=32°，则∠C的大小为 （　　） A．32° B．64° C．26° D．36° 2.如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（　　） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 3.如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C． D． 4.如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5.如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 6.如图，AB为的直径，AC平分交于点C，，垂足为点D．求证：CD是的切线． 7.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使CD=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：AB=AC． （2）求证：DE为⊙O的切线． 8.如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接． ①求的度数； ②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度． 题型三：切线长定理 1.如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 2.如图，已知和分别是的切线，A、B是切点，连接，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 4.如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． 平分 C． D． 5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．18-6π D．18-3π 6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 　 　cm． 7.将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是　 　. 8.如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与三边相切，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率　 　（取）. 9.如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为　 　． 10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为 　 　． 11.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP． 求证：OP平分∠AOB． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆的位置关系 题型一 直线与圆的位置关系 题型二 切线的性质和判定 题型三 切线长定理 题型一：直线与圆的位置关系 1.已知的直径为10，直线l与相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查直线和圆的位置关系。当圆心到直线的距离d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；d＜r时，直线与圆相交；据此可得出答案。 【详解】∵的直径为10 ∴的半径是5 ∵直线l与相交 ∴圆心O到直线l的距离0≤d＜5，则可能是4 故答案为：A 2.圆的半径是6.5，如果圆心与直线的距离是4.5，那么直线和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。 【详解】解：∵圆的半径为6.5， ∵圆心到直线的距离为4.5， ∴圆心到直线的距离＜圆的半径， ∴直线与圆相交， 故答案为：A． 3.在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相交 【答案】B 【分析】根据点坐标可得点到坐标轴的距离，再结合点到坐标轴的距离与半径的大小比较即可得到答案。 【详解】解：∵点到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于2 ∴以点为圆心，3为半径的圆与x轴相切，与y轴相交 故答案为：B 4.如图，已知中，，．D、E分别是边、上的点，，且．如果经过点A，且与外切，那么与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，则BD=2x，BC=3x，再结合，，求出BE=2AE，，利用线段的和差求出，再结合的半径为x，，即AC⊥BC，即可得到与直线相切。 【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE， 设CD=x， ∵． ∴BD=2x，BC=3x， ∵． ∴AC=4x， ∴AB=5x， ∵， ∴，． ∴BE=2AE，， ∴EF=AE=， ∴， ∴CD=DE， ∵经过点A，且与外切， ∴的半径为x， ∵，即AC⊥BC， ∴与直线相切． 故答案为：B 5.在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，． ①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时． ②当时，圆与边也只有一个公共点． 综上，或． 故答案为：D． 6.如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，结合垂径定理及勾股定理可求出，从而得出 ， ，继而得出，根据结果进行判断即可. 【详解】解：如图：设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M， 为 中点， 设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ， 在 中， 正方形 周长为 ，⊙O的周长为 ， 故答案为：A. 7.如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围. 【详解】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标． ∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0）， ∴A点的坐标为0＝ x＋ x=-3，A（-3，0）， B点的坐标为：（0， ）， ∴AB= 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1， 根据△AP1C1∽△ABO， ∴AP1=2， ∴P1的坐标为：（-1，0）， 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1， 根据△AP2C2∽△ABO， ∴AP2=2， P2的坐标为：（-5，0）， 从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个． 故答案为：A． 8.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（　　） A．r＞ B． ＜r≤4 C． ＜r≤4 D． ＜r≤ 【答案】D 【分析】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，根据等腰三角形的性质可求得AD=4，根据⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，可得EH=r，DE＜r，根据已知可证明△AHE∽△ADB，由相似三角形的性质可得 ，继而可得AE= r，DE=4﹣ r，从而可得4﹣ r＜r且 r≤4，由此即可求得答案. 【详解】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r， ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴BD=CD=3，AD平分∠BAC， ∴AD= =4， ∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交， ∴EH=r，DE＜r， ∵∠HAE=∠DAB， ∴△AHE∽△ADB， ∴ ，即 ， ∴AE= r， ∴DE=4﹣ r， ∴4﹣ r＜r且 r≤4， ∴ ＜r≤ ， 故选D． 9.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2 【答案】D 【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间． 【详解】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图． 在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b）， 当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0）， 则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形． 连接圆心O和切点C．则OC=2． 则OB= OC=2 ．即b=2 ； 同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ． 则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ． 10.如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【详解】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， 设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E， 连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G， ∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形， ∴OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE， ∴EG⊥BC， ∵∠C=90°， ∴EG∥AC， ∴∠FGE=∠A， ∵∠GFO′=∠C=90°， ∴∠O′FG∽∠BCA， ∴ ， ∴ ， ∴O′G= ， ∴EG= ， ∵GE∥AC， ∴△BGE∽△BAC， ∴ ， ∴ ， ∴BE=3， ∴OO′=HE=BC﹣CH﹣BE=8﹣1﹣3=4， ∴⊙O平移的距离为4， 故答案为：B. 11.已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为　 　cm． 【答案】3或7 【分析】分类讨论平行线的位置，就可算出 【详解】解：设圆的半径为rcm 如图一所示， r-5=2，得r=7cm， 如图二所示， r+2=5，得r=3cm， 故答案为：3或7． 题型二：切线的性质和判定 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，连结BD，若∠B=32°，则∠C的大小为 （　　） A．32° B．64° C．26° D．36° 【答案】C 【分析】利用切线的性质可得∠BAC=90°，再求出∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可. 【详解】∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线， ∴∠BAC=90°， ∵∠B=32°，OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD=32°， ∴∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°， 在Rt△ACO中，∠OAC=90°，∠AOC=64°， ∴∠C=180°-∠OAC-∠AOC=180°-90°-64°=26°， 故答案为：C. 2.如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（　　） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【答案】A 【分析】连接OQ，由题意可得∠PQO=90°，然后根据切线的判定定理进行解答. 【详解】解：如图：连接， 作以为直径的圆，两圆交于点Q， ， 又是的半径， 是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 故答案为：A. 3.如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少． 【详解】解：如图1，连接OD、BD， ， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 又∵AB=BC， ∴AD=CD， 又∵AO=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥BC， ∵CD=5，CE=4， ∴DE= ， ∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2， ∴5BD=3BC， ∴ ， ∵BD2+CD2=BC2， ∴ ， 解得BC= ， ∵AB=BC， ∴AB= ， ∴⊙O的半径是； ． 故选：D． 4.如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和等腰三角形的性质求解。由切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后用三角形外角的性质求出的度数，进而利用直角三角形的性质即可求出的度数． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5.如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 【答案】80° 【分析】先利用切线的性质及三角形的内角和求出∠B=180°-∠CAB-∠C=40°，再利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠B=80°. 【详解】∵是的切线， ∴∠CAB=90°， ∵， ∴∠B=180°-∠CAB-∠C=40°， ∴∠AOD=2∠B=80°， 故答案为：80°. 6.如图，AB为的直径，AC平分交于点C，，垂足为点D．求证：CD是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出结论。 【详解】证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∵OC=OA， ∴∠BAC=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥DC， ∵OC过圆心O， ∴CD是⊙O的切线． 7.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使CD=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：AB=AC． （2）求证：DE为⊙O的切线． 【答案】见详解 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，证明 △ADC≌△ADB， 根据全等的性质证明. （2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，结合已知 DE⊥AC， 得到DE⊥OD，从而得证. 【详解】（1）解：连接AD，如图． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即∠ADC=∠ADB=90°． 又∵AD=AD，CD= BD， ∴△ADC≌△ADB， ∴AB= AC． （2）证明：连接OD，如图． ∵OA=OB，CD= BD， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 8.如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接． ①求的度数； ②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度． 【答案】（1）见详解；（2）①；② 【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角与圆心角、等腰三角形、勾股定理等知识。 （1）同圆中，两条半径有等腰，根据OA=OD得∠A=∠ODA，由直径AB得∠ADB=∠ODA+∠ODB=90°，等量代换，可得∠ODC=90°可得结论； （2）如图所示： ① 由∠ABD=2∠A和直角三角形ABD得∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠APD； ②由PD⊥DQ得∠PDQ=90°，得∠Q=30°，则PQ=2PD，DQ=DP，则DP最长，DQ最长可得答案。 【详解】（1）证明：如图：连接OD． ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∵OD是半径， ∴直线是的切线． （2）解： ①∵，， ∴， ∴， ∴． ∵与都是所对的圆周角， ∴； ②∵，， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理可得， ∴当达到最大长度时，达到最大长度． ∵的最大长度为2， ∴的最大长度为． 题型三：切线长定理 1.如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。 【详解】解：连接OB、OP， ∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°， ∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°， ∵⊙O半径为2，即， ∴， ∴. 故答案为：C. 2.如图，已知和分别是的切线，A、B是切点，连接，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用三角形的内角和求出∠AOB=120°，最后利用四边形的内角和求出∠P=360°－90°－90°－120°=60°即可。 【详解】解：∵和分别是的切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵在等腰三角形AOB中，∠OAB=30°， ∴∠AOB=120°， 在四边形AOBP中，∠P=360°－90°－90°－120°=60°， 故答案为：A． 3.如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可得AD=AE，BE=BC，则四边形ABCD的周长为=AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD，据此计算. 【详解】解：∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC相切，切点分别为D，E，C ， ∴AD=AE，BE=BC. ∵半径为2，AB=5， ∴四边形ABCD的周长为：AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD=2×5+2×2=10+4=14. 故答案为：D. 4.如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． 平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据切线长定理证出△PAG≌△PBG，再利用全等的性质逐项判定即可。 【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G， 由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB， 又∵PG=PG， ∴△PAG≌△PBG， 从而AB⊥OP． 因此A．B．C都符合题意． 无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的． 综上可知：只有D是错误的． 故答案为：D． 5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．18-6π D．18-3π 【答案】B 【分析】连接OP，利用切线长定理可证得∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，同时可求出∠APO的度数，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，利用勾股定理 求出AP，BP的长；然后根据S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积. 【详解】解：连接OP， ∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°， ∴∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，∠APO=∠APB=30°， ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°， 在Rt△AOP中，OA=3 ∴OP=2OA=6， ∴ ∴S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB=. 故答案为：B. 6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 　 　cm． 【答案】16 【分析】根据切线长定理可得EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。 【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴PA＝PB， ∵直线EF与⊙O相切于点C， ∴EA＝EC，FC＝FB， ∴C△PEF＝PE+EF+PF ＝PE+EC+CF+PF ＝PE+EA+FB+PF ＝PA+PB ＝2PA ＝2×8 ＝16（cm） 故答案为：16． 7.将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是　 　. 【答案】 【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算. 【详解】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示： 由切线长定理知，平分， ∴， 在中，， ∴光盘的直径为， 故答案为：. 8.如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与三边相切，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率　 　（取）. 【答案】 【分析】设⊙O与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，由切线长定理可知CD=CE=r，AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，则AB=AF+BF=7-2r=5，求出r的值，然后求出⊙O的面积以及△ABC的面积，再根据几何概率公式进行计算即可. 【详解】解：设与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设的半径为. 易得△ABC是直角三角形，四边形ODCE是正方形， 由切线长定理可知，，，， ，解得. 的面积为，的面积为， 树叶恰好落入水池中的概率为. 故答案为：. 9.如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为　 　． 【答案】或 【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。 【详解】解：连接CA，CB，如图所示： 当点C位于优弧AB上时， ∵分别与相切于两点，且， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°， ∴∠ACB=62°， 当点C（C'）位于劣弧AB上时， ∠AC'B=180°-62°=118°， 综上所述，的大小为或， 故答案为：或 10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为 　 　． 【答案】30° 【分析】从已知条件入手，已知等腰三角形ABC及顶角，两底角的度数可求，根据已知两切线，利用切线长定理又得到一个等腰三角形BCD且顶角已知，可以求出两底角度数，观察图形可知，所求圆周角是两个已知角的差，整理思路即可求得。 【详解】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°， ∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°， ∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C， ∴BD＝CD， ∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°， 故答案为：30°． 11.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP． 求证：OP平分∠AOB． 【答案】见详解 【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB． 【详解】证明：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， 即OP平分∠AOB． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $