专题22 随机变量及其分布 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题22　随机变量及其分布 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题22　随机变量及其分布 一、核心知识 1．随机变量是把随机试验的结果数量化的变量；离散型随机变量的所有可能取值可以一一列出。 2．分布列：设 X 的可能取值为 …，记 ，则 且 。 3．两点分布（ 分布）：，，此时 ，。 4．二项分布： 次独立重复试验中成功的次数 ，，，。 5．超几何分布：N 件产品中含 M 件某类，不放回地取 件，该类件数 X 满足 ，。 6．超几何分布与二项分布的根本区别：前者是不放回抽样，后者是有放回抽样（或独立重复试验）。 7．数学期望 反映随机变量取值的平均水平；方差 反映取值的离散程度。 8．方差的简便算法：；标准差为 。 9．期望与方差的性质：，，加减常数不改变方差。 10．正态分布 的密度曲线关于直线 对称，在 处达到最高，两端无限接近 轴。 11． 决定曲线的“胖瘦”： 越小曲线越瘦高，取值越集中在 附近； 越大曲线越矮胖。 12．正态分布的常用概率：，，。 二、题型精练 题型一　离散型随机变量及其分布列 【方法与技巧】 先说清随机变量 X 的实际含义（表示什么个数或什么次数），再写出它的全部可能取值。 逐项计算每个取值对应的概率，常用古典概型、互斥事件求和、独立事件乘积等工具。 列完分布列必须验算所有概率之和是否为 1，这是查验计算是否有误最有效的一步。 【例题精讲】 1．掷一枚均匀的骰子，设 X 表示出现的点数，则 （　　） A． B． C． D．1 2．袋中有 2 个红球、3 个白球，任取 2 个，设 X 为取到红球的个数，则 X 的可能取值为（　　） A．0，1，2 B．1，2 C．0，1，2，3 D．1，2，3 3．已知随机变量 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．离散型随机变量的特点是（　　） A．所有可能取值可以一一列出 B．取值充满某个区间 C．只能取整数 D．取值一定有限个 2．分布列中各个概率之和等于（　　） A．1 B．0 C． D．样本容量 3．若 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 4．抛一枚均匀硬币，用 表示正面向上、 表示反面向上，则 X 服从（　　） A．两点分布 B．二项分布 C．正态分布 D．超几何分布 5．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．随机变量 X 的取值为 1、2、3，且 、，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 （），则 （　　） A． B． C． D． 3．袋中有 3 个红球、2 个白球，任取 1 个，设 表示取到红球、 表示取到白球，则 （　　） A． B． C． D．1 4．掷两枚骰子，设 X 为点数之和，则 X 的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 5．已知分布列 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．抛两枚均匀硬币，设 X 为正面向上的枚数，则 （　　） A． B． C． D．1 7．若随机变量 X 只取 0 与 1 两个值，且 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 8．已知 ，，，则 　　　　。 题型二　二项分布 【方法与技巧】 识别二项分布要抓三个条件： 次独立重复试验、每次只有“发生”与“不发生”两种结果、每次发生的概率 相同。 ，…；求“至少一次发生”用 最简便。 二项分布的期望与方差有现成公式 、，可直接套用而不必列分布列。 【例题精讲】 1．某射手每次命中的概率为 ，独立射击 5 次，设 X 为命中的次数，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 （　　） A．5 B．10 C． D． 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若 ，则 （　　） A． B．3 C．6 D． 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．抛一枚均匀硬币 4 次，正面向上的次数 X 服从（　　） A． B． C． D．两点分布 4．某批产品的次品率为 ，有放回地任取 3 件，恰有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．某射手每次命中的概率为 ，独立射击 3 次，至少命中 1 次的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 ，则 （　　） A．4 B．8 C．2 D． 2．若 ，则 （　　） A．2 B．4 C．8 D．1 3．某射手命中概率为 ，独立射击 3 次，恰好命中 3 次的概率为（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．抛一枚均匀硬币 5 次，恰好 3 次正面向上的概率为（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 （　　） A．2 B．10 C． D． 7．某设备每次正常工作的概率为 ，独立使用 2 次，2 次都正常的概率为（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 　　　　。 题型三　超几何分布 【方法与技巧】 识别超几何分布：总数为 N 的物件中有 M 件具有某特征，不放回地取 件，具有该特征的件数 X 服从超几何分布。 ，注意 要同时满足 与 。 不放回取多个用超几何分布，有放回取多个或独立重复试验用二项分布，审题时看准“不放回”三个字。 【例题精讲】 1．10 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，设 X 为取到的次品数，则 （　　） A． B． C． D． 2．承上题，（　　） A． B． C． D． 3．超几何分布与二项分布的主要区别在于（　　） A．前者是不放回抽样，后者是有放回抽样或独立重复试验 B．前者样本容量更大C．前者概率一定更大 D．前者期望一定更大 【变式训练】 1．8 件产品中有 2 件次品，不放回地取 3 件，设 X 为次品数，则 （　　） A． B． C． D． 2．5 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，取到次品数的期望为（　　） A． B． C．1 D．2 3．从 6 名男生、4 名女生中选 3 人，设 X 为选到的女生数，则 （　　） A． B． C． D． 4．袋中有 5 个红球、3 个白球，不放回地取 3 个，恰好取到 2 个红球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．超几何分布 中，分母是（　　） A． B． C． D．N 6．10 件产品中有 4 件次品，不放回地取 2 件，至少有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．12 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，恰有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 2．6 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，两件都是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 3．从 4 名男生、3 名女生中选 2 人，恰好选到 1 男 1 女的概率为（　　） A． B． C． D． 4．超几何分布的期望公式为 （　　） A． B． C． D． 5．9 件产品中有 3 件次品，不放回地取 3 件，取到的 3 件全是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 6．袋中有 7 个红球、3 个白球，不放回地取 2 个，两个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 7．从 5 件正品与 3 件次品中不放回地取 3 件，取到的次品数 X 的最大可能值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．5 8．10 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，取到的次品数 X 的期望为　　　　。 题型四　数学期望与方差 【方法与技巧】 ，先算期望再算方差；方差用 计算量最小。 牢记性质：，，加减常数不改变方差。 常见分布的期望方差要直接套用：两点分布 、；二项分布 、。 【例题精讲】 1．已知 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 2．已知 X 的分布列为 ，，（　　） A． B． C．1 D． 3．若 ，则 （　　） A．7 B．6 C．3 D．4 【变式训练】 1．若 ，则 （　　） A．18 B．6 C．2 D．9 2．若 ，则 （　　） A．4 B． C．9 D．1 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 （　　） A．5 B．10 C．20 D． 6．数学期望反映的是随机变量取值的（　　） A．平均水平 B．离散程度 C．最大值 D．中位数 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B．1 C．3 D． 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C．9 D．3 3．承上题，（　　） A． B． C． D． 4．若 ，，则 （　　） A．7 B．5 C．3 D．10 5．若 ，，则 （　　） A．12 B．6 C．3 D．4 6．若 ，则 （　　） A．20 B．100 C． D．16 7．方差反映的是随机变量取值的（　　） A．离散程度 B．平均水平 C．最大可能值 D．取值范围 8．已知 ，，则 　　　　。 题型五　正态分布 【方法与技巧】 正态曲线关于 对称，在 处最高；因此 。 决定胖瘦： 越小曲线越瘦高，取值越集中在 附近。 记住三个区间概率 、、，其他区间用对称性（半区间取一半）换算。 【例题精讲】 1．正态分布 的密度曲线关于（　　）对称 A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴 2．若 ，则 （　　） A． B．1 C．0 D． 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D．1 【变式训练】 1．正态曲线在 处（　　） A．达到最高点 B．达到最低点 C．与 轴相切 D．出现拐点 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．若 ，则其标准差为（　　） A．2 B．4 C．1 D．16 4．若 ，且 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D．4 5．正态分布 与 相比，曲线更瘦高的是（　　） A． B． C．两者一样 D．无法判断 6．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．正态分布由两个参数完全确定，它们是（　　） A．均值 与方差 B．均值与众数 C．众数与方差 D．标准差与极差 2．若 ，则其均值为（　　） A．5 B．4 C．2 D．0 3．若 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．标准正态分布的均值与方差分别为（　　） A．0 与 1 B．1 与 0 C．0 与 0 D．1 与 1 7．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 　　　　。 题型六　分布列综合与统计决策 【方法与技巧】 综合题按三步走：写出 X 的全部取值 逐项求概率列分布表 求期望（必要时求方差）。 决策问题以期望收益最大（或期望损失最小）为选择标准，先算各自的期望再比较。 模型选择看关键词：“一次取出若干个”多为超几何分布，“重复做 次”多为二项分布。 【例题精讲】 1．甲、乙两台设备生产产品的次品率分别为 与 ，每件次品损失 100 元，从期望损失看应选用（　　） A．甲设备 B．乙设备 C．两台一样 D．无法判断 2．某射手射击一次，命中得 3 分、脱靶得 0 分，命中概率为 ，则一次射击得分的期望为（　　） A． B．3 C． D． 3．某投资方案：盈利 10 万元的概率为 ，盈利 4 万元的概率为 ，亏损 2 万元的概率为 ，则其期望收益为（　　）万元 A． B．10 C．4 D．6 【变式训练】 1．已知 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B．2 C．3 D．1 2．承上题，（　　） A． B． C．9 D．3 3．承上题，（　　） A． B． C． D． 4．同时掷两枚骰子，设 X 为点数之和，则 （　　） A．7 B．6 C． D．12 5．甲、乙两名射手命中的概率分别为 、，各射击一次，两人命中总人数的期望为（　　） A． B． C． D． 6．某商场促销，中奖概率为 ，中奖得 50 元、不中奖得 0 元，则每人的期望收益为（　　）元 A．5 B．50 C． D．45 【巩固练习】 1．已知 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 2．承上题，（　　） A． B． C． D． 3．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B．3 C．4 D．7 4．某彩票每张 2 元，中奖概率为 ，中奖可得 20 元，则买一张的期望收益为（　　）元 A． B．1 C．20 D．0 5．甲、乙两人各投篮一次，命中概率分别为 、，则恰好一人命中的概率为（　　） A． B． C． D． 6．实际问题中进行方案决策时，最常用的依据是（　　） A．数学期望 B．方差 C．中位数 D．众数 7．若 ，则 与 分别为（　　） A．3 与 B．3 与 C．10 与 3 D． 与 8．已知 ，，则 　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 （　　） A．4 B．10 C． D． 4．10 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，两件都是次品的概率为（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 6．若 ，则 （　　） A．12 B．6 C．3 D．7 7．袋中有 5 个红球、3 个白球，不放回地取 2 个，恰好取到 1 红 1 白的概率为（　　） A． B． C． D． 8．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于二项分布 ，下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．各次试验相互独立且每次发生的概率相同 10．关于正态分布，下列说法正确的有（　　） A．密度曲线关于 对称 B． 越小曲线越瘦高 C． D． 11．关于数学期望与方差，下列说法正确的有（　　） A． B． C．方差反映取值的离散程度 D．期望一定是 X 的某个可能取值 【填空题】 12．若 ，则 　　　　。 13．已知 ，，则 　　　　。 14．若 ，则 　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题22　随机变量及其分布 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题22　随机变量及其分布 一、核心知识 1．随机变量是把随机试验的结果数量化的变量；离散型随机变量的所有可能取值可以一一列出。 2．分布列：设 X 的可能取值为 …，记 ，则 且 。 3．两点分布（ 分布）：，，此时 ，。 4．二项分布： 次独立重复试验中成功的次数 ，，，。 5．超几何分布：N 件产品中含 M 件某类，不放回地取 件，该类件数 X 满足 ，。 6．超几何分布与二项分布的根本区别：前者是不放回抽样，后者是有放回抽样（或独立重复试验）。 7．数学期望 反映随机变量取值的平均水平；方差 反映取值的离散程度。 8．方差的简便算法：；标准差为 。 9．期望与方差的性质：，，加减常数不改变方差。 10．正态分布 的密度曲线关于直线 对称，在 处达到最高，两端无限接近 轴。 11． 决定曲线的“胖瘦”： 越小曲线越瘦高，取值越集中在 附近； 越大曲线越矮胖。 12．正态分布的常用概率：，，。 二、题型精练 题型一　离散型随机变量及其分布列 【方法与技巧】 先说清随机变量 X 的实际含义（表示什么个数或什么次数），再写出它的全部可能取值。 逐项计算每个取值对应的概率，常用古典概型、互斥事件求和、独立事件乘积等工具。 列完分布列必须验算所有概率之和是否为 1，这是查验计算是否有误最有效的一步。 【例题精讲】 1．掷一枚均匀的骰子，设 X 表示出现的点数，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】六个点数等可能出现，。选 A。 2．袋中有 2 个红球、3 个白球，任取 2 个，设 X 为取到红球的个数，则 X 的可能取值为（　　） A．0，1，2 B．1，2 C．0，1，2，3 D．1，2，3 【答案】A 【详解】红球只有 2 个，取 2 个球时取到的红球数可以是 0、1、2。选 A。 3．已知随机变量 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由概率之和为 1 得 。选 A。 【变式训练】 1．离散型随机变量的特点是（　　） A．所有可能取值可以一一列出 B．取值充满某个区间 C．只能取整数 D．取值一定有限个 【答案】A 【详解】离散型随机变量的取值可以逐个列举（可以有限也可以可列无限）；取值充满区间的是连续型。选 A。 2．分布列中各个概率之和等于（　　） A．1 B．0 C． D．样本容量 【答案】A 【详解】所有可能结果的概率之和恒为 1。选 A。 3．若 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 只有 一种情形，故 。选 A。 4．抛一枚均匀硬币，用 表示正面向上、 表示反面向上，则 X 服从（　　） A．两点分布 B．二项分布 C．正态分布 D．超几何分布 【答案】A 【详解】只取 0 与 1 两个值的随机变量服从两点分布（ 分布）。选 A。 5．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】X 为 5 或 6，。选 A。 6．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．随机变量 X 的取值为 1、2、3，且 、，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．若 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（且四个概率之和为 1，构成分布列）。选 A。 3．袋中有 3 个红球、2 个白球，任取 1 个，设 表示取到红球、 表示取到白球，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 4．掷两枚骰子，设 X 为点数之和，则 X 的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】两枚骰子点数都最小时和为 。选 A。 5．已知分布列 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．抛两枚均匀硬币，设 X 为正面向上的枚数，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】四个等可能结果中只有（正正）一种，。选 A。 7．若随机变量 X 只取 0 与 1 两个值，且 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．已知 ，，，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 题型二　二项分布 【方法与技巧】 识别二项分布要抓三个条件： 次独立重复试验、每次只有“发生”与“不发生”两种结果、每次发生的概率 相同。 ，…；求“至少一次发生”用 最简便。 二项分布的期望与方差有现成公式 、，可直接套用而不必列分布列。 【例题精讲】 1．某射手每次命中的概率为 ，独立射击 5 次，设 X 为命中的次数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．若 ，则 （　　） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．若 ，则 （　　） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项分布的期望为 ，方差才是 。选 A。 3．抛一枚均匀硬币 4 次，正面向上的次数 X 服从（　　） A． B． C． D．两点分布 【答案】A 【详解】4 次独立重复试验、每次正面概率为 ，故 。选 A。 4．某批产品的次品率为 ，有放回地任取 3 件，恰有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．某射手每次命中的概率为 ，独立射击 3 次，至少命中 1 次的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．若 ，则 （　　） A．4 B．8 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．若 ，则 （　　） A．2 B．4 C．8 D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 3．某射手命中概率为 ，独立射击 3 次，恰好命中 3 次的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．抛一枚均匀硬币 5 次，恰好 3 次正面向上的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．若 ，则 （　　） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．某设备每次正常工作的概率为 ，独立使用 2 次，2 次都正常的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．若 ，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 题型三　超几何分布 【方法与技巧】 识别超几何分布：总数为 N 的物件中有 M 件具有某特征，不放回地取 件，具有该特征的件数 X 服从超几何分布。 ，注意 要同时满足 与 。 不放回取多个用超几何分布，有放回取多个或独立重复试验用二项分布，审题时看准“不放回”三个字。 【例题精讲】 1．10 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，设 X 为取到的次品数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．承上题，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．超几何分布与二项分布的主要区别在于（　　） A．前者是不放回抽样，后者是有放回抽样或独立重复试验 B．前者样本容量更大C．前者概率一定更大 D．前者期望一定更大 【答案】A 【详解】抽样方式（是否放回）是二者最根本的区别。选 A。 【变式训练】 1．8 件产品中有 2 件次品，不放回地取 3 件，设 X 为次品数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．5 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，取到次品数的期望为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 3．从 6 名男生、4 名女生中选 3 人，设 X 为选到的女生数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．袋中有 5 个红球、3 个白球，不放回地取 3 个，恰好取到 2 个红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．超几何分布 中，分母是（　　） A． B． C． D．N 【答案】A 【详解】分母是从 N 件中取出 件的总方法数 。选 A。 6．10 件产品中有 4 件次品，不放回地取 2 件，至少有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．12 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，恰有 1 件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．6 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，两件都是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．从 4 名男生、3 名女生中选 2 人，恰好选到 1 男 1 女的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．超几何分布的期望公式为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】超几何分布的期望为 。选 A。 5．9 件产品中有 3 件次品，不放回地取 3 件，取到的 3 件全是正品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．袋中有 7 个红球、3 个白球，不放回地取 2 个，两个都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．从 5 件正品与 3 件次品中不放回地取 3 件，取到的次品数 X 的最大可能值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．5 【答案】A 【详解】次品共 3 件，取 3 件时最多可全是次品，故最大值为 3。选 A。 8．10 件产品中有 2 件次品，不放回地取 2 件，取到的次品数 X 的期望为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型四　数学期望与方差 【方法与技巧】 ，先算期望再算方差；方差用 计算量最小。 牢记性质：，，加减常数不改变方差。 常见分布的期望方差要直接套用：两点分布 、；二项分布 、。 【例题精讲】 1．已知 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 X 的分布列为 ，，（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．若 ，则 （　　） A．7 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．若 ，则 （　　） A．18 B．6 C．2 D．9 【答案】A 【详解】。选 A。 2．若 ，则 （　　） A．4 B． C．9 D．1 【答案】A 【详解】，加减常数不改变方差。选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这是两点分布，。选 A。 5．若 ，则 （　　） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．数学期望反映的是随机变量取值的（　　） A．平均水平 B．离散程度 C．最大值 D．中位数 【答案】A 【详解】期望是取值的加权平均，反映平均水平；离散程度由方差反映。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C．9 D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 3．承上题，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．若 ，，则 （　　） A．7 B．5 C．3 D．10 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若 ，，则 （　　） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 6．若 ，则 （　　） A．20 B．100 C． D．16 【答案】A 【详解】。选 A。 7．方差反映的是随机变量取值的（　　） A．离散程度 B．平均水平 C．最大可能值 D．取值范围 【答案】A 【详解】方差（标准差）刻画取值相对于期望的波动大小，即离散程度。选 A。 8．已知 ，，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 题型五　正态分布 【方法与技巧】 正态曲线关于 对称，在 处最高；因此 。 决定胖瘦： 越小曲线越瘦高，取值越集中在 附近。 记住三个区间概率 、、，其他区间用对称性（半区间取一半）换算。 【例题精讲】 1．正态分布 的密度曲线关于（　　）对称 A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴 【答案】A 【详解】正态曲线关于直线 对称。选 A。 2．若 ，则 （　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】由对称性，均值左右两侧的概率各为 。选 A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】曲线关于 对称，故 。选 A。 【变式训练】 1．正态曲线在 处（　　） A．达到最高点 B．达到最低点 C．与 轴相切 D．出现拐点 【答案】A 【详解】正态曲线呈“钟形”，在 处达到最高。选 A。 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这是正态分布最常用的区间概率，约为 。选 A。 3．若 ，则其标准差为（　　） A．2 B．4 C．1 D．16 【答案】A 【详解】第二个参数是方差 ，故 。选 A。 4．若 ，且 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】区间 即 ，故 。选 A。 5．正态分布 与 相比，曲线更瘦高的是（　　） A． B． C．两者一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】 的标准差为 1，比 的标准差 2 小，故曲线更瘦高。选 A。 6．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，区间 即 ，故约为 。选 A。 【巩固练习】 1．正态分布由两个参数完全确定，它们是（　　） A．均值 与方差 B．均值与众数 C．众数与方差 D．标准差与极差 【答案】A 【详解】 中的两个参数分别是均值 与方差 。选 A。 2．若 ，则其均值为（　　） A．5 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【详解】第一个参数 5 就是均值 。选 A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由对称性，。选 A。 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】标准正态分布中 即 ，约为 。选 A。 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对称性 。选 A。 6．标准正态分布的均值与方差分别为（　　） A．0 与 1 B．1 与 0 C．0 与 0 D．1 与 1 【答案】A 【详解】标准正态分布即 ，均值为 0、方差为 1。选 A。 7．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，区间 即 ，约为 。选 A。 8．已知 ，则 　　　　。 【答案】 【详解】。 题型六　分布列综合与统计决策 【方法与技巧】 综合题按三步走：写出 X 的全部取值 逐项求概率列分布表 求期望（必要时求方差）。 决策问题以期望收益最大（或期望损失最小）为选择标准，先算各自的期望再比较。 模型选择看关键词：“一次取出若干个”多为超几何分布，“重复做 次”多为二项分布。 【例题精讲】 1．甲、乙两台设备生产产品的次品率分别为 与 ，每件次品损失 100 元，从期望损失看应选用（　　） A．甲设备 B．乙设备 C．两台一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】甲的期望损失为 元，乙为 元，甲更小，故选甲。选 A。 2．某射手射击一次，命中得 3 分、脱靶得 0 分，命中概率为 ，则一次射击得分的期望为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．某投资方案：盈利 10 万元的概率为 ，盈利 4 万元的概率为 ，亏损 2 万元的概率为 ，则其期望收益为（　　）万元 A． B．10 C．4 D．6 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．已知 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 2．承上题，（　　） A． B． C．9 D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 3．承上题，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．同时掷两枚骰子，设 X 为点数之和，则 （　　） A．7 B．6 C． D．12 【答案】A 【详解】每枚骰子点数的期望为 ，故 。选 A。 5．甲、乙两名射手命中的概率分别为 、，各射击一次，两人命中总人数的期望为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由期望的可加性 。选 A。 6．某商场促销，中奖概率为 ，中奖得 50 元、不中奖得 0 元，则每人的期望收益为（　　）元 A．5 B．50 C． D．45 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．已知 X 的分布列为 ，，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．承上题，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B．3 C．4 D．7 【答案】A 【详解】。选 A。 4．某彩票每张 2 元，中奖概率为 ，中奖可得 20 元，则买一张的期望收益为（　　）元 A． B．1 C．20 D．0 【答案】A 【详解】 元。选 A。 5．甲、乙两人各投篮一次，命中概率分别为 、，则恰好一人命中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．实际问题中进行方案决策时，最常用的依据是（　　） A．数学期望 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】A 【详解】通常以期望收益（或期望损失）的大小作为选择方案的依据。选 A。 7．若 ，则 与 分别为（　　） A．3 与 B．3 与 C．10 与 3 D． 与 【答案】A 【详解】，。选 A。 8．已知 ，，则 　　　　。 【答案】 【详解】，，。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若 X 的分布列为 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．若 ，则 （　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．10 件产品中有 3 件次品，不放回地取 2 件，两件都是次品的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若 ，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由对称性，。选 A。 6．若 ，则 （　　） A．12 B．6 C．3 D．7 【答案】A 【详解】。选 A。 7．袋中有 5 个红球、3 个白球，不放回地取 2 个，恰好取到 1 红 1 白的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．掷一枚骰子，设 X 为出现的点数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 【多项选择题】 9．关于二项分布 ，下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．各次试验相互独立且每次发生的概率相同 【答案】ABCD 【详解】A、B 是二项分布的期望与方差公式，C 是其分布列，D 是服从二项分布的前提条件，四项都正确。故选 ABCD。 10．关于正态分布，下列说法正确的有（　　） A．密度曲线关于 对称 B． 越小曲线越瘦高 C． D． 【答案】ABCD 【详解】四项分别刻画了正态曲线的对称性、 的作用、对称性推得的概率以及常用区间概率，全部正确。故选 ABCD。 11．关于数学期望与方差，下列说法正确的有（　　） A． B． C．方差反映取值的离散程度 D．期望一定是 X 的某个可能取值 【答案】ABC 【详解】A、B 是期望与方差的线性性质，C 是方差的意义；D 错误，如掷骰子的期望 并不是可能出现的点数。故选 ABC。 【填空题】 12．若 ，则 　　　　。 【答案】1 【详解】。 13．已知 ，，则 　　　　。 【答案】 【详解】，，。 14．若 ，则 　　　　。 【答案】 【详解】，，区间 即 ，约为 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $