期中复习压轴专题04 幂指数与对数（压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

期中复习压轴专题04 幂指数与对数 （沪教版高一，8种类型72道） 范围：第三章 目录 题型一 根式的化简与求值 题型二 指数幂的化简与求值 题型三 对数式有意义条件的应用 题型四 指数式与对数式的互化 题型五 换底公式及其应用 题型六 对数的运算 题型七 幂指数与对数的实际应用 题型八 新定义问题 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 说明：曹二2 表示曹杨二中2025—2026学年期中考试第2题 知识点一 根式的化简与求值 例1. （曹二2）当时，式子的值是________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 【变式1-1】（嘉一2）当时，求的值___________． 【答案】0 【解析】 【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：0 例2（奉中1）设，将改写成指数形式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系结合指数幂运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式2-1】（格致2）=_____________（用分数指数幂表示） 【答案】. 【解析】 【分析】根据根式和分数指数幂的关系相互转化规则化简即可得出答案. 【详解】 故答案为：. 【变式2-2】（松二2）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 【变式2-3】（上外云间6）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式与指数幂的互化公式，直接化简，即可得出结果. 【详解】∵，∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查根式与指数幂的互化，属于基础题型. 知识点二 指数幂的化简与求值 例3（风华5） 化简：___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得，原式 . 故答案为：. 【变式3-1】（南汇3）若，，化简___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数的运算法则即求. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 例4（上大附中3）若（a>0），则m=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根式化为分数指数幂，由幂的运算法则运算后可得． 【详解】，． 故答案为：． 【变式4-1】（延安3）若实数，且，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案. 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 【变式4-2】（川沙5）若，则______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质结合题意计算即可. 【详解】，故， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（行知4）已知，化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】. 故答案为：. 例5（行知18）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【解析】 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 【变式5-1】 （上中6）若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合可得结论. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 【变式5-2】（上实5） 已知实数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式5-3】 （育才4）若，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 【变式5-4】（上外云间17（1））（1）已知，，，求的值； 【答案】（1）； 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； 【详解】（1）， ， ， 所以； 知识点三 对数式有意义条件的应用 的 例6（位育5）要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得或，解得：且， 故答案为：且 【变式6-1】（川沙7）使得有意义的的取值范围是______． 【答案】; 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域求解 【详解】由题可得，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-2】（嘉一6） 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义，则，解得，且. 所以函数的定义域是. 答案为;. 【变式6-3】（宜川4）函数的定义域为__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据定义域的求法求解. 【详解】函数, 则，解得或. 故答案为：或. 知识点四 指数式与对数式的互化 例7 （存志6）若，则____________. 【答案】27 【解析】 【分析】由对数的运算直接得结果. 【详解】因为，所以， 故答案为：27. 【变式7-1】（新中4）若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 【变式7-2】（建平13）若且，将指数式转化为对数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指对互化解出，结合答案得出选项． 【详解】由，可得，解得 故选：C 【变式7-3】（金中6）已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 例8（位育7）已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 【变式8-1】（上外云间8）已知，且，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指对数的转换，和对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 故答案为： 【变式8-2】（宜川8）已知，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数式和指数式之间的转化和换底公式求解即可, 【详解】， ， ， 则. 故答案为：2 【变式8-3】（格致8）若实数，满足，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】通过对数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运算法则求解. 【详解】由，得，故. 由，得，故. 因此，. 故答案为： 【变式8-4】（华一9）已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 例9（延安17） 已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以. 【变式9-1】（风华2）设，，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算可得，即可得结果. 【详解】因为，， 则，可得， 所以. 故答案为：3. 【变式9-2】 （控江4）若实数满足且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算及指数式与对数式互化关系求解. 【详解】由，得，即，则， 因此，即，则，所以. 故答案为： 知识点五 换底公式及其应用 的 例10（嘉一4）已知，用的代数式表示________． 【答案】； 【解析】 【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 【变式10-1】（行知5）已知，用的代数式表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 例11（曹二7）设，，用表示的结果为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】， 故答案为： 【变式11-1】（奉中6）若，，则=___________（用的代数式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】运用换底公式以及对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：. 【变式11-2】（新中6）已知，则可用表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式表示出结果即可. 【详解】因为， 故答案为：. 【变式11-3】（南汇9）已知，，则用、的代数式表示________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件可得，代入中化简即可求值. 【详解】由可得，即， 由可得， 所以， 故答案为：. 例12（上实6）已知，，则用、表示________． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式12-1】（久隆2） 已知，，用a、b表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件用常用对数表示b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答. 【详解】因，则，而， 所以. 故答案为： 【变式12-2】（存志18）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【详解】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 【变式12-3】（建平7）已知，用表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解. 【详解】由题意，， 利用换底公式得：， ， 所以. 故答案为：. 知识点六 对数的运算 的 例13（育才18）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【答案】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）， 【解析】 【分析】（1）设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 【变式13-1】（上中7）已知实数，且，则________． 【答案】16 【解析】 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 【变式13-2】（上外云间11）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】将原对数方程变形为关于的一元二次方程，利用韦达定理计算得出的值，即可求解. 【详解】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程， 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以这个方程两个真实根的和为. 故答案为：12. 【变式13-3】 （七宝4）______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可. 【详解】 故答案为：. 【变式13-4】（上大附中18）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求y关于x的表达式． 解：由已知，得， ∴，故 请解答下列问题： 已知变量x，y满足关系：． （1）求y关于x的表达式并写出变量x的取值范围； （2）若，求x的值． 【答案】（1）,且 （2）2或4 【解析】 【分析】（1）模仿例子进行换底得到， ，写出取值范围即可； （2）将代入（1）中的表达式，解出即可. 【小问1详解】 即 ，且 【小问2详解】 ，令，则， 故，，当，， 综上或. 例14 （松二5）若方程的两根为、， 则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理结合对数恒等式可求得结果. 【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得， 故. 故答案为：. 【变式14-1】（上外云间17（2））（2）已知，，，求的值， 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； 【详解】 （2）， ， ， 所以. 例15（格致7） 设正实数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 【变式15-1】（华一3）若，是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果. 【详解】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 例16（行知7）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 【变式16-1】（宜川11）若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数运算的性质计算出与的关系式，再利用乘“1”法与基本不等式计算即可. 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 【变式16-2】（控江16）以下四个命题中，正确的有（ ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算性质即可判断①；举特例即可判断②③④. 【详解】对于①，对，以及，恒成立，①正确； 对于②，当，以及时， 此时，， 故，②正确； 对于③，当，以及时，此时， 故，③正确； 对于④，当，以及时，此时， 故，④正确. 故选：D 知识点七 幂指数与对数的实际应用 例17（嘉一9）某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝） 【答案】83.0． 【解析】 【分析】根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级. 【详解】根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝） 故答案为：83.0. 【变式17-1】（上外云间19）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， （1）求时的声音强度； （2）求噪音的能量范围； （3）当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 【答案】（1）（分贝） （2）噪音的能量范围为 （3）能量增加了倍 【解析】 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，根据对数函数的性质解出； （3）令，，解得即可得结论. 【小问1详解】 当时，代入公式，可得（分贝）． 【小问2详解】 噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 所以，则， 解得． 故噪音的能量范围为． 【小问3详解】 令，解得， 令，解得， 所以， 当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了倍． 例18（建平11）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了50%，则的值大约为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得， 则，所以，所以. 故答案为： 【变式18-1】（上实13） 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 【变式18-2】（延安15） 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义结合对数运算求解即可 【详解】由题意可知， 故选：C. 【变式18-3】（奉中15）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解. 【详解】由题意可知：，， 代入可得， 所以，可得， 可得，即， 所以， 所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍， 故选：A. 例19（控江9） 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少____()． 【答案】31 【解析】 【分析】根据给定信息列出不等式，利用对数函数单调性求解即得. 【详解】设检测前需要扩增的次数为，则扩增后DNA片段量为， 由，得，则，即， 而，因此， 所以检测前需要扩增的次数至少为31. 故答案为：31 【变式19-1】（杨高13）宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】先求得光在阿秒内走的距离，由此列不等式，结合对数运算求得正确答案. 【详解】光在阿秒内走的距离为， 设需要截次，则，两边取以为底的对数得：，，所以， 所以至少要截次. 故选：C 【变式19-2】（上大附中11）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件求出k值，再由排放的污染物含量不超过的1%列出不等式求解即得. 【详解】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得， 排放污染物时，，即，解得，， 所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时. 故答案为：5 【变式19-3】（南汇19（1））漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） 【答案】8 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合对数的运算，即可求解； 【小问1详解】 由题意可得，解得， 设经过分钟，这杯茶水由降温至，则， 解得， 故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要8分钟. 【变式19-4】（格致11）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为， 对于①，，，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 【变式19-5】（杨高18）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【小问1详解】 已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，，， 可得， 解得， 所以至少需要等待. 【小问3详解】 设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要， 显然，则， 所以经过后，此时壶中水的温度是. 例20（南汇15）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）（） A. 6697 B. 6698 C. 6699 D. 6700 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，再通过对数运算公式，即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以，且 所以， 所以的位数是. 故选：C 【变式20-1】（育才16）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近． 故选：C． 知识点八 新定义问题 例21（交附15）定义“真指数”，，（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义，通过特例法、基本不等式逐一判断即可. 【详解】A： 由定义可知：， 所以当时，有，当且仅当时取等号， 显然成立， 当时，，显然成立， 当中有一个为负数时，不妨设， 当时， 所以有， 因为，所以， 所以成立， 当时，，所以成立， 故本选项成立； B：当， ， 显然不成立，故本选项不成立； C：当时，，显然不成立，故本选项不成立； D：当时，， 显然不成立， 故选：A 【变式21-1】（上外云间16） 已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到①②③错误，对于④，对的正负分类讨论，结合基本不等式可得④正确. 【详解】对于①，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于②，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于③，若，则， 故不成立，错误； 对于④，显然，若均为非正数，显然， 满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，，满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，， 则 ，故， 若，则，， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，综上，，④正确. 故选：B 【变式21-2】（奉中10）已知使为整数的数称为“企盼数”，则在区间内“企盼数”共有______个. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的换底公式得出，然后令，得出，再由，可得出，可得出满足条件的整数的个数，从而得出满足条件的“企盼数”的个数. 【详解】， 令，则． 又，故、、、， ， 所以在区间内共有个“企盼数”. 故答案为. 【点睛】本题考查对数的运算，考查换底公式的应用，解题的关键就是对题中定义理解，考查运算求解能力，属于中等题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题04 幂指数与对数 （沪教版高一，8种类型72道） 范围：第三章 目录 题型一 根式的化简与求值 题型二 指数幂的化简与求值 题型三 对数式有意义条件的应用 题型四 指数式与对数式的互化 题型五 换底公式及其应用 题型六 对数的运算 题型七 幂指数与对数的实际应用 题型八 新定义问题 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 说明：曹二2 表示曹杨二中2025—2026学年期中考试第2题 知识点一 根式的化简与求值 例1. （曹二2）当时，式子的值是________. 【变式1-1】（嘉一2） 当时，求的值___________． 例2（奉中1）设，将改写成指数形式为__________ 【变式2-1】（格致2） =_____________（用分数指数幂表示） 【变式2-2】（松二2）将写成分数指数幂的形式为___________． 【变式2-3】（上外云间6）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________. 知识点二 指数幂的化简与求值 例3（风华5） 化简：___________ 【变式3-1】（南汇3）若，，化简___________. 例4（上大附中3）若（a>0），则m=___________. 【变式4-1】（延安3）若实数，且，，则_________． 【变式4-2】（川沙5）若，则______． 【变式4-3】（行知4）已知，化简__________． 例5（行知18）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【变式5-1】 （上中6）若，，用含的代数式表示，则______． 【变式5-2】（上实5） 已知实数满足，则________． 【变式5-3】 （育才4）若，且，则的值为__________． 【变式5-4】（上外云间17（1））（1）已知，，，求的值； 知识点三 对数式有意义条件的应用 的 例6（位育5）要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 【变式6-1】（川沙7）使得有意义的的取值范围是______． 【变式6-2】（嘉一6） 函数的定义域是___________． 【变式6-3】（宜川4）函数的定义域为__________． 知识点四 指数式与对数式的互化 例7 （存志6）若，则____________. 【变式7-1】（新中4）若，则____________． 【变式7-2】（建平13）若且，将指数式转化为对数式为（ ） A. B. C. D. 【变式7-3】（金中6）已知，则的值为_____． 例8（位育7）已知，且，则的值为______． 【变式8-1】（上外云间8）已知，且，则实数__________. 【变式8-2】（宜川8）已知，则____________. 【变式8-3】（格致8）若实数，满足，，则_______. 【变式8-4】（华一9）已知均为正实数，若，则的值为______. 例9（延安17） 已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 【变式9-1】（风华2）设，，则___________ 【变式9-2】 （控江4）若实数满足且，则______． 知识点五 换底公式及其应用 的 例10（嘉一4）已知，用的代数式表示________． 【变式10-1】（行知5）已知，用的代数式表示__________． 例11（曹二7）设，，用表示的结果为__________ 【变式11-1】（奉中6）若，，则=___________（用的代数式子表示） 【变式11-2】（新中6）已知，则可用表示为_________． 【变式11-3】（南汇9）已知，，则用、的代数式表示________． 例12（上实6）已知，，则用、表示________． 【变式12-1】（久隆2） 已知，，用a、b表示______． 【变式12-2】（存志18）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【变式12-3】（建平7）已知，用表示为__________． 知识点六 对数的运算 的 例13（育才18）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【变式13-1】（上中7）已知实数，且，则________． 【变式13-2】（上外云间11）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【变式13-3】 （七宝4）______. 【变式13-4】（上大附中18）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求y关于x的表达式． 解：由已知，得， ∴，故 请解答下列问题： 已知变量x，y满足关系：． （1）求y关于x的表达式并写出变量x的取值范围； （2）若，求x的值． 例14 （松二5）若方程的两根为、， 则___________． 【变式14-1】（上外云间17（2））（2）已知，，，求的值， 例15（格致7） 设正实数满足，则__________． 【变式15-1】（华一3）若，是方程的两个根，则______． 例16（行知7）已知实数满足，则的最小值为__________． 【变式16-1】（宜川11）若，则取得最小值时，__________. 【变式16-2】（控江16）以下四个命题中，正确的有（ ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 知识点七 幂指数与对数的实际应用 例17（嘉一9）某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝） 【变式17-1】（上外云间19）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， （1）求时的声音强度； （2）求噪音的能量范围； （3）当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 例18（建平11）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了50%，则的值大约为______. 【变式18-1】（上实13） 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 【变式18-2】（延安15） 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式18-3】（奉中15）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A. B. C. D. 例19（控江9） 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少____()． 【变式19-1】（杨高13）宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【变式19-2】（上大附中11）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 【变式19-3】（南汇19（1））漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过1分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至 若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位） 【变式19-4】（格致11）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 【变式19-5】（杨高18）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 例20（南汇15）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）（） A. 6697 B. 6698 C. 6699 D. 6700 【变式20-1】（育才16）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 知识点八 新定义问题 例21（交附15）定义“真指数”，，（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【变式21-1】（上外云间16） 已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【变式21-2】（奉中10）已知使为整数的数称为“企盼数”，则在区间内“企盼数”共有______个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $