专题02 圆的性质及相关定理（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级下册

专题02 圆的性质及相关定理 题型一 圆的相关概念及点与圆的位置关系 题型二 圆的对称性 题型三 垂径定理 题型四 圆周角定理 题型五 确定圆的条件 题型一：圆的相关概念及点与圆的位置关系 1.已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦.其中正确的说法是（　　）. A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 3.如图，已知及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心距离为7的点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 4.在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（　　） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 5.在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 6.如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（　　）. A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 7.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系． 8.已知：如图， 、 为 的半径， 、 分别为 、 的中点.求证： . 9.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M， （1）点M的坐标为　 　； （2）点D（5，﹣2）在⊙M 　 　（填“内”、“外”、“上”）． 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以点B为圆心，3为半径作⊙B． （1）AB的中点D，AC的中点E分别与⊙B有怎样的位置关系？ （2）要让点A和点C有且只有一个点在⊙B内，⊙B的半径应满足什么条件？ 题型二：圆的对称性 1.下列命题正确的是（　　）． A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．相等的弦所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等 2.在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 3.若和所对的圆心角，则下列命题中，正确的是（　　）. A．= B．所对的弦和所对的弦相等 C．与的长度相等 D．与的度数相等 4.如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5.下列说法： ①直径是最长的弦； ②弦是直径； ③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半径相等的两个圆是等圆； 其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（　　） A．98° B．103° C．108° D．113° 7.如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 8.如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　） A． B． C． D．a，b大小无法比较 9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是　 　． 10.如图所示，MN是的直径，是半圆的一个三等分点，是的中点，点是点关于MN的对称点，的半径为1，则的长等于　 　. 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E． （1）求的度数． （2）求证：D是AC的中点． 题型三：垂径定理 1.下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 2.如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3.一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4.如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 5.如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（　　）． A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm 7.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为(　　) A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 8.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 9.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 10.如图所示，AC是的直径，弦于点，连结BC，过点作BC于点.若，则OF的长为（　　）. A．3 B． C．2.5 D． 11.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图①所示，图②是脸盆架的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　 　cm． 12.圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为　 　． 13.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 14.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 15.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？” 阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径． 题型四：圆周角定理 1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝35°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．55° C．75° D．70° 2.如图，点都在上，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4.如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（　　） A． B． C． D． 5.四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（　　） A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 7.如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（　　） A．3 B．8 C．2 D．10 9.如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（　　） A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是　 　°． 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E． （1）求证：AE=CE． （2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数． 12.如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E． （1）求证：； （2）若，求的长． 13.如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 题型五：确定圆的条件 1.下列命题不正确的是（　　） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 2.根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 3.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（　　）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（　　） A．5 B．12 C．13 D．6.5 5.已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若，则线段AC的最大值是（　　） A．2 B．2 C．4 D． 6.平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1） 8.已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（　　） A．两人都正确. B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 9.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为　 　 11.阅读材料： “三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”（苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件） 问题初探： （1）三角形的外心到三角形的　 　距离相等 （2）若点O是△ABC的外心，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD，连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度数。（保留作图痕迹，不写作法。） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的性质及相关定理 题型一 圆的相关概念及点与圆的位置关系 题型二 圆的对称性 题型三 垂径定理 题型四 圆周角定理 题型五 确定圆的条件 题型一：圆的相关概念及点与圆的位置关系 1.已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系求解即可。 【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外． 故答案为：A． 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦.其中正确的说法是（　　）. A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦就是直径，所以直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦，就此可判断①②⑤；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，所以半圆是弧，弧不一定是半圆，同圆或等圆中优弧一定长于劣弧，据此可判断③④. 【详解】解：经过圆心的弦就是直径，所以直径是弦这个说法正确，即①正确； 连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以弦不一定是直径，即②错误； 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，所以半圆是弧，弧不一定是半圆，故③正确； 同圆或等圆中优弧一定长于劣弧，但不是同圆或等圆中，优弧不一定长于劣弧，故似错误； 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦就是直径，所以直径是圆中最长的弦，故⑤正确， 综上，正确的有①③⑤. 故答案为：B. 3.如图，已知及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心距离为7的点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系即可求解。 【详解】解：∵半径为5， ∴圆心距离为7的点在圆外， ∴该点可能为点M， 故答案为：C 4.在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（　　） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 【答案】C 【分析】分为两种情况：①当点在圆内时，②当点在圆外时，再分别求解即可。 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径 故答案为：C 5.在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据点B在⊙A内，可得AB<2，即为|b-4|<2，求解可得b的范围. 【详解】解：要使点B在内，则，即 解得， 故答案为：D. 6.如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（　　）. A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等可得AB=OP=半径，据此即可得出答案. 【详解】解：∵ 四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形， ∴AB=OP=半径， 当点P在 在上移动时，半径一定， ∴AB的长度不变 故答案为：C. 7.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系． 【答案】点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外. 【分析】先根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC的长，根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r；进行分析即可求解. 【详解】解：连接AC，如图： ∵AB=3cm，AD=4cm， ∴cm， ∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外. 8.已知：如图， 、 为 的半径， 、 分别为 、 的中点.求证： . 【答案】见详解 【分析】先利用边角边定理证明△AOD≌△BOC，则由全等三角形的性质即可得出∠A=∠B. 【详解】证明：∵ ， 为 的半径， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ， . 在 与 中， ∵ ， ∴ . ∴ . 9.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M， （1）点M的坐标为　 　； （2）点D（5，﹣2）在⊙M 　 　（填“内”、“外”、“上”）． 【答案】（1）（2，0）；（2）内 【分析】（1）作线段AB、BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，结合M的位置可得相应的坐标；（2）利用勾股定理可得AM、MD，然后通过比较即可判断点与圆的位置关系. 【详解】解：（1）如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）由图知， 圆的半径，， ∵， ∴点D在圆M内. 故答案为：内. 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以点B为圆心，3为半径作⊙B． （1）AB的中点D，AC的中点E分别与⊙B有怎样的位置关系？ （2）要让点A和点C有且只有一个点在⊙B内，⊙B的半径应满足什么条件？ 【答案】（1）点D在圆B内，点E在圆B外；（2）当3＜r≤5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内． 【分析】（1）先利用直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算出AB=5，则得到BD=2.5，根据垂线段最短可得BE＞3，然后根据点与圆的位置关系判断D，E与圆B的位置关系即可； （2）由于BC=3，BA=5，根据点与圆的位置关系即可确定圆B的半径的范围． 【详解】（1）解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴， ∵D为AB的中点， ∴BD=2.5， ∴点D在圆B内， ∵BE＞BC，即BE＞3， ∴点E在圆B外. （2）解：设圆B的半径为r， 当3＜r≤5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内． 题型二：圆的对称性 1.下列命题正确的是（　　）． A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．相等的弦所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】利用在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可对A作出判断；在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，可对B作出判断；在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等，可对C作出判断；根据等弧所对的圆心角相等，可对D作出判断. 【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故A不符合题意； B、在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等 ，故B不符合题意； C、在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等 ，故C不符合题意； D、 等弧所对的圆心角相等，故D符合题意. 故答案为：D. 2.在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 【答案】C 【分析】根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论． 【详解】解： 取的中点E，连接、，则， ， 在中，，即， 则， 故答案为：C． 3.若和所对的圆心角，则下列命题中，正确的是（　　）. A．= B．所对的弦和所对的弦相等 C．与的长度相等 D．与的度数相等 【答案】D 【分析】利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可对A，C，B作出判断；再根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可对D作出判断. 【详解】解：∵在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弧所对的弦相等， ∴A，B，C不符合题意； ∵圆心角的度数和它所对的弧的度数相等， 若和所对的圆心角 ∴和的度数相等，故D符合题意. 故答案为：D. 4.如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解. 【详解】解：在⊙O中， ∵ ∴， 故A、C选项正确，不符合题意； ∵，OA=OD，OB=OC ∴ ∴ ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴ ∴OE=OF 故B选项正确，不符合题意. 故答案为：D 5.下列说法： ①直径是最长的弦； ②弦是直径； ③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半径相等的两个圆是等圆； 其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基础知识。直径是最长的弦，但弦可以不是直径。半径相等的两个半圆是等弧，半径相等的两个圆是等圆，弧长涉及圆心角和半径，则弧长相等不一定是等弧线。熟悉基础知识是关键。 【详解】 ①直径是最长的弦； 正确 ②弦是直径；错误； ③半径相等的两个半圆是等弧；正确； ④长度相等的两条弧是等弧；错误； ⑤半径相等的两个圆是等圆；正确； 说法正确的是①③⑤，共3个 故答案为：C 6.如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（　　） A．98° B．103° C．108° D．113° 【答案】C 【分析】先求出∠B=∠D=45°，再利用角的运算求出∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°即可。 【详解】∵BD是的直径， ∴∠BAD=90°， ∵， ∴∠B=∠D=45°， ∵∠COD=126°， ∴∠DAC=∠COD=×126°=63°， ∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°， 故答案为：C. 7.如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD的度数，然后根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等可得答案. 【详解】解：如图，连接OD， ∵弧CD=弧CD， ∴∠COD=2∠E=70°， ∵AB=CD， ∴弧AB=弧CD， ∴∠AOB=∠COD=70°. 故答案为：C. 8.如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　） A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。 【详解】 解：连接 ， ∵点 是 的八等分点， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 的周长为 ， ∴四边形 的周长为 ， ∴ ∵， ∴ 故答案为：A 9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是　 　． 【答案】60° 【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，据此可求出∠AOE的度数，再利用邻补角的定义求解即可. 【详解】解：∵ C，D是的三等分点，∠BOC=40°， ∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°， ∴∠BOE=120°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=60°， 故答案为：60°. 10.如图所示，MN是的直径，是半圆的一个三等分点，是的中点，点是点关于MN的对称点，的半径为1，则的长等于　 　. 【答案】 【分析】连接OB，OB′，利用已知可得到∠AOB=60°，根据点B 是的中点，可证得，由此求出∠BON的度数；再利用轴对称的性质可推出∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，可证得△AOB′是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出AB′的长. 【详解】解：连接OB，OB′， ∵点A是半圆O的一个三等分点， ∴∠AOB=×180°=60°， ∵点B 是的中点， ∴， ∴∠BON=∠AOB=30°， ∵ 点是点关于MN的对称点， ∴， ∴∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：. 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E． （1）求的度数． （2）求证：D是AC的中点． 【答案】（1）30°；（2）见详解 【分析】（1）如图，连结BD，由三角形的内角和得∠A=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠ABD= 60°，进而根据角的和差求出∠DBE的度数，最后根据圆心角、弧的关系可得答案； （2）由等边三角形的性质得DB=AD，由等角对等边得DC=DB，从而由等量代换得DC=AD，即D为AC的中点． 【详解】（1）解：如图，连结BD． ∵ 在△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ， ∴∠A=60°， ∵BA= BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD= 60°， ∴∠DBE=∠ABC-∠ABD= 30°， ∴的度数为30°； （2）证明：由（1）得△ABD为等边三角形， ∴DB=AD， ∵∠DBC=∠C=30°， ∴DC=DB， ∴DC=AD，即D为AC的中点． 题型三：垂径定理 1.下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 【答案】D 【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，及其推论逐项分析即可. 【详解】解：A、垂直于弦（不是直径）的直线平分弦所对的两条弧，则本项错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误，不符合题意； C、垂直于直径的弦（不是直径）平分这条直径，则本项错误，不符合题意； D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，则本项正确，符合题意； 故答案为：D. 2.如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解. 【详解】解： 弦心距. 故答案为：B. 3.一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案. 【详解】解：∵OC是圆心O到水面的距离 ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：B. 4.如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】先由垂径定理得到CE=DE=CD 由勾股定理求出DE=8 ，即可得出答案。 【详解】∵ CD⊥AB 与点 E ∴ CE＝DE=CD ∠OED＝90° ∴ DE＝＝＝8 ∴CD＝2DE＝16 故答案为：A。 5.如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，结合垂直平分线的性质求解。连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故答案为：C． 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（　　）． A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解. 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴ 在中， ∴. 故答案为：C. 7.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为(　　) A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意相应的问题要具体分析. 【详解】设与这两条平行的弦有一条直径，当这两条线位于直径的同侧时候根据垂径定理和勾股定理可以得出两条平行弦之间的距离为1.当位居直径的两侧时候，那么答案为7. 故AB与CD之间的距离为1cm 或7cm 8.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，利用勾股定理可得AE2+OE2=AO2，再将数据代入求出r的值，最后求出CD的长即可. 【详解】解：连接AO，如图所示： 设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1， ∵AB=10寸，CD⊥AB， ∴AE=BE=AB=5寸， 在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2， ∴52+（r-1）2=r2， 解得：r=13， ∴CD=2r=26寸， 故答案为：D. 9.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可求出OD=5，再根据CD=OC-OD即可求出答案. 【详解】解：过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA ∵OC⊥AB，AB=24 ∴ ∵圆直径为26 ∴OA=OC=13 ∴ ∴CD=OC-OD=8 故答案为：D 10.如图所示，AC是的直径，弦于点，连结BC，过点作BC于点.若，则OF的长为（　　）. A．3 B． C．2.5 D． 【答案】D 【分析】连接OB，由垂径定理得BE=BD=4，设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2，在Rt△BOE中，由勾股定理建立方程可求出半径的长，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BC，再根据垂径定理得CF=BC=，在Rt△CFO中，由勾股定理可算出OF的长. 【详解】解：如图，连接OB， ∵BD⊥AO， ∴BE=BD=4， 设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2， 在Rt△BOE中，由勾股定理得OE2+BE2=OB2，即42+（r-2）2=r2， 解得r=5，即OB=OC=5， ∴OE=OA-AE=3， ∴CE=OC+OE=8， 在Rt△BCE中，由勾股定理得， ∵OF⊥BC， ∴CF=BC=， 在Rt△CFO中，由勾股定理得. 故答案为：D. 11.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图①所示，图②是脸盆架的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　 　cm． 【答案】25 【分析】设圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，根据垂径定理得AD=BD=AB=20cm，设脸盆的半径为xcm，则OD=(x-10)cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解. 【详解】解：设脸盆所在圆的圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，如图： ∴ 设脸盆的半径为xcm，则 在中， 即 解得： 则该脸盆的半径为25cm. 故答案为：25. 12.圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为　 　． 【答案】1或7 【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可. 【详解】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示： 过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB//CD， ∴OE⊥AB， ∵AB=8，CD=6， ∴AE=AB=4，CF=CD=3， ∵OA=OC=5， ∴EO=，OF=， ∴EF=OF-EO=4-3=1， ②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示： 过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC， ∵AB=8，CD=6， ∴AE=AB=4，CF=CD=3， ∵OA=OC=5， ∴EO=，OF=， ∴EF=OF+EO=4+3=7， 综上，这两条平行弦之间的距离为1或7， 故答案为：1或7. 13.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1）2cm；（2） 【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理求出AE和CE的长度，最后根据线段间的数量关系即可求出AC的长； （2）连接，在中利用勾股定理求出OE的长度，在中，利用勾股定理即可求出OC的长度. 【详解】（1）解：解：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； （2）解：连接， ∵在中，， ∴． 在中， ∵， ∴． 14.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 【答案】（1）10cm；（2）28cm 【分析】（1）连接OM，根据垂径定理得出MC=24cm，根据勾股定理计算即可； （2） 过O作 OD⊥EF，连接OE ，根据勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF=2ED=20cm，MN与EF相减即可得出答案． 【详解】（1）解：连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm， ∴， ∵AB＝52cm， ∴， 在 Rt△OMC 中，， ∴OC的长为10cm； （2）解：过O作 OD⊥EF，连接OE， 由题得，OD＝10+14＝24cm， 在 Rt△OED 中，ED＝＝＝10cm， ∴EF＝2ED＝20cm， ∴48﹣20＝28cm ∴水面截线减少了28cm． 15.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？” 阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径． 【答案】1；10； 【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径. 【详解】∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， ∴AB=1，CD=10. 如图，连结CO． ∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸． 设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸． 在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2， 即(x-1)2+52=x2， 解得x=13， ∴⊙O的直径为26寸． 题型四：圆周角定理 1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝35°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．55° C．75° D．70° 【答案】B 【分析】灵活应用圆周角定理，直径AB所对的圆周角是90°，根据已知角度可计算出它的余角；观察图形，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等定理，发现所求角同已知角的余角相等，故∠D度数可求。 【详解】AB是⊙O的直径 (在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等) 故选：B 2.如图，点都在上，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理可得∠AOB=∠AOC=40°，再利用圆周角的性质可得∠ADC=∠AOC=20°. 【详解】连接CO，如图所示： ∵， ∴， ∴∠AOB=∠AOC=40°， ∴∠ADC=∠AOC=20°， 故答案为：A. 3.如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的内接四边形，对角互补，可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠B+∠D=180°， 又∠D=100° ∴∠B=80° 故答案为：B. 4.如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OD，OC，根据四边形内角性质可得∠ADC=122°，再根据三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理即可求出答案. 【详解】解：连接OD，OC ∵∠B+∠ADC=180° ∴∠ADC=180°-58°=122° ∵ ∴ 故答案为：D 5.四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（　　） A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，据此判断. 【详解】解：∵圆的内接四边形对角互补， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°， ∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：1：2：4. 故答案为：D. 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 【答案】A 【分析】先求出∠AOB＝86°−30°＝56°，再求解即可。 【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故答案为：A． 7.如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数. 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴. 故答案为：C. 8.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（　　） A．3 B．8 C．2 D．10 【答案】A 【分析】本题的关键在于正确作出辅助线；已知的45°角和弦长在图中都不关联所求的半径或直径，故尝试连接OA或OB，根据圆周角定理，如果延长半径作出直径可得到直角和与相等的45°角，这样，已知的弦长和特殊角都在一个直角三角形中，特殊角也能发挥作用，故延长半径做出直径，很明显根据勾股定理可以求得直径，进而求得半径的长。 【解析】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD， (圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等) AD为⊙O的直径， （圆周角定理的推论3：直径所对的圆周角是直角） 即⊙O的半径 故选：A． 9.如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（　　） A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y 【答案】A 【分析】连接BC，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，又因为∠BAD=∠BOC= y°，即有x+y=90. 【详解】解：接BC，如图所示： ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°. ∵四边形ADCB是圆的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°， ∵AD∥OC， ∴∠BAD=∠BOC= x°， ∴x+y+90=180，即x+y=90. 故答案为：A. 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是　 　°． 【答案】105 【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°． 【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°． 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E． （1）求证：AE=CE． （2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数． 【答案】（1）见详解；（2）120° 【分析】（1）作BF⊥CE于点F，由圆内接四边形的性质可求出∠BCD的度数，根据同角的余角相等可得∠BCF=∠D，结合已知用角角边可证Rt△BCF≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可求解； （2）由（1）的结论可得AECE，在Rt△CDE中，用勾股定理可求出CD的值，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠DCE=30°，∠D=60°，然后根据圆内接四边形的对角互补可求解. 【详解】（1）证明：如图，作BF⊥CE于点F． ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180° ，得∠BCD= 90°． 又由∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90° ，得∠BCF=∠D． ∵，∴BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE． ∵AE=BF，∴AE= EC． （2）解：由(1)，得AE=CE=3．在Rt△CDE中，DE= ，CE=3，∴CD=， ∴DE= CD，∴∠DCE=30°，∠D=60°．∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC=120°． 12.如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD； （2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是∆ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt∆OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt∆CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8. 【详解】（1）解：点为弧的中点， ， 是半圆的直径， ， ； （2）解：连结BC， 是半圆的直径， ， 设，则， 即， 解得， ∴OF=1.4， ∵点O是AB的中点，点F是BD的中点， ∴OF是的中位线， 13.如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论. （2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点E，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 题型五：确定圆的条件 1.下列命题不正确的是（　　） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 【答案】B 【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答. 【详解】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的． B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的． C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的． D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的． 故答案为：B. 2.根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的作法，可得答案. 【详解】解：∵A、作图是作的一个角的平分线和一边的垂直平分线，故A不符合题意； B、作图作的是两个角的角平分线，故B不符合题意； C、作图作的是两边的垂直平分线，故C符合题意； D、作的是一边的垂直平分线和一边的垂线，故D不符合题意； 故答案为：C. 3.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（　　）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形． 【详解】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角， ∴该三角形是直角三角形． 故答案为：B. 4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（　　） A．5 B．12 C．13 D．6.5 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得斜边的长，直角三角形的外接圆直径即为斜边的长． 【详解】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得， ∴的外接圆直径为13. 故答案为：C. 5.已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若，则线段AC的最大值是（　　） A．2 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，根据等边三角形的性质可得OA=OB=AB=2，由∠ACB＝30°可知点C在优弧AB上，故当AC为⊙O的直径时取得最大值，据此解答. 【详解】解：以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，如图所示： ∵△OAB为等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∵∠ACB＝30°， ∴点C在优弧AB上， 当AC为的直径时，AC最大，且最大值为4. 故答案为：C. 6.平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【答案】C 【分析】当四点在同一条直线上时，不能确定圆；当四点共圆时，只能作一个圆；当三点在同一直线上时，可以作三个圆；当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆. 【详解】解：如图， 当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆． 故答案为：C. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1） 【答案】A 【分析】根据△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，得出EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，从而得出答案。 【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故答案为：A 8.已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（　　） A．两人都正确. B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的外心定义即可求出答案. 【详解】解：由甲的作法可知，△PAB为直角三角形 ∴AB为△PAB的外接圆的直径 ∵点O为AB中点 ∴OA=OB ∴点O为△PAB的外心，故甲的作法正确 由乙的作法可知，OA=OP=OB ∴点O为△PAB的外心，故乙的作法正确 故答案为：A 9.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答. 【详解】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC ∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180° ∴A、B、C、D四点共圆 ∵AD=AB，∠DAB=60° ∴△ADB是等边三角形 ∴∠ABD=∠ACD=60° ∵DM=DC ∴△DMC是等边三角形 ∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC ∴∠ADM=∠BDC ∵AD=BD ∴△ADM≌△BDC ∴AM=BC ∴AC=AM+MC=BC+CD ∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC ∵AD=AB=6 ∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大 ∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大 此时C点在 中点处 ∴∠CAB=30° ∴AC最大值=AB÷cos30°=4 ∴CB＋CD最大为AC=4 . 故答案为：A. 10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为　 　 【答案】 【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解. 【详解】解：如图，延长BA，CE，交于点M． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°， 又AB=AC，∠ABD=∠ACM， ∴△ABD≌△ACM， ∴BD=CM． 由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM， ∴EC=EM， ∴BD=CM=2CE=． 11.阅读材料： “三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”（苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件） 问题初探： （1）三角形的外心到三角形的　 　距离相等 （2）若点O是△ABC的外心，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD，连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度数。（保留作图痕迹，不写作法。） 【答案】（1）三个顶点；（2）∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC；（3）135° 【分析】（1）根据圆上各点到圆心的距离相等得出： 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等； （2） ①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD， 根据等边对等角得出 ∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，根据三角形外角定理得出∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， 从而根据角的和差，由∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC， 即可得出结论； ②当∠BAC为直角时，如图2， 根据同圆的半径相等得出 OA=OB=OC， 故 点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180° ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BAC=90°， 故 ∠BOC=2∠BAC； ③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD， 根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形外角定理得出 ∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， 进而即可由∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，即∠BOC=360°-2∠BAC，综上所述就可得出答案； （3）分别作出CD，BC的垂直平分线，两线的交点就是 O为△BCD的外心， 根据旋转的性质得出 ∠CBD=30°，CB=DB， 根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠BCD=∠BDC=75°， 再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠BOC=2∠BDC=150°，然后判断出 △OCD为等边三角形， 根据等边三角形的性质得出CD=CO，进而利用SAS判断出 △DCA≌△OCB ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ADC=∠BOC=150°， 最后根据周角的定义即可算出∠ADB的度数. ∠ADB的度数. 【详解】解：（1）∵三角形的三顶点都在圆上， ∴圆心到三角形的三顶点的距离相等； （2）解：①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， ∵∠BAC=∠BAO+∠CAO， ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO =2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC； ②当∠BAC为直角时，如图2， ∵⊙O是△ABC的外接圆， ∴OA=OB=OC， ∴点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180°，∠BAC=90°， ∴∠BOC=2∠BAC； ③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA， 则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， ∵∠BAC=∠BAO+∠CAO， ∴∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD =360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO） =360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC， 即∠BOC=360°-2∠BAC； 综上可知，∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC （3）解：如图4，点O为△BCD的外心， 由“将线段BC绕点B逆时针方向旋转30°到BD”可得：∠CBD=30°，CB=DB， ∴∠BCD=∠BDC=75°， ∴∠BOC=2∠BDC=150°. 又点O为△BCD的外心， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=15°， 又∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°， ∴∠ACD=∠BCO，∠OCD=60°， ∵OD=OC， ∴△OCD为等边三角形， ∴CD=CO. 在△DCA和△OCB中， ∵ ， ∴△DCA≌△OCB（SAS）， ∴∠ADC=∠BOC=150°， ∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC=135° 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $