广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年第一学期第一次月考高三数学试卷

汕头市潮阳实验学校2026～2027学年度第一学期第一次月考 高三 数学试卷 一、单选题 1．设一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，…，的方差为（ ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 2．已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为2和3，体积为，则该棱台的高为（ ） A． B． C． D． 4．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A．2 B．0 C．1 D．-1 5．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么（ ） A． B． C． D． 7．设函数，若将的图象沿x轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于x轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．五名男生和五名女生排成一列，从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置，男生的人数不比女生的人数少，且所有男生之间的顺序一定，这种排队方式共有（ ）种． A．30240 B．25200 C．5040 D．2520 二、多选题 9．已知i为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A．z的虚部为i B．z的共轭复数 C． D． 10．已知x、y是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A．当时， B．是的极大值点 C．当且仅当 D．关于x的方程的解有6个 三、填空题 12．双曲线（）的离心率为__________． 13．数列满足，，则__________． 14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是__________． 四、解答题 15．已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加．新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型．某汽车企业生产的A型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车． （1）若从中随机抽检2台汽车，用X表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望； （2）若从每日生产的120台A型汽车中随机地抽取10台样本，用Y表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠． k 二项分布概率值 超几何分布概率值 0 0.05631 0.04929 1 0.18771 0.18254 2 0.28157 0.29051 3 0.25028 0.26134 4 0.14600 0.14701 5 0.05840 0.05396 6 0.01622 0.01307 7 0.00309 0.00206 8 0.00039 0.00020 9 0.00003 0.00001 10 0.00000 0.00000 总计 1.00000 1.00000 参考数据：（概率值精确到0.00001） 18．已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上顶点为B，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； （3）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为，l与椭圆交于M，N两点，是否存在实数k使得恒成立？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由． 19．已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程，并证明：； （2）是否存在，使得在上恒成立，并说明理由； （3）当时，探究函数的零点个数． （参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $汕头市潮阳实验学校20262027学年度第一学期第一次月考 高三数学参考答案 题号 1 3 4 6 0 10 11 答案 C B D D B C ABD ABD AB V6 12.2或V5 13.2020 14.2 15.【详解】(1)设等差数列a.}的公差为d a1+d=5 由影意得2a+7d=20,解得4=3，d=2, 所以a.=a+(n-l)d=3+(n-1)2=2n+1 数列a,}的通项公式为0，=2n+1 …6分 (2)由题意可得： S=6+62+bs+b++b+ =2+3+22+5+23+7+…+2”+2n+1 =(2+2+2+…+2"）+(3+5+7+…+2n+1) 20-2）+m3+2m+D-22-1）+m2+2n=2+2+2m-2 1-2 2 所以数列亿.}的前n项和S为2+n2+2n-2.13分 16.(1)证明：因为AB是底面圆的一条直径，C是下底面圆周上异于A,B的动点，所以AC⊥BC, 又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ABC, 而ACC底面ABC,所以CD⊥AC, 因为CDC平面BCDE,BCC平面BCDE,且CD∩BC=C,所以AC⊥平面BCDE, 又因为ACC平面ACD,所以平面ACDL平面BCDE.… …6分 (2)如图所示，过点A作圆柱的母线AM,连接DM,EM, 因为底面ABC∥底面DME,所以即求平面ADE与平面DME的夹角. 因为M,E在底面ABC的射影为A,B,且AB为下底面圆的直径， 所以EM为上底面圆的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME, 因为DEC平面DME,所以AM⊥DE. 又因为EM为上底面圆的直径，所以MD⊥DE, 因为AM,DMc平面AMD,AM∩DM=M,所以DE⊥平面AMD, 因为ADC平面AMD.所以DE⊥AD,又因为平面ADE∩平面DME=DE, 所以∠MDA为平面ADE与平面DME的夹角， 又因为D在底面ABC的射影为C,所以DE=BC=2,ME=AB=5, 所以DM=V52-22=V21,又因为母线长为23，所以AM=25, 又因为AM⊥平面DME,DMC平面DME,所以AM⊥MD 0-2可可-丙awn1-F V3311 √77 即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为11.…15分 17.【详解】(1)对于有放回抽检， 1 每次抽到混合动力汽车的概率为4，且各次抽检结果是独立的， 设X为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则 X可取0.1,2 X1的分布列如下： X 0 1 2 9 3 P 16 8 16 (x)=0x18+1×3+2xG- 9 3 则 8 162: …5分 对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立， 设X2为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则X2服从超几何分布， P(X2=0)= 3_267 X2可取0,1,2， C0476 P(X2=1)= 3C90-180 C。=29 476 P(X,=2)= 476 X2的分布列如下： X2 0 2 267 180 P 29 476 476 476 E(K)=0x267 1x180+2 291 `476476 4762 …10分 注：也可按照下面步骤作答， X1的分布列为 (X)-2x号 X2的分布列为 (X:=k)=CioC C0,k=0,1,2, E(K)=2×301 1202 Y (2)样本中混合动力汽车的比例 f0=10是一个随机变量，根据参考数据， 有放回抽取： P（f0-0.25≤0.15)=P(1≤Y≤4)≈0.18771+0.28157+0.25028+0.14600=0.86556 不放回抽取： P（0f-0.25≤0.15)=P(1≤Y≤4)≈0.18254+0.29051+0.26134+0.14701=0.88140 因为0.86556<0.88140 所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠.…15分 =c-2 18.【详解11)由题意知0=a之，4=V公+F=V6,即d=2c,且+=6， e=- 又c2=a2-b2,解得a=2,b=c=V2: =1 即椭圆C的方程为42 …4分 (2)设P(). 5arx 5.rx 1 则 因SaP4=2N2Sao8,可得K=l, 代入椭圆方程得 =2 2W32V3 因P为椭圆在第一象限，则 (3,3 …9分 (3》设直线：y=c+m,M(,片），N(:,乃），如下图： 42X y=kx+m 联立方程4T2,整理可得(2+1月r2+4kmx+2m2-4=0 因此+5 4km 2m2-4 2+1.5-2+1, 因为△=(4m'-42k2+12m-4小>0，可得㎡<42+2. ow=上kov=上 丛2=(s+m）c,+m）≥k 易知 x1. 。,若使得oMko之恒成立，即西 由8'(=0得：x2-2x-a=0,△=4+4a>0, 因为0<m<5,则<0， 可得(+m),+m)≤x,即km(+)+m≤0 4m） km 所以(2k2+1 +m2≤0-42m2 02+r0.461+2x≤0. Γ2 …17分 19.解：1)当a=1时， )-(+a-x支 f()=x-nx-+1-1=x-lnx-L-2 …1分 f(0）=-2.f(0)=-1 …2分 2f()在（，-1)处的切线方程为：y+1=-2(x-)=-2x+2.即2x+y-1=0.…3分 A+2x-6e+0hx+片 …4分 .(x)=x-Inx-*+1+1=x-Ix- 23 h“x)=1-1+1=x-x+12)+40 x2 …5分 N()在(0，+o）上单调递增，且h(0=0 ∴h()在(0，)上单调递减，在L,+)上单调递增， “x=1为()的极小值点，也是最小值点， ..h(x)in=h(1=1 …6分 h()≥1，即f(x+2x≥1 又”-+4r-3=-(x-2+1≤1，f()+2x>-r+4-3(取等条件不- ∴f(x)+x2>2x-3 …7分 （2）存在a∈(0,0.4使f()>0在（，+）上恒成立.理由如下： …8分 由f()在，+w)上恒废立→f020,“a-a+?0 2a-a+l)s00<a≤7 …9分 由f()>0得： X-2ax-2a2+0-21nx>0 x+a g8《)=二2x一2aa-21mx x+a g(y)-+2ar2-2x-） x(x+a)2 …10分 由8'()=0得：X2-2x-a=0,△=4+4a>0, :x>0,x=1+V1+a 当xc(1++a时，g()<0,8()单调道波， 当x(++a,o)时，g'()>0,8(x)单调递指 …11分 “x=1+V+a为8(x)的极小值点，也是最小值点， ∴g(x)=g(x)=21-a-lh(1+v+a)》 12分 ∴g(x)=20-+21-ln）,记m(0=1-t+2t-lht, r0=2+2-0,a0单调定话 …13分 又m(2.1)=-(2.1+2(2.1)-h2.1=2-1.1P-lh2.1=0.79-0.742=0.048>0 4eg2n2号n.ne0,0a0. 31∈(2,2.1即a∈(0,0.4时，8(>0恒成立， .3a∈(0,0.4]使f(x)>0在（，+∞）上恒成立… …14分 6 2,0 1+ :r(0<0,m(0在 上单调递减. :6 1.2m(2.2)=2-(1.2-1n2.2=0.56-lh2.2<0 2 15分 .m()<0∴g(x)mm<0 当x→0时，-2hx→w,g(→+，∈0,1+1+a,使8(G)=0,即f(s)=0, 当x→时，g()→+，3，+1+a,+）,使8(6)=0.即f()=016分 …17分