第10章 第59讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦离散型随机变量分布列与数字特征，通过基础应用、性质综合及实际建模题组，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，强化数学建模与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|4题（1-4）|分布列性质、期望方差计算|从分布列定义（归一性）到期望方差公式推导| |性质综合应用|4题（5-8,10）|期望方差线性性质、概率综合|结合概率性质深化期望方差性质应用| |实际情境建模|5题（9,11-13）|比赛、购物、工程等场景建模|通过实际问题构建随机变量模型，体现“问题-模型-求解”思维链|

课时分层测评85　离散型随机变量及其分布列、数字特征 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的数学期望E(X)＝8.9，则y的值为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2 答案：C 解析：由题中表格，知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故选C. 2.已知随机变量X满足E(2－2X)＝4，D(2－2X)＝4，下列说法正确的是(　　) A.E(X)＝－1，D(X)＝－1 B.E(X)＝1，D(X)＝1 C.E(X)＝－1，D(X)＝4 D.E(X)＝－1，D(X)＝1 答案：D 解析：根据方差和期望的性质，得E(2－2X)＝－2E(X)＋2＝4⇒E(X)＝－1，D(2－2X)＝4D(X)＝4⇒D(X)＝1.故选D. 3.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 答案：B 解析：根据题意，知X的可能取值为3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P＝＝，P＝＝.由数学期望的定义可求得E＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.故选B. 4.某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(0＜p＜1)，实验次数为随机变量X，若X的数学期望E(X)＞1.39，则p的取值范围是(　　) A.(0，0.6) B.(0，0.7) C.(0.6，1) D.(0.7，1) 答案：B 解析：由题意，得X的所有可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－p－(1－p)p＝(1－p)2.所以E(X)＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－p)2＝p2－3p＋3.令E(X)＝p2－3p＋3＞1.39，解得p＜0.7或p＞2.3.又因为0＜p＜1，所以0＜p＜0.7，即p的取值范围是(0，0.7).故选B. 5.(多选)(2026·河北张家口模拟)已知A，B两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为p，A市和B市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为0.51，若用X表示某天受台风袭击的城市个数，则(　　) A.p＝0.3 B.P(X＝0)＝0.49 C.P(X＝1)＝0.36 D.D(X)＝0.42 答案：ABD 解析：对于A，由已知有1－(1－p)2＝0.51，解得p＝0.3或p＝1.7(舍去)，故A正确；对于B，有P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝1－0.51＝0.49，故B正确；对于C，P(X＝1)＝2p(1－p)＝2×0.3×0.7＝0.42，故C错误；对于D，P(X＝2)＝p2＝0.09，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝(0.42×12＋0.09×22)－(0.42×1＋0.09×2)2＝0.42，故D正确.故选ABD. 6.(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A.P＝ B.X＋Y＝4 C.E(X)＞E(Y) D.E＝ 答案：BD 解析：由条件可知，袋子中的球有6黑4白，又共取出4个球，所以X＋Y＝4，故B正确；X的可能取值为0，1，2，3，4，P＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P＝＝＝，P＝＝＝，P＝＝，故A错误；Y的可能取值为0，1，2，3，4，且P(Y＝0)＝P(X＝4)，P(Y＝1)＝P(X＝3)，P(Y＝2)＝P(X＝2)，P(Y＝3)＝P(X＝1)，P(Y＝4)＝P(X＝0)，则E＝＝，E＝＝，所以E(X)＜E(Y)，故C错误；Z的可能取值为4，5，6，7，8，且P(Z＝4)＝P(X＝0)，P(Z＝5)＝P(X＝1)，P(Z＝6)＝P(X＝2)，P(Z＝7)＝P(X＝3)，P(Z＝8)＝P(X＝4)，所以E(Z)＝＝＝，故D正确.故选BD. 7. (2025·河南开封第二次质量检测)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则E(X)＝　　　　. 答案： 解析：根据题意m，n为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A，则P(A)＝＝，所以＝，解得m＋n＝5或m＋n＝－12(舍去)，所以X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 8.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为　　　　. 答案：3 解析：由题意知，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列如下表所示： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y的均值为3. 9.(10分)某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 分15期 频数 30 20 a 10 b (1)求表中a，b的值； (2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)； (3)求X的分布列及均值E(X). 解：(1)由分9期付款的频率为0.2，得＝0.2，解得a＝20. 又30＋20＋a＋10＋b＝100，解得b＝20， 所以a＝20，b＝20. (2)以频率作为概率，购买该品牌汽车的顾客中采用分9期付款的概率为0.2， 所以P(A)＝(1－0.2)3＋×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (3)X的可能取值为1，1.5，2(单位：万元). 所以P(X＝1)＝＝0.3，P(X＝1.5)＝＝0.4，P(X＝2)＝＝0.3. 所以X的分布列为 X 1 1.5 2 P 0.3 0.4 0.3 所以X的均值E(X)＝1×0.3＋1.5×0.4＋2×0.3＝1.5(万元). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选)已知随机变量ξ满足P＝，P＝x，P＝－x，若0＜x＜，则(　　) A.E(ξ)有最大值 B.E(ξ)无最小值 C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)无最小值 答案：BD 解析：由题意可得，E＝0×＋1×x＋2×＝－x，因为f＝－x在上单调递减，所以当0＜x＜时，E(ξ)无最大值和最小值，故A错误，B正确.D＝×＋×x＋×＝－x2－x＋，因为g＝－x2－x＋＝－(x＋)2＋上单调递减，所以当0＜x＜时，D(ξ)无最大值和最小值，故C错误，D正确.故选BD. 11.(双空题)甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0＜p≤，则E(X)的最大值为　　　　；D(X)的取值范围是　　　　. 答案：　 解析：随机变量X可能的取值为2，3.P(X＝2)＝p2＋(1－p)2＝2p2－2p＋1，P(X＝3)＝p(1－p)p＋p(1－p)(1－p)＝2p－2p2，所以X的分布列为 X 2 3 P 2p2－2p＋1 2p－2p2 故E(X)＝2×(2p2－2p＋1)＋3×(2p－2p2)＝－2p2＋2p＋2＝－2＋.因为0＜p≤，故2＜E(X)≤，故E(X)max＝.D(X)＝4×(2p2－2p＋1)＋9×(2p－2p2)－(－2p2＋2p＋2)2，令t＝2p－2p2＝－2＋，因为0＜p≤，故0＜t≤，此时D(X)＝4×(1－t)＋9t－(t＋2)2＝－t2＋t＝－(t－)2＋∈. 12.(15分)(2025·山东烟台一模)为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2 000元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1 000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P(A)； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 解：(1)每个项目挑战成功的概率p＝＋×＝， 则P(A)＝＝. (2)甲参赛队获得奖金数X的所有可能取值为4 000，3 000，2 000，1 000，0. 所以P(X＝4 000)＝×＝；P(X＝3 000)＝2××＝， P(X＝2 000)＝＋×＝＋＝， P(X＝1 000)＝×＝；P(X＝0)＝. 所以甲获得奖金数X的分布列为 X 4 000 3 000 2 000 1 000 0 P (3)由(2)得出甲参赛队获得奖金数数学期望 E(X)＝4 000×＋3 000×＋2 000×＋1 000×＋0×＝元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为36×E(X)＝36×＝109 250元. 13.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： (ⅰ)员工所获得的奖励金额为1 000元的概率； (ⅱ)员工所获得的奖励金额的分布列及均值； (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解：(1)设员工所获得的奖励金额为X， (ⅰ)P(X＝1 000)＝＝， 所以员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为. (ⅱ)X所有可能的取值为400，1 000， 所以P(X＝400)＝＝，P(X＝1 000)＝1－P(X＝400)＝. 所以X的分布列为 X 400 1 000 P 所以员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×＋1 000×＝700. (2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元， 所以先寻找均值为1 000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择(200，200，200，800)的方案， 因为1 000元是面值之和的最大值，所以均值不可能为1 000元. 如果选择(800，800，800，200)的方案， 因为1 000元是面值之和的最小值，所以均值不可能为1 000元. 因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案， 所以可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2. 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600. 所以P(X1＝400)＝＝，P(X1＝1 000)＝＝，P(X1＝1 600)＝＝， 所以E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000， D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000. 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1 000，1 200. 所以P(X2＝800)＝＝，P(X2＝1 000)＝＝，P(X2＝1 200)＝＝， 所以E(X2)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000， D(X2)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝. 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小， 所以应选择方案2. 学生用书⬇第300页 学科网（北京）股份有限公司 $