第3章 圆的基本性质（单元自测）数学新教材浙教版九年级上册

第3章 圆的基本性质 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列事件中，必然事件是（ ） A．明天不会下雨 B．三点确定一个圆 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指一定发生的事件．选项A和C是随机事件，不一定发生；选项B不一定成立，因为三点共线时不能确定圆；选项D是圆的固有属性，必然成立． 【解析】在圆中，直径是通过圆心的弦，且所有弦中直径最长，这是圆的基本性质， 选项D是必然事件． 对于其他选项： A：明天可能下雨，也可能不下雨，不是必然事件； B：三点共线时无法确定圆，不是必然事件； C：车辆遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 故选D． 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选A． 3．如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，，过点A作于点C，先证是等腰三角形，结合与点A的坐标是，得到，从而求得点B坐标． 【解析】如图，连接，，过点A作于点C， ∵经过原点O，并与x轴交于点B， ∴， ∵， ∴． ∵点A的坐标是，， ∴， ∵， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标是． 故选C． 4．在中，，，，则外接圆的半径为（ ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【解析】∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选B． 5．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【解析】，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于．故选C． 6．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心到三个角顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，圆周角定理，垂径定理，三角形外心的性质，根据确定圆的条件判断A选项；根据同圆或等圆中，等角对等弧判断B选项；根据垂径定理判断C选项；根据三角形外心的性质判断D选项． 【解析】不共线的三点确定一个圆，故A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，C错误； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故D正确． 故选D 7．如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【解析】如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选B． 8．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【解析】∵的外心为O， ． ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选D． 9．已知内接于，点是上一点，下列命题正确的是（ ） A．若平分，则 B．若．则点在劣弧上 C．若，则平分 D．若平分，则 【答案】D 【分析】根据垂径定理的推论即可判定选项A；根据题意得出，可得点在或上，即可判定选项B；画出图形即可判断C选项，延长至点F，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，即可得到，判定选项D． 【解析】A、平分，如图1， 当为直径时，与不一定垂直，选项A不正确； B、若，而， 则，点在或上，故B不正确； C、如图2， ， ∴平分， ，得不到， 不一定平分， 则C不正确； D、如图3，延长至点F，使得，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用相关知识时解决问题的关键． 10．下列语句正确的是（ ） A．旋转后的图形一定与原图形全等 B．弧长相等的弧所对的圆心角相等 C．任意四个点一定可以确定一个圆 D．圆内接三角形一定是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查几何图形的性质，包括旋转的性质、圆的性质等．选项A涉及旋转后的图形全等性；选项B涉及等弧与圆心角的关系；选项C涉及点与圆的位置关系；选项D涉及圆内接三角形的性质．根据初中数学知识判断各选项正误． 【解析】A． 旋转后的图形一定与原图形全等，故该选项正确，符合题意； B． 同圆或等圆中，弧长相等的弧所对的圆心角相等，故该选项不正确，不符合题意； C． 不在同一直线上的三点确定一个圆，但四点不一定共圆，故该选项不正确，不符合题意； D． 圆内接三角形不一定是直角三角形，只有当一条边是直径时才是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．圆的半径为，若，则点在________．（填圆内或圆上或圆外） 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可得到答案． 【解析】∵圆的半径为，若， 则， ∴ 点在圆内， 故答案为圆内． 12．已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【解析】设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为． 13．下列命题是真命题的有________（填序号）． ①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆内接四边形的对角互补． 【答案】 ④ 【分析】本题考查了圆的相关定理和性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆的相关定理和性质逐一判断命题的真假：三点共线时不能确定圆；弦为直径时不一定垂直；需在同圆或等圆中；圆内接四边形对角互补成立． 【解析】经过平面内任意三个点不一定能确定一个圆，当三点共线时无法确定圆，故错误； 平分弦的直径垂直于弦的前提是弦不是直径，否则不一定成立，故错误； 相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，否则不成立，故错误； 圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的性质，故正确． 故答案为． 14．如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为________（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【解析】如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为． 15．如图，在中，为直径，弦，，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及弦与弧的关系、同弧所对的圆周角相等、圆的基本性质、等边对等角、三角形内角和定理、圆心角定理等知识，熟记圆的相关性质是解决问题的关键． 先由弦相等得到弧相等，再由同弧所对的圆周角相等得到，再由等边对等角得到，再由三角形内角和定理得到，从而得到所对的圆心角为，再由圆周角定理即可得到答案． 【解析】弦， ， 则， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， 所对的圆心角为， 则由圆周角定理可得， 故答案为． 16．扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式和弧长公式的应用，先用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出弧长即可． 【解析】设扇形的半径为r， 依题意得：， 解得：， ∴弧长为， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（8分）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案． 【解析】如图，连接， ， 为圆的直径，， ， ， ． 18．（8分）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【解析】（1）略 （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 19．（8分）如图，在中，点A是的中点，平分，，． （1）求的度数； （2）求出的半径； （3）直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）2 （3） 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，求不规则图形的面积， （1）由点A是的中点，得到，因此，由圆周角定理得到，从而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答； （2）过点O作于点E，由垂径定理得到，再平分得到，因此，进而在中求出，即可解答； （3）连接，求出和扇形的面积，根据即可求解． 【解析】（1）解：∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：过点O作于点E， ∵过圆心O， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴的半径为2． （3）解：连接， 由（2）可得， ∴， 由（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）如图，为的直径，点在上，延长到，连接并延长，与交于点，连接，，恰好使得． （1）求证：； （2）若，的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， ； （2） 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，弧长公式，扇形面积的计算，勾股定理，垂径定理，掌握相关性质定理是解题的关键． （1）先根据圆周角定理结合已知的证明为等腰三角形，再根据直径所对的圆周角等于，得到，最后根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）连接，过点作于点，根据弧长公式先求出的度数，从而得到，的度数，根据勾股定理求得、的长，由垂径定理可得的长，最后根据求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：如图所示，连接，过点作于点， ， ， 设， 的长为， ，解得， 即， ，， ， ， ， ． 21．（10分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【解析】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． （1）利用尺规作出外接圆的圆心． （2）写出圆心M的坐标，并求出的半径． 【答案】（1） （2）圆心的坐标为，的半径为 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心， ∴圆心的坐标为， 连接， ∵， ∴， ∴， 即的半径为． 23．（10分）如图，是直径，弦于点E，过点C作的垂线，交的延长线于点G，垂足为点F，连结． （1）求证：． （2）若，． ①设，用含a的代数式表示． ②求的半径． 【答案】（1） 证明：∵弦于点E，过点C作的垂线，交的延长线于点G，垂足为点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①或②3 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）先根据垂直的定义得出，故可得出，根据圆周角定理可知，故，进而得出结论； （2）①方法一：连结OC，由垂径定理得，根据勾股定理得；方法二：由得：，运用三线合一性质可知，从而得到； ②设⊙O的半径为r．则，由等腰三角形的性质得出，在中利用勾股定理得出r的值即可． 【解析】（1）略 （2）解：①方法一：如图，连结OC， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴； 方法二：由得：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设的半径为r，则， ∵， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为3． 24．（10分）综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是________，“依据2”是________． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 【答案】【反思归纳】①，③； 【结论运用】（1）； （2）①证明：由旋转的性质可得，， ∴， ， ∴， ∴点四点共圆； ②证明：如图，连接， ∵点四点共圆， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是读懂题干信息； 【反思归纳】（1）选择恰当的依据填空即可； 【结论运用】（1）通过已知判断四点共圆，进而利用圆周角的性质即可求得结果； （2）①利用旋转可得，进而结论可证； ②通过论证，结合等腰三角形即可得出结论． 【解析】【反思归纳】解：∵四点共圆， ∴，（圆内接四边形对角互补） ， 点四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） 点四点在同一个圆上． 故答案为①，③； 【结论运用】（1）解：∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， 故答案为； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列事件中，必然事件是（ ） A．明天不会下雨 B．三点确定一个圆 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．圆中最长的弦是直径 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则外接圆的半径为（ ） A．10 B．5 C．6 D．4 5．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）． A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心到三个角顶点的距离相等 7．如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 9．已知内接于，点是上一点，下列命题正确的是（ ） A．若平分，则 B．若．则点在劣弧上 C．若，则平分 D．若平分，则 10．下列语句正确的是（ ） A．旋转后的图形一定与原图形全等 B．弧长相等的弧所对的圆心角相等 C．任意四个点一定可以确定一个圆 D．圆内接三角形一定是直角三角形 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．圆的半径为，若，则点在________．（填圆内或圆上或圆外） 12．已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为________． 13．下列命题是真命题的有________（填序号）． ①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆内接四边形的对角互补． 14．如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为________（结果保留） 15．如图，在中，为直径，弦，，的度数为________． 16．扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（8分）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 18．（8分）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（8分）如图，在中，点A是的中点，平分，，． （1）求的度数； （2）求出的半径； （3）直接写出图中阴影部分的面积． 20．（8分）如图，为的直径，点在上，延长到，连接并延长，与交于点，连接，，恰好使得． （1）求证：； （2）若，的长为，求图中阴影部分的面积． 21．（10分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． （1）利用尺规作出外接圆的圆心． （2）写出圆心M的坐标，并求出的半径． 23．（10分）如图，是直径，弦于点E，过点C作的垂线，交的延长线于点G，垂足为点F，连结． （1）求证：． （2）若，． ①设，用含a的代数式表示． ②求的半径． 24．（10分）综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是________，“依据2”是________． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $