专题01 图形的旋转（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级下册
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内容正文：
专题01 图形的旋转
题型一 旋转的定义和性质
题型二 确定旋转中心及旋转作图
题型三 有关旋转的综合题
题型四 中心对称的性质
题型五 利用中心对称作图
题型一：旋转的定义和性质
1.将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
2.下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（ ）
A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为
C． D．旋转中心为点A
5.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ．
6.如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合．
7.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
8.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
题型二：确定旋转中心及旋转作图
1.如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
2.在如图正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则其旋转中心是 .
3.如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
4.如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
7.如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 ；
(2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）．
题型三：有关旋转的综合题
1.如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．
(1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角为时，连接，求的值．
(3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
2.如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
3.已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．
(1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；
(2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．
4.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到
∴，
∴为_________三角形，
∴
∵
∴
∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．
②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．
5.已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．
（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为 （结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为 ；
（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．
6.如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
7.如图，是边长为4cm的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）当为直角三角形时，求t的值．
8.如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是 ；
（3）将沿着轴向右平移到处，如图，连接，交于点判断的形状，并说明理由．
题型四：中心对称的性质
1.如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
2.若点与点关于原点对称，则，的值分别为（ ）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
3.如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
4.在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5.1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所
C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所
6.蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
7.如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点 B．点
C．线段的中点 D．线段的中点
8.如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
题型五：利用中心对称作图
1.如图，在平面直角坐标系中有一个．
(1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标；
(2)求出的面积．
2.如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
3.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作关于点对称的；
(2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上．
(1)作，使与关于原点成中心对称．
(2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标．
5.下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形．
6.图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
7.如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．
(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；
(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．
8.图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
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专题01 图形的旋转
题型一 旋转的定义和性质
题型二 确定旋转中心及旋转作图
题型三 有关旋转的综合题
题型四 中心对称的性质
题型五 利用中心对称作图
题型一：旋转的定义和性质
1.将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解．
【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍，
故选C．
2.下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案．
【详解】
解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
B. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
C. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意；
故选：．
3.如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点，
∴下列角一定等于的是．
故选A．
4.如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（ ）
A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为
C． D．旋转中心为点A
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，
∴旋转角为：，，旋转中心为点A，
根据网格可知：，
∴，故A、B、D正确，不符合题意；
∵，
∴，故C错误，符合题意．
故选：C．
5.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解∶由旋转得， ，
．
，
故答案为：．
6.如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合．
【答案】7
【详解】解：由题意可得：标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，
可以和标有数字7的小等边三角形重合．
故答案为7．
7.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
【答案】（1）10；（2）
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，，
；
故答案为：10；
（2）由旋转的性质可知，，，，，
，，
，
故答案为：．
8.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解．
【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
根据网格可得
②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
根据网格可得
综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为
故答案为或；．
题型二：确定旋转中心及旋转作图
1.如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
【答案】3
【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案．
【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合；
以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合；
以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合；
则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．
故答案为：3
2.在如图正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则其旋转中心是 .
【答案】点C
【分析】连接PP1、NN1，分别作PP1、NN1的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点C，据此解答.
【解析】【解答】解：如图，连接、，
分别作、的垂直平分线，
结合图形可知，两条垂直平分线相交于点C.
故答案为：点C.
3.如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
【答案】平移；
【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
4.如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，
故选：D．
5.如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．
【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得，，
和的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
两个格点和的旋转中心是点C，
故选：C.
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故选：A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．
7.如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)，，
【分析】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解三角形的面积；
（1）分别确定绕顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据的位置可得其坐标；
（3）根据皮克定理可得，，再进一步利用公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图形可得：，，
∴．
8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换，根据网格特点和旋转性质，得到对应点的位置，然后顺次连接即可求解．
【详解】解：如图，即为所求作：
9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 ；
(2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）．
【答案】(1)
(2)画图见解析
【分析】本题考查的是画旋转图形，求解旋转对应点的坐标；
（1）先画出绕点C顺时针旋转得到，再写出其坐标即可；
（2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为旋转后的线段，
∴．
（2）解：如图，即为所求：
题型三：有关旋转的综合题
1.如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．
(1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角为时，连接，求的值．
(3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积为6
【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论．
（2）过点作于，由勾股定理可求出答案；
（3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论．
【详解】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
2.如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
3.已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．
(1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；
(2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解；
（2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图1，如图，连接，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
F为的中点，
，
，，
，
同理，
，
，
，
；
（2），
证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．
是的中点，
．
，，
．
．
．
．
在中，
．
，，
．
．
．
，
．
．
．
．
4.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到
∴，
∴为_________三角形，
∴
∵
∴
∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．
②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．
【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析
(2)7
(3)
【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解；
（3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可．
【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由几何公理：两点之间线段最短，可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴顶点A到另两个顶点距离和最小，
∵，
∴，
∴当点P和点A重合时，取最小值，
即此时的A点为该三角形的“费马点”．
（2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
延长，过点作延长线的垂线，垂足为D，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则
根据勾股定理可得：，
∴；
（3）解：根据题意可得：
总的铺设成本为万元，
将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，则，
当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
根据勾股定理可得：，
即最小值为，
∴总铺设成本最少为万元．
故答案为：．
5.已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．
（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为 （结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为 ；
（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．
【答案】（1）8﹣2a，30°；
（2）．
【分析】（1）根据旋转与轴对称的性质先判断∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，可得旋转角，再证明△ABC是轴对称图形，△CDF是轴对称图形，进一步可得DF的长度；
（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，证明∠BAG＝90°，求解AD＝8﹣a，再进一步求解三角形的面积即可．
【详解】解：（1）∵△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，
∴旋转角是30°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴△ABC是轴对称图形，由旋转可得：CD＝CF，
∴△CDF是轴对称图形，
∴BD＝AF＝a，
∵AB＝8，
∴DF＝8﹣2a；
故答案为：8﹣2a，30°；
（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，
∵∠CAB＝45°，
∴∠BAG＝90°，
∵AB＝8，
∴AD＝8﹣a，
∴S△ADGa（8﹣a）．
6.如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠B＝45°，从而得出答案；
（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可说明∠FPD＝∠FDP，从而DF＝PF．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）DF＝PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
7.如图，是边长为4cm的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）当为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）见详解；（2）或8s
【分析】（1）根据旋转的性质可得， 进而可证是等边三角形 ；
（2）分两种情况：①当时，②当时， 由等边三角形、直角三角形和旋转的性质可求解。
【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，
∴是等边三角形
（2）解：①当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当时，则：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
综上所述：当或8s时，是直角三角形．
8.如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是 ；
（3）将沿着轴向右平移到处，如图，连接，交于点判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）等腰三角形
【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质得到：再根据勾股定理可求出BC的长度，进而得到点B的坐标；
（2）根据旋转的性质，即可得到答案；
（3）根据平移的性质知：是等边三角形，进而得到：即可得到：，结合已知条件利用"SAS"证明得到：，即可判断出是等腰三角形.
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
是边长为的等边三角形，
，
，
；
（2）∵将绕点顺时针旋转，
∴点的对应点的坐标是
故答案为：.
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
沿着轴向右平移到处，是等边三角形，
等边≌等边，
，，，
，
又，
≌，
，
，
是等腰三角形．
题型四：中心对称的性质
1.如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质．
根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，，
，，
，
与关于点中心对称，
，，，，
在中，根据勾股定理，
得，
故答案为∶．
2.若点与点关于原点对称，则，的值分别为（ ）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故选：C．
3.如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
【答案】见详解
【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为，
所以，即，结合，得证，即可作答．
【详解】证明：因为与关于点中心对称，
所以
所以，，
因为，
则
所以，
因为
所以
即，
因为，
所以，
则
4.在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
5.1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所
C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所
【答案】B
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可得到答案．
【详解】解：将一个图形旋转后仍然与原图形重合，故此图形为中心对称图形，
A、东北地理与农业生态研究所不是中心对称图形，故选项A不符合题意，
B、山西煤炭化学研究所是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、生态环境研究中心不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、西安光学精密机械研究所不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选B．
6.蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
【答案】中心对称
【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形，
故答案为：中心对称．
7.如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点 B．点
C．线段的中点 D．线段的中点
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段的中点．
故选：．
8.如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
【答案】或或
【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可．
【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合，
所以旋转角可以是或或．
故答案为：或或．
题型五：利用中心对称作图
1.如图，在平面直角坐标系中有一个．
(1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标；
(2)求出的面积．
【答案】(1)做图见详解；；
(2)
【分析】本题主要考查了作图——旋转变换、三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是正确解答此题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的；由图可得：；
（2）解：的面积为．
2.如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
【答案】见解析
【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求．
3.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作关于点对称的；
(2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点、、，再顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，分别作出点B、C绕点A顺时针方向旋转得到对应点、，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：如图，即为所作；
．
4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上．
(1)作，使与关于原点成中心对称．
(2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点
【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解，
（2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解，
本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质．
【详解】（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，，
画图如下：
即为所求，
（2）解：连接、，交点即为点，画图如下：
点即为所求，
∵与关于点成中心对称，且，，
所以对称中心的坐标为，即：，
故答案为：．
5.下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据要求分别设计两个图案即可．
【详解】解：中心对称图形：
轴对称图形
6.图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析
【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可；
（2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可．
【详解】（1）解：如图①，作点B关于直线的对称点D，
四边形即为所求作；
（2）解：如图②，四边形即为所求作．
7.如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．
(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；
(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
【详解】（1）所求图形，如图所示．
．
（2）所求图形，如图所示．
8.图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
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