4.3直线与圆的位置关系（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.3直线与圆的位置关系 参考答案 A组 巩固过关 题型01 判断直线与圆的位置关系 1.A 2.D 3.B 4.A 题型02 根据直线与圆的位置关系求字母的值或取值范围 5.D 6.D 1.-sas 题型03 利用切线的性质求值或证明 8.B 9.D 10.B 11. 【详解】解：，PA,PB是OO的切线，A,B为切点， ∴.PA=PB,∠DBP=90°， 设PB=PA=x, AD=2,BD=4」 ∴.PD=AD+PA=2+x, 在RtAPDB中，PD2=PB2+DB2, 即(2+x}=x2+42 解得x=3, :.PB=3 12. 【答案】证明：如下图，连接OC, 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 的切线， 是半径， D CD⊙O Oc ∴.OC⊥CD,即∠OCD=90° ∴.∠OCB+∠BCD=90°， :CE⊥AB, .∠CEB=90°， .∠ECB+∠EBC=90°， .OC=OB ∴LOCB=LEBC, .∠BCD=∠ECB ∴.CB平分∠DCE 题型0M 判定一条直线是圆的切线 13. 【答案】证明：如图，连接OB, 则OB=OC, .∠OBC=∠C=27°， .∠ABC=180°-∠A-∠C=117 ∴.∠AB0=∠ABC-∠OBC=117°-27°=90°， .OB是⊙0的半径， .AB是⊙O的切线。 B D 14. 【详解】(1)解：EF与OO相切，理由如下： 2/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 如图所示，连接OE, EF⊥CD, ∴.∠EFA=90°， :AE平分∠CAB交⊙O于点E, ∴∠CAE=∠EAB, .OA=OE. ∴.∠OEA=∠OAE. ∴.∠CAE=∠OEA, ∴.OE∥CD .∠0EF=90°， OE为半径， .EF与⊙O相切： (2)解：过点O作OH⊥CD于点H, B H.. D ∴.∠OHF=∠HFE=∠FEO=90° ∴.四边形EFHO为矩形， ∴.EF=OH,OE=FH, OE=10. .FH=10 AF=x,OH=EF=2x,AH=10-x, ..AH2+OH2=OA2, .(（10-x2+(2x2=102, 解得=4，x=0(舍去)， 3/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH=6, .OH⊥AD. .AD=2AH=12 15. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B .OA=OD ∴.∠A=∠ODA. OE∥AC, ∴.∠A=∠BOE,∠ODA=∠DOE」 ∴∠DOE=∠BOE, 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE OE=OE ∴.ADOE≌ABOE(SAS)」 ∴∠ODE=∠OBE=90°，即OD⊥DF, 又：OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线： (2)解：设⊙0的半径为r,则OB=OD=r, BF=1, ∴.OF=OB+BF=r+1, 由(1)已证：∠ODE=90° 在Rt△DOF中，∠ODE=90°，DF=3 ∴0D2+DF2=0F2,即2+32=(r+1)2 解得r=4, 即⊙0的半径为4： (3)解：OA=OB,OEIIAC 4119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE OB ..CE OA ..BE=CE, 由(1)已证：△DOE≌△BOE, E .BE=DE ∴CE=DE 又DC=DE=1, ∴.CE=DE=DC=1, :∴△CDE是等边三角形， .∠C=60°， BC=CE+BE=2. :在R△ABC中，AB= =2√5 tantan30° 16. 【详解】(1)证明：如图，连接OA, D .OA=OB. ∠OAB=∠OBA, PE⊥BC, ∴.∠BEF=90° .∠EBF+∠BFE=90°， ∴.∠OAB+∠BFE=90°， ..PA=PF, .∠PAF=∠PFA, 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFE=∠PAF=∠PFA, ,∠OAB+∠PAF=90°，即OA⊥AC, .OA是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线； (2)解：如图，连接AD, B E .BD是OO的直径， .∠BAD=90°， AB 在RtABD中，CoS∠ABD= BD BE 在RtABEF中，CoS∠EBF= BR· AB BE 12 BD BF 13' :BD=AB÷2=4x13_13 13 12-3’ 1 13 六⊙0的半径为2BD= 6 17. 【答案】(1) 证明：连接OD,过O作OE⊥BC,垂足为E, E 是小圆的切线， 经过圆心O, .AC AB .OA⊥AC, :CO平分∠ACB,OE⊥BC ∴.LACO=LOCE,∠OAC=LOEC,OC=OC, 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AACO2AECO(AAS)」 ∴OE=OA, OE是小圆的半径， BC是小圆的切线： (2) 证明：“AC切小圆于点A,BC切小圆于点E, ∴.OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°， .△OAD≌△OEB ..EB=AD, .△ACO≌AECO .AC=CE, .CE+EB=BC, ∴.BC=AC+AD: (3)∠BAC=90°， AB=8cm,BC=10cm. AC=VBC2-AB2=V102-82=6, .BC=AC+AD」 .AD=BC-AC=4. 又OD2-OA2=AD2 :.圆环的面积为：S=π(0D)}-π(0A)}=42π=16x(cm 题型05 利用切线长定理求值或证明 18.D 19.B 20.A 21.70° 22. 【详解】(1)证明：：AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙0的直径， .AC⊥CD,，DE⊥CD. .AC∥DE,∠ACD=90°. .EF⊥AC, .EF∥CD. ∴.四边形CDEF是矩形； 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：AB,AC,DE是⊙0的切线， .AB=AC,BE=DE=2, 由(1)知，四边形CDEF是矩形， ..CF=DE=2,EF=CD=210. .EF⊥AC, ∴.∠AFE=90°， .AE2=AF2+EF2, .(4C+2}=(4C-2}+(21o, 解得AC=5, 故AC的长为5. B组 能力进阶 1.c 2.9 相交或相离 3. 【详解】(1)解：∠BAC=90°，∠C=30°， .AB=BC. 2 AB=4, .BC=24B=8 (2)解：①：EF是AC的垂直平分线，EF⊥AC, ∴点E在以AF为直径的圆上， ,点P是AF的中点， :⊙P即为所求； ②：AD‖BC,∠C=30°， .∠CAD=∠C=30°， 由(1)得BC=8, .∠BAC=90°， .AC=VBC2-AB2=V82-42=4V5, 点E是AC的中点， 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=)4C=25」 2 2v5 cos30° 2 1 .AP=AF=2 ③如图，连接PE, D ∠CAD=30°，PA=PE, .∠APE=180°-2×30°=120°， AP=2, 120m×24π 劣弧4E的长为180 3· (3)解：：⊙P与线段BC恰好有且只有一个公共点， ∴.分下面2种情况讨论： ①当线段BC与⊙P相切时， 如图，设切点为Q,连接PO,过点A作AH⊥BC于H, B H :BC与⊙P相切，切点为O, Pg⊥BC ..ADI BC, .Pe⊥AD,∠APg=90° :AH⊥BC, ∴四边形AH0P是矩形， .PO=AH 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..PA=PO, .'PA=AH, .∠C=30°， 4h=4C=25, .PA=2V3 ②当线段BC与OP相交，而且⊙P与线段BC恰好有且只有一个公共点时，点B一定在圆外，点C在圆内， 但不符合PA长为半径的⊙P交AC边于点E,故此情况不存在. 综上所述：PA=2√3 【详解】(1)证明：AB=AD,FB=FC, ∠B=∠D,∠B=∠BCF, .∠D=∠BCF ∴CFAD CG⊥AD, .CG⊥CF, 又：FC为⊙F的半径， ∴GC是⊙F的切线： (2)解：①CF∥AD, .△BCF∽aBDA, .= .SA=4Sr=4×15=60」 ②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形，理由如下： .CG⊥CF,∠GCD=30° .∠FCB=60°， ..FB=FC, ∴，△BCF是等边三角形， ·∠B=600, CF-BF-1AB, 2 .AB=AD 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△ABD是等边三角形，CF=4D 2 ∴∠A=60° .AF=EF, ∴，△AEF是等边三角形， .'CF=DE, 又，CF∥AD ∴四边形EFCD是平行四边形， ..CF=EF, ∴四边形EFCD是菱形. C组 思维拔高 1.D 2.5 3 【答案】(1)0,1,2,4 (2)解：连接OM,由题得OM=r,ON=2a-r,MN=a, 5 ∴.(2a-r)2+a2=r2,化简得r=二a. 4 (3)0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个 【分析】(1)当”=a时，⊙0的直径等于正方形的边长，此时会出现⊙0与正方形相离，与正方形一边 相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定⊙0与正方形的交点个数： (2)如图③，当⊙0与正方形有5个公共点时，连接OC,用a、r表示△COF的各边长，在Rt△COF中， 由勾股定理求a、r的关系： (3)结合(2)中结论，画出⊙0与正方形的大致位置关系，进而可得答案. 【详解】(1)解：根据题意，填表如下： d、a、r之间关系 公共点的个数 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d>a+r 0 d=a+r 1 a≤d<a+r 2 d<a 4 (2)略 (3)解：当a<r时，如图，O0与正方形的位置关系人致有 Aδ A AO 故⊙0与正方形的公共点可能的个数有0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个. 拓展 链接中考 1. 【详解】(1)证明：如图，连接OC,0F A 0 B 在△BOC和△FOC中， 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OC=OC,OB=OF,BC=FC. ∴.△BOC≌aFOC(SSS), ∴.∠OFC=∠OBC, :∠ABC=90°」 .∠0FC=90° .OF为半径， .CF为半圆O的切线： (2)解：如图，连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H, HO B :∠ABC=90°，AB为半圆O的直径， ∴.BC为半圆0的切线，∠AFB=90°，∠B0C+∠BC0=90°， .CF为半圆O的切线， BC=CF, .OB=OF, “0C垂直平分BK,即∠OKB=90,BK=BF, .∠OBF+∠BOC=90°， .LOBF=∠BCO F∠OaF=∠ABr,tam∠AEF=) .tanZBCO=tan∠OBF=tan∠AEF= 2， tan∠OBF=GH、1 BH2' 设GH=x,则BH=2x, ,AB=10 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0B=}4B=5. 2 .BC= OB =10 an∠BCO ∴△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC=45°， ∴.△AGH为等腰直角三角形， .AH=GH=x,AG=2x, .'AB=AH+BH=3x=10, :ts10 3’ ·AG=V2x=10W2 3 2. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠A=30°， .∠B=90°-∠A=60°， :⊙C与AB相切于点D, ∴.CD1AB,即∠CDB=90 ,∠BCD=90°-∠B=30°； (2)解：由(1)知∠ABC=60°， .∠CBT=180°-∠ABC=120°， :BE平分∠CBT, ∠BBT=<CBT=60=A+∠AEB=30P+∠AB ∴.∠AEB=30°=∠A ∴.BE=AB=2 .'∠EBP=∠ABC=60° ∴，当△BPE与△BCD相似时，分两种情况讨论： ①△BDC∽△BPE,如图： E D B 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EPB=∠BDC=90° ∴.BP=BE×cos∠EBP=2×cos60=1: ②△BDCn△BEP,如图： E D B PT .∠BEP=∠BDC=90°， .BP= BE 2 cOS∠EBP c0s600=4, 综上：当△BPE与△BCD相似时，BP的长度为1或4： (3)证明：连接CP,则CP=CG=CD, .∠5=∠CPG=∠1+∠4 ,CG的中点为M, CMCM 1 CG=CP-2 .·CD⊥AB,∠CAB=30° CD CP 1 AC-AC 2 CM CP1 ·CP=AC2 .∠MCP=∠ACP ∴.△CMP∽△CPA .∠1=∠2 .∠5=∠2+∠3， ∴.∠5=∠1+∠3 .∠5=∠1+∠4 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠1+∠3=∠1+∠4 ∴.∠3=∠4 ∴.PG平分∠APM 3. 【详解】(1)证明：如图，连接OC, Q 是半圆的切线， B .CD 0 ∴.OC⊥CD BD⊥CD, ∴.OC∥BD ∴.∠OCB=∠DBC, .OB=OC .∠OBC=∠OCB, ∴.∠OBC=∠DBC, .BC平分∠ABD; (2)解：如图，连接AC 是半圆的直径， .·AB 0 ∠ACB=90°， BD⊥CD, ∴.∠BDC=90° .∠ACB=∠CDB, 由(1)知，∠ABC=∠CBD, .△ABC∽△CBD, ABBC BC BD' 16/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n10=x 即xy' y, :y关于x的函数解析式为y= 4. 【答案】(1)证明：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° .∠CAB+∠CBA=90°， EC=BC, ∴.∠CAB=∠CBE. ·.CD∥BE ∴∠CBE=∠BCD .∠CAB=∠BCD .OC=OB .∠CBA=∠OCB ∴.∠BCD+∠OCB=∠CAB+∠CBA=90°， .∠0CD=90°， .OC⊥CD 又OC是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线： (2)证明：，∠D=∠D,∠BCD=∠CAD, .∴△BCDACAD CD BD AD CD' :CD2=AD.BD: 3)解：将CD=2V5,BD=2代入CD2=ADBD中， 得(25=24D 20=2AD 解得AD=10, .AB=AD-BD=10-2=8 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙0的直径为8， .半径0C=OB=4. ∴.OD=OB+BD=4+2=6, CD∥BE, ∴.∠ABE=∠D, :AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°」 在RtAOCD中，.∠OCD=90°， 0D6=3,simD=0C=4.2 ∴cosD=CD=25V5 OD63' 在Rt△ABE中，、∠AEB=90°，∠ABE=∠D, &BE=4B:cos/ABE=8X3=3,HE=AB·sin∠4BE=8x216 33 EC=BC, .∠EAF=∠BAF, .AF平分∠EAB, 过点B作BG∥AE,交AF的延长线于点G,如图， G D ,BG∥AE ∴.∠EAF=∠G, 又∠AFE=∠GFB, .△AEF∽AGBF, EF AE ·BFBG :∠EAF=∠BAF,∠EAF=∠G, ∠BAF=∠G, .AB=BG. EF AE ·BFAB 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 将AB=16 代入得，EF_3, AB=8 AB歇=EF, 2 BE-EF+BF-EF+3EF-5EF 2 2 EF-2BE- 28V516√5 5 315 6v5 ·E那的长为 15 19/19 分层作业 4.3直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02根据直线与圆的位置关系求字母的值或取值范围 题型03利用切线的性质求值或证明 题型04判定一条直线是圆的切线 题型05利用切线长定理求值或证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 ( 题型0 2 )根据直线与圆的位置关系求字母的值或取值范围 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． ( 题型0 3 )利用切线的性质求值或证明 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． ( 题型0 4 )判定一条直线是圆的切线 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 15．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 16．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，点在以为直径的上，边交于点．为半径上一点（不与点重合），过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； 17．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． ( 题型0 5 )利用切线长定理求值或证明 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 19．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 20．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数． 22．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    (1)__________； (2)当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； (3)当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 4．（2026·山东威海·三模）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)①若的面积为15，则的面积为__________； ②当的度数为__________时，四边形是菱形． 1．（分类讨论思想）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 2．（最值问题）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 3．（几何直观）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 2．（2026·海南·中考真题）在中，，，，与相切于点，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至，作的平分线交的延长线于点．若点在射线上运动，当与相似时，求的长度； (3)如图3，若点在上运动（点，，不共线），记线段与的交点为，的中点为，求证：平分． 3．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，点C在以为直径的上，连接，，在上取点E，使，分别连接和，交于点F．过点C作，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02根据直线与圆的位置关系求字母的值或取值范围 题型03利用切线的性质求值或证明 题型04判定一条直线是圆的切线 题型05利用切线长定理求值或证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：的半径为2，圆心到一条直线的距离为1， 与该直线相交， 这条直线可能是， 故答案为：B． 4．（2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． ( 题型0 2 )根据直线与圆的位置关系求字母的值或取值范围 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 6．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． ( 题型0 3 )利用切线的性质求值或证明 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点为， ∴，， ∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴，即， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 【答案】证明：如下图，连接， 是的切线，是半径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】根据切线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等边对等角求出，得到，即可得答案． 【详解】证明：略． ( 题型0 4 )判定一条直线是圆的切线 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 【答案】证明：如图，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】连接，由等腰三角形的性质及三角形内角和求得，从而求得的度数为，即可证明结论成立． 【详解】证明：略． 14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 15．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； (2)4 (3) 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，以及平行线性质证明和全等，利用全等的性质推出，再根据切线的判定定理分析证明即可； （2）设的半径为，进而得到，在中，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （3）利用平行线分线段成比例可推出，结合全等三角形性质推出，进而得到是等边三角形，，再根据计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， ， ， 由（1）已证：， 在中，， ，即， 解得， 即的半径为4； （3）解：， ， ， 由（1）已证：， ， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 16．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，点在以为直径的上，边交于点．为半径上一点（不与点重合），过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，先证明出，再结合切线的判定定理证明即可； （2）连接，由圆周角定理可得，再结合余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 17．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1) 证明：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； (2) 证明：切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． ( 题型0 5 )利用切线长定理求值或证明 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长． 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 19．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 20．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数． 【答案】． 【分析】连接，由切线长定理可得，则，再通过圆周角定理可得，然后求出，最后通过三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 22．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    (1)__________； (2)当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； (3)当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 【答案】(1) (2)①如图，即为所求（答案不唯一）．    ②；③ (3) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）①作的垂直平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，长为半径作，交边于点，即为所求； ②根据平行线的性质得出，利用勾股定理求出，得出，利用三角函数求出，进而求出； ③连接，根据等腰三角形的性质求出，利用弧长公式即可求出劣弧的长． （3）根据与线段恰好有且只有一个公共点得出与相切，分两种情况：①当线段与相切时，设切点为，则，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案，②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵是的垂直平分线，， ∴点在以为直径的圆上， ∵点是的中点， ∴即为所求； ②∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． ③如图，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴劣弧的长为． （3）解：∵与线段恰好有且只有一个公共点， ∴分下面2种情况讨论： ①当线段与相切时， 如图，设切点为，连接，过点作于，    ∵与相切，切点为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点，故此情况不存在． 综上所述：． 4．（2026·山东威海·三模）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)①若的面积为15，则的面积为__________； ②当的度数为__________时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明：，， ，， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； (2)①60；②． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，证出，由已知条件得出，即可得出结论； (2)①根据平行线的性质得出，得出，，即可得出结果； ②证出是等边三角形，得出，证出是等边三角形，，证出是等边三角形，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ， ∴； ②当的度数为时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 1．（分类讨论思想）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5， 故选：D． 2．（最值问题）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质和勾股定理得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是直线上的一个动点， ∴当直线时，最小，此时， ∴的最小值为． 3．（几何直观）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． 【答案】(1)0，1，2，4 (2)解：连接，由题得，，， ，化简得． (3)0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个 【分析】（1）当时，的直径等于正方形的边长，此时会出现与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定与正方形的交点个数； （2）如图③，当与正方形有5个公共点时，连接，用a、r表示的各边长，在中，由勾股定理求a、r的关系； （3）结合（2）中结论，画出与正方形的大致位置关系，进而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 4 （2）略 （3）解：当时，如图，与正方形的位置关系大致有： 故与正方形的公共点可能的个数有0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个． 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为半圆的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，交于点K，过点G作于点H，根据切线长定理可得，从而得到垂直平分， 进而得到，设，则，再证明为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点K，过点G作于点H， ∵，为半圆O的直径， ∴为半圆O的切线，，， ∵为半圆的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分，即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·海南·中考真题）在中，，，，与相切于点，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至，作的平分线交的延长线于点．若点在射线上运动，当与相似时，求的长度； (3)如图3，若点在上运动（点，，不共线），记线段与的交点为，的中点为，求证：平分． 【答案】(1) (2)1或4 (3)证明：连接，则， ∴， ∵的中点为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【分析】（1）根据圆的切线的性质可得，再由已知条件，利用互余关系求解即可； （2）先求出，，再分两种情况讨论，通过解求解即可； （3）连接，通过证明，再进行导角证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴，即 ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当与相似时，分两种情况讨论： ①，如图： ∴ ∴； ②，如图： ∴， ∴， 综上：当与相似时，的长度为1或4； （3）略 3．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】(1)证明：如图，连接， 是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的定义得到，进而得到，根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出，从而得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，再结合（1）中结论证明，根据相似三角形的对应边成比例列等式，整理后得到y关于x的函数解析式． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 即， ， 关于的函数解析式为． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，点C在以为直径的上，连接，，在上取点E，使，分别连接和，交于点F．过点C作，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ∴， ∴． 又是的半径， 是的切线； (2)证明：∵，， ， ， ∴； (3)的长为 【分析】（1）由为直径得，即；由得，结合的内错角相等，推得，由得，等量代换得，故，进而可得为切线； （2）在与中，为公共角，由第一问结论得，可得，则，即可得到； （3）将、代入，解得，故直径，，由得，在中求得、，进而得，，由等弧得平分，作构造等腰与相似，推出，最终解得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：将，代入中， 得 解得， ， ∴的直径为， ∴半径， ， ， ， 是的直径， ， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ， ， ∴平分， 过点作，交的延长线于点，如图， ， ， 又， ， ∴， ，， ， ， ∴， 将，代入得，， ∴， ， ． ∴的长为． 【点睛】本题是圆的综合证明计算题，核心技巧：①切线判定用“连半径、证垂直”，结合圆周角定理与平行线转化角度；②乘积式等式通过证相似三角形，利用对应边成比例推导；③角平分线遇平行线构造等腰三角形，结合相似分线段比例．常见错误：相似对应边比例颠倒、三角函数对应边混淆、等弧的圆周角找错． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $