29.3 切线的性质和判定（题型专练）数学冀教版九年级下册

29.3切线的性质和判定 题型1 切线的应用 1．命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切．符合该命题的图形是(　　) A． B． C． D． 2．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 题型2 有关切线的说法辨析 3．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 题型3判断或补全使直线为切线的条件 5．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 6．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 题型4 切线的性质定理 7．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 8．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 题型5切线的性质和判定的综合应用 9．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 10．如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 题型6过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 11． 过圆外一点P做的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 12．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 13．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． (1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 14．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 15．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 29.3切线的性质和判定 题型1 切线的应用 1．命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切．符合该命题的图形是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】解：由题意画出图形可得：， 故选C． 2．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 题型2 有关切线的说法辨析 3．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 4．下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念以及中心对称图形，熟记相关结论即可． 【详解】解：正五多边形不是中心对称图形，故A错误； 圆的直径是线段，而圆的对称轴是直线，故B错误； 的圆周角所对的弦是直径，故C正确 经过圆的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故D错误 故选：C ． 题型3判断或补全使直线为切线的条件 5．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 6．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线是的切线；理由见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线是否是的切线是本题的关键． （1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论； （2）由勾股定理可求即可得到答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为3． 题型4 切线的性质定理 7．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 【答案】/25度 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：∵切于C，过圆心O点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 8．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 【答案】80 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为80． 题型5切线的性质和判定的综合应用 9．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 10．如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）过点O作于点G，连接，由题意易得平分，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得为等腰直角三角形，则有四边形是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：过点O作于点G，连接，如图所示： ∵腰与相切于点D， ∴， ∵，点O是底边的中点， ∴平分，， ∴， ∵都是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图（1）， ∵，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为 题型6过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 11．过圆外一点P做的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1中，连接，以为直径作圆交于D、，根据圆周角定理可判断为的切线； 方法二：先以O点为圆心，为半径作圆，再作大圆O的直径，交小圆于A、B，然后以为圆心，为半径画弧交大圆于点E、，利用圆周角定理和三角形中位线性质可得到为的切线． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则和即为所求． 12．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图； （1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解； （2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线． 【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 13．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． (1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】(1)的圆周角所对的弦是直径； (2)． 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； （2）解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 14．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点作的垂线，垂足为于，如图： 则四边形为矩形， ∵的半径为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 15．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$