第13章 统计（知识清单）高二数学沪教版必修第三册

第13章 统计 知识点一 总体与数据的获取 1. 研究对象的全体是总体，其中每一个对象是个体。从总体中抽出的一部分个体是样本，样本中个体的个数是样本量。 2. 没有人为控制、通过调查或观测得到的数据是观测数据；控制实验对象后收集到的数据是实验数据。对每个个体都调查是普查，抽取样本再估计总体是抽样调查。 知识点二 抽样方法 1. 简单随机抽样要同时满足三个条件：总体个数有限、不放回、每个个体入样的可能性相同。抽签和随机数表符合。每个个体被抽到的概率是 。 2. 分层抽样先按差异分成层，再在各层里用同一比例抽取：。某一层人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和等于样本量。 知识点三 频率分布直方图与茎叶图 1. 频率分布直方图中，小矩形的高是频率除以组距，面积等于这一组的频率，各面积之和为 。组中值是这一组左右端点的平均数。 2. 茎叶图的叶是一位数，叶左边的数是茎。数据很多时改用频率分布直方图。散点图只看成对数据有没有一起变化的趋势，看不出因果关系。 知识点四 平均数、方差和两层合并 1. 平均数是 。个数为偶数时，中位数取按大小排好后中间两个的平均。众数是出现次数最多的数。 2. 样本方差是 ，样本标准差是 。每个数据都加上同一个数，方差不变；每个数据都乘 ，方差变为 。两层合并后的平均数是 ，方差的分母仍是 。 知识点五 百分位数 1. 把 个数据从小到大排好。第 百分位数的位置是 。 是整数时，取第 项和第 项的平均；否则把 向上取整。 2. 中位数是第 百分位数。第 、第 百分位数和中位数也叫四分位数。 易错点1 总体与样本 易错提醒 1. 总体是研究对象的全体，样本是抽出的那一部分。被抽到的每一个对象是个体，不是样本。 2. 样本量是样本中个体的个数。总体容量是总体中个体的个数，两者不是同一个数。 【对点训练】1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 易错点2 数据的获取 易错提醒 1. 没有人为控制、调查或观测得到的是观测数据。控制实验对象后再收集，才是实验数据。 2. 对每个个体都调查是普查。只抽取一部分再估计总体，是抽样调查。 【对点训练】2．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 易错点3 判断是不是简单随机抽样 易错提醒 1. 三个条件要同时满足：总体个数有限、抽样不放回、每个个体入样的可能性相同。 2. 抽完放回再抽、按学号尾号抽取，都不是简单随机抽样。 【对点训练】3．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 易错点4 分层抽样 易错提醒 1. 各层抽取比例相同，先求 ，再乘各层的人数。 2. 某一层算出来不是整数时，两种就近取整都可以，但各层人数之和要等于样本量。 【对点训练】4．（25-26高一下·四川·期末）某市有大型商场100家，中型商场200家，小型商场700家．为了解各类商场的营业情况，计划采用按比例分层抽样的方法随机抽取一个容量为100的样本，则应从中型商场抽取的家数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 易错点5 用随机数表抽样 易错提醒 1. 按编号的位数逐个读取。编号超出总体范围的，以及已经抽到过的，都跳过。 2. 从哪一行哪一列开始读，要按题目给定的起点，不能改起点。 【对点训练】5．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05 65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（   ） A．37 B．20 C．05 D．09 易错点6 频率分布直方图 易错提醒 1. 小矩形的高是频率除以组距，不是频率本身。面积才等于频率，各面积之和为 。 2. 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率。 【对点训练】6．（2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 易错点7 茎叶图 易错提醒 1. 叶是一位数，茎是它左边的数。把叶按大小排好，才能读中位数和众数。 2. 数据很多时，茎叶图不方便，改用频率分布直方图。 【对点训练】7．（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 易错点8 平均数、中位数、众数 易错提醒 1. 平均数易受极端值影响。中位数看的是按大小排好后中间的位置。 2. 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均，不是只取其中一个。 【对点训练】8．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 易错点9 方差与标准差 易错提醒 1. 样本方差、样本标准差都除以样本量 。题目问的是这一组样本时，不要改成 。 2. 每个数据都加上同一个数，方差不变。每个数据都乘 ，方差变为 。 【对点训练】9．（25-26高一下·山东菏泽·期末）已知某9个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这10个数的平均数和方差分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 易错点10 百分位数 易错提醒 1. 先排序，再算 。 是整数时取相邻两项的平均，不是只取第 项。 2. 不是整数时向上取整，取那个位置上的数，不再和下一项平均。 【对点训练】10．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为，，样本数据，，…，的平均数和方差分别是，，若，则为（   ） A．72 B．74 C．12 D．14 2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若数据4，5，6，，的众数为4，70%分位数为6，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（    ） A．20人 B．18人 C．16人 D．12人 6．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）对一个物体采用“复称法”测量质量： 第一次：物体放在天平左盘，右盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为； 第二次：物体放在天平右盘，左盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为． 现有一架两臂不等长的天平，两盘的自重相同，空载时已经调平．实验人员在该不等臂长的天平上用“复称法”测量某物体的质量，记录数据时直接将两次砝码读数的算术平均数作为该物体的测量记录值．则该记录值与物体真实质量比较，有（    ） A．记录值小于物体真实质量 B．记录值大于物体真实质量 C．记录值等于物体真实质量 D．不确定两者的大小关系 7．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·阶段检测）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 二、填空题 8．（25-26高一下·河北承德·期末）若数据1，2，10，11的平均数为，方差为，数据4，5，7，8的平均数为，方差为，则________，________．（请从“<”“>”“=”中选择合适的填入） 9．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 10．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 12．（24-25高二上·上海·单元测试）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． 三、解答题 13．（25-26高一下·河南信阳·期末）某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? (3)若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 14．（25-26高一下·河北张家口·期末）某专业测评机构对一批同款家用电动车开展续航能力测试，将车辆续航表现折算为百分制评价得分．为客观分析车辆续航水平，该测评机构随机抽取100台电动车的测评得分（百分制）作为样本，按，，…，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； (2)估计样本中测评得分的下四分位数； (3)若规定续航测评得分不低于80分为“续航优秀”，已知样本中在内的得分的平均分为88分，方差为7，在内的得分的平均分为96分，方差为7，求样本中“续航优秀”电动车测评得分的平均数和方差． 15．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高(单位：)，按照区间，，，，，，分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）. (1)求图中实数的值； (2)估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数(精确到)； (3)将身高在，，区间的学生依次记为A，B，C三个组，按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数. 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计 知识点一 总体与数据的获取 1. 研究对象的全体是总体，其中每一个对象是个体。从总体中抽出的一部分个体是样本，样本中个体的个数是样本量。 2. 没有人为控制、通过调查或观测得到的数据是观测数据；控制实验对象后收集到的数据是实验数据。对每个个体都调查是普查，抽取样本再估计总体是抽样调查。 知识点二 抽样方法 1. 简单随机抽样要同时满足三个条件：总体个数有限、不放回、每个个体入样的可能性相同。抽签和随机数表符合。每个个体被抽到的概率是 。 2. 分层抽样先按差异分成层，再在各层里用同一比例抽取：。某一层人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和等于样本量。 知识点三 频率分布直方图与茎叶图 1. 频率分布直方图中，小矩形的高是频率除以组距，面积等于这一组的频率，各面积之和为 。组中值是这一组左右端点的平均数。 2. 茎叶图的叶是一位数，叶左边的数是茎。数据很多时改用频率分布直方图。散点图只看成对数据有没有一起变化的趋势，看不出因果关系。 知识点四 平均数、方差和两层合并 1. 平均数是 。个数为偶数时，中位数取按大小排好后中间两个的平均。众数是出现次数最多的数。 2. 样本方差是 ，样本标准差是 。每个数据都加上同一个数，方差不变；每个数据都乘 ，方差变为 。两层合并后的平均数是 ，方差的分母仍是 。 知识点五 百分位数 1. 把 个数据从小到大排好。第 百分位数的位置是 。 是整数时，取第 项和第 项的平均；否则把 向上取整。 2. 中位数是第 百分位数。第 、第 百分位数和中位数也叫四分位数。 易错点1 总体与样本 易错提醒 1. 总体是研究对象的全体，样本是抽出的那一部分。被抽到的每一个对象是个体，不是样本。 2. 样本量是样本中个体的个数。总体容量是总体中个体的个数，两者不是同一个数。 【对点训练】1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 【答案】该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】因为调查对象的总体为该校所有学生的平均每天用于体锻的时间， 因此总体应是：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间. 故答案为：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 易错点2 数据的获取 易错提醒 1. 没有人为控制、调查或观测得到的是观测数据。控制实验对象后再收集，才是实验数据。 2. 对每个个体都调查是普查。只抽取一部分再估计总体，是抽样调查。 【对点训练】2．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 易错点3 判断是不是简单随机抽样 易错提醒 1. 三个条件要同时满足：总体个数有限、抽样不放回、每个个体入样的可能性相同。 2. 抽完放回再抽、按学号尾号抽取，都不是简单随机抽样。 【对点训练】3．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可. 【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个； ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取； ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取； ④每次检验后把零件放回盒子里，是有放回抽样．教材规定简单随机抽样是不放回抽样，所以④也不是简单随机抽样． 综上，①②③④都不是简单随机抽样，属于简单随机抽样的个数为． 故选：A． 易错点4 分层抽样 易错提醒 1. 各层抽取比例相同，先求 ，再乘各层的人数。 2. 某一层算出来不是整数时，两种就近取整都可以，但各层人数之和要等于样本量。 【对点训练】4．（25-26高一下·四川·期末）某市有大型商场100家，中型商场200家，小型商场700家．为了解各类商场的营业情况，计划采用按比例分层抽样的方法随机抽取一个容量为100的样本，则应从中型商场抽取的家数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】∵ 该市商场总数量为100+200+700=1000家，计划抽取的样本容量为100， ∴ 按比例分层抽样的抽样比为. ∵ 中型商场共有200家， ∴ 应从中型商场抽取的家数为. 易错点5 用随机数表抽样 易错提醒 1. 按编号的位数逐个读取。编号超出总体范围的，以及已经抽到过的，都跳过。 2. 从哪一行哪一列开始读，要按题目给定的起点，不能改起点。 【对点训练】5．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05 65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（   ） A．37 B．20 C．05 D．09 【答案】D 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有37，14，05，11，09，所以选出来的第5个个体的编号为09. 易错点6 频率分布直方图 易错提醒 1. 小矩形的高是频率除以组距，不是频率本身。面积才等于频率，各面积之和为 。 2. 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率。 【对点训练】6．（2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 【答案】D 【分析】由频率分布直方图求出、，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，， 所以. 故选：D. 易错点7 茎叶图 易错提醒 1. 叶是一位数，茎是它左边的数。把叶按大小排好，才能读中位数和众数。 2. 数据很多时，茎叶图不方便，改用频率分布直方图。 【对点训练】7．（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 【答案】72 【分析】根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【详解】由给定的茎叶图知，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天. 故答案为： 易错点8 平均数、中位数、众数 易错提醒 1. 平均数易受极端值影响。中位数看的是按大小排好后中间的位置。 2. 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均，不是只取其中一个。 【对点训练】8．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 【答案】A 【详解】这组数据从小到大排列为：， 所以众数是85，中位数是． 易错点9 方差与标准差 易错提醒 1. 样本方差、样本标准差都除以样本量 。题目问的是这一组样本时，不要改成 。 2. 每个数据都加上同一个数，方差不变。每个数据都乘 ，方差变为 。 【对点训练】9．（25-26高一下·山东菏泽·期末）已知某9个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这10个数的平均数和方差分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】加入等于原平均数的新数据会使平均数保持不变，但由于数据总数增加且新数据不产生新的偏差，从而导致方差减小. 【详解】由题意得原数据的总和为，加入后数据总和变为， 此时这个数的平均数，故AB错误， 又，加入后平方和变为， 此时这个数的方差，故C错误，D正确. 易错点10 百分位数 易错提醒 1. 先排序，再算 。 是整数时取相邻两项的平均，不是只取第 项。 2. 不是整数时向上取整，取那个位置上的数，不再和下一项平均。 【对点训练】10．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）某高校名毕业生的起始月薪分别为（单位：元），，，，，，，，，，，，则第百分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，所以第百分位数是由小到大的第个数． 一、单选题 1．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为，，样本数据，，…，的平均数和方差分别是，，若，则为（   ） A．72 B．74 C．12 D．14 【答案】C 【分析】依据题给条件利用平均值与方差的定义，列出关于和的方程组，解之即可求得和的值，进而求得的值. 【详解】， ， 由， 可得， 则， ，则， 联立，解之得， 由 可得 2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若数据4，5，6，，的众数为4，70%分位数为6，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据众数的定义明确，中至少一个为4且4是唯一众数，再结合分位数的计算规则确定另一未知数的取值范围，最终推导x+y的取值范围. 【详解】因为数据众数为4， 所以，中至少有一个为4，且5、6的出现次数最多为1， 即，中不能额外出现5或6， 又因为数据总个数，计算分位数位置，因不是整数，向上取整得4， 即数据从小到大排序后第4项为70%分位数，所以第四项为6， 假设， 另一数为，此时5个数据为，，，，，排序后分情况讨论： 若，排序后第4项为5，不符合分位数为6的要求； 若，则排序后第4项为，则此时，不符题意，舍去； 若，排序后第4项为6，符合题意， 因此，， 即的取值范围为. 3．（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为， 即， 解得，故A错误， 对于B选项，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得，即估计样本的中位数为，故B错误， 对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值， 由图可知，最高矩形对应的区间为， 所以估计样本的众数为，故C正确， 对于D选项，估计样本的平均数为： ，故D错误. 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【分析】先说明采用抽签法每个人被剔除概率都相等，都是，不被剔除的概率也相等，都是，即可判断B；然后采用随机数表法，在没被剔除的100人中被抽到概率都是，即可判断C，综合B，C，即可判断D；综和B，C，D即可判断A. 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确. 故选：A 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（    ） A．20人 B．18人 C．16人 D．12人 【答案】C 【分析】据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可得，高一900人，高二1000人， 则高一高二总占总人数占比为，高三占总人数比例为， 又因为高一与高二的学生中共抽取38人， 设高三学生抽取人，则，解得. 6．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）对一个物体采用“复称法”测量质量： 第一次：物体放在天平左盘，右盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为； 第二次：物体放在天平右盘，左盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为． 现有一架两臂不等长的天平，两盘的自重相同，空载时已经调平．实验人员在该不等臂长的天平上用“复称法”测量某物体的质量，记录数据时直接将两次砝码读数的算术平均数作为该物体的测量记录值．则该记录值与物体真实质量比较，有（    ） A．记录值小于物体真实质量 B．记录值大于物体真实质量 C．记录值等于物体真实质量 D．不确定两者的大小关系 【答案】B 【分析】利用杠杆原理得到两次砝码读数和真实质量的关系，再结合基本不等式比较算术平均数与几何平均数大小. 【详解】设天平两臂长分别为，，由力矩平衡求出真实质量，再与算术平均数比较， 设物体真实质量为，天平左、右两臂长分别为，． 第一次：物体在左盘，砝码右盘，由力矩平衡； 第二次：物体在右盘，砝码左盘，得． 两式相乘得，所以． 而记录值为，由基本不等式，当且仅当时取等号． 因为两臂不等长，所以，故，即记录值大于物体真实质量． 7．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·阶段检测）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】调查对象的全体为该校所有高中学生的平均每天自习时间， 因此总体应是该校所有高中学生的平均每天自习时间. 故选：B 二、填空题 8．（25-26高一下·河北承德·期末）若数据1，2，10，11的平均数为，方差为，数据4，5，7，8的平均数为，方差为，则________，________．（请从“<”“>”“=”中选择合适的填入） 【答案】 = > 【详解】， 所以， ， 所以. 9．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 【答案】 【详解】成绩按从小到大排列为 ， 第百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 10．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 【答案】13.5 【分析】由中位数的定义，可在频率分布直方图中利用计算特定区间的矩形面积来确定中位数. 【详解】因为样本中属于区间内的数据的频率为， 样本中属于区间内的数据的频率为， 所以样本数据的中位数属于区间， 设中位数为，， 则， 解得：. 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 【答案】498 【分析】根据随机数表的用法依次得到学生编号即可. 【详解】从第2行第4个数字开始，读取的数字编号依次为：692,350,498,221，… 其中692大于499，跳过. 所以第二个被选学生的编号为498. 故答案为：498 12．（24-25高二上·上海·单元测试）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． 【答案】分层随机抽样，简单随机抽样 【分析】通过随机抽样的定义进行判断． 【详解】解：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是：分层随机抽样； 对于调查②，明显是采用的是：简单随机抽样， 故答案为：分层随机抽样，简单随机抽样 三、解答题 13．（25-26高一下·河南信阳·期末）某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? (3)若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)，平均数为 (2)6人 (3) 【分析】（1）根据频率和为1求得的值，由各组中点值与频率乘积的和求得样本成绩的平均数； （2）计算样本答卷成绩为，，的频率的比，按比例计算在中的市民应抽取的人数； （3）根据平均数及方差公式计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，样本答卷成绩在，，，，，内的频率分别为: ，，，，，. 所以， 解得. 样本成绩的平均数为. （2）由（1）知，样本答卷成绩在，，的频率之比为， 所以频数比为， 所以若用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取人. （3）由（1）知，样本答卷成绩在，的人数分别为， 记落在的答卷成绩为，， 则，； 记落在的答卷成绩为，， 则，. 所以. . 14．（25-26高一下·河北张家口·期末）某专业测评机构对一批同款家用电动车开展续航能力测试，将车辆续航表现折算为百分制评价得分．为客观分析车辆续航水平，该测评机构随机抽取100台电动车的测评得分（百分制）作为样本，按，，…，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； (2)估计样本中测评得分的下四分位数； (3)若规定续航测评得分不低于80分为“续航优秀”，已知样本中在内的得分的平均分为88分，方差为7，在内的得分的平均分为96分，方差为7，求样本中“续航优秀”电动车测评得分的平均数和方差． 【答案】(1)，70 (2)67.5 (3)91，22 【分析】（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和为可得，进而求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； （2）分析可知得分的下四分位数落在内，结合百分位数的定义运算求解； （3）根据分层抽样求各层人数，结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得． 不低于70分的频率为， 续航测评得分不低于70分的电动车有台． （2）因为，， 所以得分的下四分位数落在内，设其为， 则，解得， 所以样本中测评得分的下四分位数为67.5． （3）样本中得分在内的电动车辆数为，得分在内的电动车辆数为． 设“续航优秀”电动车测评得分平均数和方差分别为，， 则， 15．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高(单位：)，按照区间，，，，，，分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）. (1)求图中实数的值； (2)估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数(精确到)； (3)将身高在，，区间的学生依次记为A，B，C三个组，按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数. 【答案】(1) (2)cm，cm，cm (3)4人，2人，1人 【详解】（1）由题意得，解得. （2）各组的频率依次为：0.025，0.15，0.2，0.275，0.2，0.1，0.05， 所以该区高中生身高的众数为. 因为，， 所以该区高中生身高的中位数在内，设中位数为， 则，解得， 故该区高中生身高的中位数约为. ， 故该区高中生身高的平均数约为. （3）身高在，，的人数依次为(人)，(人)，(人)， 按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组抽取的人数分别为(人)，(人)，(人)， 故按比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C组抽取的人数分别为4人，2人，1人. 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 【答案】(1) (2)估计中位数为77.1，平均数为76.5 (3)855人 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解； （2）根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为，区间中点乘以相应组的频率可估计平均数，即可求解； （3）首先求出63分以上的频率，进而可得63分以上的人数. 【详解】（1）由题意得，解得； （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上， 则可估计中位数为， 平均数为； （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以， 故63分以上的人数估计为855人． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $