培优专练29 随机变量分布列-2027年高三数学一轮复习

培优专练29 随机变量分布列 【题型一】 求分布列与数学期望 【题型四】 方案决策：概率、期望、方差约束 【题型二】 二项分布与超几何分布 【题型五】 期望与方差的性质及综合应用 【题型三】 条件概率、全概率与贝叶斯公式 【题型六】 递推数列、递推概率与期望 2024 新课标Ⅰ卷 填空题 期望可加性＋对称性 2024 新课标Ⅱ卷 解答题 方案决策：比概率、比期望 2024 北京卷 解答题 数字特征 2024 天津卷 填空题 条件概率 2024 上海卷 填空题 全概率 2025 新课标Ⅰ卷 填空题 个数型期望 2025 新课标Ⅱ卷 解答题 递推概率 2025 北京卷 解答题 分布列＋期望 2025 天津卷 填空题 条件概率＋二项分布 2026 新课标Ⅰ卷 解答题 分布列＋期望 2026 新课标Ⅱ卷 解答题 频率估计＋二项分布 2026 北京卷 解答题 方差比较 2026 天津卷 填空题 条件概率 2026 上海卷 填空题 分布列与数字特征 【题型一】 求分布列与数学期望 1．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 2．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 3．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）将标有号码1，2，，8的八张卡片随机分成四组，每组两张，各种分组方式等可能．记两张卡片号码之和为9的组数为． (1)求不同分组方式的总数，并求； (2)求随机变量的分布列； (3)分组完成后，从四组中等可能地随机选取一组．已知所选组中两张卡片的号码之和为9，求在此条件下的分布列． 【题型二】 二项分布与超几何分布 5．（2026·广东梅州·模拟预测）为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关? 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（2026·黑龙江大庆·一模）某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 7．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 8．（2026·陕西咸阳·三模）现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 9．（2026·湖南怀化·三模）小明同学设计了一个游戏：有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）． 游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜． (1)若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率． (2)现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略． (3)若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于局的概率记为，试比较与的大小． 【题型三】 条件概率、全概率与贝叶斯公式 10．（2027·湖南衡阳·一模）某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 (1)求，； (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． (3)工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 12．（2026·山西忻州·模拟预测）某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． (1)若，求允许出厂的产品实际合格的概率； (2)若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 13．（2026·山东·模拟预测）某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 14．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【题型四】 方案决策：概率、期望、方差约束 15．（2026·山东威海·模拟预测）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 17．（2026·贵州安顺·模拟预测）某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． (2)若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 19．（2026·河北邯郸·三模）某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 20．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【题型五】 期望与方差的性质及综合应用 22．（2026·河北邢台·三模）随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 23．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 24．（2026·湖北武汉·三模）某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 25．（2025·安徽合肥·模拟预测）合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【题型六】 递推数列、递推概率与期望 26．某质点在如图所示的区域内随机游走，每轮质点进行一次移动，初始时在A区域．当质点在区域时，移动到每个有通道连接的相邻区域或留在本区域的概率均为（区域不互通）；当质点移动到D区域时结束游走． (1)设每轮游走结束后，质点位于B区域为事件M．记前两轮游走后，事件M发生的次数为X，求X的分布列及期望； (2)设表示第n轮游走结束后质点在A区域的概率，表示第n轮游走结束后质点在B区域的概率．已知初始状态：． （i）求； （ii）是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由．并从概率的角度分析，质点是否可以在区域内无限次游走？ 27．（2026·海南海口·模拟预测）某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． (1)求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； (2)在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 28．已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球． (1)经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望； (2)记第次摸球后，游戏结束的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求关于的表达式． 29．（2026·河南周口·三模）在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． (1)求，的值； (2)求的分布列； (3)记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练29 随机变量分布列 【题型一】 求分布列与数学期望 【题型四】 方案决策：概率、期望、方差约束 【题型二】 二项分布与超几何分布 【题型五】 期望与方差的性质及综合应用 【题型三】 条件概率、全概率与贝叶斯公式 【题型六】 递推数列、递推概率与期望 2024 新课标Ⅰ卷 填空题 期望可加性＋对称性 2024 新课标Ⅱ卷 解答题 方案决策：比概率、比期望 2024 北京卷 解答题 数字特征 2024 天津卷 填空题 条件概率 2024 上海卷 填空题 全概率 2025 新课标Ⅰ卷 填空题 个数型期望 2025 新课标Ⅱ卷 解答题 递推概率 2025 北京卷 解答题 分布列＋期望 2025 天津卷 填空题 条件概率＋二项分布 2026 新课标Ⅰ卷 解答题 分布列＋期望 2026 新课标Ⅱ卷 解答题 频率估计＋二项分布 2026 北京卷 解答题 方差比较 2026 天津卷 填空题 条件概率 2026 上海卷 填空题 分布列与数字特征 【题型一】 求分布列与数学期望 1．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件． （方法一）． （方法二：间接法）． （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ． 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 2．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 【详解】（1）记甲获胜为事件，其中分为三种情形， 情形一：甲得1分，乙得0分，概率为. 情形二：甲得2分，乙得0、1分，概率为. 情形三：甲得3分，乙得0、1、2分，概率为. 从而. （2） 的所有可能取值为. ， ， ， ， ， ， . 从而的分布列为 . 3．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）将标有号码1，2，，8的八张卡片随机分成四组，每组两张，各种分组方式等可能．记两张卡片号码之和为9的组数为． (1)求不同分组方式的总数，并求； (2)求随机变量的分布列； (3)分组完成后，从四组中等可能地随机选取一组．已知所选组中两张卡片的号码之和为9，求在此条件下的分布列． 【详解】（1）记四个“和为9”的配对为，，，． 先给号码1选同组卡片，有7种； 再给尚未分组的最小号码选同组卡片，依次有5，3，1种， 因此不同分组方式共有种； 又因为时分组方式唯一，故． （2）若已有三组和为9，剩余两张的和也为9，即不能取3， 所以只能取0，1，2，4． 当时，先从四个特殊配对中选出两个，余下四张有3种配法， 其中原来的两对会使，其余2种交叉配对均不再产生和为9的组， 故方式数为，可得； 当时，先选出唯一一组和为9的配对，有4种， 以选出为例，余下三组特殊配对为，，，卡片2不能与7配对，只能从3，6，4，5中选择搭档，共4种， 选定后，剩余四张卡片中还保留着一组完整的特殊配对；为了不产生新的和为9的组，卡片7必须与这组中的一张配对，有2种，最后两张的配法随之确定， 因此，固定唯一一组后有种配法， 故的方式数为，所以； 则； 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 （3）记事件为“选中的一组号码之和为9”， 由于分组和选组的过程对任意两张卡片完全对称，最终选中的一组等可能为个二元组之一；其中有4个和为9，故． 当时，四组中恰有组满足条件，所以． 由条件概率公式可得：，，． 所以在此条件下的分布列 1 2 4 【题型二】 二项分布与超几何分布 5．（2026·广东梅州·模拟预测）为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关? 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）新型国产机床的200件样本中含40件次品、160件良品， 从中不放回抽取3件，符合超几何分布，恰有1件次品的概率为：； （2）提出零假设：产品的质量与使用机床的类型无关， 代入卡方公式计算观测值：， 由于，依据的独立性检验，推断不成立， 即能判断产品的质量与使用机床的类型有关. 6．（2026·黑龙江大庆·一模）某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 【详解】（1）首先补全列联表： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 女生不关注AI的人数为，男生关注AI的人数为，不关注AI的总人数为，总调查人数为, 提出零假设：学生对AI的关注与性别无关联, 代入卡方公式计算, 由于，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关联; （2）60名男生中关注AI的有40人，不关注AI的有20人，按比例分配分层抽样抽取6人时，抽取关注AI的人数为，不关注AI的人数为, 为从6人中抽3人时抽到关注AI的人数，服从超几何分布，可能取值为1,2,3, ,, , 因此的分布列为 1 2 3 所以 7．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 【详解】（1）设“第一轮操作结束后，2号箱子中是2个红球”为事件A， 若2号箱子中是2个红球，则应从1号箱子中取出红球，从2号箱子中取出黑球， 若放入1号箱子的是红球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 若放入1号箱子的是黑球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 所以． （2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2， 设从第i号箱子中取出球之前，该箱子中是两个红球和一个黑球的概率为， 则， 所以， 又因为，所以，所以， 即，所以． 所以，，， 所以． （3）第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率为， 则第二轮操作结束后，所有箱子中小球颜色均相同的概率． 设“第二轮操作结束后，所有箱子中的两个小球颜色均相同”为事件B， 则． 因为， 所以， 所以． 8．（2026·陕西咸阳·三模）现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 【详解】（1）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. （2）当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. （3）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 9．（2026·湖南怀化·三模）小明同学设计了一个游戏：有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）． 游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜． (1)若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率． (2)现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略． (3)若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于局的概率记为，试比较与的大小． 【详解】（1）记事件所选箱子中的硬币为“全正”，所选箱子中的硬币为“全反”， 所选箱子中的硬币为“正常”， 所选箱子中观察到硬币正面朝上， 则，且，，， 由全概率公式：， 再由贝叶斯公式，所求概率为. 因此所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，则该硬币为正常硬币的概率为. （2）解法一：根据题意，选择的箱子中为“全正”硬币才能获胜，要使获胜的概率最大，则当所选箱子中硬币为“反面朝上”时必须更换选择，所以最佳策略只需要考虑：当所选箱子中硬币为“正面朝上”时是否更换选择． ①当所选箱子中硬币为“正面朝上”时不更换选择，“反面朝上”时更换选择（即题中玩家的策略）， 若第一次选到“全正”硬币（概率为）：必出现正面朝上，不换直接获胜，贡献； 若第一次选到正常硬币（概率为）：出现“正面朝上”时不更换，获胜的概率为0， 出现反面朝上的概率为，换后从剩余箱选中“全正”的概率为，贡献； 若第一次选到“全反”硬币（概率为）：必出现反面朝上，换后选中“全正”的概率为，贡献， 玩家该局获胜（正面不换反面换）的概率为．              ②无论所选箱子中硬币为“正面朝上”还是“反面朝上”都更换选择， 玩家该局获胜（无论正面反面都换）的概率为．         因为，所以该玩家制定的策略是最佳策略．    解法二：设所选箱子中硬币为“正面朝上”时更换选择的概率为，“反面朝上”时更换选择的概率为， 则玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的情况有： ①玩家选择的箱子中为正常硬币且正面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为. ②玩家选择的箱子中为“全正”硬币且正面朝上，不更换箱子，则选中“全正”硬币的概率为. ③玩家选择的箱子中为正常硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为. ④玩家选择的箱子中为“全反”硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为． 故玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的概率为 ， 因为，，所以， 故当且仅当，即且时概率有最大值， 即正面不换反面换获胜的概率最大为. 故该玩家制定的该策略为最佳策略． （3）设玩家前局游戏中获胜局数为，由（2）知，且. 前局中至少获胜局包含以下几种情况： ①玩家前局游戏中获胜局且后两局连胜， 概率为； ②玩家前局游戏中获胜局且后两局至少胜一局， 概率为； ③玩家前局游戏中至少获胜局， 概率为．       综上， ， 故，因此． 【题型三】 条件概率、全概率与贝叶斯公式 10．（2027·湖南衡阳·一模）某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 (1)求，； (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． (3)工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 【详解】（1）（1）由题意知，， 解得． （2）（2）设事件恰有1台摄像头识别出该障碍物，有台摄像头正常工作， 由全概率公式知， ， 故． （3）不可能，理由如下. 因为，，． 所以， 若要，则，即， 上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求． 11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 12．（2026·山西忻州·模拟预测）某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． (1)若，求允许出厂的产品实际合格的概率； (2)若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 【详解】（1）记事件表示“产品实际合格”，事件表示“产品允许出厂”， 由题意，，， 若产品实际合格，则甲、乙均判为合格的概率为， 若产品实际不合格，则甲、乙均误判为合格的概率为， 当时，， 代入数据得． （2）由（1）知，即． 由题意要求． 因为，所以．即． 因此，所以．又，故． 13．（2026·山东·模拟预测）某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 【详解】（1）根据题意可知的分布为，， 所以期望. （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持， 由二项分布公式可得. （3）事件“”为：个年中，只有个年生物种群分解为个种群， 记事件为在第个年种群分解为个，则， 事件“”为：前个年有个种群，第年开始有个种群，则， 因此. 14．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）由题意知，， . （2）记“第次测试后恰好通过第1关”为事件， “第次至次测试后没有通过第2关，且第次测试后恰好通过第2关”为事件， “第至次进行第3关测试没有通过，且第次通过”为事件， 则， ， . 所以. 令， ， 所以， ， 所以. 所以. （3）由（2）得，，， . 令，则， 所以， 因为随的增大而增大， 所以当时，， 当时，，； 当时，，，是增数列. 所以当时，取得最小值，最小值为. 又，且； 所以当时，，即， 所以. 因为，所以，即； 当时，，即， 所以.因为， 所以，即. 综上所述，当时，； 当时，. 【题型四】 方案决策：概率、期望、方差约束 15．（2026·山东威海·模拟预测）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 【详解】（1）设事件分别为该同学选择甲、乙、丙箱抽奖，事件为该同学中奖. ∵ 该同学等可能选择三个箱子，∴ ， 又已知， 由全概率公式得 . （2）设方案一获得的学习用品价值为，则的可能取值为. ∵ 各箱中奖与否互不影响， ∴ ， ， ， ∴ . 设方案二获得的学习用品价值为，则的可能取值为，三次从甲箱抽奖的中奖次数服从二项分布. ∴ ， ， ， ∴ . ∵ ，即， ∴ 该同学选择方案一更合适. 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 【详解】（1）记“甲最终闯关成功”为事件，则． （2）若选用方案一，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为，，． ，，， 则． 若选用方案二，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为7，3． ，， 则． 所以， 若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 17．（2026·贵州安顺·模拟预测）某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． (2)若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 【详解】（1）设“该同学中奖”为事件，“选择甲、乙、丙智能抽奖系统”分别为事件， 则， ，， 所以， 所以该同学中奖的概率为． （2）选择方案一： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为60，35，0， 则， ， ， 所以． 选择方案二： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为80，50，0， 则，， 所以． 因为，故该同学应选择方案一． 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【详解】（1）设小明在A组题中答对的题目数为X，则答错道， A组题的总得分为：， 令，解得，因为X是答对题数，所以， 因为小明答对每道题的概率均为p，所以， 所以， . （2）因为，所以， 则， 设小明在B组题中答对Y道，则，B组题的总得分， 同理， 令，，解得， 所以当时，选择B组题总得分期望更高；当时，选择A组题和B组题的总得分期望相同；当时，选择A组题总得分期望更高. 19．（2026·河北邯郸·三模）某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 【详解】（1）由题可知，，， 所以， 由全概率公式可得：， 所以. （2）对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故. 设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为， 由题可知，服从二项分布，即， 所以. 又因为， 所以， 因为， 所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ. 20．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【题型五】 期望与方差的性质及综合应用 22．（2026·河北邢台·三模）随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 【详解】（1）的所有可能取值为，， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. （2）设一等品有台，则二等品有台，依题意，， 由（1）得，， 所以的数学期望， 方差. 23．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【详解】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 24．（2026·湖北武汉·三模）某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 【详解】（1）设社团“星火社”至少参加一次博览会为事件M，则； （2）当时，同时收到两次邀请的社团数为， 仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为， 则由乘法计数原理知事件所含基本事件数为， 此时， 令，即得， 解得， 则当能被整除时， 在和处取得最大值， 当不能被整除时，在处取得最大值； （表示的整数部分） （3）记“某社团参加周一的博览会”为事件A，“某社团参加周三的博览会”为事件B， 记两次都参加的社团数，则，S满足超几何分布， （i）； （ii）证明：， 所以 . 25．（2025·安徽合肥·模拟预测）合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【详解】(1)改选2号箱，理由： 用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子. 如上所述，你初次选择了1号箱.因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里， 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件的概率仍为，此为先验概率. 主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况： 奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故； 奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故. 利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为 . 再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为 所以改选2号箱，因为这样会增加中奖的概率； (2)改选2号､3号以外的箱，理由： 用分别表示i号箱子里有奖品，则， 用分别表示主持人打开i号箱子， 则， 则. 所以 所以改选2号､3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率； (3)，，验证如下： 用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子， 则， ， ，则当时， ， 所以， 对任意的，， 记分别为大于的最小整数和小于的最大整数， 则， 所以， 所以， 令， 则当时，单调递增； 当时，单调递减，所以. 所以， 下面证明， 即证明， 因为， 所以， 即当时，，即. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 综上所述，成立. 【题型六】 递推数列、递推概率与期望 26．某质点在如图所示的区域内随机游走，每轮质点进行一次移动，初始时在A区域．当质点在区域时，移动到每个有通道连接的相邻区域或留在本区域的概率均为（区域不互通）；当质点移动到D区域时结束游走． (1)设每轮游走结束后，质点位于B区域为事件M．记前两轮游走后，事件M发生的次数为X，求X的分布列及期望； (2)设表示第n轮游走结束后质点在A区域的概率，表示第n轮游走结束后质点在B区域的概率．已知初始状态：． （i）求； （ii）是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由．并从概率的角度分析，质点是否可以在区域内无限次游走？ 【详解】（1）初始时质点在A区域，2轮游走的所有可能路径为： ， ， . 记前两轮游走后，事件M发生的次数为，则的可能取值为. ； ； . 所以X的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （2）（i），. （ii）设第n轮游走结束后质点在C区域的概率为，则. 若第n轮游走结束后质点在A区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在B区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在C区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在D区域，则结束游走. 所以， 所以. 假设存在实数使得数列为等比数列，则（为非零常数）， 所以.所以，所以，，解得. 所以或. 当时，， . 当，， . 综上所述，. 设第轮游走结束后质点在区域的概率，则， 因为，所以，即质点落在区域的概率会随着游走轮数的增加而增大，会逐渐趋近于1， 所以质点不能在区域无限次游走. 27．（2026·海南海口·模拟预测）某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． (1)求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； (2)在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （2）（i）甲达到累积分数m的事件，可根据最后一次得分的路径分为两类：1. 经累积m−1分后，再答对一道得1分的题； 2. 经累积m−2分后，再答对一道得2分的题.因此，根据概率加法和乘法原理， P(m)等于所有达到m−1分路径的概率之和乘以，加上所有达到m−2分路径的概率之和乘以， 所以时，， 所以， 即， 所以． （ii）由题意得，，， 所以由（i）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以① 又由， 得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以②． ②-①可得， 所以． 由于， 当时，， 令，则单调递减， 所以 ，所以时，， 又， 所以当时，取得最大值． 28．已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球． (1)经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望； (2)记第次摸球后，游戏结束的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求关于的表达式． 【详解】（1）的取值为2，4，6， ， ， ， 所以的分布列为： 2 4 6 ， （2）（ⅰ）第4次摸球后，游戏结束可以分为以下三种情况： ①第1次摸到红球，第2、3、4次摸到黑球，其概率为， ②第1次摸到黑球，第2次摸到红球，第3、4次摸到黑球，其概率为， ③第1、2次摸到黑球，第3次摸到红球，第4次摸到黑球， 其概率为， 所以， （ⅱ）依题意知，第次摸球后，游戏结束的概率为， 第次摸球后，游戏结束可以分为以下两种情况： ①第1次摸到红球，游戏结束的概率为， ②第1次摸到黑球，从第2次到第次摸球中只摸到一次黑球，第次摸到黑球，游戏结束的概率为： ， 由全概率公式得， 故； 29．（2026·河南周口·三模）在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． (1)求，的值； (2)求的分布列； (3)记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 【详解】（1）表示的概率，从到共走步，要使， 需步中和的步数相等，即为偶数. ，共走步，需1步、1步： ， ，共走步，需2步、2步： . （2）是前5项中0的个数，偶数项不可能为0， 仅可能为0，故的可能取值为； ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 （3）设变量，，则， 由期望可加性得：， 对任意，，化简得：， 即， 整理得：①， 归纳证明： 若，则，成立； 假设时成立， 则时： ，归纳成立； 将代入式①， 得：，原等式得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $