培优专题 第4章 代数式全章十三种重难点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册
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内容正文：
培优专题 第4章 代数式十三种重难点题型
（压轴题专项训练）
数学新教材 · 浙教版七年级上册
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、代数式的概念与书写规范 2
题型二、列代数式与实际情境建模 4
题型三、图形类规律探索 6
题型四、直接代入求值 10
题型五、整体代入与对称赋值 11
题型六、单项式的系数、次数与排列规律 13
题型七、多项式与整式的辨析（含按字母排列） 14
题型八、含参求值：系数与指数中的字母 18
题型九、同类项的判断、逆向求值与合并 20
题型十、去括号、加减运算、化简求值与无关型 21
题型十一、整式加减的应用 26
题型十二、数字类规律探索 29
题型十三、带有字母的绝对值化简 32
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 38
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
代数式是全章的语言基础，所有考点围绕四条主线展开：代数式的书写规范、整式的概念（单项式、多项式、同类项）、整式的加减（去括号、合并同类项）、以及代数式求值（直接代入与整体代入）。解题的基本顺序是：先化简，再代入；遇到“与某个字母无关”，就令该字母的系数为 0。
本章五大核心结论：
1. 单项式是数与字母的积；系数取数字因数并带上符号，次数取所有字母指数之和，π 按数字算。
2. 多项式是几个单项式的和；次数由最高次项决定，项数按项计，常数项也算一项。
3. 同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同；合并时只把系数相加，字母和字母的指数都不变。
4. 去括号：括号前是正号，各项不变号；是负号，括号内每一项都变号。
5. 求值：先化简再代入，负数和分数代入时要加括号；整体代入时把已知式凑成与待求式相同的整体。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 算单项式次数时把系数的指数也算进去。
2. 去括号时括号前是负号，只变了第一项。
3. 把多项式的次数看成项数，或漏掉常数项。
4. 列代数式时，和差带单位没加括号。
5. “与 x 无关”错解成整个式子等于 0。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、代数式的概念与书写规范
典例1 （25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可．
【详解】解：应写出，故①错误；
，书写正确，故②正确；
，应写成：，故③错误；
，书写正确，故④正确；
，书写错误，故⑤错误；
应写成，故⑥错误；
则符合代数式书写要求的有2个．
故选：A．
解题模板
1. 看是否含等号、不等号；含有则不是代数式。
2. 数字写在字母前面，系数 1 与 −1 省略不写。
3. 除法写成分数线，带分数化成假分数，和差带单位要加括号。
变式1-1 （21-22七年级上·广东深圳·期末）对于代数式，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成；②如图，较大正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据代数式的书写方式、代数式与图形、平方差、偶次方的非负性逐个判断即可得．
【详解】解：代数式还可以写成，则①正确；
图中阴影部分的面积等于较大正方形的面积与较小正方形的面积之差的一半，即为，则②正确；
代数式可以叙述为：与1的平方差的一半，则③正确；
，
，
所以代数式的值不可能是，即④错误；
综上，正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式、偶次方的非负性等知识，熟练掌握代数式的意义是解题关键．
题型二、列代数式与实际情境建模
典例2 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间．
【详解】A地到B地的路程：，
提速后的速度：，
提速后的时间：，
∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：，
故选：C．
解题模板
1. 设未知量用字母表示，逐句翻译成运算关系。
2. 按先乘除后加减、先括号后整体的顺序排式子。
3. 和或差后面带单位时，先把式子括起来再写单位。
变式2-1 （26-27七年级上·全国·单元复习）将含糖的糖水与含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖率（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出混合后糖的总质量和糖水总质量，再用糖的总质量除以糖水总质量即可得含糖率．
【详解】解：混合后糖的总质量为，
糖水总质量为，
混合后糖水含糖率为．
变式2-2 （25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）．
①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价
②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数
③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积
④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查代数式的实际意义，需要逐一分析每个描述中的数量关系是否与代数式一致．
【详解】解：①∵打七折后售价为元，再优惠50元，实际售价为元，与不符；
②∵苹果总价为元，余额50元，还差的钱数为元，符合；
③∵长方形面积为平方米，裁去50平方米，剩余面积为平方米，符合；
④∵已读页，还剩50页，总页数为页，与不符．
∴只有②和③符合，
故选C．
变式2-3 （26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
元
元
B地区
元
元
(1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示；
(2)分别求出当等于28，29，30时租金的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据题意可知，派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台），再根据表格求解y即可；
（2）将，，代入y中求解即可．
【详解】（1）解：若派往地区的乙型收割机为台，则派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台），
∴；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，．
题型三、图形类规律探索
典例3 （24-25七年级上·湖南益阳·期末）如图，这些图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成的，其中图形①共有1个桃心，图形②共有3个桃心，图形③共有5个桃心，图形④共有7个桃心，……，则图形ⓝ中桃心的个数为_____．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解题的关键是找到规律．根据前四个图形可得到第n个图形一共有个桃心即可．
【详解】解：第①个图形一共有个桃心；
第②个图形一共有个桃心；
第③个图形一共有个桃心
……
∴可知第n个图形一共有个桃心，
故答案为：．
解题模板
1. 数出前 3 个图形对应的量，排成数列。
2. 算相邻两项的差，差恒定设为 an+b，差不恒定再试 an²+bn+c。
3. 回到第 n 个图形的实际构造验证，验证通过再代值。
变式3-1 （25-26七年级上·重庆·期中）将（且n为整数）个边长为1的正方形无缝拼接为1个边长为n的新正方形，连接新正方形的对角线，可分得m个三角形（不计被分割的三角形）．
直接研究一般情况比较困难，小明想到这样的策略：
①m的值与对角线经过的边长为1的正方形个数p相关，可转化为对p的研究．
②先研究n取几个特殊值时的情况，将上述p个正方形涂色，从中寻找规律．
，，时的情况如图所示：
(1)补全下表
n
2
3
4
5
6
…
p
4
5
8
…
m
8
…
(2)直接写出p的表达式（用含n的代数式表示）；
(3)填空：______（用含n的代数式表示），当时，______．
【答案】(1)
填表如下，
n
2
3
4
5
6
…
p
4
5
8
9
…
m
8
…
(2)（且n为整数）
(3)，
【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳与类比，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）根据前几个值，补全表格；
（2）从表格中找出规律，再用n表示p即可；
（3）从表格中找出规律，再用n表示m即可．
【详解】（1）略
（2）经观察发现，当n为偶数时，p是n的2倍，即；当n为奇数时，p是n的2倍少1，即，
所以（且n为整数）；
（3）经观察发现，m是n的4倍，，
所以当时，，
故答案为：，．
变式3-2 （24-25七年级上·江西南昌·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)观察并发现规律，请猜想___________；
(2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数）
(3)请用上述规律计算：
①；
②．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及有理数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键．
（1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得；
（2）由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为，则末尾数为；
（3）①，则；
②由，，两式相减即可求解．
【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，，
．
故答案为：；
（2）解：由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为，
则末尾数为，
故答案为：；
（3）解：①，
；
②，
，
上式减去下式可得：．
变式3-3 （24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形被有规律地涂成黑色．
(1)填写表格：
序号
第3块图案
第4块图案
第5块图案
…
白色小正方形的数量
______
______
______
…
(2)第块图案中白色小正方形的数量为______（用含的代数式表示）；
(3)求第100块图案中共有多少块小正方形（两种颜色小正方形的数量之和）．
【答案】(1)；；
(2)
(3)块
【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式；
（1）根据所给图形，依次求出图形中白色小正方形的数量，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）依次求出图形中所有小正方形的块数，发现规律即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
第块图案中白色小正方形的数量为：；
第块图案中白色小正方形的数量为：；
第块图案中白色小正方形的数量为：；
，
所以第块图案中白色小正方形的数量为块．
当时，
（块），
即第块图案中白色小正方形的数量为块．
当时，
（块），
即第块图案中白色小正方形的数量为块．
故答案为：，，．
（2）由（1）知，第块图案中白色小正方形的数量为块．
故答案为：．
（3）根据所给图形可知，
第块图案中所有小正方形的块数为：；
第块图案中所有小正方形的块数为：；
第块图案中所有小正方形的块数为：；
，
所以第块图案中所有小正方形的块数为块．
当时，
（块），
即第块图案中所有小正方形的块数为块．
题型四、直接代入求值
典例4 （26-27七年级上·吉林长春·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数．求：的值．
【答案】
【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义及最大负整数的概念，求出对应代数式的值，代入原式计算即可．
【详解】 解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数，
∴，，，．
将上述值代入原式，得：
．
解题模板
1. 先把代数式化简，能合并的同类项先合并。
2. 代入负数、分数时必须加括号。
3. 按先乘方后乘除再加减的顺序算，每一步守住符号。
变式4-1 （26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）解答下列各题
(1)若，，，求的值．
(2)若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求的值．
【答案】(1)的值为或
(2)原式的值为或
【分析】（1）先根据绝对值意义得出，，再根据，得出，分两种情况代入求值即可；
（2）根据题意可知，，，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
∴且或且，
当，时，．
当，时，．
（2）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，
∴，，，
当时，
；
当时，
．
题型五、整体代入与对称赋值
典例5 （25-26七年级上·广东广州·期中）已知，则的值为________．
【答案】
【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过整体代入法简化计算，无需单独求解的具体值．
【详解】解：∵，
∴．
∴
．
解题模板
1. 把已知等式变形，凑出与待求式子形状相同的整体。
2. 把待求式拆成"整体 × 系数 + 常数"的形式。
3. 整体代换后只算数，不单独求每个字母。
变式5-1 （25-26七年级上·河南周口·期末）阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是________．
(2)已知，求的值．
拓广探索：
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减，去括号法则等知识，采用整体代入法是解题的关键．
（1）把看成一个整体，提取公因式即可；
（2）把看成一个整体，代入代数式中进行计算即可；
（3）先去括号，再根据题意进行合并，然后整体代入即可求出．
【详解】（1）解：
．
故答案为：；
（2）解：，
把代入，得：
原式；
（3）解：
，
把，，代入，得
原式
．
题型六、单项式的系数、次数与排列规律
典例6 （2026·云南楚雄·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a的指数三部分，分别找出各部分和序号n的对应规律，即可得到第n个单项式.
【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律：
∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为
②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为
③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为
∴ 第个单项式是
解题模板
1. 把每个单项式拆成符号、系数绝对值、字母指数三部分。
2. 分别找各部分与序号 n 的关系：符号看奇偶，系数看等差或倍数，指数看递增。
3. 用已给的后面几个单项式验证，验证通过再写出第 n 个。
变式6-1 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
【答案】
【分析】分别看系数绝对值的规律和符号的规律，再把两者合起来．
【详解】解：∵系数的绝对值依次是，，，，…，
∴第个是，
∵系数的符号依次是正、负、正、负、…，奇数个为正，偶数个为负，
∴系数的符号为．
∴第个单项式的系数是．
变式6-2 （21-22九年级下·云南曲靖·期中）观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______．
【答案】
【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式．
【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律：
（1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为；
（2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为；
（3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为；
整合三部分可得，第个单项式为．
题型七、多项式与整式的辨析（含按字母排列）
典例7 （2026·重庆·模拟预测）关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法：
①若，则多项式可以为二次三项式；
②若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为；
③若，，则满足条件的多项式共有33个．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】充分理解题目中关于多项式的次数、项数和因数分解的内容，根据题目条件逐一判断正误．
【详解】解：①当 时，，多项式是二次三项式，符合题意；；
②∵是二次三项式，
∴，
或，
∴，或，或，或，或．
则满足条件的所有整式的和为，不符合题意；
③由题意得，多项式的系数均不相同，且系数乘积为正数，
当时， ，有4种结果，
当时， ，
，
由②知，
若，
此时因数均不相同，每种情况4种结果，
若，
此时因数有一项相同，每种情况有1种结果，
若因数均不相同，每种分解情况4种结果，若因数有一项相同，每种分解情况有1种结果，
故有种结果，
当时，
，
若因数均不相同，
，有7种结果，
若因数有一项相同，，每种情况有2种结果，故有种结果，
若因数有两项相同， ，故有2种结果，
当时，有种，
综上所述，共有种结果，不符合题意．
解题模板
1. 数项数、找最高次项，定出几次几项式。
2. 常数项带符号，缺项按系数 0 记。
3. 按某字母降幂排列时只看该字母的指数，其余字母随项整体移动。
变式7-1 （25-26七年级上·四川德阳·期中）下列说法，①若是关于的四次三项式，则，②多项式的次数是2，项数是3，③单项式与是同类项，④多项式按的降幂排列为，其中说法错误的是_____．（填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了多项式的相关概念，多项式的降幂排列，以及同类项的定义．
根据多项式的相关概念可判断①和②，根据同类项的定义可判断③，根据多项式的降幂排列可判断④．
【详解】解：①若是关于的四次三项式，则且，解得且，即，原说法错误；
②多项式的次数是2，项数是3，原说法正确
③单项式与相同字母的次数不同，不是同类项，原说法错误；
④多项式按的降幂排列为，原说法错误；
故答案为：①③④．
变式7-2 （25-26七年级上·湖北咸宁·期末）下列四个结论中：
①若单项式与是同类项，则；
②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③若，则；
④若，且，则的运算结果只有一种．
其中正确的是_________．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④．
【详解】解：①∵单项式与是同类项，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②
∵运算结果中不含项，
∴，
解得，，
此时，常数项为，故②正确；
③∵，
∴，，，
∴
；故③正确；
④∵，，
∴中至少有一个是负数，
当时，，，
∴
；
当时，，，
∴
；
当时，，，
∴
；
当时，，，
∴
；
当时，，，
∴
；
当时，，，
∴
；
综上，若，，则的结果只有一种．
故④正确，
∴正确的说法是①②③④．
题型八、含参求值：系数与指数中的字母
典例8 （25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为正整数，且关于的多项式为三次多项式，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了方程的解的定义、多项式的次数，关键是知识点的熟练应用；
先解方程得到解的表达形式，根据解为正整数确定可能的值，再根据多项式为三次多项式，排除不符合的值，最后求满足条件的的和.
【详解】解：∵ 方程 的解为 ，且解为正整数，
∴ 且为整数，
∴ 为的正因数，即、、、，
∴ 或 或 或 .
又∵ 多项式 为三次多项式，
∴ ，即 ，
∴ 满足条件的整数为、、，
∴ 和为 ；
故选：A．
解题模板
1. 把"不含某项""次数为定值"翻译成系数为 0 或次数相等，列出方程。
2. 多项式的次数由最高次项决定，先判断含参项能否为 0。
3. 解出参数后回代原式求值，并检验最高次项是否仍成立。
变式8-1 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同．
(1)求m，n的值．
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数，
∴，解得，
又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5，
∴，而，解得，
答：，．
（2）解：当，时，
关于x，y的多项式按x的降幂排列是．
变式8-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）若关于，的多项式是六次四项式，求多项式的值．
【答案】
【分析】本题考查了含参数的多项式.
先根据多项式是六次四项式，来确定多项式的项数、及最高次项的次数，从而求出、的值，再代入多项式计算结果.
【详解】解：关于，的多项式是六次四项式，
且，
解得，
．
变式8-3 （26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值．
【答案】
【分析】根据多项式不含二次项，令二次项的系数等于0，建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可．
【详解】解：关于的多项式不含二次项，
且，
∴，
∴．
变式8-4 （26-27八年级上·四川成都·阶段检测）若实数x，y满足，则的值为______．
【答案】1
【分析】算术平方根与绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，两项各自的取值均为0，据此求出x、y的值，再计算的结果．
【详解】解：∵，，且
∴，
∴，
解得，
∴
题型九、同类项的判断、逆向求值与合并
典例9 （25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ．
【答案】
【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的条件，两个单项式的相同字母的指数必须相等，从而列出关于n和m的方程，求解后代入计算．
【详解】解：由于合并同类项后结果为，
因此两个单项式是同类项，即a的指数和b的指数分别相等，
，解得，
，解得，
则，
故答案为：．
解题模板
1. 同类项的判据：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
2. 合并时只把系数相加，字母和字母的指数保持不变。
3. 两个单项式是同类项时，对应字母的指数相等，据此列方程。
变式9-1 （22-23七年级上·全国·期末）已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由．
【答案】或，理由见解析
【分析】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。．
【详解】解：或，
理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式，
∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0，
∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零，
∴或．
变式9-2 （2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值．
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解；
（2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可．
【详解】（1）与是关于x，y的单项式，且它们是同类项．
，
．
（2），
，
．
【点睛】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同．
题型十、去括号、加减运算、化简求值与无关型
典例10 （26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】第一问要使操作结果为常数，需的系数和为，计算得到满足条件的结果为；第二问先求出的最小值，再结合绝对值的性质得到各变量的取值范围，进而计算目标式的最小值．
【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为，
有，
此常数为；
（2），
，
因此，
分区间化简得：
当时，；
当时，；
当时，；
因此的最小值为，仅当时取最小值，
根据绝对值的性质：
，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号，
因此，题目等式等于，故等号成立，得，，，
求的最小值，代入，当取最小值，取最小值时，原式最小为
．
解题模板
1. 去括号：括号前是正号各项不变号，是负号括号内每一项都变号。
2. 合并同类项并把结果按降幂排列。
3. 遇到"与某字母无关"，令该字母的系数为 0 求参数。
变式10-1 （25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式：
；
；
：
．
(1)用代数式表示的结果为 ；
(2)若，则 （填“”或“”）；
(3)若的值与x无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值；
（1）由已知可知；
（2）写出和的算式，可得结果；
（3）写出，计算的值，再求即可．
【详解】（1）解：由；
；
；
；
可知：；
（2）解：由题意得：，，
若，则，
即：；
（3）解：∵
，
∵的值与x无关，即的值与x无关，
∴，
解得．
当时，
．
变式10-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则．
例如：比较和的大小，我们可以用，即．
依据上面的方法，完成下列问题：
(1)比较：______；
(2)已知有理数在数轴上的位置如图所示：
①比较：______；（填“”，“”或“”）
②若，，比较代数式与的大小；
(3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案；
（2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案；
②，再根据，，即可得出；
（3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：①
，
根据数轴可知：，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴
，
根据数轴可知：，，
∴，
∴；
∴；
（3）解：∵，，
∴
，
∵的值与无关，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∴．
变式10-3 （25-26七年级上·四川广安·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】；6
【分析】本题考查整式的化简求值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握整式混合运算法则，绝对值和平方的非负性是解题的关键，先将原式去括号、合并同类项进行化简得到，再根据绝对值和平方的非负性求得，，代入即可得到答案．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，，
∴原式
．
题型十一、整式加减的应用
典例11 （25-26七年级上·广西桂林·期中）长方形场地的长为米，宽为米，其内部有两个半圆，如图所示．
(1)求阴影部分图形的面积；（取3）
(2)若，则阴影图形的面积是多少？（取3）
【答案】(1)
(2)
【分析】阴影部分面积可看成长方形面积减去两个半圆的面积（也就是一个圆的面积）．
【详解】（1）解：长方形面积：
空白部分面积：
阴影部分面积：
（2）将代入
解题模板
1. 先用代数式分别表示各个量，统一单位。
2. 列式时把每个代数式当作整体加括号再相加减。
3. 化简后再代入数值或比较大小。
变式11-1 （26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题．
(1)勤勉小组提出：将如图（1）所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积_________（用含x的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积为_________．
(2)创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有x的代数式表示V，则____________．
(3)先补全表格，再观察表格中容积V的值是否随x值的增大而增大？此时当x取什么整数值时，容积V的值最大？
1
2
3
4
5
6
7
324
512
500
384
252
(4)课后小英同学继续对这个问题作了以下探究：
当时，；当时，；
当时，：当时，．
小英同学发现使V最大的x的取值一定介于3.3和3.4之间，估计x的取值还能更精确些，小英再计算，3.333，3.3333…时，发现V的值还在逐渐增大．现请你也观察数据变化，能否推测x可以取到哪一个定值，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论）
【答案】(1)，
(2)
(3)，，V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大
(4)能推测x取时，容积V的值最大，最大值是
【分析】（1）用正方形的面积减去剪去的4个小正方形的面积可得S的表达式，再将代入求解即可；
（2）根据图中条件用含x的代数式表示出长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式即可得答案；
（3）根据表格信息和（2）中结论即可得答案；
（4）根据小英取的x值的特点可得x的值无限接近，把代入（2）中所得结论即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，；
（2）解：由题意，长方体的长和宽均为，高为，
∴；
（3）解：当时，；
当时，，
观察表中数据可知V的值不随x值的增大而增大，此时当取3时，容积V的值最大．
（4）解：根据小英取的x值的特点可得，x的值无限接近，
∵当时，，
∴能推测x取时，容积V的值最大，最大值是．
变式11-2 （25-26七年级上·河南周口·期中）某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的折出售．
(1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；
(2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？
【答案】(1)总面积：，方案一总金额：万元，方案二总金额：万元
(2)方案一更优惠，优惠万元
【分析】（1）先分别计算各区域面积，再计算总面积；按两种付款方案分别计算购买一套该户型商品房的总金额即可；
（2）将代入方案一和方案二的代数式中，分别计算出两种方案的具体金额，再进行比较即可．
【详解】（1）解：各区域面积：
卫生间面积：（），
厨房面积：（），
客厅面积：（），
卧室面积：（），
总面积：（），
方案一
付费面积：，
总金额：万元．
方案二
总金额：万元．
（2）解：当时，
方案一：万元，
方案二：万元，
优惠：万元．
综上可得：方案一更优惠，优惠万元．
题型十二、数字类规律探索
典例12 （26-27七年级上·四川绵阳·开学考试）将1，2，3，4，5，…按一定规律排列如：
第1行：1
第2行：2 3
第3行：4 5 6
第4行：7 8 9
第5行：
…
第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第n行有n个数，前n行的数的总个数等于第n行最后一个数，先计算前行的最后一个数，再计算第行第一个数字，第个数是在第一个数的基础上加9．
【详解】解：观察规律可知：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，第4行有4个数，第5行有5个数，
所以，第n行有n个数，
每一行的第一个数字都是上一行的数字加1，且该行数字为连续的正整数，
所以，前行共有数的个数为 ，
所以，第行第一个数字为，从左至右第个数是．
解题模板
1. 写出前几项，建立"序号 → 数值"的对应。
2. 看差、看倍数，或看与平方数、立方数的接近程度。
3. 用 an+b 或 an²+bn+c 待定系数，再用后面的项验证。
变式12-1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）对于任意一个四位数M ，其百位数字与千位数字的平方和恰好为M的十位和个位组成的两位数，则这个四位数M为“平方和数”．例如： ，，是“平方和数”；又如：， ，，不是“平方和数”．则4652，5747中是“平方和数”的是___________．一个“平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记， ，当、均是整数时，求出所有满足条件的M的最大值是___________．
【答案】
【分析】根据“平方和数”的定义，计算两个数的千位、百位数字的平方和，与后两位组成的两位数对比即可完成第一空的判断；利用平方和数的定义替换中的，结合为整数的条件确定的取值，逐一代入验证是否为整数，筛选出所有符合条件的后取最大值即可得到第二空的结果．
【详解】解：∵ 4652的千位数字为4，百位数字为6，
∴ ，恰好是十位和个位组成的两位数52，
∴ 4652是“平方和数”．
∵ 5747的千位数字为5，百位数字为7，
∴ ，而十位和个位组成的两位数为47，，
∴ 5747不是“平方和数”．
是“平方和数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
∴ ．
∴．
∵ 是整数，
∴ 是的倍数．
是千位数字，满足，是百位数字，满足，
∴ ，
∴ 唯一满足是的倍数的取值为，
即，其中的取值范围为．
当时，，，不是整数，不符合要求；
当时，，，是整数，此时，对应；
当时，，，不是整数，不符合要求；
当时，，，不是整数，不符合要求；
当时，，，是整数，此时，对应；
当时，，，不是整数，不符合要求；
当时，，，不是整数，不符合要求；
当时，，，是整数，此时，对应；
当时，，，不是整数，不符合要求．
综上，所有满足条件的为2868、5550、8268，其中最大值为8268．
变式12-2 （26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则___________．
【答案】
【分析】观察数表得到规律，从而确定所在的行列位置．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第列，下一个数在下一行，上一个数在第列；
若为偶数，则在第行，第列，下一个数在下一列，上一个数在第行．
，
在第行，第列．
，，．
变式12-3 （25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，…
(1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；
(2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；
(3)由上面的举例，你能得出什么结论？
【答案】(1)999
(2)000；551
(3)结论：任意三位数按照题干规则重复运算，最终都会进入固定状态：要么稳定为同一个数不再变化，要么按固定周期循环往复．
当三位数不含数字0，且三个数字中至少有一个是3、6、9时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为999，之后不再变化．
当三位数不含数字0，且三个数字都不是3、6、9时，最终会进入固定周期的循环，重复出现一组数字．
当三位数中含有数字0时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为000，之后不再变化．
【分析】（1）按规则逐步计算123的每次运算结果，发现第3次后恒为999，故2026次运算结果直接取稳定值999；
（2）分别对205和788按规则运算：205第2次后恒为000，直接得结果；788经过6次运算回到自身，周期为6，用2026除以6取余数4，对应第4次运算结果551；
（3）综合以上例子可归纳：该运算最终会进入固定值或周期循环．
【详解】（1）解：三位数：123，
第1次：百位，十位，个位，得326，
第2次：百位，十位，个位，得963，
第3次：百位，十位，个位，得999，
第4次及以后：999运算后仍为999，不再变化．
因此第2026次运算结果为999．
（2）解：三位数：205，
第1次：百位，十位，个位，得100，
第2次：百位，十位，个位，得000，
第3次及以后：000运算后仍为000，不再变化．
因此第2026次运算结果为000．
三位数：788，
第1次：百位，十位，个位，得221，
第2次：百位，十位，个位，得242，
第3次：百位，十位，个位，得488，
第4次：百位，十位，个位，得551，
第5次：百位，十位，个位，得575，
第6次：百位，十位，个位，得788，
周期为6．，余数4对应第4次结果，
故第2026次运算结果为551．
（3）略
题型十三、带有字母的绝对值化简
典例13 （26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
(1)若，则的值为__________．的最小值为__________；
(2)①当__________时，的值最小，最小值为__________．
②的最大值为__________；
(3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
【答案】(1)或1；4
(2)①，7；②4
(3)实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元
【分析】（1）的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6，分点P在表示的点的左侧和右侧两种情况求出x的值．的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，分点P在表示的点的左边，点P在表示的点和表示1的点之间，点P在表示1的点的右边三种情况讨论，从而求出最小值；
（2）①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和，同（1）的思路结合数轴求解即可；
②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差，同（1）思路求解即可；
（3）要使总运输和包装成本最低，即求的最小值，同（2）思路求解即可．
【详解】（1）解：的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6，
若点P在表示的点的左侧，则；
若点P在表示的点的右侧，则；
因此若，则的值为或1．
的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，由于表示的点与到表示1的点的距离为，
当点P在表示的点的左边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4；
当点P在表示的点和表示1的点之间时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和等于4；
当点P在表示1的点的右边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4；
因此点P到表示的点与到表示1的点的距离之和最小值为4，即的最小值为4．
（2）解：①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和，
所以点P应该在与1之间的线段上，且点P与表示的点重合时，所求距离之和最小，最小值为表示的点到表示1的点的距离，为，
所以当时，的值最小，最小值为7．
②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差．
当点P在表示1的点的右侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差等于表示的点与表示1的点的距离，为；
当点P在表示1的点的左侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差小于表示的点与表示1的点的距离4；
所以点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差最大值为4，即的最大值为4．
（3）解：由题意得，点A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，
要使总运输和包装成本最低，即求的最小值，
，
由（2）同理可得，当点P在表示1的点B与表示3的点C之间，即时，取得最小值，
此时
总运输和包装成本为（元）
所以实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．
解题模板
1. 先由数轴位置或已知条件，判断绝对值内式子的正负。
2. 按 |x|=x（x≥0）、|x|=−x（x<0）去掉绝对值符号。
3. 去括号合并，每一步都盯住变号。
变式13-1 （2022七年级下·安徽合肥·竞赛）设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？
【答案】
的最小值是
【分析】根据的取值范围去掉绝对值符号，化简的表达式后结合的范围求最小值．
【详解】解： ∵，，
∴，，，
∴
，
∵，随的增大而减小，
∴ 当时，取得最小值，最小值为．
变式13-2 （26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3
(2)2；2；
(3)6；
(4)1025156．
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值；
【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3．
（2）解：当a取中间数2时，绝对值最小；
的最小值是．
（3）解：当a取最中间数时，
绝对值最小；的最小值是；
（4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小，
的最小值为：
．
变式13-3 （26-27七年级上·湖北恩施·期中）在数轴上，点A表示数，点B表示数4．
(1)求、两点之间的距离；
(2)若点P在数轴上表示的数为x，探究的值．当x在什么范围内时，该式的值最小？最小值是多少？
(3)利用（2）的结论，直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)当时，原式的值最小，最小值为6
(3)
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）分为三种情况进行求解即可；
（3）由（2）同理求解即可．
【详解】（1）解：、两点之间的距离为；
（2）解：表示点P到的距离，表示点P到4的距离，
∴原式为“P到与到4的距离之和”．
当时，原式，随减小而增大；
当时，原式；
当时，原式，随增大而增大，
∴当时，原式的值最小，最小值为6；
（3）解：由（2）的结论，表示点P到1与到5的距离之和，
∴当时最小，最小值为．
变式13-4 （25-26七年级上·广东汕头·期末）点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
(1)化简：；
(2)若，b到的距离是1个单位长度，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴得，再根据绝对值的性质进行求解即可；
（2）根据题意得，再代入求解即可．
【详解】（1）解：根据数轴得，
∴，
∴
；
（2）解：根据数轴得，
∵，b到的距离是1个单位长度，c、d互为相反数，m、n互为倒数，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查数轴、绝对值化简、相反数与倒数的定义、整式的代入求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式13-5 （25-26七年级上·广东广州·期中）已知，，且，则值为________．
【答案】
或
【分析】先由绝对值的定义得到x、y的全部可能取值，再结合的异号条件筛选出符合要求的取值组合，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∵，
∴或，
∵，
∴x与y的符号相反，
当时，，代入得；
当时，，代入得．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法：
①满足条件的所有整式中有7个单项式；
②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为；
③满足条件的所有整式共有24个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由得，结合已知等式确定的取值范围，再按的取值分类枚举，验证三个说法．
【详解】解： ，
．
，为自然数，
，即．
分情况讨论：
当时，，，共2个整式，均为单项式．
当时，，．
时，，有个整式；
时，，有个整式；
时，，有个整式（单项式）．
合计10个整式，其中单项式2个．
当时，，．
时，，有个整式；
时，，有个整式（单项式）.
合计10个整式，其中单项式2个．
当时，，．
，，，共2个整式，均为单项式．
① 单项式总数为，故①错误．
② 二次项系数为的整式仅存在于且的情况，
此时，对应的整式为，，，，
求和得，故②正确．
③ 所有整式总数为，故③正确．
综上，正确的说法有2个．
2．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法：
①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数；
②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”；
③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法.
【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数，
① 若化简结果为常数，则，即，
取，则，，为常数，故①正确；
② 若为单项式，则为单项式，分两种情况：
（常数单项式）：，
当时，，则为和，共种排列；
当时，，则为和，共种排列；
当或时，无符合条件的，共种操作；
（一次单项式）：，即，
仅符合，此时可选，共种操作，
两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确；
③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组：
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种；
：，化简结果为，共种，
总共有种结果，故③错误，
综上，正确的有个.
3．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，掌握多项式的次数和项数为解答本题的关键．根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，据此求解．
【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴，且，
∴．
故答案为：．
4．（26-27七年级上·全国·周测）如图，球体上画出了三个圆，在图中的六个里分别填入，，，，，，使得每个圆周上四个数相加的和都相等．这个相等的和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题通过分析三个圆的数的重合关系来推导每个圆圈圆周上相等的和．
【详解】解：六个方框中填入的数是，，，，，，总和为，
观察图形，三个圆的圆周上各有个数，由于每个数均在两个圆圈中出现，所以每个数都被计算次，
∴个圆圈圆周上的总数为，
∴个圆圈圆周上的总数为．
5．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）在一条笔直的公路上顺次有A，B，C三个村庄，A，B两村相距5千米，B，C两村相距7千米．某纯净水公司将在这条公路某处设置一个供水点位，向三个村庄投送桶装纯净水．经过市场调查，由于通往各村的路况不同，向A，B，C三个村庄投送一桶水每千米产生的综合成本分别为元，1元，元，A村有600户，B村有600户，C村有500户．该公司计划在选定一处适合的位置后，向A，B，C三个村庄的每户投送一桶纯净水，要使得总成本最低，那么该公司这次投送总成本的最小值是________元．
【答案】
【分析】分两种情况：当选的位置P在A、B两个村庄在之间时，当选的位置P在B、C两个村庄在之间时，分别求出投送总成本的最小值，然后进行比较即可得出答案．
【详解】解：当选的位置P在A、B两个村庄在之间时，如图所示：
设该公司选定的位置距离B村x千米，则，到A的距离为千米，到C村的距离为千米，投送总成本为：
，
∵，
∴当时，最小，且最小值为元，
即当点P位于B村时，投送总成本最小，且最小值为元；
当选的位置P在B、C两个村庄在之间时，如图所示：
设该公司选定的位置距离B村y千米，则，到A的距离为千米，到C村的距离为千米，投送总成本为：
，
∵，
∴当时，最小，且最小值为元，
即当点P位于B村时，投送总成本最小，且最小值为元；
综上，该公司这次投送总成本的最小值是元．
6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个．
【答案】
【分析】第一个空直接按条件列举系数组合，统计个数；第二个空按的不同取值分类，根据条件列出所有满足，且和为的整数组合，统计总个数即可．
【详解】解：先计算第一个空：
当，时，，满足，，为整数．
满足条件的组合为：；，共个满足条件的整式．
再计算第二个空：
已知，，，所有系数为整数，为正整数，系数共个，因此最小系数和为．
计算得只能取，时最小和大于，无符合条件的整式．
1．当时：
，，得，为正整数，因此，对应个满足条件的整式．
2．当时：
，，按分类：
时，，，得，，共个；
时，，，得，，共个；
时，最小系数和为，无符合条件的组合；
因此时共个满足条件的整式．
3．当时：
，，最小系数和为，刚好等于，仅个组合满足条件，因此共个满足条件的整式．
综上，满足条件的整式总个数为．
7．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是____．（填序号）
①；②；③这个两位数为；④的运算结果大于2500
【答案】③
【分析】根据题意得出或，或，即可判断①②，由第二行可得，即可判断③，由即可判断④．
【详解】解：依题意，如图所示，
∴或，或，故①②不一定正确；
由第二行可得：
∴
∴这个两位数为，故③正确；
∵
∴，故④错误．
综上所述，一定正确的是③．
8．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知是非零的有理数，且，则的值为___________．
【答案】或
【分析】利用已知条件，将所求式子每一项的分子替换为相反数．由可知，，结合，确定中一负两正，再分类讨论代入原式求解即可．
【详解】解： ，
，，．
，
，
，
又 ，
中一负两正，
当，，时，原式，
当，，时，原式，
当，，时，原式．
综上所述，的值为或．
9．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知整数a，b，c，，且满足，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据，，为整数，，且满足，要使最小，取负数，越大，越小．依次代入负整数计算，不能为负数，筛选出符合条件的，分别计算，对比得到最小值．对于同一个，当时，，会占用一部分数值，使得变小，不会更小，因此只需要取进行计算．
【详解】解：为整数，，且满足，要求最小，
变形得，不能为负数．
当时，
，符合条件．
当时，取得最小值0，取得最大值1926．
要使最小，取，
．
当时，
，符合条件．
当时，$|a|$取得最大值1226．
要使最小，取，
．
当时，
，结果为负数，不符合要求，舍去．
当取小于等于的负整数时，计算得到的右侧数值都是负数，而不可能为负数，因此没有符合条件的a，b，全部舍去．
，
的最小值为．
10．（25-26七年级上·广西桂林·期中）某超市开展促销活动，小明一家去超市准备购买纸巾，根据以下素材，请你帮小明完成任务．
【素材1】
纸巾区域推出两种活动．
活动一：购物满100元减30元，满200元减60元，满300元减90元，……，上不封顶．
活动二：所有商品打8折．
注：两种活动不能同时参加．
【素材2】
A品牌纸巾：规格10包/箱，价格40元/箱
B品牌纸巾：规格10包/箱，价格60元/箱
【素材3】
小明家平时同时使用这两种纸巾，平均3天用1包A品牌纸巾，平均6天用1包B品牌纸巾；小明家A品牌纸巾还有1箱存货，B品牌纸巾存货未知．
(1)任务1：请求出小明家半年（按180天计算）要消耗A品牌纸巾多少箱？消耗B品牌纸巾多少箱？
(2)任务2：按存半年（按180天计算）的量计算，小明认为还需要购买这两种纸巾，其中还需要购买B品牌纸巾箱．若选择活动二，则所需的总费用为_________元（用含的代数式表示）．
(3)任务3：小明想家里B品牌纸巾没有存货，按存半年（按180天计算）的量计算买两种品牌的纸巾，请思考小明怎样参加活动更合算，并写出计算过程．
【答案】(1)
消耗A品牌纸巾6箱，消耗B品牌纸巾3箱
(2)
(3)
选择活动一更合算
计算过程：
需购买A品牌纸巾箱，B品牌纸巾3箱，
原价总金额为元，
活动一费用：元，
活动二费用：元，
，
选择活动一更合算．
【分析】（1）根据使用周期计算半年总消耗包数，再结合每箱包数换算为箱数；
（2）先求出A品牌需购买的费用，结合B品牌费用得到原价总和，乘折扣得到活动二总费用；
（3）先计算所需购买纸巾的原价总金额，分别计算两种活动的实际费用，比较后得出结论；
【详解】（1）解：半年消耗A品牌纸巾包数：（包），
对应箱数：（箱），
半年消耗B品牌纸巾包数：（包），
对应箱数：（箱），
答：小明家半年消耗A品牌纸巾6箱，消耗B品牌纸巾3箱；
（2）解： A品牌有1箱存货，需购买箱数为箱，费用为元，
B品牌购买箱，费用为元，
活动二打8折，总费用为元；
（3）解：略
11．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____．
【答案】②③⑤
【分析】根据绝对值的非负性，以及有理数的运算法则逐一进行判断即可.
【详解】解：①绝对值等于它本身的数是非负数，故①错误；
②若，则或；故②正确；
③若m是有理数，则当时，，当时，，
即不可能是负数；故③正确；
④∵a、b、c均为非零有理数，且，，
∴中必定有一正，两负，
当同负时，，；
当时，，；
当，时，，；
故的值为3或5或；故④错误；
⑤∵有理数a，b，c互不相等，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上：正确的结论是②③⑤.
12．（25-26七年级上·广西桂林·期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则的值为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得规律第n个等式：，据此把所求式子中的每一项进行裂项，再计算即可．
【详解】解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…，
以此类推，可知，第n个等式：，
∴
．
13．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b是有理数，且，，．下列结论：①；②；；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的结论序号是_________（填序号）．
【答案】
②③
【分析】先由已知条件推导的符号与绝对值大小关系，再通过符号判断、绝对值化简、分类讨论逐一验证各结论的正误．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，且.
∵，，
∴，故①错误；
∵，，，
∴异号两数相加和为负时，负数的绝对值更大，即，故②正确；
∵，
∴，即，
∵，，
∴，即，，
∵，
∴，即，
∴，故③正确；
∵，，
∴，即，
∵，
∴或，
将代入得：
或 ，
即 或 ，
∴ 或 ，并非恒等于8，故④错误，
综上，正确的结论为②③．
14．（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）根据以下材料完成任务．
设计被子采购方案
每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条．
素材1
已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠；
素材2
店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠；
素材3
店铺：“双12”当天下单，
①每满800元可使用店铺优惠券50元；
②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元；
③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）；
（例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元）
素材4
店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品．
问题解决
(1)任务1
付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
(2)任务2
对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买）
(3)任务3
明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道．
最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额
【答案】(1)；；
(2)A店铺的费用为元；B店铺的费用为元；当（a为整数）时，C店铺的费用为元，当（a为整数）时，C店铺的费用为元；
(3)最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元
【分析】（1）根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用；
（2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当和两种情况求解；
（3）根据（2）所求分别计算出A店铺和B店铺的费用，再计算出在C店铺购买，第一批10条，第二批14条的费用，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元；
付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付 元；
付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元；
（2）解：A店铺的费用为元，
B店铺的费用为元，
根据题意可知，无法通过C店铺一单购买刚好购得10条被子，即，
当（a为整数）时，C店铺的费用为元，
当（a为整数）时，C店铺的费用为元；
（3）解：当时，，
，
∴A店铺的费用为元，B店铺的费用为元，
在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总费用为，
∵，
∴最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元．
15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题．
代数式的值为，则代数式的值为______．
【阅读理解】
小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为．
【方法运用】
（1）若代数式的值为，求代数式的值．
（2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值．
【拓展应用】
（3）若，．则的值为 ．
【答案】（1）19；（2）；（3）－8
【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误．
【详解】解：（1）由 ，得
将 变形为，代入 ：
（2）当 时，
当 时，
所以
（3）先化简所求代数式：
将其变形为 ，代入 ，：
16．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值．
（2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式加减的化简求值；
（1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可；
（2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
，
∵为五次六项式，
∴和中一个是五次单项式，
当是五次单项式时，，，此时是五次六项式；
当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意；
∴．
17．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）阶长方形：
【操作】如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”）为．
【思考】3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．
(1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图，并写出对应的宽长比；
(2)直接写出4阶长方形的宽长比的所有可能的值________；
【探究】
(3)①100阶长方形的宽长比共有________种可能的值；
②若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？
【答案】(1)解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，；
(2)，；，；，；，；
(3)①；②
【分析】（1）根据题目给出的方法画出图形即可；
（2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可；
（3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，；
3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，；
3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，；
3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，；
综上：4阶长方形的宽长比的所有可能的值有，；，；，；，；
（3）解：①因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是；
3阶长方形的宽长比有四种可能，即是；
4阶长方形的宽长比有八种可能，即是；
……
所以100阶长方形的宽长比共有种可能的值；
②因为
∴阶数为
一个长方形的宽长比为，则它是39阶长方形．
18．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题．
(1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)；
(3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是
【分析】（1）根据题干性质求解即可；
（2）根据题干性质求解即可；
（3）根据题干性质求解即可．
【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸；
只推积木①至最远：①相对②最多延伸；
再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸，
再叠加①相对②的，总延伸；
再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸，
总延伸；
故答案为：；；
（2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸；
固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远，
设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端，
各块重心坐标（以④右端为，向右为正）：
①
②同①，为，
③，
三块总重心等于（临界平衡）：
，
解得
总延伸长度（最右端超出④的总长）
．
（3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②：
设②相对③最远可伸，
由题意得，解得，
所以①②组合总延伸：；
2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸，
总延伸：．
19．（26-27七年级上·湖北恩施·期中）已知．
(1)求、的值；
(2)若，求的值；若，求的值．
【答案】(1)或；或
(2)当时，或；当时，或
【详解】（1）解：由得或；
由得或．
（2）解：若，则、异号：
当，时，；当，时，，
所以或．
若，则、同号；
当，时，；当，时，，
所以或．
20．（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】利用绝对值的非负性，求出与的值，然后代入计算即可；
先由绝对值的定义得到、的所有可能值，再结合的条件筛选符合要求的取值组合，计算的值．
【详解】（1）解：∵，，且，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
当，时，，符合条件，；
当，时，，符合条件，；
当，时，，符合条件，；
当，时，，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为或或．
21．（26-27七年级上·吉林长春·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等．
(1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整：
，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
(2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
【答案】(1)；；
(2)
显然能被9整除，
因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除．
【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可；
（2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可．
【详解】（1）解：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
（2）略
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培优专题 第4章 代数式十三种重难点题型
（压轴题专项训练）
数学新教材 · 浙教版七年级上册
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、代数式的概念与书写规范 2
题型二、列代数式与实际情境建模 3
题型三、图形类规律探索 5
题型四、直接代入求值 7
题型五、整体代入与对称赋值 8
题型六、单项式的系数、次数与排列规律 9
题型七、多项式与整式的辨析（含按字母排列） 10
题型八、含参求值：系数与指数中的字母 11
题型九、同类项的判断、逆向求值与合并 12
题型十、去括号、加减运算、化简求值与无关型 13
题型十一、整式加减的应用 15
题型十二、数字类规律探索 17
题型十三、带有字母的绝对值化简 19
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 22
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
代数式是全章的语言基础，所有考点围绕四条主线展开：代数式的书写规范、整式的概念（单项式、多项式、同类项）、整式的加减（去括号、合并同类项）、以及代数式求值（直接代入与整体代入）。解题的基本顺序是：先化简，再代入；遇到“与某个字母无关”，就令该字母的系数为 0。
本章五大核心结论：
1. 单项式是数与字母的积；系数取数字因数并带上符号，次数取所有字母指数之和，π 按数字算。
2. 多项式是几个单项式的和；次数由最高次项决定，项数按项计，常数项也算一项。
3. 同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同；合并时只把系数相加，字母和字母的指数都不变。
4. 去括号：括号前是正号，各项不变号；是负号，括号内每一项都变号。
5. 求值：先化简再代入，负数和分数代入时要加括号；整体代入时把已知式凑成与待求式相同的整体。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 算单项式次数时把系数的指数也算进去。
2. 去括号时括号前是负号，只变了第一项。
3. 把多项式的次数看成项数，或漏掉常数项。
4. 列代数式时，和差带单位没加括号。
5. “与 x 无关”错解成整个式子等于 0。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、代数式的概念与书写规范
典例1 （25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解题模板
1. 看是否含等号、不等号；含有则不是代数式。
2. 数字写在字母前面，系数 1 与 −1 省略不写。
3. 除法写成分数线，带分数化成假分数，和差带单位要加括号。
变式1-1 （21-22七年级上·广东深圳·期末）对于代数式，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成；②如图，较大正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二、列代数式与实际情境建模
典例2 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1. 设未知量用字母表示，逐句翻译成运算关系。
2. 按先乘除后加减、先括号后整体的顺序排式子。
3. 和或差后面带单位时，先把式子括起来再写单位。
变式2-1 （26-27七年级上·全国·单元复习）将含糖的糖水与含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖率（ ）
A． B．
C． D．
变式2-2 （25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）．
①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价
②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数
③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积
④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
变式2-3 （26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
元
元
B地区
元
元
(1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示；
(2)分别求出当等于28，29，30时租金的值．
题型三、图形类规律探索
典例3 （24-25七年级上·湖南益阳·期末）如图，这些图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成的，其中图形①共有1个桃心，图形②共有3个桃心，图形③共有5个桃心，图形④共有7个桃心，……，则图形ⓝ中桃心的个数为_____．（用含的代数式表示）
解题模板
1. 数出前 3 个图形对应的量，排成数列。
2. 算相邻两项的差，差恒定设为 an+b，差不恒定再试 an²+bn+c。
3. 回到第 n 个图形的实际构造验证，验证通过再代值。
变式3-1 （25-26七年级上·重庆·期中）将（且n为整数）个边长为1的正方形无缝拼接为1个边长为n的新正方形，连接新正方形的对角线，可分得m个三角形（不计被分割的三角形）．
直接研究一般情况比较困难，小明想到这样的策略：
①m的值与对角线经过的边长为1的正方形个数p相关，可转化为对p的研究．
②先研究n取几个特殊值时的情况，将上述p个正方形涂色，从中寻找规律．
，，时的情况如图所示：
(1)补全下表
n
2
3
4
5
6
…
p
4
5
8
…
m
8
…
(2)直接写出p的表达式（用含n的代数式表示）；
(3)填空：______（用含n的代数式表示），当时，______．
变式3-2 （24-25七年级上·江西南昌·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)观察并发现规律，请猜想___________；
(2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数）
(3)请用上述规律计算：
①；
②．
变式3-3 （24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形被有规律地涂成黑色．
(1)填写表格：
序号
第3块图案
第4块图案
第5块图案
…
白色小正方形的数量
______
______
______
…
(2)第块图案中白色小正方形的数量为______（用含的代数式表示）；
(3)求第100块图案中共有多少块小正方形（两种颜色小正方形的数量之和）．
题型四、直接代入求值
典例4 （26-27七年级上·吉林长春·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数．求：的值．
解题模板
1. 先把代数式化简，能合并的同类项先合并。
2. 代入负数、分数时必须加括号。
3. 按先乘方后乘除再加减的顺序算，每一步守住符号。
变式4-1 （26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）解答下列各题
(1)若，，，求的值．
(2)若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求的值．
题型五、整体代入与对称赋值
典例5 （25-26七年级上·广东广州·期中）已知，则的值为________．
解题模板
1. 把已知等式变形，凑出与待求式子形状相同的整体。
2. 把待求式拆成"整体 × 系数 + 常数"的形式。
3. 整体代换后只算数，不单独求每个字母。
变式5-1 （25-26七年级上·河南周口·期末）阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是________．
(2)已知，求的值．
拓广探索：
(3)已知，，，求的值．
题型六、单项式的系数、次数与排列规律
典例6 （2026·云南楚雄·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1. 把每个单项式拆成符号、系数绝对值、字母指数三部分。
2. 分别找各部分与序号 n 的关系：符号看奇偶，系数看等差或倍数，指数看递增。
3. 用已给的后面几个单项式验证，验证通过再写出第 n 个。
变式6-1 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
变式6-2 （21-22九年级下·云南曲靖·期中）观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______．
题型七、多项式与整式的辨析（含按字母排列）
典例7 （2026·重庆·模拟预测）关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法：
①若，则多项式可以为二次三项式；
②若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为；
③若，，则满足条件的多项式共有33个．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解题模板
1. 数项数、找最高次项，定出几次几项式。
2. 常数项带符号，缺项按系数 0 记。
3. 按某字母降幂排列时只看该字母的指数，其余字母随项整体移动。
变式7-1 （25-26七年级上·四川德阳·期中）下列说法，①若是关于的四次三项式，则，②多项式的次数是2，项数是3，③单项式与是同类项，④多项式按的降幂排列为，其中说法错误的是_____．（填序号）
变式7-2 （25-26七年级上·湖北咸宁·期末）下列四个结论中：
①若单项式与是同类项，则；
②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③若，则；
④若，且，则的运算结果只有一种．
其中正确的是_________．（填序号）
题型八、含参求值：系数与指数中的字母
典例8 （25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）已知关于的一元一次方程的解为正整数，且关于的多项式为三次多项式，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1. 把"不含某项""次数为定值"翻译成系数为 0 或次数相等，列出方程。
2. 多项式的次数由最高次项决定，先判断含参项能否为 0。
3. 解出参数后回代原式求值，并检验最高次项是否仍成立。
变式8-1 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同．
(1)求m，n的值．
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
变式8-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）若关于，的多项式是六次四项式，求多项式的值．
变式8-3 （26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式不含二次项，求的值．
变式8-4 （26-27八年级上·四川成都·阶段检测）若实数x，y满足，则的值为______．
题型九、同类项的判断、逆向求值与合并
典例9 （25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ．
解题模板
1. 同类项的判据：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
2. 合并时只把系数相加，字母和字母的指数保持不变。
3. 两个单项式是同类项时，对应字母的指数相等，据此列方程。
变式9-1 （22-23七年级上·全国·期末）已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由．
变式9-2 （2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值．
(2)若，且，求的值．
题型十、去括号、加减运算、化简求值与无关型
典例10 （26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______．
解题模板
1. 去括号：括号前是正号各项不变号，是负号括号内每一项都变号。
2. 合并同类项并把结果按降幂排列。
3. 遇到"与某字母无关"，令该字母的系数为 0 求参数。
变式10-1 （25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式：
；
；
：
．
(1)用代数式表示的结果为 ；
(2)若，则 （填“”或“”）；
(3)若的值与x无关，求的值．
变式10-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则．
例如：比较和的大小，我们可以用，即．
依据上面的方法，完成下列问题：
(1)比较：______；
(2)已知有理数在数轴上的位置如图所示：
①比较：______；（填“”，“”或“”）
②若，，比较代数式与的大小；
(3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小．
变式10-3 （25-26七年级上·四川广安·期末）先化简，再求值：，其中．
题型十一、整式加减的应用
典例11 （25-26七年级上·广西桂林·期中）长方形场地的长为米，宽为米，其内部有两个半圆，如图所示．
(1)求阴影部分图形的面积；（取3）
(2)若，则阴影图形的面积是多少？（取3）
解题模板
1. 先用代数式分别表示各个量，统一单位。
2. 列式时把每个代数式当作整体加括号再相加减。
3. 化简后再代入数值或比较大小。
变式11-1 （26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题．
(1)勤勉小组提出：将如图（1）所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积_________（用含x的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积为_________．
(2)创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有x的代数式表示V，则____________．
(3)先补全表格，再观察表格中容积V的值是否随x值的增大而增大？此时当x取什么整数值时，容积V的值最大？
1
2
3
4
5
6
7
324
512
500
384
252
(4)课后小英同学继续对这个问题作了以下探究：
当时，；当时，；
当时，：当时，．
小英同学发现使V最大的x的取值一定介于3.3和3.4之间，估计x的取值还能更精确些，小英再计算，3.333，3.3333…时，发现V的值还在逐渐增大．现请你也观察数据变化，能否推测x可以取到哪一个定值，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论）
变式11-2 （25-26七年级上·河南周口·期中）某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的折出售．
(1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；
(2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？
题型十二、数字类规律探索
典例12 （26-27七年级上·四川绵阳·开学考试）将1，2，3，4，5，…按一定规律排列如：
第1行：1
第2行：2 3
第3行：4 5 6
第4行：7 8 9
第5行：
…
第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1. 写出前几项，建立"序号 → 数值"的对应。
2. 看差、看倍数，或看与平方数、立方数的接近程度。
3. 用 an+b 或 an²+bn+c 待定系数，再用后面的项验证。
变式12-1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）对于任意一个四位数M ，其百位数字与千位数字的平方和恰好为M的十位和个位组成的两位数，则这个四位数M为“平方和数”．例如： ，，是“平方和数”；又如：， ，，不是“平方和数”．则4652，5747中是“平方和数”的是___________．一个“平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记， ，当、均是整数时，求出所有满足条件的M的最大值是___________．
变式12-2 （26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则___________．
变式12-3 （25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，…
(1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；
(2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；
(3)由上面的举例，你能得出什么结论？
题型十三、带有字母的绝对值化简
典例13 （26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
(1)若，则的值为__________．的最小值为__________；
(2)①当__________时，的值最小，最小值为__________．
②的最大值为__________；
(3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
解题模板
1. 先由数轴位置或已知条件，判断绝对值内式子的正负。
2. 按 |x|=x（x≥0）、|x|=−x（x<0）去掉绝对值符号。
3. 去括号合并，每一步都盯住变号。
变式13-1 （2022七年级下·安徽合肥·竞赛）设，其中．对于满足的来说，的最小值是多少？
变式13-2 （26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ．
变式13-3 （26-27七年级上·湖北恩施·期中）在数轴上，点A表示数，点B表示数4．
(1)求、两点之间的距离；
(2)若点P在数轴上表示的数为x，探究的值．当x在什么范围内时，该式的值最小？最小值是多少？
(3)利用（2）的结论，直接写出的最小值．
变式13-4 （25-26七年级上·广东汕头·期末）点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
(1)化简：；
(2)若，b到的距离是1个单位长度，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
变式13-5 （25-26七年级上·广东广州·期中）已知，，且，则值为________．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法：
①满足条件的所有整式中有7个单项式；
②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为；
③满足条件的所有整式共有24个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法：
①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数；
②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”；
③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______．
4．（26-27七年级上·全国·周测）如图，球体上画出了三个圆，在图中的六个里分别填入，，，，，，使得每个圆周上四个数相加的和都相等．这个相等的和等于（ ）
A． B． C． D．
5．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）在一条笔直的公路上顺次有A，B，C三个村庄，A，B两村相距5千米，B，C两村相距7千米．某纯净水公司将在这条公路某处设置一个供水点位，向三个村庄投送桶装纯净水．经过市场调查，由于通往各村的路况不同，向A，B，C三个村庄投送一桶水每千米产生的综合成本分别为元，1元，元，A村有600户，B村有600户，C村有500户．该公司计划在选定一处适合的位置后，向A，B，C三个村庄的每户投送一桶纯净水，要使得总成本最低，那么该公司这次投送总成本的最小值是________元．
6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个．
7．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是____．（填序号）
①；②；③这个两位数为；④的运算结果大于2500
8．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知是非零的有理数，且，则的值为___________．
9．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知整数a，b，c，，且满足，则的最小值为_________．
10．（25-26七年级上·广西桂林·期中）某超市开展促销活动，小明一家去超市准备购买纸巾，根据以下素材，请你帮小明完成任务．
【素材1】
纸巾区域推出两种活动．
活动一：购物满100元减30元，满200元减60元，满300元减90元，……，上不封顶．
活动二：所有商品打8折．
注：两种活动不能同时参加．
【素材2】
A品牌纸巾：规格10包/箱，价格40元/箱
B品牌纸巾：规格10包/箱，价格60元/箱
【素材3】
小明家平时同时使用这两种纸巾，平均3天用1包A品牌纸巾，平均6天用1包B品牌纸巾；小明家A品牌纸巾还有1箱存货，B品牌纸巾存货未知．
(1)任务1：请求出小明家半年（按180天计算）要消耗A品牌纸巾多少箱？消耗B品牌纸巾多少箱？
(2)任务2：按存半年（按180天计算）的量计算，小明认为还需要购买这两种纸巾，其中还需要购买B品牌纸巾箱．若选择活动二，则所需的总费用为_________元（用含的代数式表示）．
(3)任务3：小明想家里B品牌纸巾没有存货，按存半年（按180天计算）的量计算买两种品牌的纸巾，请思考小明怎样参加活动更合算，并写出计算过程．
11．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____．
12．（25-26七年级上·广西桂林·期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则的值为_________．
13．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b是有理数，且，，．下列结论：①；②；；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的结论序号是_________（填序号）．
14．（26-27七年级上·河南漯河·阶段检测）根据以下材料完成任务．
设计被子采购方案
每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条．
素材1
已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠；
素材2
店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠；
素材3
店铺：“双12”当天下单，
①每满800元可使用店铺优惠券50元；
②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元；
③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）；
（例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元）
素材4
店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品．
问题解决
(1)任务1
付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元；
(2)任务2
对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买）
(3)任务3
明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道．
最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额
15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题．
代数式的值为，则代数式的值为______．
【阅读理解】
小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为．
【方法运用】
（1）若代数式的值为，求代数式的值．
（2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值．
【拓展应用】
（3）若，．则的值为 ．
16．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值．
（2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值．
17．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）阶长方形：
【操作】如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”）为．
【思考】3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．
(1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图，并写出对应的宽长比；
(2)直接写出4阶长方形的宽长比的所有可能的值________；
【探究】
(3)①100阶长方形的宽长比共有________种可能的值；
②若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？
18．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题．
(1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示）
19．（26-27七年级上·湖北恩施·期中）已知．
(1)求、的值；
(2)若，求的值；若，求的值．
20．（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，若，求的值．
21．（26-27七年级上·吉林长春·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等．
(1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整：
，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．
(2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
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