培优10 坐标系中旋转综合（4大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优10 坐标系中旋转综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.旋转的三要素与性质：旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转前后图形全等，对应线段相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。 2.点绕原点旋转的坐标规律： （1）绕原点旋转 180°：点 的对应点为，即关于原点中心对称； （2）绕原点旋转 90°：点 顺时针旋转90°得，逆时针旋转90°得，可直接套用或构造全等验证； （3）绕原点旋转特殊角度（30°、45°、60°等）：需结合解直角三角形与特殊三角形性质求坐标。 （4）旋转任意角：过对应点作坐标轴的垂线，用解直角三角形求坐标分量。 3.绕非原点旋转90°的坐标求法：过对应点作坐标轴的垂线，构造“一线三垂直”全等三角形，由全等对应边求坐标差。 4.旋转中心的确定：分别连接两对对应点，作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心；旋转180时旋转中心即两对应点连线的中点。 5.90°旋转的坐标规律： （1）点绕原点顺时针旋转 90°得； （2）点绕原点逆时针旋转 90° 得； （3）旋转180°（中心对称）：的对应点为，与90°规律区别使用。 6.构造“一线三垂直”全等：过对应点作坐标轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，由全等对应边把坐标差转化为线段长，是90°旋转求坐标最通用、最常用的方法。 7.旋转不变量：旋转中心为原点，旋转前后的旋转半径不变，且旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 8.网格画图法：在网格中按旋转三要素画出旋转后的图形，直接读取对应点坐标。 二 解题模型 1. 坐标系中的旋转问题 第一步：确定旋转中心（原点还是某定点）、旋转方向、旋转角度，标出对应点。 第二步：在坐标系中画出旋转前后图形，直观判断对应点的位置（象限、坐标轴）。 第三步：旋转90°时过对应点作坐标轴垂线，构造“一线三垂直”全等三角形，把坐标差转化为线段长。 第四步：用全等对应边、勾股定理、解直角三角形求出水平、竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：涉及规律探索用周期法，涉及最值与位置关系用分类讨论，涉及函数综合用解析法。 2. 绕原点旋转90°问题 第一步：确认旋转中心为原点、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角为90°。 第二步：能直接套用90°坐标规律的用公式；坐标较复杂或含图形的，构造“一线三垂直”全等求解。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造全等直角三角形，把坐标问题转化为线段问题。 第四步：由全等对应边、勾股定理求出水平与竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与坐标轴位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：连续旋转用周期取余；与平移、函数图象组合时按顺序处理或用解析式方程求解。 3. 绕非原点旋转90°问题 第一步：确定旋转中心（某定点）、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角为90°。 第二步：网格题用画图读坐标；计算题构造“一线三垂直”全等，或用移心法做相对坐标变换。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造全等直角三角形，把坐标差转化为线段长。 第四步：利用旋转性质证明两直角三角形全等，求出水平、竖直方向的线段长。 第五步：以旋转中心坐标为基准，加减坐标差并结合对应点所在象限确定符号，写出坐标。 第六步：找旋转中心用垂直平分线；旋转方向不明确时分类讨论；旋转后点落在函数图象上用解析式建立方程。 3. 绕原点旋转某角度问题 第一步：确认旋转中心为原点，确定旋转方向（顺/逆时针）与旋转角。 第二步：90°、180°套用坐标规律；特殊角（30°、45°、60°）与任意角需构造直角三角形求解。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，把坐标问题转化为线段问题。 第四步：用勾股定理、含30°角直角三角形性质、三角函数求出水平与竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与坐标轴位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：与平移、函数图象、连续旋转组合时，按顺序处理或利用周期规律、解析式方程求解。 题型分析 题型1：坐标系中的旋转问题 【例1】 （23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1-1 （2026·山西运城·三模）如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 变式1-2 （24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． (1)根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； (2)写出线段旋转到的旋转中心的坐标； (3)若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 题型2：绕原点旋转90°问题 【例2】 （25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2-1 （24-25八年级下·上海·阶段检测）将直线绕着坐标系原点旋转后，所得的新的直线解析式为___________； 变式2-2 （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 题型3：绕非原点旋转90°问题 【例3】 （2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3-1 （25-26九年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后，得到的的坐标为______． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 题型4：绕原点旋转某角度问题 【例4】 （24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-1 （25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 变式4-2 （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 解题技巧 1.一线三垂直（K 字型）全等：旋转90°求坐标的核心方法，过点作两坐标轴的垂线构造全等。 2.中心对称中点法：旋转180°时对应点关于旋转中心对称，用中点坐标公式直接求。 3.垂直平分线法求旋转中心：连接对应点作垂直平分线，交点即旋转中心。 4.90°、180°快捷公式：绕原点旋转90°、180直接套用坐标变换规律，快速得解。 5.构造直角三角形：过对应点作坐标轴垂线，是特殊角与任意角旋转求坐标的通用方法。 6.特殊角转化：把30°、45°、60°旋转转化为含特殊角的直角三角形，用边角关系求坐标。 7.周期规律法：图形连续旋转时按旋转周期找坐标规律，用余数定位。 8.化归法：把坐标问题转化为几何线段问题，用全等、勾股、相似等工具求解。 9.先画图再求坐标：先画出旋转后的图形位置，直观判断坐标符号与大小，再计算。 10.分类讨论：旋转方向不明确（可顺可逆）时分别求解。 归纳总结 一、重点 1.点绕原点旋转的坐标规律：绕原点旋转90°、180°的坐标变换。 2.绕非原点旋转90°求坐标：通过构造“一线三垂直”全等把坐标差转化为线段长。 3.旋转中心的确定：利用对应点连线垂直平分线的交点找旋转中心。 4.旋转与全等、勾股的综合运用：坐标系中旋转问题最终大多落在全等与勾股上。 5.连续旋转的周期规律：每旋转4次回到原位，用取余确定最终位置，是本专题的突出考查方向。 6.旋转作图：在网格中画旋转图形并写出对应点坐标，是解答题的常见题型。 二、难点 1.绕非原点旋转的坐标计算：旋转中心不在原点时，需要构造辅助线（一线三垂直）或进行坐标平移变换。 2.旋转规律探索：图形连续旋转、沿轴滚动时坐标的周期性规律，需要归纳推理。 3.旋转与函数图象综合：二次函数、反比例函数图象经旋转后的解析式变化及交点问题。 4.旋转与平移组合作图：一个图形经多次不同变换，需按顺序作图并正确写出坐标。 5.连续旋转的周期规律：旋转多次后确定最终位置，需要准确判断周期与余数。 6.特殊角度旋转的坐标计算：需把旋转角转化为直角三角形中的已知角，灵活运用30°、45°、60°的边角关系。 7.任意角旋转的综合解答题：旋转角为变量时需解直角三角形、分类讨论、列方程求解。 8.新定义问题：如“旋转中点”“旋垂点”，需先理解定义，再转化为旋转、全等、中点公式求解。 9.辅助线的构造：如何想到作坐标轴垂线、构造全等三角形。 10.多结论判断与最值：旋转结合平行四边形、正方形等多结论验证及最值问题。 三、易错点 1.旋转方向错误：顺时针、逆时针混淆，导致对应点坐标符号写错。 2.旋转中心误判：把绕非原点的旋转当成绕原点处理，或旋转中心找错。 3.构造全等时对应关系错误：“一线三垂直”全等中对应边、对应角配对错误。 4.特殊角对应边关系记错：30°所对直角边等于斜边一半等性质用错，导致坐标分量错误。 5.坐标符号判断错误：求出了线段长但结合象限、位置定符号时出错。 6.分类讨论遗漏：动点旋转、为直角三角形等不同情形只考虑一种而漏解。 7.平移与旋转顺序混淆：组合变换中未按定义的先后顺序处理。 8.周期规律计算错误：旋转周期判断错误或余数计算错误。 9.混淆旋转180°与轴对称：中心对称与轴对称的坐标特征混用。 10.作图对应点错误：画旋转图形时对应点位置、旋转方向不准确。 四、数学思想 1.数形结合思想：坐标与图形一一对应，画图辅助理解旋转，是本专题最核心的思想。 2.转化思想：把坐标问题转化为线段长问题，把旋转转化为全等、勾股问题求解。 3.分类讨论思想：旋转方向、动点位置、图形形状不同时分类求解。 4.模型思想：识别“一线三垂直”“手拉手旋转全等”等模型，快速确定构造方向。 5.函数思想：旋转后点落在函数图象上时用解析式建立方程，或研究图象旋转后的函数关系。 6.规律与特殊思想：连续旋转用周期找规律，先考察特殊位置（共线、坐标轴）再推广。 同步测评 1．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，把绕点A逆时针旋转后得到，则经过点D的反比例解析式的k是（   ） A． B． C．12 D． 12．（25-26九年级下·全国·一轮复习）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C的坐标为经过变换得到且点E在y轴上，这种变换可以是（    ） A．绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位长度 B．绕点C逆时针旋转，再向下平移3个单位长度 C．绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 D．绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 13．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广东·模拟预测）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 17．（26-27八年级上·全国·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 18．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为________． 19．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 20．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的坐标为______． 21．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 22．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 23．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 24．（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 25．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 26．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是______． 27．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 28．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 29．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 30．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点坐标为，双曲线经过点，并与交于点． (1)点的坐标为______； (2)求的面积． 32．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 32．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 33．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 34．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后得到，点的对应点的坐标为，请画出；（点、的对应点分别为点、） (2)将绕原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 35．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离 ． (2)将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点P旋转可得到，则旋转中心点P的坐标为 ． 36．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，对于平面内的点A、P，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，则称点B是点A关于点P的“旋垂点”． (1)在平面直角坐标系中，点关于点O的“旋垂点”的坐标是 ． (2)直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． ①如图2，当时，在上取一点C，将绕点C逆时针旋转到点D，使点D落在y轴正半轴上，再将绕点D逆时针旋转到点E，使点E落在x轴正半轴上，． 证明：点C是点E关于点D的“旋垂点”． ②点B关于点A的“旋垂点”记为点．若点A在x轴的负半轴上，且，a的取值范围为，求k的取值范围． 37．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 38．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出将先向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到的； (2)画出将（1）中的绕点顺时针旋转得到的并直接写出点的坐标． 39．（25-26八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 40．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）、、的坐标分别为、、，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． (1)将向下平移3个单位长度，得到（点，，的对应点分别为，，），画出； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别为，），画出； (3)若小明位于处，先到甲储物点处取物品，然后沿轴走到乙储物点取物品，最后都交给位于处的小刚．则小明所走的路程最短是__________． 41．（24-25九年级上·天津河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 42．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是_____； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优10 坐标系中旋转综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.旋转的三要素与性质：旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转前后图形全等，对应线段相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。 2.点绕原点旋转的坐标规律： （1）绕原点旋转 180°：点 的对应点为，即关于原点中心对称； （2）绕原点旋转 90°：点 顺时针旋转90°得，逆时针旋转90°得，可直接套用或构造全等验证； （3）绕原点旋转特殊角度（30°、45°、60°等）：需结合解直角三角形与特殊三角形性质求坐标。 （4）旋转任意角：过对应点作坐标轴的垂线，用解直角三角形求坐标分量。 3.绕非原点旋转90°的坐标求法：过对应点作坐标轴的垂线，构造“一线三垂直”全等三角形，由全等对应边求坐标差。 4.旋转中心的确定：分别连接两对对应点，作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心；旋转180时旋转中心即两对应点连线的中点。 5.90°旋转的坐标规律： （1）点绕原点顺时针旋转 90°得； （2）点绕原点逆时针旋转 90° 得； （3）旋转180°（中心对称）：的对应点为，与90°规律区别使用。 6.构造“一线三垂直”全等：过对应点作坐标轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，由全等对应边把坐标差转化为线段长，是90°旋转求坐标最通用、最常用的方法。 7.旋转不变量：旋转中心为原点，旋转前后的旋转半径不变，且旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 8.网格画图法：在网格中按旋转三要素画出旋转后的图形，直接读取对应点坐标。 二 解题模型 1. 坐标系中的旋转问题 第一步：确定旋转中心（原点还是某定点）、旋转方向、旋转角度，标出对应点。 第二步：在坐标系中画出旋转前后图形，直观判断对应点的位置（象限、坐标轴）。 第三步：旋转90°时过对应点作坐标轴垂线，构造“一线三垂直”全等三角形，把坐标差转化为线段长。 第四步：用全等对应边、勾股定理、解直角三角形求出水平、竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：涉及规律探索用周期法，涉及最值与位置关系用分类讨论，涉及函数综合用解析法。 2. 绕原点旋转90°问题 第一步：确认旋转中心为原点、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角为90°。 第二步：能直接套用90°坐标规律的用公式；坐标较复杂或含图形的，构造“一线三垂直”全等求解。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造全等直角三角形，把坐标问题转化为线段问题。 第四步：由全等对应边、勾股定理求出水平与竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与坐标轴位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：连续旋转用周期取余；与平移、函数图象组合时按顺序处理或用解析式方程求解。 3. 绕非原点旋转90°问题 第一步：确定旋转中心（某定点）、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角为90°。 第二步：网格题用画图读坐标；计算题构造“一线三垂直”全等，或用移心法做相对坐标变换。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造全等直角三角形，把坐标差转化为线段长。 第四步：利用旋转性质证明两直角三角形全等，求出水平、竖直方向的线段长。 第五步：以旋转中心坐标为基准，加减坐标差并结合对应点所在象限确定符号，写出坐标。 第六步：找旋转中心用垂直平分线；旋转方向不明确时分类讨论；旋转后点落在函数图象上用解析式建立方程。 3. 绕原点旋转某角度问题 第一步：确认旋转中心为原点，确定旋转方向（顺/逆时针）与旋转角。 第二步：90°、180°套用坐标规律；特殊角（30°、45°、60°）与任意角需构造直角三角形求解。 第三步：过对应点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，把坐标问题转化为线段问题。 第四步：用勾股定理、含30°角直角三角形性质、三角函数求出水平与竖直方向的线段长。 第五步：由线段长结合对应点所在象限与坐标轴位置确定坐标符号，写出坐标。 第六步：与平移、函数图象、连续旋转组合时，按顺序处理或利用周期规律、解析式方程求解。 题型分析 题型1：坐标系中的旋转问题 【例1】 （23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴，解得， ∴点的坐标． 变式1-1 （2026·山西运城·三模）如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】先画出旋转后的B点对应点D点，构造直角三角形求出 和的长即可求解． 【详解】解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D ∵正方形边长为2 ∴，， 过D点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为． 变式1-2 （24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． (1)根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； (2)写出线段旋转到的旋转中心的坐标； (3)若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 【答案】(1)画出坐标系如图，， (2)旋转中心的坐标为或；(3) 【分析】（1）依据，，即可得到平面直角坐标系，并写出C，D的坐标． （2）旋转中心有两种可能，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． （3）旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积，分别求出各面积即可 本题考查了坐标与图形变化中的旋转，关键是结合网格画图图形，求出线段长． 【详解】（1）画出坐标系如图，， （2）当点A和C，点B和D为对应点时， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为线段与线段的旋转中心， 点P的坐标为； 点A和D，B和C为对应点， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点Q， 则点Q即为线段与线段的旋转中心， 点Q的坐标为． 综上所述，旋转中心的坐标为或． （3）如图，旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积 ∵， ∴线段扫过的面积 ∵，， ∴， ∴线段扫过的面积 题型2：绕原点旋转90°问题 【例2】 （25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设旋转秒后，点的对应点为，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理可得旋转、、、秒后，点对应点的坐标，总结规律，即可得旋转秒后，点的对应点的坐标． 【详解】解：设旋转秒后，点的对应点为， 如图，作轴于点，作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ，∴， ∴，， ∴， 同理可得， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 由此可得，点对应点的坐标按照，，，循环出现， 又∵， ∴旋转秒后，点的对应点的坐标为． 变式2-1 （24-25八年级下·上海·阶段检测）将直线绕着坐标系原点旋转后，所得的新的直线解析式为___________； 【答案】或 【分析】先求出原直线与坐标轴的两个交点坐标，得到交点绕原点旋转后的新坐标，再利用待定系数法求解新直线的解析式． 【详解】解：对于原直线，令，得，令，得， 因此原直线经过点和． ①将两点绕原点顺时针旋转后， 得到新点坐标为和， 设新直线的解析式为， 将和代入得 ，，解得， ∴新直线解析式为； ②将两点绕原点逆时针旋转后， 得到新点坐标为和， 设新直线的解析式为， 将和代入得， ，解得， ∴新直线解析式为； 综上所述，所得的新的直线解析式为：或． 变式2-2 （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求；点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 题型3：绕非原点旋转90°问题 【例3】 （2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，由旋转的性质可得，，作轴于点，再证明，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，， 由旋转的性质可得，， 如图，作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的对应点的坐标为． 变式3-1 （25-26九年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后，得到的的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，利用旋转的性质得到，进而得到，，据此可得出点的坐标． 【详解】解：点B的坐标为，点A的坐标为， 如图，过点B作轴，过点A作轴，两线交于点C， 过点B作轴，，过点作轴，两线交于点D， 由旋转可得，， ， 又， ， ，， 点的坐标为，即， 故答案为． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】此题考查了旋转的作图、坐标系中的图形的变换，正确作图是关键． （1）找到绕点逆时针旋转的对应点，画出旋转后的图形即可； （2）根据（1）中的图形写出答案即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可知，点、的坐标分别为． 题型4：绕原点旋转某角度问题 【例4】 （24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点坐标关于原点对称的特点，平面直角坐标系中象限和点坐标的关系等．根据题意可知与关于原点对称的坐标为， 【详解】解：点在第二象限，绕原点逆时针旋转后即为点的中心对称点， ∴对应点在第四象限， 故选：D． 变式4-1 （25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即，解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． 变式4-2 （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 【答案】(1)见详解；(2)． 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出的对应点，顺次连接可得； （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，按照同样的平移规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示． ． （2）解：， 向右平移5个单位，再向下平移2个单位． 即每个点的横坐标加5，纵坐标减2． ， ． 解题技巧 1.一线三垂直（K 字型）全等：旋转90°求坐标的核心方法，过点作两坐标轴的垂线构造全等。 2.中心对称中点法：旋转180°时对应点关于旋转中心对称，用中点坐标公式直接求。 3.垂直平分线法求旋转中心：连接对应点作垂直平分线，交点即旋转中心。 4.90°、180°快捷公式：绕原点旋转90°、180直接套用坐标变换规律，快速得解。 5.构造直角三角形：过对应点作坐标轴垂线，是特殊角与任意角旋转求坐标的通用方法。 6.特殊角转化：把30°、45°、60°旋转转化为含特殊角的直角三角形，用边角关系求坐标。 7.周期规律法：图形连续旋转时按旋转周期找坐标规律，用余数定位。 8.化归法：把坐标问题转化为几何线段问题，用全等、勾股、相似等工具求解。 9.先画图再求坐标：先画出旋转后的图形位置，直观判断坐标符号与大小，再计算。 10.分类讨论：旋转方向不明确（可顺可逆）时分别求解。 归纳总结 一、重点 1.点绕原点旋转的坐标规律：绕原点旋转90°、180°的坐标变换。 2.绕非原点旋转90°求坐标：通过构造“一线三垂直”全等把坐标差转化为线段长。 3.旋转中心的确定：利用对应点连线垂直平分线的交点找旋转中心。 4.旋转与全等、勾股的综合运用：坐标系中旋转问题最终大多落在全等与勾股上。 5.连续旋转的周期规律：每旋转4次回到原位，用取余确定最终位置，是本专题的突出考查方向。 6.旋转作图：在网格中画旋转图形并写出对应点坐标，是解答题的常见题型。 二、难点 1.绕非原点旋转的坐标计算：旋转中心不在原点时，需要构造辅助线（一线三垂直）或进行坐标平移变换。 2.旋转规律探索：图形连续旋转、沿轴滚动时坐标的周期性规律，需要归纳推理。 3.旋转与函数图象综合：二次函数、反比例函数图象经旋转后的解析式变化及交点问题。 4.旋转与平移组合作图：一个图形经多次不同变换，需按顺序作图并正确写出坐标。 5.连续旋转的周期规律：旋转多次后确定最终位置，需要准确判断周期与余数。 6.特殊角度旋转的坐标计算：需把旋转角转化为直角三角形中的已知角，灵活运用30°、45°、60°的边角关系。 7.任意角旋转的综合解答题：旋转角为变量时需解直角三角形、分类讨论、列方程求解。 8.新定义问题：如“旋转中点”“旋垂点”，需先理解定义，再转化为旋转、全等、中点公式求解。 9.辅助线的构造：如何想到作坐标轴垂线、构造全等三角形。 10.多结论判断与最值：旋转结合平行四边形、正方形等多结论验证及最值问题。 三、易错点 1.旋转方向错误：顺时针、逆时针混淆，导致对应点坐标符号写错。 2.旋转中心误判：把绕非原点的旋转当成绕原点处理，或旋转中心找错。 3.构造全等时对应关系错误：“一线三垂直”全等中对应边、对应角配对错误。 4.特殊角对应边关系记错：30°所对直角边等于斜边一半等性质用错，导致坐标分量错误。 5.坐标符号判断错误：求出了线段长但结合象限、位置定符号时出错。 6.分类讨论遗漏：动点旋转、为直角三角形等不同情形只考虑一种而漏解。 7.平移与旋转顺序混淆：组合变换中未按定义的先后顺序处理。 8.周期规律计算错误：旋转周期判断错误或余数计算错误。 9.混淆旋转180°与轴对称：中心对称与轴对称的坐标特征混用。 10.作图对应点错误：画旋转图形时对应点位置、旋转方向不准确。 四、数学思想 1.数形结合思想：坐标与图形一一对应，画图辅助理解旋转，是本专题最核心的思想。 2.转化思想：把坐标问题转化为线段长问题，把旋转转化为全等、勾股问题求解。 3.分类讨论思想：旋转方向、动点位置、图形形状不同时分类求解。 4.模型思想：识别“一线三垂直”“手拉手旋转全等”等模型，快速确定构造方向。 5.函数思想：旋转后点落在函数图象上时用解析式建立方程，或研究图象旋转后的函数关系。 6.规律与特殊思想：连续旋转用周期找规律，先考察特殊位置（共线、坐标轴）再推广。 同步测评 1．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，再根据旋转的性质可得点落在轴正半轴上，，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴..，， ∵将点绕着原点逆时针旋转得到点， ∴点落在轴正半轴上，， ∴的面积为． 故选：D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 3．（2025·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即，解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键． 连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解． 【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点， 由图象可知，点的坐标为． 故选：B． 5．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 6．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转性质得到点的坐标，进而确定其纵坐标． 【详解】过点B作轴于点C， 是边长为2的等边三角形， ，， 在中，，， ． 将点B绕点O逆时针旋转，根据坐标旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为， 可得， 因此点的纵坐标为，对应选项为B． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，如图： 则点的坐标是． 8．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 9．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的旋转，令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，证明，从而得到点对应点的坐标，同理可得旋转2秒、3秒、4秒、5秒后点对应点的坐标，找出其中的规律即可求出旋转2025秒以后点对应的点的坐标． 【详解】解：如图所示， 令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ∴（） ∴，， ∵点， ∴，， ∴ 如图： 同理可得， 旋转2秒后点的对应点坐标为， 旋转3秒后点的对应点坐标为， 旋转4秒后点的对应点坐标为， 旋转5秒后点的对应点坐标为， 由此可见，点的对应点按，，，循环出现， 又∵， ∴旋转2025秒后点的对应点的坐标为， 故选：A． 10.（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 11．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，把绕点A逆时针旋转后得到，则经过点D的反比例解析式的k是（   ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系、旋转的性质、求反比例函数解析式等知识点，确定点D的坐标是解题关键． 如图：过点D作轴于点E，由旋转的性质可得，，则，则，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过点D作轴于点E，则， ∵把绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴ ∴， ∴， 设该反比例函数的解析式为，则，解得：． 故选A． 12．（25-26九年级下·全国·一轮复习）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C的坐标为经过变换得到且点E在y轴上，这种变换可以是（    ） A．绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位长度 B．绕点C逆时针旋转，再向下平移3个单位长度 C．绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 D．绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查图形的旋转平移，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据旋转变换和平移变换对各选项进行判断． 【详解】解：∵在中， ∵， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴把绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位得到． 13．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转， ∴ 旋转后点的坐标为， ∵ 再向右平移个单位长度得点， ∴． 15．（2024·广东·模拟预测）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转坐标变换，解含有的直角三角形，及二次函数解析式的求解，正确求解出点B的坐标是解决本题的关键． 作辅助线构造直角三角形，有旋转角度求解该直角三角形含有，再根据正方形边长可求解，即可求解点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线即可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点D，如图， ∵正方形绕顶点顺时针旋转， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵在正方形中，， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵轴， 又∵正方形的边长为2，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理，可得， ∴点， 将点代入抛物线中， 即，解得， ∴的值是 ． 故选：D ． 16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，点绕原点旋转后得到的点与点关于原点成中心对称，利用关于原点中心对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：根据关于原点成中心对称的点的坐标特征，横，纵坐标均互为相反数， 已知点的坐标为，可得点的坐标为． 17．（26-27八年级上·全国·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明即可求解． 【详解】解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和，如图， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ，， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 18．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，同理求出点，的坐标，再归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，，，， ∴轴，， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∵， ∴点的坐标为，即． 19．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，从而确定点的坐标，利用旋转的性质得出对应线段相等，结合点所在象限确定坐标符号． 【详解】解：在中，，，． 由勾股定理得． 点的坐标为． ∵绕着原点逆时针旋转90°，得到， ，． 旋转角为，且点在第一象限． 点在第二象限．点的横坐标为，纵坐标为． 点的坐标为． 20．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意标出点，分别过点作轴的垂线，垂足为点，证明，即可求解． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足为点，则 由题意得，，，， ∴， ∴， ∴， 点的坐标为． 21．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得，解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 22．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，根据题意，建立平面直角坐标系，再结合旋转的性质，得出点的位置，最后读取点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转， ∴点A的对应点的坐标为， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，写出点的坐标，根据题意画出，结合坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 故答案为：． 24．（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 26．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】由勾股定理和全等三角形解答即可． 【详解】解：，，， ，，， 由旋转知，，， 作轴于点H， ， ∴， 的横坐标为，纵坐标为． 27．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 28．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【答案】 【分析】作出点旋转前的对应点 ，根据旋转的性质可得，过点 作轴于点 ，根据勾股定理求出，即可得出点 的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 29．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【答案】如图， 点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先画出图形，再写出点的坐标即可. 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到， 点，的对应点分别为点，， ∴点的坐标为． 30．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点坐标为，双曲线经过点，并与交于点． (1)点的坐标为______； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）延长交x轴于F，根据旋转的性质得，再证明四边形是矩形，得出，，即可求得，，从而得解． （2）用待定系数法求反比例函数的解析式为，从而可求得点E坐标为，即可由三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：延长交x轴于F，如图， ∵点坐标为， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）解：双曲线经过点且点的坐标为， ， 反比例函数的解析式为， 又点在反比例函数的解析式为，且点横坐标为2， ，即点的坐标为， ， ， 的面积． 32．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)点； (3) 【难度】0.57 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画旋转图形、根据旋转的性质求解、坐标系中的旋转 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据与轴的交点求解即可； （3）根据旋转的性质，是直线绕点顺时针旋转得到，由此可得角度． 【详解】（1）略 （2）解：点如图所示： 则点； （3）解：点如图所示： 根据旋转的性质可知． 32．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】(1)；(2)尺规作图如图： ； 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． （2）解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 33．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】见详解 【详解】（1），点的坐标为； （2）如上图，点的坐标为 34．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后得到，点的对应点的坐标为，请画出；（点、的对应点分别为点、） (2)将绕原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)见详解；(2)如图，即为所求：点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质进行作图即可； （2）由旋转的性质进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）解：由图，点的坐标为． 35．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离 ． (2)将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点P旋转可得到，则旋转中心点P的坐标为 ． 【答案】(1)；；(2)见详解；(3) 【分析】（1）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式得到点的坐标，据此作图，然后利用两点间的距离公式求出的长即可得到平移的距离； （2）根据旋转的特点找到对应点的位置，再描点，连线作图即可； （3）画出的垂直平分线，其交点P即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵经过平移后得到，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 画图见答案， ∵， ∴线段平移的距离为； （2）； （3）解：如图所示，点即为所求． 36．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，对于平面内的点A、P，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，则称点B是点A关于点P的“旋垂点”． (1)在平面直角坐标系中，点关于点O的“旋垂点”的坐标是 ． (2)直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． ①如图2，当时，在上取一点C，将绕点C逆时针旋转到点D，使点D落在y轴正半轴上，再将绕点D逆时针旋转到点E，使点E落在x轴正半轴上，． 证明：点C是点E关于点D的“旋垂点”． ②点B关于点A的“旋垂点”记为点．若点A在x轴的负半轴上，且，a的取值范围为，求k的取值范围． 【答案】(1)；(2)①见详解；② 【分析】（1）根据定义画出图形并用旋转的性质进行解答即可； （2）①证明，，根据定义即可得到结论； ②把点代入，得，解得；把点代入，解得．由a的取值范围为即可得到k的取值范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴在中，， ∵线段绕点O逆时针旋转得到线段，绕点O逆时针旋转得到线段，线段绕点O逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即点关于点O的“旋垂点”的坐标是； （2）①当时，，，． ，． 过点作轴．垂足为M， 由旋转可知， ， ． 把代入得． ， ， 中， 在与中， ，，， ， ， ． ， 即． ， ， ∴点是点E关于点D的“旋垂点”． ②由题意可得：， 在中，令，得， ， ∴． 当时，，则， ∴． 把点代入，得，解得； 当时，，则， ∴． 把点代入，解得． ∵a的取值范围为， ∴的取值范围为． 37．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】本题主要考查坐标与图形的变化−旋转和扇形的面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到点B，C的对应点，即可求解． （2）线段在旋转过程中扫过的图形为半径长是，圆心角为的扇形，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解：根据题意得：，， ∴线段在旋转过程中所扫过的面积为． 38．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出将先向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到的； (2)画出将（1）中的绕点顺时针旋转得到的并直接写出点的坐标． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，坐标与图形，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据所给平移方式可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点可得的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，则． 39．（25-26八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点，；②；；(2)或． 【分析】（1）①先将正方形四顶点绕分别顺、逆时针旋转，得到点的全部边界范围，再对比三个给定点坐标，判断落在范围内的点即为创新点．②求出旋转后点的完整矩形区域，再求直线与该正方形有交点时的最值，进而确定的取值． （2先把正方形四顶点绕顺、逆时针旋转，得到含参数的点正方形区域，再联立直线与正方形边界，求解直线与区域存在交点时的临界值，最终整合的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， ∵正方形的顶点坐标，，，， ∴由旋转可得、、、，点、、、， 结合图形可得点在正方形上，点不在正方形上，也不在正方形上，点在正方形上， ∴正方形的“创新点”是点，； ②由（）①得将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 综上，的取值范围为； （2）解：∵正方形的顶点坐标，，，， ∴正方形的对角线交点，点到正方形各边的距离都是， 如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、， ∴、、、，点、、、， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点； 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点， 综上，当或时，直线上存在点，使点为正方形的创新点． 40．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）、、的坐标分别为、、，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． (1)将向下平移3个单位长度，得到（点，，的对应点分别为，，），画出； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别为，），画出； (3)若小明位于处，先到甲储物点处取物品，然后沿轴走到乙储物点取物品，最后都交给位于处的小刚．则小明所走的路程最短是__________． 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3) 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据两点间线段最短以及坐标两点的距离公式，分别求出三段路程的最短距离，再求和即可． 【详解】（1） （2） （3）解：处到甲储物点的最短路程为， 甲储物点到乙储物点的最短路程为， 乙储物点到处的最短距离为． 则小明所走的路程最短是． 41．（24-25九年级上·天津河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)；(2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 42．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是_____； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 【答案】(1)见解析，的坐标为；(2)见解析，的坐标为；(3)旋转中心的坐标为 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，画出，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （3）分别连接，，，交于点．分别求出，函数解析式，联立方程组，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，的坐标为 （2）解：如图所示，即为所作，的坐标为； （3）解：连接，，，交于点，则点为旋转中心． 由（1）得， 由（2）得， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理得直线的解析式为， 联立方程组得，解得， ∴点的坐标为． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $