第二十四章 圆（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版九年级下册

第二十四章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 3.如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为（　　） A．： B．： C．： D．： 4.如图，在中，半径OA，OB互相垂直，点在劣弧AB上.若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5.如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连结AB，AC.若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 7.如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8.如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 9.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 10.如图，⊙O 内切于Rt△ABC，点 P，Q分别在直角边BC、斜边AB 上，PQAB，且PQ与⊙O 相切.若AC=2PQ，则 tanB 的值为(　　) A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11.如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为　 　. 12.如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为　 　°. 13.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，则弦AB和CD之间的距离是　 　． 14.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°. （1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　 　cm. （2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　 　cm. 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60° （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是的中点，点E是AB延长线上的一点，连接CE，∠E＝∠ADB． （1）求证：CE是⊙O的切线， （2）若∠ADB＝60°，AD＝4，求BC的长． 17.航拍器拍出的照片会给我们带来视觉上的震撼体验，越来越受大家的欢迎.如图所示，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定. （1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m.若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高多少米? （2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器的最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为多少米?（忽略遥控器所在高度） 18.如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接． （1）连接，若，求证：是半圆的切线； （2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论． 19.如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 20.如图， AB为⊙O的直径， PB⊥AB， 点C是⊙O上一点， 直线PO垂直平分BC， 交BC于H， 延长PC交BA的延长线于点D. （1） 求证： PC是⊙O 的切线； （2） 作∠ACB 的平分线CE交⊙O于点 E.若 求阴影部分的面积和AD 的长. 21.如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 22.定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． （1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×． ①平行四边形是倍分四边形（　　） ②梯形是倍分四边形（　　） （2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求； （3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形． ①求； ②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求． 23.已知：是的直径，是的弦，于F，点E在弧上，连接DE、CE、AE. （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点M在弧上，连接、，与交于点K，AE与BC交于点G，，，，求线段的长度. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。 【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故答案为：D. 2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 【答案】A 【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案. 【详解】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故选A． 3.如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为（　　） A．： B．： C．： D．： 【答案】A 【分析】先求出∠DOB=60°，∠AOD=180°-∠DOB=180°-60°=120°，再利用弧长公式求出和的长度，最后求解即可. 【详解】连接OD，如图所示： ∵是半圆的直径，是的中点， ∴OD=2OC， ∵， ∴∠DOB=60°， ∴∠AOD=180°-∠DOB=180°-60°=120°， 设圆O的半径为r， ∴，， ∴与的长度的比=， 故答案为：A. 4.如图，在中，半径OA，OB互相垂直，点在劣弧AB上.若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解． 【详解】解：连接OC， ∵∠ABC＝19°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝38°， ∵半径OA，OB互相垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°−38°＝52°， ∴∠BAC＝∠BOC＝26°， 故答案为：D． 5.如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连结AB，AC.若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 【答案】D 【分析】根据圆周角定律得∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB即可求解. 【详解】解：连接BD，如图， ∵ AD 是⊙O的直径 ， ∴ ∠ABD=90°， ∵ ∠BAD=30°， ∴ ∠ADB=60°， ∴ ∠ACB=∠ADB=60°. 故答案为：D. 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，根据点A、B的坐标可得OA=1，OB=3，进而求出OE、ED的值，推出当点D、C、E共线时，CD取得最小值，为DE-CE，据此计算. 【详解】解：取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D， ∵点A（1，0），B （3，0）， ∴OA=1，OB=3， ∴OE=2， ∴ED=2× = ， ∵∠ACB=90°， ∴点C在以AB为直径的圆上， ∴线段CD长的最小值为 −1. 故答案为：C. 7.如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：D． 8.如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先得到点在以为直径的上运动，连接，即可得到当点在的延长线上时，的值最大，然后根据勾股定理求出长解题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故答案为：A． 9.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，先根据勾股定理求出BG长，即可得到AG长，得到△ABC的面积，设⊙的半径为，根据△ABC为三角形的周长与内切圆半径乘积的一半求出r，然后再利用等积法求出HE解题即可． 【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r， 则，解得：， 的内切圆⊙与，，分别相切于点，，， ∴∠ODB=∠OEB=90°， 又∵OD=OE， OB=OB， ∴， ∴BD=BE， 同理， CE=CF，AD=AF， ∵BE+CE=BC=7， ∴BD+BE+CE+CF=14， ∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， 故答案为：D． 10.如图，⊙O 内切于Rt△ABC，点 P，Q分别在直角边BC、斜边AB 上，PQ⟂AB，且PQ与⊙O 相切.若AC=2PQ，则 tanB 的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定切点，设PE=PF=x，BQ=y，由PQ⊥AB可知△BQP∽△BCA，然后得到BQ与BC的关系，接着利用切线长定理得到x与y之间的关系，然后在Rt △PQB 中，利用勾股定理得到x的值，接着在Rt △PQB 中结合三角函数定义得到tanB值. 【详解】解：如图，设⊙O 分别切AC，BC，PQ，AB 于点 D，E，F，G，连结OD，OG，OF，OE. 设⊙O 的半径为r，PE=PF=x，BQ=y. ∵⊙O 内切于Rt△ABC， ∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD = AG. ∴ 四边形CDOE 为矩形. ∵ OD=OE， ∴ 矩形CDOE 是正方形. ∴ OD = CD =CE=r. 同理，可得FQ=OF=GQ=r. ∴ PQ=FQ+PF=r+x. ∵ PQ⊥AB， ∴∠PQB=∠C=90°. ∵∠B=∠B， ∴△BQP∽△BCA. ∴ ∴ BC=2BQ=2y. 根据切线长定理，可得BG=BE， ∴y+r=2y-r，解得y=2r. ∴ BQ=2r，BC=2y=4r. ∴BP=BC-CE-PE=4r-r-x = 3r - x. 在 Rt △PQB 中， ∵∠PQB=90°， ∴ PQ2 + BQ2 =BP2， 即 解得 在 Rt △PQB 中， ∵∠PQB=90°， ∴ tan B =PQ= 故答案为：C. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11.如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为　 　. 【答案】15° 【分析】根据正多边形的性质可得AB=BC=BG，由等腰三角形的性质可得∠BCG=∠BGC，根据正多边形的性质及内角和公式可得∠CBA=120°，∠ABG=90°，结合周角为360°可得∠CBG=150°，根据内角和定理可得∠BCG+∠BGC=30°，据此求解. 【详解】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形， ∴AB=BC=BG， ∴∠BCG=∠BGC， ∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°， 正方形ABGH的每个内角是90°， ∴∠CBG=360°−120°−90°=150°， ∴∠BCG+∠BGC=180°−150°=30°， ∴∠BCG=15°. 故答案为：15°. 12.如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为　 　°. 【答案】 【分析】由题意可得：连续左转后形成的正多边形边数为：72÷8=9，然后利用外角和除以多边形的边数可得α的度数. 【详解】解：连续左转后形成的正多边形边数为：72÷8=9， 则左转的角度. 故答案为：40. 13.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，则弦AB和CD之间的距离是　 　． 【答案】2cm或14cm 【分析】根据①当弦AB和CD在圆心同侧时，②当弦AB和CD在圆心异侧时，两种情况分类讨论即可。 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵ ， ， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF-OE=2cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵ ， ， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF＋OE=14cm； ∴AB与CD之间的距离为2cm或14cm， 故答案为：2cm或14cm． 14.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°. （1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　 　cm. （2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　 　cm. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H.由D1A＝D1B1＝30，可得D1是 的圆心，根据垂径定理及锐角三角形函数可得B1H＝C1H＝30×sin60°＝15 ，从而求出B1C1＝B1H=30 ； （2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G.设半圆的半径为r，则πr＝ ，求出r=20，从而可得AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，利用股股定理可得GD2＝10 ，由D1D2＝GD2-GD1即可求出结论. 【详解】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H. ∵D1A＝D1B1＝30 ∴D1是 的圆心， ∵AD1⊥B1C1， ∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15 ， ∴B1C1＝30 ∴弓臂两端B1，C1的距离为30 ； （ 2 ）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G. 设半圆的半径为r，则πr＝ ， ∴r＝20， ∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10， 在Rt△GB2D2中，GD2＝ ＝10 ∴D1D2＝10 ﹣10. 故答案为30 ，10 ﹣10 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60° （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）△ABC是等边三角形；（2）PC=PA+PB 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得：∠BAC=∠BPC=60°，∠ABC=∠APC=60°，结合有两个角是60°的三角形就是等边三角形即可证明△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP ，连结AD，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AP= PD，∠ADP=60°，从而可推出∠ADC=∠APB，由同弧所对的圆周角相等得∠ABP=∠ACD，然后利用"AAS"证明△APB≌△ADC得到BP=CD，即可求解. 【详解】（1）解：△ABC是等边三角形．理由如下： ∵∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）解：PC=PA+PB，理由如下： 证明：如图，在PC上截取PD=AP ，连结AD． ∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP= PD，∠ADP=60°， 即∠ADC= 120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB． 又∠ABP=∠ACD，AP=AD， ∴△APB≌△ADC(AAS)， ∴BP=CD． ∴CP=CD+PD= BP+AP， 即PC=PA+ PB． 16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是的中点，点E是AB延长线上的一点，连接CE，∠E＝∠ADB． （1）求证：CE是⊙O的切线， （2）若∠ADB＝60°，AD＝4，求BC的长． 【答案】（1）见详解；（2）4 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=∠ACB，结合已知可得，根据直径的性质可和∠ABC=90°，根据同角的余角相等得到，进而证明即可； （2）连接，根据点D是的中点可得，根据勾股定理求出，最后利用角直接三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB， ∵∠E＝∠ADB， ∴∠E＝∠ACB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠E＝90°， ∴∠ACE＝90°，即：AC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线， （2）解：连接DO， ∵点D是的中点，AC是⊙O的直径， ∴， ∴∠AOD＝90°，， 在Rt△AOD中，设AO＝DO＝x， 由勾股定理可得：AD2＝AO2+DO2，， 解得：x＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝30°，则有， 故BC的长为4． 17.航拍器拍出的照片会给我们带来视觉上的震撼体验，越来越受大家的欢迎.如图所示，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定. （1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m.若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高多少米? （2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器的最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为多少米?（忽略遥控器所在高度） 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)由题意： 拍摄区域面积为现在的2倍，推出可拍摄区域半径为 设航拍器飞行高度为 hm，构建方程即可解决问题. (2)如图，由题意航拍器在以O为圆心，2000m为半径的圆上运动.航拍器可拍摄区域的最大直径为 ，此时 解直角三角形求出EO，可得结论. 【详解】（1）解：由题意得∵要求拍摄区域面积为现在的2倍，∴可拍摄区域半径为设航拍器飞行高度为h(m)，则有∴h=36.∴该航拍器还要升高 （2）解：设航拍器可拍摄区域的最大半径为r(m)，则有解得∴该航拍器可拍摄区域的最大半径为 18.如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接． （1）连接，若，求证：是半圆的切线； （2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 为半圆的切线，为半圆的直径， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是半圆的切线； （2）解：， 理由：如图2，连接， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 19.如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 20.如图， AB为⊙O的直径， PB⊥AB， 点C是⊙O上一点， 直线PO垂直平分BC， 交BC于H， 延长PC交BA的延长线于点D. （1） 求证： PC是⊙O 的切线； （2） 作∠ACB 的平分线CE交⊙O于点 E.若 求阴影部分的面积和AD 的长. 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1） 连接OC ，利用垂直平分线的性质得到 PB=PC，OB=OC.，进而证明 △PBO≌△PCO ，得到 ∠PCO＝∠PBO ，结合已知求得 PC⊥OC ，从而求解； （2） 连接OE ， ① 利用直角所对的圆周角是直角求得 ∠ACB＝90°，再根据角平分线的定义得到. 进而得到90° ，由等腰直角三角形的性质求得. 求出扇形OBE与△OBE的面积，最后根据即可求解； ② 先证明 △DAC∽△DCB，得到，进而，再由三角函数的定义求得. 得到，结合， 即可求解. 【详解】（1）证明：连接OC. ∵PO垂直平分BC，∴PB=PC，OB=OC. 在△PBO与△PCO中， ∴△PBO≌△PCO. ∴∠PCO＝∠PBO. ∵PB⊥AB，∴∠PCO＝∠PBO＝90°. 即PC⊥OC. ∴PC是⊙O的切线. （2）解：连接OE. ①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵CE平分∠ACB， ∴. ∴90°. ∵， ∴. ∴. ∴. ②∵90°，90°且， ∴. 在△DAC与△DCB中， ∴△DAC∽△DCB. ∴. ∵. ∴. ∴. ∵△DAC∽△DCB， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 21.如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3) 【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可； (2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积； (3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出． 【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC， ∴,都为圆， ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC是∠ADB的角平分线． (2)是． 如图，延长DA至点E，使得AE=DB． 连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC． ∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC， ∴△EAC≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC是等边三角形， ∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为 ∴． (3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性 C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2． ∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2, 由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA, ∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°． ∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°， 在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2， 则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=， 同理D2H= ∴t=D1D2=． ∴x取最大值时,t取最大值． 即D与O、C共线时t取最大值,x=4． 所有t值中的最大值为． 22.定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． （1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×． ①平行四边形是倍分四边形（　　） ②梯形是倍分四边形（　　） （2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求； （3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形． ①求； ②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求． 【答案】（1）①√；②×；（2）；（3）①求；② 【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ； （2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题； （3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题； ②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题． 【详解】（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴ 如图所示，过点作于点， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中， （3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，即是的中点， ∴， ∵四边形是倍分四边形． 若是倍分线，则点到的距离相等， 而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线， ∴是倍分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， 在中， ∴ ②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点， 由①可得，则四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴，则， 在中，∵ ∴，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 即 ∴ ∴ 23.已知：是的直径，是的弦，于F，点E在弧上，连接DE、CE、AE. （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点M在弧上，连接、，与交于点K，AE与BC交于点G，，，，求线段的长度. 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）根据垂径定理可得弧AC=弧AD，根据圆周角定理可得∠AEC=∠AED，即可求得； （2）根据平行线的性质可得∠CAE=∠AED，推出∠CAE=∠CEA，根据等角对等边可得AC=CE； （3）根据勾股定理的逆定理可得△MOD为直角三角形，再根据圆周角定理可得∠DCM=45°，根据等腰三角形的性质可得CH⊥AE，根据等腰三角形的判定可得AG=CG，根据ASA判定△AFG≌△CHG推出GH=FG=4，再根据ASA判定△CNP≌△KNG推出CP=KG=10，根据相似三角形的判定和性质可得，PH=2，再根据勾股定理即可求得. 【详解】（1）证明：如图1，∵为的直径， 是的弦，于F ∴弧弧 ∴，∴平分 （2）解：如图2，∵∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：连接、，连接并延长交于H， ∵，∴ 由勾股定理的逆定理可得为直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 作于交于P， 易证： ∴， 设 解得 所以 解得 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D D C D A D C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 15° 12. 13. 2cm或14cm 14. （1）;（2） 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 【答案】（1）△ABC是等边三角形；（2）PC=PA+PB 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得：∠BAC=∠BPC=60°，∠ABC=∠APC=60°，结合有两个角是60°的三角形就是等边三角形即可证明△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP ，连结AD，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AP= PD，∠ADP=60°，从而可推出∠ADC=∠APB，由同弧所对的圆周角相等得∠ABP=∠ACD，然后利用"AAS"证明△APB≌△ADC得到BP=CD，即可求解. 【详解】（1）解：△ABC是等边三角形．理由如下： ∵∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）解：PC=PA+PB，理由如下： 证明：如图，在PC上截取PD=AP ，连结AD． ∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP= PD，∠ADP=60°， 即∠ADC= 120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB． 又∠ABP=∠ACD，AP=AD， ∴△APB≌△ADC(AAS)， ∴BP=CD． ∴CP=CD+PD= BP+AP， 即PC=PA+ PB． 16. 【答案】（1）见详解；（2）4 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=∠ACB，结合已知可得，根据直径的性质可和∠ABC=90°，根据同角的余角相等得到，进而证明即可； （2）连接，根据点D是的中点可得，根据勾股定理求出，最后利用角直接三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB， ∵∠E＝∠ADB， ∴∠E＝∠ACB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠E＝90°， ∴∠ACE＝90°，即：AC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线， （2）解：连接DO， ∵点D是的中点，AC是⊙O的直径， ∴， ∴∠AOD＝90°，， 在Rt△AOD中，设AO＝DO＝x， 由勾股定理可得：AD2＝AO2+DO2，， 解得：x＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝30°，则有， 故BC的长为4． 17. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)由题意： 拍摄区域面积为现在的2倍，推出可拍摄区域半径为 设航拍器飞行高度为 hm，构建方程即可解决问题. (2)如图，由题意航拍器在以O为圆心，2000m为半径的圆上运动.航拍器可拍摄区域的最大直径为 ，此时 解直角三角形求出EO，可得结论. 【详解】（1）解：由题意得∵要求拍摄区域面积为现在的2倍，∴可拍摄区域半径为设航拍器飞行高度为h(m)，则有∴h=36.∴该航拍器还要升高 （2）解：设航拍器可拍摄区域的最大半径为r(m)，则有解得∴该航拍器可拍摄区域的最大半径为 18. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 为半圆的切线，为半圆的直径， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是半圆的切线； （2）解：， 理由：如图2，连接， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 20. 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1） 连接OC ，利用垂直平分线的性质得到 PB=PC，OB=OC.，进而证明 △PBO≌△PCO ，得到 ∠PCO＝∠PBO ，结合已知求得 PC⊥OC ，从而求解； （2） 连接OE ， ① 利用直角所对的圆周角是直角求得 ∠ACB＝90°，再根据角平分线的定义得到. 进而得到90° ，由等腰直角三角形的性质求得. 求出扇形OBE与△OBE的面积，最后根据即可求解； ② 先证明 △DAC∽△DCB，得到，进而，再由三角函数的定义求得. 得到，结合， 即可求解. 【详解】（1）证明：连接OC. ∵PO垂直平分BC，∴PB=PC，OB=OC. 在△PBO与△PCO中， ∴△PBO≌△PCO. ∴∠PCO＝∠PBO. ∵PB⊥AB，∴∠PCO＝∠PBO＝90°. 即PC⊥OC. ∴PC是⊙O的切线. （2）解：连接OE. ①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵CE平分∠ACB， ∴. ∴90°. ∵， ∴. ∴. ∴. ②∵90°，90°且， ∴. 在△DAC与△DCB中， ∴△DAC∽△DCB. ∴. ∵. ∴. ∴. ∵△DAC∽△DCB， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 21. 【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3) 【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可； (2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积； (3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出． 【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC， ∴,都为圆， ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC是∠ADB的角平分线． (2)是． 如图，延长DA至点E，使得AE=DB． 连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC． ∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC， ∴△EAC≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC是等边三角形， ∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为 ∴． (3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性 C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2． ∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2, 由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA, ∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°． ∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°， 在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2， 则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=， 同理D2H= ∴t=D1D2=． ∴x取最大值时,t取最大值． 即D与O、C共线时t取最大值,x=4． 所有t值中的最大值为． 22. 【答案】（1）①√；②×；（2）；（3）①求；② 【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ； （2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题； （3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题； ②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题． 【详解】（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴ 如图所示，过点作于点， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中， （3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，即是的中点， ∴， ∵四边形是倍分四边形． 若是倍分线，则点到的距离相等， 而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线， ∴是倍分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， 在中， ∴ ②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点， 由①可得，则四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴，则， 在中，∵ ∴，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 即 ∴ ∴ 23. 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）根据垂径定理可得弧AC=弧AD，根据圆周角定理可得∠AEC=∠AED，即可求得； （2）根据平行线的性质可得∠CAE=∠AED，推出∠CAE=∠CEA，根据等角对等边可得AC=CE； （3）根据勾股定理的逆定理可得△MOD为直角三角形，再根据圆周角定理可得∠DCM=45°，根据等腰三角形的性质可得CH⊥AE，根据等腰三角形的判定可得AG=CG，根据ASA判定△AFG≌△CHG推出GH=FG=4，再根据ASA判定△CNP≌△KNG推出CP=KG=10，根据相似三角形的判定和性质可得，PH=2，再根据勾股定理即可求得. 【详解】（1）证明：如图1，∵为的直径， 是的弦，于F ∴弧弧 ∴，∴平分 （2）解：如图2，∵∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：连接、，连接并延长交于H， ∵，∴ 由勾股定理的逆定理可得为直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 作于交于P， 易证： ∴， 设 解得 所以 解得 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $