精品解析：上海市大同中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷高一数学

上海市大同中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷高一数学 90分钟 满分100分 一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值. 【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过， ∴. 故答案为：. 2. 已知，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由， 可得 . 3. 在中，已知，则 ________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】由余弦定理，得. 故答案为：2 4. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 5. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可判定是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解. 【详解】因为，则， 所以是边长为2的正三角形， 所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍， 所以． 故答案为：. 6. 已知为一个单位向量，，若在上的投影为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由数量积的定义得到，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为为一个单位向量且， 所以，且， 所以在上的投影为， 所以，则. 故答案为： 7. 若复数满足（为虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，故，. 8. 函数的严格增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 9. 若关于的方程在上有解，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，结合三角换元得到二次函数 ，求得值域即可求解. 【详解】利用同角三角函数关系 ， 代入原方程得：  ， 整理得  在上有解， 因为在  单调递增，在 单调递减， 令可得， 即在有解， 又  ，二次函数开口向上，对称轴为  ， 可得， 故的取值范围是. 10. 已知复数满足，则的最小值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，转化为圆上的点到定点距离的最值问题. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足， 由复数的几何意义可知，点到点的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 的几何意义为圆上的点到的距离， 故的最小值为圆心与之间的距离减去半径， 即. 11. 已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数得，结合的图象，利用函数在上无零点，列不等式组可求的取值范围. 【详解】因为. 由题意：，即. 由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或， 解得：或. 故答案为：. 12. 已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得 ，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得的范围，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意， ， ， 设向量与向量的夹角为，则 ， ，， 则，即， ，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 所以当时， 的最小值为，即的最小值是. 二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D. 若，都是单位向量，则 【答案】A 【解析】 【分析】举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D. 【详解】A.若，满足，， 但是不满足，所以该选项错误； B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确； C． 若与是非零向量且， 则与的方向相同或者相反，所以该选项正确； D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确． 故选：A 14. 已知z为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由虚数单位的定义，结合充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】由，可得，故充分性不成立， 由，可得，故必要性不成立， 故“”是“”的非充分非必要条件. 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】A 【解析】 【分析】对①，通过欧拉公式，，算出即可； 对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可. 【详解】对①，由题意，，正确； 对②，原式== =，正确. 故选：A. 16. 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊函数可判断①③⑤能出现，利用周期的定义推理可判断②④不能出现. 【详解】令，其最小正周期， 验证①，取，则， 所以，，此时①成立， 验证⑤，取，则， 此时，满足⑤， 验证③，取，则， ，满足③； 令，若②，则， 可得， 得到，与题意不符，故②不可能出现； 因为， 即为的一个周期，所以，所以④不可能出现. 三､解答题 17. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求． 【答案】 【解析】 【详解】解：（4分） 设，则， （12分） ∵，∴（12分） 18. 已知平面向量满足，，且. （1）求 （2）求实数的取值范围，使得为锐角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律运算求解即可； （2）利用向量夹角为锐角时，数量积为正求解，注意检验向量共线情况即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以. 【小问2详解】 当为锐角时， 则， 解得， 若共线时，则存在实数，使得， 即 ，由不共线可知，，解得， 即时，不满足为锐角， 所以实数的取值范围为. 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【小问1详解】 由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． 【小问2详解】 在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 20. 已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【小问1详解】 由于，且， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． 【小问3详解】 由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 21. 定义点，若函数满足，则称函数为点的“伴生函数”，点为函数的“源点”． （1）已知点为函数的“源点”，求实数的值． （2）已知点满足，．若点的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点的“伴生函数”满足．若中，，，点为该三角形的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）将函数的解析式化简，再由“源点”的定义代入计算，即可得到结果； （2）由辅助角公式化简，再由“伴生函数”的定义代入计算，即可得到结果； （3）由“伴生函数”的定义可得，结合正弦定理以及向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以 在定义域上恒成立， 所以，而则； 【小问2详解】 由题意得： ，其中， 当，即时，取最大值， 故，则， 令，， ， 在定义域内为单调增函数， ， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由题意得，，则， 在三角形中，，， 因此， 设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以， ， ， 代入得：， 所以当时，取得最大值3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市大同中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷高一数学 90分钟 满分100分 一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知角的终边经过点，则________. 2. 已知，则________. 3. 在中，已知，则 ________. 4. 函数的最小正周期为________. 5. 若，则________． 6. 已知为一个单位向量，，若在上的投影为，则___________. 7. 若复数满足（为虚数单位），则________. 8. 函数的严格增区间为______. 9. 若关于的方程在上有解，则的取值范围是________. 10. 已知复数满足，则的最小值是________. 11. 已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是_____. 12. 已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D. 若，都是单位向量，则 14. 已知z为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 16. 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 三､解答题 17. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求． 18. 已知平面向量满足，，且. （1）求 （2）求实数的取值范围，使得为锐角. 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 20. 已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 21. 定义点，若函数满足，则称函数为点的“伴生函数”，点为函数的“源点”． （1）已知点为函数的“源点”，求实数的值． （2）已知点满足，．若点的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点的“伴生函数”满足．若中，，，点为该三角形的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $