第二十四章 圆（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版九年级下册

第二十四章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A D B C D D A C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 12. （-2，6） 13. 14. 2π－4 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15． 【答案】见详解 【分析】（1）连结OF ，OE，根据直径结合中点得到OC=OD，再根据三角形全等的判定与性质证明Rt△OCF≌Rt△ODE即可得到CF= DE； （2）根据含30°角的直角三角形的性质得到∠CFO=30°，进而得到∠BOE= 60°，再进行角的运算得到∠EOF=60°，从而得到∠AOF=∠FOE=∠EOD，再根据圆心角与弧的关系即可求解； （3）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OEA，从而根据题意进行角的运算得到∠A=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。 【详解】（1）证明：连结OF ，OE，如图， ∵AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点， ∴OC=OD， 而OF=OE， ∴Rt△OCF≌Rt△ODE， ∴CF= DE； （2）证明：在Rt△OCF中，OC=OF， ∴∠CFO=30°， ∴∠COF= 60°， ∴∠BOE= 60°， ∴∠EOF= 180°-60°- 60°=60°， ∴∠AOF=∠FOE=∠EOD， ∴； （3）证明：∵OE=OA， ∴∠A=∠OEA． ∵∠DOE=∠A+∠OEA= 60°， ∴∠A=30°， ∴AE= 2DE， ∴AE= 2CF. 16． 【答案】 【分析】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度． 【详解】如图，连接BE． ∵AF=AD，AB⊥EF， ∴BF=BD．是直径 ∵AB=AC， ∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD= ， ∴tanE=tan∠FBA= ． 在Rt△ABF中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA= = ，AF=3， ∴AB=4． ∵∠BAE=90°， ∴BE是⊙O的直径． ∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4， ∴设AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x， ∵3x=4， ∴BE=5x= ， 即⊙O的直径是 ． 17． 【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）． 【分析】（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD； （2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积. 【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴＝． ∴∠BAC＝∠BCD． ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO． ∴∠ACO＝∠BCD； （2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×24＝12（cm）． 在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8， 根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2 解得r＝13． ∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）． 18． 【答案】（1）见详解；（2）10 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆周角定理证明， 推出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）由圆周角定理证明，得到，推出，在中，解直角三角形得到，根据勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：平分 四边形是平行四边形． （2）解： 是直径 在中， 答：的长为10． 19． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）连接OC，先证OC∥AD，可得∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，结合∠D＝∠ACB＝90°，可证△ABC∽△ACD； （2）由勾股定理求出AD=3，由（1）知△ABC∽△ACD，可得，据此求出AB，继而得出半径. 【详解】（1）证明：连接OC， ∵l是⊙O的切线， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB， ∵∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°， ∴AD＝＝3， ∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴AB＝， ∴半径为． 20． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）连接OC，先求出，再结合，即可得到； （2）连结交于F，先求出AC的长，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出即可。 【详解】（1）证明：连结， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连结交于F， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵Р为弧的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 21． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）连接BE，根据弧和圆周角的关系及角的运算和等量代换可得，再利用等角对等边的关系可得； （2）先证出，可得，再将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。 【详解】（1）证明：连接BE，如图所示 ∵点是的内心 ∴DA平分，BE平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 23． 【答案】（1）详见解析；（2）当α=45°时，四边形BCED为菱形，理由详见解析. 【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根据“ASA”判断△GBC≌△HEC； （2）当α=45°时，如图，根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=45°，则可计算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判断四边形BCED为平行四边形，加上CB=CE，则可判断四边形BCED为菱形． 【详解】（1）证明：∵BC=AC，∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=45°， ∵△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC， ∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB， 在△GBC和△HEC中 ， ∴△GBC≌△HEC； （2）解：当α=45°时，四边形BCED为菱形．理由如下： 如图，∵∠BCF=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°， 而∠E=∠B=45°， ∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°， ∴BD∥CE，BC∥DE， ∴四边形BCED为平行四边形， ∵CB=CE， ∴四边形BCED为菱形． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列叙述的运动属于旋转的是（ ） A．运动员在米跑道上赛跑 B．竖直下落的石子 C．电风扇启动后，它的叶子的运动 D．静止的车轮 【答案】C 【分析】根据旋转的定义，即可解答． 【详解】 A、运动员在100米跑道上赛跑，是平移不是旋转，故错误； B、竖直下落的石子，是平移不是旋转，故错误； C、电风扇启动后，它的叶子的运动，是旋转，故正确； D、静止的车轮，不是旋转，故错误； 故选C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　） A．30° B．60° C．90° D．150° 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可． 【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=90°-30°=60°， ∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上， ∴AC=A′C， ∴△A′AC是等边三角形， ∴∠ACA′=60°， ∴旋转角为60°． 故选：B． 3.如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得． 【详解】解：L=, 解R=2cm． 故选 A. 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故答案选：D. 5.如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A．40° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出∠A=70°，然后根据切线的性质求得∠OEA=∠OFA=90°，再利用四边形内角和求得∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，最后利用圆周角定理求解. 【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°， ∴∠A=70°， ∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F， ∴∠OEA=∠OFA=90°， ∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°， ∴∠EDF=∠EOF=55°． 故选B． 6.如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】∵直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE=CD， ∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=45°， ∴OE=CE， 设OE=CE=x， ∵OC=4， ∴x2+x2=16， 解得：x=2， 即：CE=2， ∴CD=4， 故选C． 7.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A．55° B．110° C．120° D．125° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】根据圆周角定理，得 ∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°． 故选D． 8.如图，点，，都在上，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【详解】∵∠C=34°，∴∠AOB=2∠C=68°． 故选：D． 9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（  ） A．(30+5)πm2 B．40πm2 C．(30+5)πm2 D．55πm2 【答案】A 【分析】利用圆的面积得到底面圆的半径为 5 ，再利用勾股定理计算出母线长， 接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积， 最后求它们的和即可 ． 【详解】设底面圆的半径为R， 则，解得R=5， 圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积； 圆柱的侧面积， 所以需要毛毡的面积=(30+5) πm2． 故选． 10.已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4 ， 则当r1=1时，r4=（　　） A．3 B．32 C．33 D．34 【答案】C 【分析】设三个半圆与直线y=x分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1A，OC2=2C2B，OC3=2C3C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出r4的值． 【详解】 设半圆C1、半圆C2、半圆C3直线y=x分别相切于点A,B,C,连接C1A,C2B,C3C， 则C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC， ∵tan∠COC1=， ∴∠COC1=30°， 又∵三半圆彼此相外切， ∴OC1=2C1A=2r1,OC2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,OC3=2C3C=OC2+r2+r3=3r1+2r2+r3=2r3， ∴2r2=3r1+r2,3r1+2r2+r3=2r3， ∴r2=3r1,r3=3r1+2r2， ∵r1=1=30， ∴r2=3=31， ∴r3=9=32， ∴按此规律归纳得：rn=3n−1， ∴r4=33. 故答案选：C. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11.正六边形的边长为2，则边心距为　 　． 【答案】 【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据垂径定理及正六边形的性质可得∠OCA＝90°，AC＝BC＝ AB＝1，∠AOB＝60°，从而求出∠AOC＝30°，继而得出OC＝ AC，据此计算即得. 【详解】解：如图所示： 连接OA、OB，作OC⊥AB于C， 则∠OCA＝90°，AC＝BC＝ AB＝1，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝30°， ∴OC＝ AC＝ ； 故答案为： ． 12.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____． 【答案】（-2，6） 【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案． 【详解】连接OB1，作B1H⊥OA于H， 由题意得，OA=6，AB=OC-2， 则tan∠BOA=， ∴∠BOA=30°， ∴∠OBA=60°， 由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°， ∴∠B1OH=60°， 在△AOB和△HB1O， ， ∴△AOB≌△HB1O， ∴B1H=OA=6，OH=AB=2， ∴点B1的坐标为（-2，6）， 故答案为（-2，6）． 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°． 【答案】115° 【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决． 【详解】解：连接OC，如右图所示， 由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°， ∴∠COB=50°， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=65°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D+∠ABC=180°， ∴∠D=115°， 故答案为：115°． 14.如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】2π－4 【分析】由OC＝4，点C在上，CD⊥OA，求得DC＝＝，运用S△OCD＝OD，求得OD＝时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积＝扇形AOC的面积－△OCD的面积求解． 【详解】∵OC＝4，点C在上，CD⊥OA，∴DC＝＝，∴S△OCD＝OD，∴S△OCD2＝OD2（16－OD2）＝－OD4＋4OD2＝－（OD2－8）2＋16，∴当OD2＝8，即OD＝2时△OCD的面积最大，∴DC＝＝＝2，∴∠COA＝45°，∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积－△OCD的面积＝－4＝2π－4，故答案为2π－4. 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15． 如图， AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E，F都在⊙O上，求证： （1）CF= DE． （2）． （3）AE=2CF． 【答案】见详解 【分析】（1）连结OF ，OE，根据直径结合中点得到OC=OD，再根据三角形全等的判定与性质证明Rt△OCF≌Rt△ODE即可得到CF= DE； （2）根据含30°角的直角三角形的性质得到∠CFO=30°，进而得到∠BOE= 60°，再进行角的运算得到∠EOF=60°，从而得到∠AOF=∠FOE=∠EOD，再根据圆心角与弧的关系即可求解； （3）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OEA，从而根据题意进行角的运算得到∠A=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。 【详解】（1）证明：连结OF ，OE，如图， ∵AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点， ∴OC=OD， 而OF=OE， ∴Rt△OCF≌Rt△ODE， ∴CF= DE； （2）证明：在Rt△OCF中，OC=OF， ∴∠CFO=30°， ∴∠COF= 60°， ∴∠BOE= 60°， ∴∠EOF= 180°-60°- 60°=60°， ∴∠AOF=∠FOE=∠EOD， ∴； （3）证明：∵OE=OA， ∴∠A=∠OEA． ∵∠DOE=∠A+∠OEA= 60°， ∴∠A=30°， ∴AE= 2DE， ∴AE= 2CF. 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．若AF＝3，tan∠ABD＝ ，求⊙O的直径． 【答案】 【分析】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度． 【详解】如图，连接BE． ∵AF=AD，AB⊥EF， ∴BF=BD．是直径 ∵AB=AC， ∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD= ， ∴tanE=tan∠FBA= ． 在Rt△ABF中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA= = ，AF=3， ∴AB=4． ∵∠BAE=90°， ∴BE是⊙O的直径． ∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4， ∴设AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x， ∵3x=4， ∴BE=5x= ， 即⊙O的直径是 ． 17．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π） 【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）． 【分析】（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD； （2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积. 【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴＝． ∴∠BAC＝∠BCD． ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO． ∴∠ACO＝∠BCD； （2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×24＝12（cm）． 在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8， 根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2 解得r＝13． ∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）． 18．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）10 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆周角定理证明， 推出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）由圆周角定理证明，得到，推出，在中，解直角三角形得到，根据勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：平分 四边形是平行四边形． （2）解： 是直径 在中， 答：的长为10． 19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）连接OC，先证OC∥AD，可得∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，结合∠D＝∠ACB＝90°，可证△ABC∽△ACD； （2）由勾股定理求出AD=3，由（1）知△ABC∽△ACD，可得，据此求出AB，继而得出半径. 【详解】（1）证明：连接OC， ∵l是⊙O的切线， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB， ∵∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°， ∴AD＝＝3， ∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴AB＝， ∴半径为． 20．如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线． （1）求证：； （2）如图2，取弧的中点P，连接，若，，求弦的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）连接OC，先求出，再结合，即可得到； （2）连结交于F，先求出AC的长，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出即可。 【详解】（1）证明：连结， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连结交于F， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵Р为弧的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 21．如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F． （1）求证：． （2）若，，求AE的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）连接BE，根据弧和圆周角的关系及角的运算和等量代换可得，再利用等角对等边的关系可得； （2）先证出，可得，再将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。 【详解】（1）证明：连接BE，如图所示 ∵点是的内心 ∴DA平分，BE平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 23．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G． （1）求证：△GBC≌△HEC； （2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）当α=45°时，四边形BCED为菱形，理由详见解析. 【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根据“ASA”判断△GBC≌△HEC； （2）当α=45°时，如图，根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=45°，则可计算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判断四边形BCED为平行四边形，加上CB=CE，则可判断四边形BCED为菱形． 【详解】（1）证明：∵BC=AC，∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=45°， ∵△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC， ∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB， 在△GBC和△HEC中 ， ∴△GBC≌△HEC； （2）解：当α=45°时，四边形BCED为菱形．理由如下： 如图，∵∠BCF=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°， 而∠E=∠B=45°， ∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°， ∴BD∥CE，BC∥DE， ∴四边形BCED为平行四边形， ∵CB=CE， ∴四边形BCED为菱形． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列叙述的运动属于旋转的是（ ） A．运动员在米跑道上赛跑 B．竖直下落的石子 C．电风扇启动后，它的叶子的运动 D．静止的车轮 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　） A．30° B．60° C．90° D．150° 3.如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm 4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 5.如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A．40° B．55° C．65° D．70° 6.如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ） A． B．4 C． D．8 7.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A．55° B．110° C．120° D．125° 8.如图，点，，都在上，若，则为（ ） A． B． C． D． 9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（  ） A．(30+5)πm2 B．40πm2 C．(30+5)πm2 D．55πm2 10.已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4 ， 则当r1=1时，r4=（　　） A．3 B．32 C．33 D．34 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11.正六边形的边长为2，则边心距为　 　． 12.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____． 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°． 14.如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15． 如图， AB为⊙O的直径，C，D分别为OA，OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E，F都在⊙O上，求证： （1）CF= DE． （2）． （3）AE=2CF． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．若AF＝3，tan∠ABD＝ ，求⊙O的直径． 17．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π） 18．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 20．如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线． （1）求证：； （2）如图2，取弧的中点P，连接，若，，求弦的长． 21．如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F． （1）求证：． （2）若，，求AE的长． 22．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 23．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G． （1）求证：△GBC≌△HEC； （2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $