第13章 统计概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第三册

该高中数学统计章节知识清单系统梳理了统计的核心内容，涵盖总体与样本、数据获取、抽样方法、统计图表、统计估计及统计活动六大知识范畴，搭建了从基础概念认知到数据处理分析再到实际统计应用的递进式学习支架。 清单通过分章节分类呈现知识体系，每个概念均包含定义说明与相关概念关联，如“统计量”明确其用于推断总体特征的作用，“分层抽样”标注按比例分配样本量的实施要点，培养学生的数据观念和数学思维。特别设计“频率分布直方图面积等于频率”“茎叶图保留原始信息”等实用性提示，帮助不同基础学生高效掌握，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

第13章 统计清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 13.1 总体与样本 总体 在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体。 研究对象、全体 个体 总体中的每一个对象叫做个体。 个体 总体的容量 总体中所含个体的数量称为总体的容量。 容量、个体数 样本 从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 抽样、个体 样本量 样本所含个体的数量称为样本量，也称样本容量。 样本容量、样本量 统计量 像“达标率”“优秀率”以及平均花费时间、最少花费时间等用来描述样本特征的概括性数字度量，称为统计量，可以用样本的统计量来推断总体的特征。 统计量、推断 统计活动的基本思想 统计活动的基本思想是通过分析样本的统计特征去推断总体的统计特征，因此样本数据的代表性和获取方式十分重要。 代表性、推断 统计对象的不确定性 统计学的具体研究对象多种多样，共同特点是具有不确定性；虽然每次测量结束后可以得到一组确定的数据，但由于测量误差，这组数据其实只是总体的一个带有误差的样本。 不确定性、测量误差 13.2 数据的获取 观测数据 通过调查或观测而收集到的数据，是在没有对有关事物进行人为控制的条件下得到的，这样的数据称为观测数据，如人口普查数据。 观测数据、调查 实验数据 在实验中控制实验对象而收集到的数据称为实验数据，如通过对比服用与不服用药物的两组对象的发病率而得到的数据。 实验数据、对照 普查 一个国家或地区为详细调查某项重要的国情、国力，专门组织大规模的全面调查，即对总体的每个个体分别进行调查，称之为普查，如全国人口普查；普查全面但耗时费力。 普查、全面调查 抽样与抽样调查 从总体中抽取样本的过程称为抽样，通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查；当总体容量很大、调查耗时费力或调查过程具有破坏性（如测试灯管的使用寿命）时，常采用抽样调查。 抽样、抽样调查、破坏性 已有统计数据 除通过调查或实验获得数据外，还可以采用来源可靠的已有统计数据，如文献、统计报表、年鉴、行业协会信息等；采用之前必须考虑数据的含义、获取方法以及可靠性。 统计年鉴、可靠性 13.3 抽样方法 样本的代表性 科学的抽样方法必须使样本具有代表性，即选取的样本能客观地反映总体的情况，没有人为的主观偏向。 代表性、无偏向 简单随机抽样 在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样。 简单随机抽样、等可能性 简单随机抽样的特点 简单随机抽样具有以下特点：(1) 总体个数 是有限的；(2) 是不放回抽样；(3) 总体中每个个体被选入样本的可能性相同。 有限总体、不放回、可能性相同 抽签法 先将总体中的个体编号，并把号码写在形状、大小等完全相同的纸片（号签）上，混合均匀后逐个抽取，这种抽取样本的方法叫做抽签法；它简单易行，适用于总体容量不大的情形。 抽签法、号签 随机数表与随机数法 随机数表是由一连串 之间的数字构成的现成的号签，满足：(1) 对表中任何一个给定位置的数字，其为 中任何一个数字的概率都相等；(2) 不同位置数字的取值相互独立。先将总体中的个体逐个编号，再按照事先确定的规则从随机数表（或其他工具产生的随机数）中读取一定量的随机数，这些随机数所对应的个体组成样本，这种抽样方法称为随机数法。 随机数表、随机数法、编号 分层随机抽样 当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，简称分层抽样；所分的各个部分称为“层”，一般按照总体中个体的分类属性进行分层，分在同一层的个体应具有相近的特征。 分层抽样、层、分类属性 分层抽样的实施 常用的分层抽样方法：先将容量为 的总体按要求分成 层，每层的个体数分别为 ，在每层中分别随机抽取 个个体组成容量为 的样本，使得 ，，各层按比例分配样本量，此时每个个体被抽到的概率均相等。 分层、按比例、等可能 13.4 统计图表 统计图表的作用 统计图表是表达和分析数据的一种重要工具，不仅可以帮助我们从数据中获取有用的信息，还可以帮助我们直观、准确地理解相关的结果。 统计图表、数据分析 极差 一组数据的最大值与最小值的差称为极差（又称全距），它表示这组数据的波动范围大小。 极差、全距、最大值、最小值 组距与组数 组距是指每个小组的区间端点之间的距离，组距的选取决定了组数的多少，组数等于极差除以组距。一般第一组的下限应低于最小值，最后一组的上限应高于最大值，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；组数太少或太多都无法有效呈现数据的分布。 组距、组数、分组 频数与频率 将样本数据分组以后，每个小组内的数据个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。 频数、频率、样本容量 绘制频率分布表的步骤 (1) 求极差；(2) 确定组距与组数；(3) 统计每组的频数及频率；(4) 绘制频率分布表。若想知道数据在某个范围内的总数，可将相应各组的频数相加，得到累积频数。 频率分布表、累积频数 频率分布直方图 在直角坐标系中把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，以组距为底、以该组的频率除以组距所得的商为高作小矩形，由此得到的图形称为频率分布直方图；每个小矩形的面积等于该组的频率，各小矩形面积的总和为 1。 频率分布直方图、面积、组距 频率分布折线图 按照分组原则，再在左边和右边各加一个频率取值为 0 的区间，从所加左边区间的中点（组中值）开始，从左至右依次连接各矩形上底边的中点，直至右边所加区间的中点，得到一条折线，称为频率分布折线图。 频率分布折线图、组中值 总体分布密度曲线 如果样本容量足够大，且分组的组距取得足够小，那么频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线，称为总体分布密度曲线；样本容量越接近总体容量，样本的频率分布折线图与总体分布密度曲线的贴近程度越高。 密度曲线、光滑曲线 茎叶图 将样本数据分为茎和叶两个部分（如整数部分作为茎，小数部分作为叶），把茎由小到大、从上往下写成一列并画一条竖线，把叶写在其所属茎的旁边并按由小到大排成一行，这样得到的统计图称为茎叶图；茎叶图保留了数据的所有原始信息，既可用于呈现单组数据，也可用于两组同类数据的比较分析，但不适合数据量较大的情形。 茎叶图、茎、叶 散点图 在考虑两组数据时，为了对两组数据之间的关系形成大致的了解，将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内，这些点组成的统计图称为散点图；散点图一般用于刻画成对的数据，可从图中看出成对数据之间是否存在某种关系，但不能看出因果关系。 散点图、成对数据、相关 统计图的绘制要求 (1) 标题：统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容，如果可能的话列出数据来源；(2) 坐标的刻度和名称：纵轴和横轴需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度，横轴应标明类别或刻度；(3) 标注：如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据。 标题、坐标、标注 统计图的选择 应根据需要选择恰当的统计图：散点图用于刻画成对的数据；茎叶图保留了数据的所有信息但不适合数据量较大的情形；数据量较大时一般选用条形图或频率分布直方图；要呈现每部分所占的比例用扇形图；要呈现数据随时间变化的趋势用折线图。 条形图、扇形图、折线图 13.5 统计估计 统计估计 在实际问题中，当总体的信息难以或无法获得时，可以采取科学的抽样方法获取具有代表性的样本，利用样本信息来估计总体的分布规律，这就是统计估计。 统计估计、样本推断总体 总体的分布 总体的分布指的是总体中不同范围或类型的个体所占的比例。 总体分布、比例 用样本的频率分布估计总体的分布 如果样本数据是随机抽取的，那么依据大数定律，当样本量不断增大时，样本中每组数据的频率会越来越稳定于一个相应的概率，因此可以把这个概率作为总体中的个体在相应区间内取值的概率，从而用样本的频率分布来估计总体的分布情况。 大数定律、频率分布、样本的变异性 数字特征 把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征；平均数、中位数和众数是刻画一组数据集中趋势的数字特征，而方差和标准差是刻画一组数据离散程度的数字特征。 数字特征、集中趋势、离散程度 中位数与众数 将一组数据从小到大排列后，中位数将一组数据分成了两部分，一半的数据小于等于它，一半的数据大于等于它；众数是一组数据中出现次数最多的数据。 中位数、众数 样本平均数 设样本数据为 ，样本平均数为 ，它描述了样本数据的平均水平，可用样本平均数估计总体的平均水平。 平均数、、平均水平 加权平均数（频数平均数） 如果 个数据中不同的数据 的频数分别为 ，那么样本平均数为 ；当数据量大且重复率高时，这一公式可减少计算量。 频数、加权 求和符号 （读作 Sigma）称为求和符号， 表示多项连加的和 ，其下方的 表示 从 1 开始取连续的整数值，上方的 表示 的取值到 结束；如果 为常数，则 。 、连加 用组中值估计平均数 当数据以各区间频数的形式给出时，可先求出各区的中点值，用各组中值代表该组数据计算平均数，从而估计总体（或样本）的平均水平。 组中值、估计 极差与离散程度 极差反映了样本数据变化的最大幅度，是样本数据离散程度的一种刻画方式，但它对极端数据很敏感，因此是不稳定的。 极差、波动 样本方差 设样本数据为 ，样本平均数为 ，样本方差为 ；一组数据的方差越大，表明这组数据波动越大。 方差、波动 样本标准差 把方差的算术平方根叫做样本数据的标准差，即 ；方差的单位是观测数据的单位的平方，而标准差的单位与观测数据的单位一致，因此常常用标准差来描述数据的离散程度。 标准差、离散程度 分层样本的平均数与方差 当已知各部分样本的平均数与方差时，可以先由各部分平均数按样本量加权求出全体样本的平均数，再把方差的表达式展开（利用偏差和为零），只用各部分样本量、平均数与方差求出全体样本的方差，据此估计总体的方差。 分层样本、加权平均、方差合并 用样本数字特征估计总体数字特征 可用样本的平均数、中位数、众数估计总体的相应集中趋势量，用样本的方差（标准差）估计总体的离散程度，例如由样本平均产量估计总产量、由样本标准差比较两组数据的稳定性。 估计、总体数字特征 百分位数 第 百分位数（ 为 1 到 100 之间的整数，记作 ）是指将一组数据从小到大排列后，把数据分成两部分：小于或等于第 百分位数的数据至少占 ，大于或等于第 百分位数的数据至少占 。 百分位数、 百分位数的计算 计算第 百分位数时，首先将 个数据从小到大排列，然后计算 ：(1) 若 是整数，则第 百分位数是第 项与第 项数据的平均值；(2) 若 不是整数，则将 向上取整，得到的数即为第 百分位数的位置。 向上取整、位置 13.6 统计活动 统计活动的主要过程 统计活动的主要过程包括：确定调查方案（明确调查指标、评分标准、权重与等级划分标准）；确定调查对象（考虑全年级调查还是抽样调查，简单随机抽样还是分层随机抽样，并对调查对象编号）；收集数据；数据整理与分析；得出初步结论并提出改进建议。 调查方案、调查对象、收集数据、数据分析 数据整理与分析的内容 收集数据后，可以从以下几个方面进行统计分析：(1) 各项指标的频率分布直方图；(2) 各项指标的集中趋势和离散程度；(3) 相关指标（如体重与身高）的散点图；(4) 依据样本数据和指标权重计算综合指标，并计算优秀率、良好率和及格率。 频率分布直方图、散点图、权重 体重指数 体重指数（BMI）为 ，其中 为体重（单位 kg）， 为身高（单位 m）。 BMI、体重、身高 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $